Ključni pojmovi: stožac, valjak, ravnina, prostor, presjek, krivulje 2. reda

Na Preddiplomskom stručnom studiju graditeljstva i Politehničkom diplomskom specijalističkom stručnom studiju graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu izvodi se nastava iz pet matematičkih predmeta: Matematika 1 (u prvom semestru), Matematika 2 (u drugom semestru), Nacrtna geometrija u graditeljstvu 1 (u prvom semestru) i Nacrtna geometrija u graditeljstvu 2 (u drugom semestru) na preddiplomskom te Matematika (u prvom semestru) na diplomskom specijalističkom studiju. Predmeti koji su po svom sadržaju povezani s ovim matematičkim predmetima su Računarstvo u graditeljstvu, koji se izvodi na stručnom preddiplomskom studiju u prvom semestru, te predmeti Parametarsko modeliranje 1 i 2 koji se izvode na specijalističkom diplomskom studiju u trećem, odnosno četvrtom semestru.

Mnoge teme iz nastavnog plana i programa navedenih predmeta su bliske i povezane, a mnoge i iste, međutim pristup i način njihove obrade je drukčiji (analitički, geometrijski, primjenom računalnih programa, itd.).

Dosadašnje iskustvo je pokazalo da studenti često ne prepoznaju da su teme obrađene na navedenim predmetima iste, ali s drukčijim pristupom. Tako na primjer u sklopu predmeta Nacrtna geometrija u graditeljstvu 1, u četvrtom tjednu nastave, studenti slušaju temu probodište pravca i ravnine. S istim problemom susreću se nešto kasnije, u sedmom tjednu nastave, na predmetu Matematika 1, kada algebarskim pristupom izračunavaju koordinate točke dobivene kao presjek pravca i ravnine u prostoru. Nerijetko, kad ih upitamo jesu li još negdje obradili takav problem i s kojeg aspekta, mnogi studenti nemaju odgovor. Oni koji se tad i prisjete da su to obradili na predmetu Nacrtna geometrija u graditeljstvu, često kažu da to ne bi primijetili da ih nismo pitali.

Isto tako, pojam ploha proteže se kroz sve nastavne programe navedenih predmeta. O rotacijskom stošcu (i valjku), ravninama u prostoru i njihovom međusobnom odnosu studenti slušaju na nekoliko kolegija. Pojam ravnine u prostoru prvo se obrađuje u sklopu programa predmeta Nacrtna geometrija u graditeljstvu 1 i Matematika 1. Algebarske plohe 2. reda, odnosno rotacijski stožac, obrađuju se prvo na predmetu Nacrtna geometrija u graditeljstvu 1, a potom i na predmetu Nacrtna geometrija u graditeljstvu 2, dok se s pojmom rotacijskog tijela paralelno susreću na predmetu Matematika 2, kod primjene određenog integrala. Na diplomskom specijalističkom studiju o plohama 2. reda slušaju na predmetu Matematika kao funkcijama više varijabli, te posljednji put na predmetima Parametarsko modeliranje 1 i 2, gdje izrađuju složene parametarske 3D modele primjenom programa Rhinoceros 3D i Grasshopper1, čiji su oblici, između ostalog, dobiveni kao presjek ploha 2. reda ravninom. Primjeri 3D modela izrađenih primjenom navedenih programa prikazani su na slici 1.

Slika 1: 3D modeli izrađeni primjenom programa Rhinoceros 3D i Grasshopper. Modeli su isprintani 3D printerom.

U sljedećim poglavljima prikazat ćemo kako se presjek stošca i valjka ravninom obrađuje s geometrijskog i algebarskog aspekta u sklopu nastavnih programa prethodno navedenih predmeta.

Na predmetima nacrtne geometrije općenita stožasta ploha se definira kao algebarska pravčasta ploha dobivena gibanjem pravca (izvodnice) po nekoj ravninskoj krivulji (ravnalici) pri čemu jedna njegova točka miruje. Rotacijski stožac dobiva se ukoliko je ravnalica kružnica. Presjek plohe ravninom je skup svih zajedničkih točaka te plohe i presječne ravnine. Ako je ploha algebarska, njezin presjek ravninom je algebarska ravninska krivulja reda jednakog redu plohe. Iz toga slijedi da je presjek rotacijskog stošca, kao plohe 2. reda, ravninom ravninska krivulja 2. reda, koja može biti [3]:

Osim vrsta presječnih krivulja stošca, važno je da studenti nauče i kako treba postaviti presječnu ravninu da bi presjek bila točno određena krivulja. Kao presjek stošca ravninom dobivamo:

Raspadnuti presjek stošca dobiva se ako ravnina presjeka prolazi vrhom stošca. Krivulja 2. reda se u tom slučaju raspadne na:

U sklopu predmeta Nacrtna geometrija u graditeljstvu 2 presjek stošca se crta kao zadatak za samostalni rad studenta (tzv. program) u Mongeovoj metodi (tlocrt, nacrt, bokocrt), kao i u metodi kose aksonometrije. Pri tome se koriste:

U slučaju da je presječna krivulja stošca elipsa, studente upućujemo da konstruiraju veliku i malu os presječne elipse ili par njezinih konjugiranih promjera. Presječne parabole i hiperbole konstruiraju se na taj način da se odredi dovoljan broj njihovih točaka [3]. U programima studenti obično crtaju presjeke s dvije ili tri presječne ravnine, dok se na kolokviju zbog ograničenog vremena zadaju zadaci s jednom presječnom ravninom. Pri tome se položaj stošca varira na taj način da mu je osnovica ili u tlocrtnoj ili u nacrtnoj ili u bokocrtnoj ravnini. Studenti mogu program predati nacrtan olovkom, a oni koji žele bolju ocjenu, program trebaju istuširati ili nacrtati u AutoCAD-u. Primjer programa iz AutoCAD-a prikazan je na slikama 2. i 3.

Slika 2: Mongeova projekcija (tlocrt, nacrt, bokocrt) presjeka stošca s tri ravnine - dobiveni presjeci su: elipsa, parabola i par izvodnica.

Slika 3: Presjek stošca u kosoj aksonometriji - tri presječne ravnine su analogne kao na prethodnoj slici kod Mongeove projekcije.

Studenti se nerijetko žale da ne mogu zamisliti kako presječeni stožac stvarno izgleda. S ciljem što bolje vizualizacije presječenih stožaca, u akademskoj godini 2017/18. su pripremljeni modeli različitih presjeka stožaca koristeći 3D printer (slika 4.).

Slika 4: Različiti 3D modeli presjeka stošca kao pomoć za vizualizaciju presjeka.

Na predmetu Matematika plohe 2. reda obrađuju se u sklopu gradiva funkcije više varijabli, a s određivanjem presjeka stošca ravninom studenti se susreću pri primjeni višestrukog integrala. S tog aspekta problem promatramo na sljedeći način.

Općenito, algebarska ploha n-toga reda je skup točaka euklidskog prostora čije koordinate (x,y,z) zadovoljavaju neku algebarsku jednadžbu F^{n}\left(x,y,z\right)=0, gdje je F^{n} polinom n-tog stupnja.
Algebarska ploha 1. reda je ravnina u prostoru i opći oblik njene jednadžbe dan je izrazom

pri čemu je barem jedan od koeficijenata A, B, C različit od nule (odnosno A^{2}+B^{2}+C^{2}\gt 0).
Algebarska ploha 2. reda ili kvadrika je skup svih točaka euklidskog prostora koje zadovoljavaju jednadžbu 2. reda:

pri čemu je barem jedan od koeficijenata A, B, C, D, E, F različit od nule, odnosno, u izrazu postoji barem jedan netrivijalni nelinearni član.
Osnovni tipovi algebarskih ploha 2. reda su elipsoid, jednoplošni hiperboloid, dvoplošni eliptički hiperboloid, eliptički paraboloid, hiperbolički paraboloid, konus 2. reda (eliptički i kružni stožac) i cilindar 2. reda (eliptički, hiperbolički i parabolički cilindar).

Kanonska jednadžba eliptičkog stošca dana je izrazom

gdje su A, B, C\neq 0, (ako je A=B radi se o kružnom stošcu). Odgovarajućim cikličkim izmjenama dobivamo još dvije jednadžbe iste plohe u različitim položajima.
Presjek plohe (2) ravninama:

Sljedeća dva zadatka primjeri su zadataka koji se rješavaju na predmetu Matematika, a u kojima se studenti susreću s presjekom stošca i ravnine.

Nivo-krivulje funkcija z=\sqrt{x^{2}-4y^{2}} i z=\sqrt{x^{2}-4y^{2}} dobivene su kao presjek zadanih ploha i ravnine z=c, za c=0,1,2,3,4. Za c=0 nivo-krivulje su pravci y=\pm \frac{1}{2}x, a za c\in \mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace hiperbole \frac{x^{2}}{c^{2}}-\frac{y^{2}}{\frac{c^{2}}{4}}=1. Rješenje zadatka prikazano je na slici 5.

Slika 5: Nivo-krivulje funkcija z=\sqrt{x^{2}-4y^{2}} i z=\sqrt{x^{2}-4y^{2}}.

Presjek stožaste plohe z=6-\sqrt{x^{2}+y^{2}} i ravnine z=3 je kružnica x^{2}+y^{2}=9. S obzirom da se iz dobivenog izraza odmah iščitava jednadžba kružnice, ovdje nije potrebno promatrati invarijante dobivenog izraza. Zgodno je primijetiti da se težište nalazi na osi z, pa je stoga dovoljno računati samo njegovu aplikatu. Koordinate težišta računaju se kao omjer statičkog momenta i mase promatranog tijela. U ovom slučaju koordinate se računaju primjenom trostrukog integrala i prelaskom na cilindrični koordinatni sustav. Područje integracije je:

Aplikata težišta iznosi:

Slika 6: Na grafu je prikazan presjek stošca z=6-\sqrt{x^{2}+y^{2}} i ravnine z=3. Težište tijela omeđenog stošcem i ravninom nalazi se na z osi i njegove koordinate su \left(0,0,\frac{57}{17}\right).

U ovakvim zadacima pripadne slike i račune studenti rade ručno te u programu Maxima. Osnove rada u programima Maxima i AutoCAD-a2 studenti uče na predmetu Računarstvo u graditeljstvu. Primjenom programa Maxima napravljene su slika 5. i slika 6. te slika 7. koja se nalazi u poglavlju 3. Slika 2. i slika 3. izrađene su u programu AutoCAD.

Na predmetima Nacrtna geometrija u graditeljstvu 1 i 2 valjkasta ploha definira se kao algebarska pravčasta ploha dobivena gibanjem nekog pravca (izvodnice) po nekoj ravninskoj krivulji (ravnalici) pri čemu beskonačno daleka točka tog pravca miruje, odnosno pravac pri tom gibanju ostaje sam sebi paralelan. Rotacijski valjak dobivamo ako je ravnalica kružnica.
Presjek rotacijskog valjka ravninom može biti:

S algebarskog aspekta na predmetu Matematika razlikujemo sljedeće tipove valjka:

U jednadžbama (7),(8) i (9) radi se o valjcima čije su izvodnice paralelne s osi z, a trag se nalazi u xy ravnini. Stoga, u tom slučaju kažemo da funkcija F(x,y)=0 predočuje geometrijsku plohu valjka. Međutim, ako je izvodnica valjka paralelna s osi x funkcija je tipa F(y,z)=0, a trag je u ravnini yz, odnosno ako je izvodnica valjka paralelna s osi y funkcija je tipa F(x,z)=0, a trag je u ravnini xz.

Daljne razmatranje presjeka plohe valjka ravninama odnosi se na funkciju F(x, y) =0, međutim analogni zaključci mogu se izvesti i za preostala dva tipa funkcije F.
Kako izraz funkcije F(x, y) =0 ne ovisi o z, presjek plohe valjka ravninama z=P, P \in \mathbb{R} uvijek je ista krivulja F(x, y) =0. Naime, svaka ravnina koja nije paralelna s izvodnicama valjka siječe valjak po elipsi ako je valjak eliptički, hiperboli ako je hiperbolički i paraboli ako je parabolički.
Promatramo li eliptički valjak (7), njegov presjek s ravninama x=Mz+Ny+P, pri čemu je barem jedan od koeficijenata M i N različit od nule, daje krivulju čija je jednadžba:

Vrijednosti invarijanti krivulje (10) su:

Kako je \delta \gt 0 i \Delta\, T \lt 0, za svaki A, B, M, N \in \mathbb{R}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace jednadžba (10) predstavlja elipsu. Na isti način mogu se dokazati analogne tvrdnje za parabolički i hiperbolički valjak.

Sljedeći zadatak rješava se u sklopu nastave predmeta Matematika.

Koordinate težišta su:

Rješenje zadatka prikazano je na slici 7.

Slika 7: Tijelo \Omega=\left\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : y^{2}\leq x \leq 1,\,\, -1\leq y \leq 1,\,\, 0\leq z\leq x \right\rbrace.

U području građevine stožaste i valjkaste plohe imaju široku primjenu i to još od davnina. Primjeri građevina koje imaju stožast ili valjkast oblik prikazani su na slici 8.

Slika 8: Coop's Shot Tower (Melbourne) i Chengdu (Kina) primjeri su građevina čije su kupole stošci. Green Lighthouse i Planetarium (Copenhagen) primjeri su građevina čiji je oblik eliptički valjak (slike su preuzete sa www.dreamstime.com).

Poznato je kako je tendencija našeg obrazovnog sustava, već od osnovnoškolske razine, da se odbaci tradicionalni pristup u kojem se zagovara zatvorenost pojedinog nastavnog predmeta (područja) te da se na svim područjima teži međupredmetnoj povezanosti i interdisciplinarnosti. S ciljem što kvalitetnije realizacije ishoda učenja, ali i kako bi studenti što lakše usvojili potrebna znanja i vještine, uvijek nastojimo povezati gradivo, kako u okviru naših matematičkih predmeta, koje izvodimo na studijima graditeljstva, tako i sa strukovnim predmetima. Međutim, dosadašnje iskustvo pokazalo je da na povezanosti među predmetima i područjima još treba raditi.

Ponekad je zbog ograničenosti i nedostatka vremena, teško u sklopu nastave riješiti dovoljno zadataka kojim bi se ukazalo na povezanost obrađenog gradiva i drugih predmeta. Praksa je da se kroz domaće zadaće i seminarske radove, potakne studente na samostalni rad kojim bi povezali različite pristupe i metode u obradi određene matematičke teme, ali isto tako da samostalno pronađu odgovarajuće primjere primjene tog gradiva u području graditeljstva. Na primjer, tako smo ove akademske godine u sklopu predmeta Matematika 2, studentima koji su na prvom kolokviju ostvarili više od 85% mogućih bodova, ponudili seminarske radove u zamjenu za drugi kolokvij. Teme seminarskih radova odnose se na gradivo numeričkih metoda, a zadatak studenata je da pored opisa metode i rješavanja zadataka uz pomoć računalnog programa Maxima, daju primjer primjene zadane metode u području graditeljstva.

Već od samog početka studija studente pokušavamo zainteresirati za matematiku i nacrtnu geometriju i najvažnije njihovu primjenu, ne samo kroz nastavu već i kroz vannastavne aktivnosti. Studente koji već nakon prvog semestra ostvare bolje rezultate na završnom ispitu, potičemo da se uključe u pisanje stručnih radova, kao što je na primjer ovaj. U veljači se, drugu godinu zaredom, održava međunarodna radionica "Parametarsko modeliranje", koja je namijenjena svim studentima bez obzira na njihovo predznanje iz matematike i nacrtne geometrije. Na radionici se studenti na aktivan način upoznaju s mogućnostima primjene nacrtne geometrije u modernoj arhitekturi. Sam cilj radionice je studente naučiti osnove 3D i parametarskog modeliranja u programima Rhinoceros 3D i Grasshopper. Studenti samostalno osmišljavaju vlastiti projekt, programiraju zamišljeni model, te ga pripremaju za lasersko rezanje i sastavljanje makete.

Iako na većini naših visokoškolskih institucija i veleučilišta studenti završni (diplomski) rad mogu pisati u (ko)mentorstvu s nastavnikom iz područja matematike, pa tako i s temom iz tog ili srodnog područja, to trenutno nije moguće niti na jednom studiju graditeljstva koji se izvode na Tehničkom veleučilištu u Zagrebu. Nadamo se da će se to u skoroj budućnosti promijeniti, jer vjerujemo da bi upravo na taj način, a u suradnji s kolegama iz područja graditeljstva, ojačali našu međupredmetnu povezanost.

Elipsa, hiperbola i parabola su neke od prvo proučavanih krivulja. Pogledamo li "razvoj priče" o njima kroz povijest, vidimo da je "veliki geometar" Apolonije iz Perge još 200-tih godina pr. Kr. napisao o njima opsežnu studiju, i to čisto geometrijskim pristupom. Njegovi su rezultati bili toliko podrobni i potpuni da se današnja euklidska geometrija nije mnogo odmakla od njegovih spoznaja. I kao takvi, bili su dostatna osnova Johannesu Kepleru (1571.-1630.) i Isaacu Newtonu (1643.-1728.) da dođu do svojih izvanrednih otkrića o gibanjima nebeskih tijela.

Međutim, Apolonije nije svojstva čunjosječnica opisivao algebarski, kao što mi to danas u školskom sustavu činimo. Trebalo je proći skoro 2000 godina da bi matematičari postigli veliki pomak u razumijevanju čunjosječnica povezivanjem geometrijskih i algebarskih tehnika.

Ono što nas je ponukalo na pisanje ovoga članka jest dojam da su neki aspekti pri proučavanju tih krivulja kroz srednješkolsku naobrazbu pomalo zanemareni. U nastavnim programima za matematiku u srednjim školama i gimnazijama, krivuljama drugog reda uglavnom se pristupa analitički, preko algebarske jednadžbe tih krivulja, iz čega se onda izvode i njihova svojstva, a mi smo stajališta da se i s pomoću čisto geometrijskog pristupa ove krivulje sasvim lijepo mogu upoznati, i da se na taj način mogu učenicima pokazati neka važna svojstva koja se iz analitičkog pristupa ne vide, npr. njihovo optičko svojstvo refleksije. Time ne želimo umanjiti značaj analitičkog pristupa, već samo ukazati na neke druge pristupe, te ih objediniti u "širu priču" o krivuljama drugoga reda.

U sintetičkom pristupu, u 2. poglavlju uvodimo pojam tangente na najelementarniji način, kao i njezine karakterizacije. Već kod parabole vidimo da je pojam tangente (na način kako ju većina doživljava) vrlo suptilan pojam koji se ne može definirati kao pravac koji siječe krivulju u jednoj točki, a s druge strane želja nam je bila izbjeći bilo koju uporabu infinitezimalnoga računa koji je neprimjeren za učenike prije završnog razreda srednje škole. Nadalje, pojam asimptote hiperbole je, također, uveden ad hoc s ciljem da se izbjegne uobičajeni pristup preko formalnog graničnog procesa. Treba reći da smo, kroz različite pristupe čunjosječnicama, htjeli naglasiti neka njihova važna svojstva koja su nedovoljno istaknuta u analitičkom pristupu, a koja se s lakoćom mogu izvesti bez prevelikog predznanja, i kao takva se mogu obrađivati i prije 3. razreda srednje škole (kad se ove krivulje prvi puta sustavno obrađuju u sklopu analitičke geometrije). Sintetički pristup je pogodan za dokazivanje svojstava tangenata i asimptote i nekih manje poznatih, ali zanimljivih tvrdnja (Ponceletovi teoremi). No, u ovomu pristupu učenik ne može sagledati sličnost i vezu između ovih krivulja. Algebarski pristup pojašnjava zbog čega ove krivulje zajednički nazivamo krivuljama 2. reda. Proučavanje ovih krivulja kao presjeka s konusom (čunjem) opravdava naziv čunjosječnice ili konike, te upućuje kako ih možemo pronaći kao obrise na sjenama što ih ostavlja stožasti izvor svjetlosti sobne svjetiljke, a to otvara zanimljiv prostor za samostalne učeničke pokuse i projektne zadatke. Papus-Boškovićev pristup ovim krivuljama pojašnjava ulogu ravnalice kod elipse i hiperbole, ulogu numeričkog ekscentriciteta \varepsilon (kojeg se najčešće bez neke primjene i svrhe spominje u nastavi) te pokazuje kako se variranjem parametra \varepsilon krivulje mijenjaju od elipse, preko parabole i hiperbole do kružnice.

Slike u članku generirane su uglavnom s pomoću besplatnog programskog paketa Geogebra (https://www.geogebra.org). Iznimno su, zbog ograničenja Geogebre, slike 21, 22 , 23 i 24 izrađene u programu Microsoft Word.

Inače, na internetu se može pronaći velik broj interaktivnih uradaka o čunjosječnicama izrađenih u Geogebri, i mnogi se temelje na sintetičkoj definiciji.

U ovomu poglavlju, koje se dobrim dijelom temelji na nastavnim materijalima [1], definiramo elipsu, hiperbolu i parabolu, te izvodimo neka njihova svojstva bez uporabe algebarskog alata.

Točke F_{1} i F_{2} nazivamo žarištima ili fokusima elipse, a dužine \overline{T F_{1}} i \overline{T F_{2}} radijusvektorima točke T elipse (iako to nisu vektori). Dopustimo li da bude i F_{1}=F_{2}, odnosno e=0, dobivamo skup svih točaka jednako udaljenih od fiksne točke F, kojega nazivamo kružnicom.

Realni broj e nazivamo linearnim ekscentricitetom.

Polovište O dužine \overline{F_{1}F_{2}} nazivamo središtem elipse. Lako se pokaže da pravac F_{1}F_{2} siječe elipsu u dvjema točkama, označimo ih s A i B, i da simetrala dužine \overline{F_{1}F_{2}} također siječe elipsu u dvjema točkama, označimo ih s C i D. Točke A i B, te točke C i D nazivamo tjemenima elipse. Dužinu \overline{A B} nazivamo velikom (glavnom) osi, a dužine \overline{O A} i \overline{O B} velikim poluosima. Dužinu \overline{C D} nazivamo malom (sporednom) osi elipse, a dužine \overline{O C} i \overline{O D} malim poluosima. Duljinu male poluosi označavamo sa b.

Budući da je osna simetrija S_{A B} izometrija, pa čuva i zbroj udaljenosti od točke do fiksnih točaka F_{1} i F_{2} na osi A B, velika os je os simetrije za elipsu. Analogno, budući da je osna simetrija S_{C D} izometrija, pa čuva i zbroj udaljenosti od točke do međusobno simetričnih točaka F_{1} i F_{2} s obzirom na os S_{C D}, mala os je također os simetrije za elipsu.

Sada se lako dokaže da je \left\vert O A\right\vert =a, i da je \left\vert A B\right\vert =2a.

Iz pravokutnoga trokuta \triangle F_{1}O C vidimo da za duljine poluosi a i b, i za linearni ekscentricitet e elipse vrijedi

Neka je T bilo koja točka elipse. Produžimo dužinu \overline{F_{1}T} preko točke T za \left|F_{2}T\right|. Tako dobivamo točku S koju nazivamo suprotištem žarišta F_{2} za točku T elipse. Suprotište S je udaljeno od žarišta F_{1} za \left\vert F_{1}S\right\vert =2a. Promjena točke T na elipsi ne utječe na tu udaljenost. Odatle slijedi da, ako točka T varira, onda suprotište S opisuje kružnicu sa središtem u F_{1} i polumjerom 2a. Tu kružnicu nazivamo kružnicom suprotišta žarišta F_{2} (Slika 1). Analogno definiramo i kružnicu suprotišta žarišta F_{1}.

Slika 1: Kružnica suprotišta žarišta F_{2} elipse

Slika 2: Tangenta i normala elipse

Navest ćemo sada teorem koji opisuje zanimljivo "optičko-geometrijsko" svojstvo elipse: postavimo li izvor svjetlosti u jedno od žarišta elipse, zraka svjetlosti će se odbiti od elipse i proći kroz drugo žarište. To znači da je reflektirani kut zrake u svakoj točki elipse jednak upadnom. Definirajmo najprije tangentu elipse.

Slika 3: Glavna kružnica elipse

Slika 4: Prvi Ponceletov teorem za elipsu

Slika 5: Drugi Ponceletov teorem za elipsu

Točke F_{1} i F_{2} nazivamo žarištima ili fokusima hiperbole, a dužine \overline{\ T F_{1}} i \overline{T F_{2}} radijusvektorima točke T hiperbole. Realni broj e nazivamo linearnim ekscentricitetom. Polovište O dužine \overline{F_{1}F_{2}} nazivamo središtem hiperbole.

Lako se pokaže da pravac F_{1}F_{2} siječe hiperbolu u dvije točke koje leže između F_{1} i F_{2}. Te točke, označimo ih s A i B, nazivamo tjemenima. Dužinu \overline{A B} nazivamo realnom osi, a dužine \overline{O A} i \overline{O B} realnim poluosima.

Točke C i D, koje dobivamo presijecanjem kružnice k(A,e) (ili k(B,e)) i simetrale realne osi, određuju dužinu \overline{C D} koju nazivamo imaginarnom osi hiperbole. Dužine \overline{O C} i \overline{O D} nazivamo imaginarnim poluosima. Duljinu imaginarne poluosi označimo s b.

Budući da je osna simetrija S_{A B} izometrija, pa čuva i razliku udaljenosti točaka od fiksnih točaka F_{1} i F_{2} na osi A B, velika os je os simetrije hiperboli. Analogno, budući da je osna simetrija S_{C D} izometrija, pa čuva i razliku udaljenosti točaka od međusobno simetričnih točaka F_{1} i F_{2} s obzirom na os S_{C D}, mala os je, također, os simetrije hiperboli.

Sada se lako pokaže da je \left\vert O A\right\vert =a, i da je \left\vert A B\right\vert =2a.

Iz pravokutnog trokuta \triangle A O C vidimo da za duljine poluosi a i b, i linearni ekscentricitet e hiperbole vrijedi

Neka je T\in H, te neka S pripada pravcu F_{1}T tako da je \left\vert F_{2}T\right\vert =\left\vert S T\right\vert i \left\vert F_{1}S\right\vert =\left\vert \left\vert F_{1}T\right\vert -\left\vert S T\right\vert\right\vert. Tada je \left\vert F_{1}S\right\vert =\left\vert \left\vert F_{1}T\right\vert -\left\vert F_{2}T\right\vert\right\vert =2a.

Točku S nazivamo suprotištem žarišta F_{2} (s obzirom na T). Kada točka T varira hiperbolom, pripadna suprotišta variraju kružnicom. Svako suprotište žarišta F_{2} leži na kružnici k\left(F_{1},2a\right) koju nazivamo kružnicom suprotišta žarišta F_{2} (Slika 6). Analogno k\left(F_{2},2a\right) je kružnica suprotišta žarišta F_{1}.

Slika 6: Kružnica suprotišta žarišta F_{2} hiperbole

I hiperbola, kao i elipsa, ima "optičko" svojstvo: postavimo li izvor svjetlosti u jedno od žarišta hiperbole, zraka svjetlosti će se odbiti od hiperbole po pravcu koji prolazi kroz drugo žarište. Prije nego navedemo teorem koji opisuje ovo svojstvo, treba nam definicija tangente hiperbole.

Slika 7: Tangenta i normala hiperbole

Slika 8: Glavna kružnica hiperbole

Dokaz ove tvrdnje analogan je onomu za tangentu elipse (Slika 7).

Očigledno je da je suprotište S žarišta F_{2} s obzirom na T osno simetrična slika točke F_{2} s obzirom na tangentu na hiperboli u točki T, što opravdava naziv suprotište.

Vrijede i analogni Prvi i Drugi Ponceletov teorem za hiperbolu.

Slika 9: Prvi Ponceletov teorem za hiperbolu

Slika 10: Drugi Ponceletov teorem za hiperbolu

Neka je T po volji odabrana točka hiperbole, t tangenta hiperbole u T i S suprotište, a N ortogonalna projekcija F_{2} na tangentu t (Slika 11).

Pretpostavimo da se točka T "giba" po hiperboli tako da se njezina udaljenost od neke fiksne točke povećava prema beskonačnom. Intuitivno možemo zamisliti da točka T ide prema "beskonačno dalekoj točki". Njezina tangenta t past će u tom graničnom procesu u neki pravac a kojeg nazivamo asimptotom (Slika 12). Označimo sa S_{1} točku u koju će u tom graničnom procesu pasti suprotište S žarišta F_{2} s obzirom na T (S\in k(F_{1},2a) \rightarrow S_{1}\in k(F_{1},2a)) i s N_{1} točku u koju će pasti točka N (N\in k\left( O,a\right) \rightarrow N_{1}\in k(O,a)).

Slika 11: Tangenta hiperbole

Slika 12: Asimptota hiperbole

Budući da je F_{2}N\perp t, to je i F_{2}N_{1}\perp a. Pri tomu pravac F_{1}T prelazi u F_{1}S_{1}. Budući da je F_{1}T\cap t=\left\lbrace T\right\rbrace, to se F_{1}S_{1} i a "sijeku" u beskonačno dalekoj točki, tj. F_{1}S_{1}\parallel a. Stoga je F_{2}N_{1}\bot F_{1}S_{1}. Budući da je pravac koji prolazi točkama F_{2}, N i S prešao u pravac koji prolazi točkama F_{2}N_{1} i S_{1}, F_{2}S_{1} je tangenta, a F_{1}S_{1} polumjer kružnice suprotišta k(F_{1},2a). Nadalje, iz \left\vert F_{2}N\right\vert =\left\vert NS\right\vert slijedi \left\vert F_{2}N_{1}\right\vert =\left\vert N_{1}S_{1}\right\vert. Asimptota a je simetrala dužine \overline{S_{1}F_{2}}, pa je onda i O\in a. Naravno, analogni zaključci vrijede kad zamijenimo uloge žarišta.

Po tome, smijemo reći ili definirati asimptotu hiperbole kao simetralu dužine \overline{S_{1}F_{2}}, gdje je S_{1}F_{2} tangenta na k(F_{1},2a) iz F_{2}, a S_{1} njezino diralište.

Isto tako, smijemo reći da je asimptota normala na k(O,a) u točki N_{1}, gdje je N_{1} diralište tangente iz F_{2} na k(O,a).

Povucimo u tjemenima A i B okomice na os A B i označimo njihova sjecišta s asimptotama hiperbole s K,L,K_{1} i L_{1}. Tada je

(trokutima su sukladni jedna stranica \left\vert O B\right\vert =\left\vert ON_{1}\right\vert =a i dva priležeća kuta uz tu stranicu). Također, vrijedi

Dakle, asimptote hiprebole leže na dijagonalama pravokutnika sa stranicama 2a i 2b, čije je središte u središtu hiperbole (Slika 13).

Slika 13: Asimptote hiperbole

U prethodnomu asimptotu smo definirali kao "tangentu u beskonačno dalekoj točki", odnosno kao granični položaj tangente kad se njezino diralište "giba" po neomeđenom dijelu krivulje prema beskonačno dalekoj točki. Uobičajeno je, međutim, da se asimptota definira kao pravac kojemu se krivulja približava kad se točka "giba" po njezinom neomeđenom dijelu prema beskonačno dalekoj točki. Ove dvije definicije su ekvivalentne, ako je krivulja algebarska (hiperbola to jest). Nama je zanimljivija prva definicija, iako manje stroga i formalna, ali vrlo intuitivna, jer s pomoću nje možemo izvesti i neka zanimljiva, netrivijalna svojstva koja nisu očigledna u analitičkom pristupu definiciji.

Neka je T točka parabole. Dužinu \overline{T F} nazivamo radijusvektorom točke T parabole, isto kao i dužinu \overline{T S}, gdje je S ortogonalna projekcija točke T na d (Slika 14).

Slika 14: Parabola

Slika 15: Tangenta parabole

Ako je O ortogonalna projekcija točke F na d, onda polovište A dužine \overline{O F} očigledno pripada paraboli i nazivamo ga tjemenom parabole. Pravac O F nazivamo osi parabole. Parabola je, zbog izometričnih svojstava osne simetrije, simetrična u odnosu na svoju os.

Sada bismo htjeli definirati i tangentu parabole, i to na najjednostavniji mogući način, bez primjene infinitezimalnog računa. Budući da ju ne možemo definirati kao pravac koji s parabolom ima jednu zajedničku točku (npr. os parabole ima to svojstvo, a nije tangenta parabole), motivaciju za definiciju nam daje sljedeći teorem.

Navedeni teorem pojašnjava važno "optičko" svojstvo parabole, da se svjetlost usmjerena iz žarišta parabole odbija od parabole po pravcima paralelnima s osi parabole.

Ortogonalnu projekciju S točke T na ravnalicu d, budući da je simetrala t kuta \angle F T S ujedno i simetrala dužine \overline{S F}, nazivamo suprotištem žarišta F s obzirom na t.

Slika 16: Tjemena tangenta parabole

Slika 17: Prvi Ponceletov teorem za parabolu

Slika 18: Drugi Ponceletov teorem za parabolu

Jednadžbu oblika F(x,y)=0, gdje je F polinom drugog stupnja s realnim varijablama x i y, nazivamo jednadžbom drugog reda. Zbog toga svaku krivulju kojoj je jednadžba F(x,y)=0, gdje je F polinom drugog stupnja s varijablama x i y, nazivamo krivuljom drugog reda. Opći oblik jednadžbe za krivulje drugog reda je, dakle,

pri čemu je barem jedan od koeficijenata uz kvadratne članove različit od nule. Pokažimo zašto se elipsa, hiperbola i parabola nazivaju krivuljama drugog reda. Svojstva ovih krivulja koja iz te činjenice proizlaze detaljno su obrađena u [2], pa ih ovdje izostavljamo.
Neka su F_{1} i F_{2} žarišta elipse, te a duljina velike poluosi. Odaberimo pravokutni koordinatni sustav tako da polovište O dužine \overline{F_{1}F_{2}} bude ishodište koordinatnog sustava, pravac F_{1}F_{2} os x, a simetrala dužine \overline{F_{1}F_{2}} os y. Sada se lako iz definicije elipse dobije da za svaku točku T(x,y) na elipsi E\left( F_{1},F_{2},a\right) vrijedi relacija

i obratno, da svaka točka T(x,y) za koju vrijedi ova relacija pripada elipsi. Ovu relaciju nazivamo kanonskom jednadžbom elipse.

Analogno dolazimo do kanonske jednadžbe hiperbole H(F_{1},F_{2},a),

Da bismo naveli kanonsku jednadžbu parabole, potreban nam je još jedan pojam vezan uz parabolu, poluparametar. Duljinu tetive koja prolazi fokusom i okomita je na os parabole P(F,d) nazivamo parametrom parabole i označavamo s 2p. Poluparametar parabole je duljina p koja je jednaka \left\vert O F\right\vert, gdje je O ortogonalna projekcija točke F na d.

Kanonsku jednadžbu parabole lako izvedemo ako pravokutni koordinatni sustav odaberemo tako da je os x os parabole, i da je ishodište u njezinom tjemenu. Za točku T(x,y) na paraboli tada vrijedi

gdje je p poluparametar parabole.

Očigledno je da su kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole, te kružnice kao specijalnog slučaja elipse, algebarske jednadžbe drugog reda, što znači da su elipsa, hiperbola i parabola krivulje drugog reda. Pokažuje se (ne računajući degenerirane slučajeve) da je svaka krivulja drugog reda neka od ovih krivulja.

U nastavku ćemo pokazati da se svaka čunjosječnica može zadati jednom te istom jednadžbom, čime još jedanput ukazujemo na sličnost naizgled poprilično različitih ravninskih krivulja. Promatrat ćemo krivulje u posebnom položaju u koordinatnom sustavu: kad im je jedno tjeme u ishodištu, a os y tjemena tangenta.

Promotrimo najprije elipsu E(F_{1},F_{2},a) zadanu jednadžbom \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. Translatiramo li elipsu u pozitivnom smjeru osi x za x_{0}=a, tako da je novi centar elipse u točki S(a,0), dolazimo do jednadžbe elipse

Isto tako, translatiramo li hiperbolu zadanu jednažbom \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 u negativnom smjeru osi x za x_{0}=-a, tako da je novi centar hiperbole u točki S(-a,0), dolazimo do jednadžbe hiperbole

Da bismo malo pojednostavnili navedene izraze, definirajmo poluparametar elipse i hiperbole.

Duljinu tetive koja prolazi jednim od žarišta elipse (hiperbole) i okomita je na glavnu os elipse (hiperbole) nazivamo parametrom elipse (hiperbole) i označavamo s 2p. Duljinu p nazivamo poluparametrom elipse (hiperbole).

Označimo li s T sjecište elipse (hiperbole) i tetive elipse (hiperbole) okomite na glavnu os, primjenom Pitagorina poučka na pravokutnom trokutu \Delta F_{1}T F_{2} lako dobivamo da za poluparametar elipse i hiperbole vrijedi p=\frac{b^{2}}{a}.

Sada y^{2}=2\frac{b^{2}}{a}x-\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2} prelazi u

što nazivamo jednadžbom elipse u vršnom ili tjemenom obliku.
Isto tako, y^{2}=2\frac{b^{2}}{a}x+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2} prelazi u

što nazivamo jednadžbom hiperbole u vršnom ili tjemenom obliku.
Uočimo da se kanonska i vršna jednadžba parabole podudaraju.

Ako geometrijski interpretiramo ove jednadžbe i usporedimo površinu y^{2} kvadrata određenog točkom T(x,y) na krivulji i površinu pravokutnika 2p\cdot x, jedna stranica kojega je apscisa x točke T, a druga stranica fiksni parametar 2p (Slika 19), vidimo

što je, po predaji, i navelo Apolonija iz Perge da čunjosječnicama nadjene imena elipsa, hiperbola i parabola. Naime, elipsa na Grčkom znači "manjak", parabola znači "jednakost", a hiperbola znači "višak".

Slika 19:

Pogledajmo još jedanput vršne jednadžbe elipse i hiperbole. Uvedemo li oznaku \varepsilon=\frac{e}{a}, za elipsu ćemo dobiti \varepsilon ^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}, pa je \frac{p}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}=1-\varepsilon^{2}.

Isto tako, za hiperbolu iz \varepsilon=\frac{e}{a} slijedi \varepsilon ^{2}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}, pa je \frac{p}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}=-(1-\varepsilon^{2}).

Iz ovoga slijedi da je zajednička jednadžba elipse, hiperbole i parabole u vršnom obliku

pri čemu je za parabolu \varepsilon =1.

Inače, \varepsilon uobičajeno nazivamo numeričkim ekscentricitetom, a malo više o njemu reći ćemo kad budemo govorili o Boškovićevu pristupu krivuljama drugog reda.

Neka je pravac o os rotacije i neka pravac s koji siječe os o u točki V rotira oko osi o. Pri toj rotaciji pravac s opisuje stožastu plohu. Točku V nazivamo vrhom, pravac o osi, a svaki položaj pravca s izvodnicom te stožaste plohe.

Ovdje ćemo pokazati da se krivulja drugoga reda može okarakterizirati kao presjek stožaste plohe i ravnine (Slika 20). Upravo zbog toga se svaka krivulja drugoga reda naziva čunjosječnicom ili konikom ([2],[4]).

Slika 20: Čunjosječnice

Čunjosječnicama se intenzivno bavio Apolonije iz Perge, starogrčki matematičar koji je o njima napisao osam knjiga, i koji je, uostalom, uveo nazive koje i danas rabimo: elipsa, hiperbola i parabola. On je uočio da vrsta krivulje koju ćemo dobiti presjekom stošca i ravnine ovisi o nagibu ravnine koja presjeca stožac.

Promotrimo najprije elipsu. Definirali smo ju kao krivulju za koju vrijedi da je zbroj udaljenosti svake njezine točke od dvaju žarišta konstantan. Sada tvrdimo da je to krivulja koja se dobije kao presjek stošca ravninom koja nije paralelna ni s jednom od izvodnica i ne prolazi vrhom stošca.

Ove dvije "definicije" elegantno je povezao Germinal Pierre Dandelin (1794. - 1847.), belgijski matematičar i inženjer koji je 1822. otkrio vezu između presjeka stošca i ravnine, zarišta čunjosječnica i kugala upisanih u stožac koje dodiruju ravninu kojom je presječen. Takve kugle, njemu u čast, nazivamo Dandelinovim kuglama.

Dokaz.

Slika 21: Dandelinove kugle i elipsa

Na Slici 21 je skiciran presjek stožaste plohe i ravnine \pi koja ne prolazi vrhom, siječe sve izvodnice stožaste plohe i kosa je prema njezinoj osi. Upišimo u tu stožastu plohu kuglu K_{1} koja dodiruje ravninu odozgor i kuglu K_{2} koja dodiruje ravninu odozdol. Neka prva kugla dodiruje ravninu u točki F_{1}, a druga kugla u točki F_{2}. Dokazat ćemo da je presječna krivulja elipsa i da su točke F_{1} i F_{2} njezina žarišta.

U tu svrhu uzmimo na presječnoj krivulji bilo koju točku T. Gornja kugla dodiruje stožastu plohu uzduž kružnice k_{1}, a dolnja kugla uzduž kružnice k_{2}. Spojimo vrh V stožaste plohe s točkom T. Ta izvodnica siječe k_{1} u točki D_{1}, a k_{2} u D_{2}.

Budući da su duljine tangenata povučenih na kuglinu plohu iz točke izvan nje jednake duljine, to je \left|T F_{2}\right|=\left|T D_{2}\right| i \left|T F_{1}\right|=\left|T D_{1}\right|. Zbrajanjem tih jednakosti dobivamo \left|T F_{1}\right|+\left|T F_{2}\right|=\left|T D_{1}\right|+\left|T D_{2}\right|, dakle \left|T F_{1}\right|+\left|T F_{2}\right|=\left|D_{1}D_{2}\right|. Dužina \overline{D_{1}D_{2}} je izvodnica uspravnoga krnjeg stošca kojemu je dolnja osnovica krug omeđen kružnicom k_{2}, a gornja osnovica krug omeđen kružnicom k_{1}. Zbog toga je \left|D_{1}D_{2}\right|=2a, gdje je a\gt 0 realna konstanta.

Dakle, \left|T F_{1}\right|+\left|T F_{2}\right|=2a, za svaku točku T presječne krivulje, pa je ta krivulja elipsa sa žarištima F_{1} i F_{2}.

\ \blacksquare

Slika 22: Dandelinove kugle i hiperbola

Slika 23: Dandelinove kugle i parabola

Budući da se svaka elipsa, hiperbola ili parabola može dobiti kao presjek ravnine i neke stožaste plohe, to je jasno da je ovakav način uvođenja tih krivulja ekvivalentan sintetičkomu.

Osim opisanih, postoje i degenerirani oblici čunjosječnica, takozvane raspadnute čunjosječnice. Naime, ako se stožasta ploha presiječe ravninom koja prolazi kroz vrh V stožaste plohe, onda je presjek par pravaca koji se sijeku u vrhu V, pa stoga i takav par pravaca smatramo čunjosječnicom, tj. krivuljom drugog reda. Očigledno je da se posebnim odabirom presječnih ravnina dobivaju, k tomu, i jedan pravac ili točka, pa i njih valja smatrati čunjosječnicama.

Upravo opisana konstrukcija Dandelinovih kugala, kao što je navedeno u [3], vodi nas do još jednog važnog svojstva čunjosječnica.

Pretpostavimo da ravnina \pi siječe stožastu plohu i ne prolazi njezinim vrhom V. Promotrimo kuglu upisanu u stožastu plohu, koja dodiruje ravninu \pi u točki F. Kružnicu duž koje kugla dodiruje stožastu plohu označimo s k, a ravninu u kojoj leži kružnica k označimo sa \sigma. Neka se ravnine \pi i \sigma sijeku u pravcu d.

Za bilo koju točku T presječne krivulje ravnine \pi i stožaste plohe, neka je D presjek izvodnice V T i ravnine \sigma, a N projekcija točke T na pravac d. Pokažimo da je omjer udaljenosti \left|T D \right| i \left|T N \right| konstantan, odnosno da ne ovisi o izboru točke T.

Slika 24: Direktrisa čunjosječnice

Neka je X projekcija točke T na \sigma. Omjer udaljenosti \left|T X \right| i \left|T D \right| ne ovisi o T i jednak je kosinusu kuta između izvodnice stošca i njegove osi o. (označimo ga s \alpha). Omjer udaljenosti \left|T X \right| i \left|T N \right| također ne ovisi o T i jednak je kosinusu kuta između osi o i ravnine \pi (označimo ga s \beta). Iz toga slijedi

Napokon, budući da su \left| T F\right| i \left|T D \right| jednaki (kao tangente na kuglu kroz T), i omjer udaljenosti \left|T F \right| i \left|T N \right| je konstantan.

Dakle, za svaku čunjosječnicu postoji pravac d takav da za je svaku točku na čunjosječnici omjer udaljenosti od žarišta i tog pravca konstantan. Ovaj omjer nazivamo numeričkim ekscentricitetom čunjosječnice i označavamo s \varepsilon, a pravac d nazivamo ravnalicom ili direktrisom. Budući da elipsa i hiperbola imaju dva žarišta, one imaju i dvije ravnalice (po jednu za svako žarište). Broj \varepsilon određuje vrstu i oblik čunjosječnice.

Na ovaj način je naš hrvatski matematičar Ruđer Bošković (1711.-1787.) definirao krivulje drugoga reda, i na osnovi te definicije analitički izveo njihova svojstva. Ta se definicija danas naziva Pappus-Boškovićeva definicija, jer je Pappus iz Aleksandrije (oko 290.-oko 350.) iste rezultate dobio sintetičkom metodom.

Pappus-Boškovićeva definicija čunjosječnice. Neka je F točka izvan pravca d i \varepsilon pozitivni realni broj. Skup svih točaka sa svojstvom

je elipsa čim je \varepsilon\lt 1, hiperbola čim je \varepsilon\gt 1, a parabola čim je \varepsilon=1.

Lijep primjer numeričkog ekscentriciteta u prirodi su Mjesečev ekscentricitet i ekscentricitet Halleyeva kometa. Naime, Mjesec se oko Zemlje, te Halleyev komet oko Sunca gibaju po eliptičnim putanjama. Mjesečeva putanja oko Zemlje je skoro kružna i njegov numerički ekscentricitet je 0,055, dok je putanja Halleyeva kometa jako izdužena (Sunce je u jednomu žarištu eliptične putanje) i njegov numerički ekscentricitet je 0.967.

Čunjosječnice možemo okarakterizirati i kao perspektivno kolinearne slike kružnice. Definirajmo najprije perspektivnu kolineaciju.

Perspektivna kolineacija je posve određena čim je zadana njezina os o, njezino središte S i jedan par pridruženih točaka A i \overline{A}, tako da ni jedna točka tog para ne leži na osi o, niti je njihova spojnica paralelna s osi o.

Sliku \overline{n} "beskonačno dalekog pravca" n kojeg tvore "beskonačno daleke točke", nazivamo nedoglednim pravcem. On je paralelan s osi jer na njemu leži i beskonačno daleka točka osi. Praslika pravca n, tj. pravac m koji se preslikava u "beskonačno daleki pravac" n nazivamo doglednim pravcem.

Perspektivnom kolineacijom kružnica se preslikava u čunjosječnicu, pri čemu o položaju kružnice i doglednog pravca ovisi vrsta čunjosječnice.

Kada dogledni pravac ne siječe kružnicu, sve točke kružnice preslikaju se u realne točke i kolinearna slika kružnice je elipsa.

Ako dogledni pravac dodiruje kružnicu u dvije točke, onda se dvije točke kružnice (sjecišta pravca i kružnice) kolinearno preslikaju u "beskonačno daleke točke" i kolinearna slika kružnice je hiperbola.

Ako dogledni pravac dodiruje kružnicu u jednoj točki, onda se jedna točka kružnice (diralište pravca i kružnice) kolinearno preslika u "beskonačno daleku točku" i kolinearna slika kružnice je parabola.

Donekle je neprimjereno da se u jednoj cjelini, koja je po programu smješ tena u 2. polugodište 3. razreda srednje škole, obrađuju istovremeno dvije važne teme iz elementarne matematike: analitička geometrija i čunjosječnice. Vrlo jak i moćan alat kojega nudi analitička geometrija, s pomoću kojega se mnogi geometrijski problemi svode, nakon koordinatizacije, na algebarske, na prvi pogled ostavlja dojam univerzalnosti. Zapravo, mnogi učenici će rado posegnuti za analiti čkim aparatom pri rješavanju nekoga geometrijskog problema prije nego li čisto geometrijskim, sintetičkim pristupom. To nimalo ne čudi jer sam koncept nastavnog plana i programa predmeće analitič ki pristup geometriji. Osim toga i većina postupaka za rješavanje geometrijskih zadataka na nastavnim satima u višim razredima srednje škole napućuje da je geometrijske zadatke najlakše i najsigurnije rješavati svođenjem na odgovarajuće sustave jednadžbi do kojih dolazimo analitičkim pristupom. I sam Rene Descartes (1596.-1650.), tvorac analiti čke geometrije, se vodio mišlju da ova metoda, ne samo da je najpogodnija za rješavanje geometrijskih problema, već se ona mož e primijeniti i na sve ostale matematičke grane i znanosti. Rezultat njegove filozofske potrage za univerzalnom metodom rješavanja problema je njegovo djelo Praktična i jasna pravila za vođenje uma u istra živanju istine. No, i sam Descartes se uvjerio da univerzalna metoda, koja bi sve probleme svodila na matematičke, a matematičke na rje šavanje odgovarajućih jednadžbi, nije ostvariva. Na sreću, ta metoda nije ostvariva niti unutar matematičke znanosti, jer bi se, u protivnom, širina i ljepota matematičke misli znatno osakatila i vodila bi ka tehnicizmu. Upravo tu zamku treba izbjeći i u nastavi analitičke geometrije. Tehnike analitičke geometrije, koje su bez daljnjega vrlo korisne, često puta sakriju i neka lijepa i zanimljiva svojstva geometrijskih objekata do kojih bismo mogli doći, prirodnijim, sintetičkim putem. Najbolji primjer za to su krivulje elipsa, parabola i hiperbola o kojima učenici, po svršetku srednjoškolske naobrazbe, znaju isključivo u kontekstu njihovih kanonskih jednadž bi. Kružnica je izdvojena iz ove priče, jer se ona obrađuje jo š od nižih razreda osnovne škole. S najljepšim svojstvima kru žnice (obodni kut, pojam tangente...) učenici su već upoznati po svršetku osnovnoškolske naobrazbe, a analitički pristup u 3. razredu srednje škole predstavlja korisnu nadgradnju. A sada zamislimo da kružnicu, poput ostalih čunjosječnica, učenici sustavno obrađuju tek u 3. razredu srednje škole i to uglavnom analitičkim pristupom. Više nego jasno je to da taj objekt ne bi doživjeli na prirodan način. Želja nam je ukazati da bi se i ostale čunjosječnice trebale zasebno obraditi prije 3. razreda srednje škole. Jedan razlog je potreba da se ove krivulje samostalno obrade, neovisno o koordinatizaciji ravnine, budući da se one permanentno javljaju u svijetu koji nas okružuje kao i u koreliranju s drugim nastavnim predmetima još od osnovne škole. Drugi razlog jest što se primjenjujući sintetički ili neki drugi pristup mogu, uz minimalno znanje elementarne geometrije, izvesti neka zanimljiva svojstva ovih krivulja s kojima se učenici po svršetku srednjoškolske naobrazbe (a slično se može dogoditi i po svr šetku nekog matematičkog studija) nisu susreli, a koja ove krivulje čine primijenjivima u mnogim područjima i koja spadaju u opću matematičku kulturu.

U ovom dodatku prikazane su dvije animacije pravca i točke u Klein Poincareovom modelu hiperboličke ravnine. (tekst urednika).

pravacKleinPoincare.avi

tockaKleinPoincare.avi

Marko Srebačić

Trisekcija kuta, još od starih Grka zadavala je glavobolje matematičarima, koji su je pokušavali riješiti samo uz pomoć ravnala i šestara. Takav način rješavanja konstrukcije postavila je Platonova akademija.

Matematičari su dolazili do različitih rješenja ovoga problema, od blago rečeno uzaludnih do poprilično približnih, pa sve do točnih rješenja uz pritom korištenih pomoćnih krivulja ili drugih sredstava. Na posljetku matematičari su došli do zaključka da trisekcija kuta ne može riješiti uz pomoć euklidskih konstrukcija.

Tema je obrađena s povijesnog stajališta i pokazana je nekoliko rješenja dobivenih neeuklidskim metodama do kojih su došli slavni matematičari. Također pokazane su dvije približne konstrukcije trisekcije kuta, do kojih se došlo euklidskim metodama. Uz primjer načina konstrukcija, prikazana su i "rješenja" kojima je prikazano kolika su odstupanja s tim načinom rješavanja navedenog problema.

Povijest trisekcije kuta

Geometrijske konstrukcije predstavljale su značajan dio matematike starih Grka. Oni su konstrukcije vršili isključivo ravnalom i šestarom, pri čemu su ravnalo koristili za spajanje dviju točaka, a šestar za crtanje kružnica, kojima su unaprijed poznati središte i radijus. Akademija koja je postavila takva pravila, bila je Platonova akademija, koja je djelovala od 387. godine prije nove ere, do 529. godine nove ere. Navedeni pristup geometrijskim konstrukcijama doveo je do niza matematičkih problema, među kojima su najpoznatija tri: kvadratura kruga, duplikacija kocke i trisekcija kuta. Važno je napomenuti da su pokušaji rješavanja tih problema doveli do velikog razvoja tadašnje matematike, a matematičarima diljem svijeta ovi su problemi i danas jednako zanimljivi.

Problem trisekcije kuta bio je poznat Grcima još iz doba Antike. Stoljećima su matematičari tražili eukidske konstrukcije, koristeći samo ravnalo i šestar, pa isto tako i druge pristupe: točna rješenja pomoću pomoćnih krivulja i približne vrijednosti euklidskih metoda. Najutjecajniji matematičari koji su se bavili ovim problemom bili su Grci Hipija, Arhimed i Nicomedes. Rani rad na tom problemu pokazuje svaki zamisliv stupanj vještine, u rasponu od najviše uzaludnih,do izvrsnih približnih rješenja, kao i genijalno rješenje koristeći "više" krivulje. Matematičari su na kraju došli do empirijskog zaključka da se problem trisekcije kuta ne može riješiti putem euklidskih konstrukcija, ali to je uzdiglo dublji problem: potreba za dokazom njegove nemogućnosti pod navedenim ograničenjima.

Prema tradicionalnoj klasifikaciji korištenoj u Antici postoje tri vrste problema u geometriji:ravnine, čvrstog tijela i linearan. Problem ravnine je takav problem koji se može riješiti euklidskim metodama, koristeći ravne linije i kružnice. Koristeći jedan ili više dijelova konusa, pod nazivom površina stošca, rješavamo problem čvrstog tijela. Problemi koji uključuju druge linije osim prethodnih navedenih, koje imaju manje prirodne i složenije izvore jer su generirane od više nepravilnih površina ili čisto mehaničkih konstrukcija, zovu se linearni. Rani matematičari su posebno bili zainteresirani za trisekciju kuta uz pomoć metode ravnine. Kako se uspostavilo, trisekcija kuta nije problem ravnine, već problem čvrstog tijela. To je razlog zašto rani matematičari nisu uspjeli pronaći opću konstrukciju trisekcije kuta uz pomoć euklidskih konstrukcija, iako su našli elegantna rješenja temeljena na korištenju konika i drugih sofisticiranih krivulja.

Trisekcija kuta ili općenitije, podjela kuta na bilo koji broj jednakih dijelova, prirodni je nastavak problema bisekcije kuta, koji je riješen u antičko doba. Euklidsko rješenje za problem bisekcije kuta, kao što je navedeno u njegovom djelu "Elementi", je kako slijedi:

" Napraviti bisekciju pravolinijskog kuta: Neka je kut \(BAC\) zadani pravolinijski kut. Stoga je potrebno da ga prepolovimo. Neka je točka \(D\) nasumično uzeta na \(AB\); neka se na \(AC\) odsiječe \(AE\) koji je jednak \(AD\); spojimo točke \(D\) i \(E\) i neka se na \(DE\) konstruira jednakostraničan trokut \(DEF\); spojimo točke \(A\) i \(F\). Kažemo da je ravna linija \(AF\) prepolovila kut \(BAC\). Jer, budući da je \(AD\) jednaka \(AE\) i \(AF\) im je zajednička, dvije stranice \(DA\) i \(AF\) su jednake dvjema stranica \(EA\) odnosno \(AF\). Baza \(DF\) jednaka je bazi \(EF\); stoga kut \(DAF\) jednak je kutu \(EAF\). Stoga je dani pravolinijski kut \(BAC\) podijeljen na dva jednaka dijela ravnom linijom \(AF\)".

Postoji nekoliko načina po kojima je problem trisekcije kuta različit od preostala dva klasična problema. Prvi je taj da nema stvarnu povijest koja se odnosi na način kojim se  ovaj problem prvi put počeo proučavati. Drugo, to je problem sasvim druge vrste. Čovjek ne može kvadrirati krug, niti može duplicirati kocku. Ali, moguće je napraviti trisekciju kuta za određene kutove. Za primjer prilično je jednostavno napraviti trisekciju pravog kuta. Za dani pravi kut \(CAB\) konstruiraj kružnicu takvu da siječe \(AB\) u točki \(E\). Konstruiramo drugu kružnicu jednakog radijusa sa centrom u točki \(E\). Sjecište dviju kružnica je točka \(D\). Tada je trokut \(DAE\) jedankostraničan i stoga je kut \(DAE = 60^{\circ}\) i kut \(DAC = 30^{\circ}\). Time je riješena trisekcija kuta \(CAB\).

Iako je teško dati točan datum kada se problem trisekcije kuta prvi put pojavio, zna se da je Hipokrat, koji je dao prvi veliki doprinos problemu kvadriranju kruga i duplikacije kocke, također proučavao problem trisekcije kuta. Postoji prilično jednostavan način trisekcije kuta koji je poznat Hipokratu.

On funkcionira na sljedeći način. S obzirom na dani kut \(CAB\) konstruiramo okomicu \(CD\) na \(AB\) tako da ju siječe u točki \(D\). Konstruiramo pravokutnik \(CDAF\). Produžimo \(FC\) do točke \(E\) i tada spojimo \(A\) i \(E\) tako da siječe \(CD\) u \(H\). Točka \(E\) je odabrana tako da \(HE=2AC\). Sada je kut \(EAB\) jednak \(\frac{1}{3}\) od kuta \(CAB\).

Kako bi se to vidjelo, neka je \(G\) polovište od \(HE\) tako da \(HG=GE=AC\). Kako je \(ECH\) pravi kut, stoga je \(CG=HG=GE\). Sada je \( \measuredangle EAB=\measuredangle CEA=\measuredangle ECG\). Također, budući da je \(AC\)=\(CG\) tada je kut \(CAG\) jednak kutu \(CGA\). Ali \(\measuredangle CGA=\measuredangle GEC+\measuredangle ECG=2CEG=2EAB\) kako je potrebno.

Jedan od razloga zašto je problem trisekcije kuta bio manje privlačan od preostala dva problema kod grčkih matematičara je da iako konstrukcija iznad nije moguća s neoznačenim ravnalom i šestarom, ipak je lako provediva u praksi. Mehanički tip rješenja je lako za naći. Dovoljno je označiti duljinu od \(2AC\) na desnoj strani ravnala, a zatim klizimo ravnalom s jednim označenim krajem po \(CD\) i drugim krajem po polupravcu \(FC\) do te mjere da ravnalom definiramo pravac kroz \(A\). Trisekcija je nađena na prilično jednostavan mehanički način.

Dokaz nerješivosti

Da se dokaže nerješivost ove konstrukcije ravnalom i šestarom, dovoljno je da to dokažemo za jedan posebni kut.

Na temelju Moivreove formule imamo \[(\cos\frac{\varphi }{3}+i\sin\frac{\varphi }{3})^{3}=\cos \varphi +i\sin \varphi \]
\[\scriptsize (\cos^3\frac{\varphi}{3}-3\cos\frac{\varphi}{3}\sin^2\frac{\varphi}{3})+i(3\cos^2\frac{\varphi}{3}\sin\frac{\varphi}{3}-\sin^3\frac{\varphi}{3})=\cos\varphi + i\sin\varphi\]

Odatle slijedi \[\sin\varphi=3\cos^{2}\frac{\varphi }{3}\sin\frac{\varphi }{3}-\sin^{3}\frac{\varphi}{3} \]

ili\[\sin\varphi=3\sin\frac{\varphi }{3}-4\sin^{3}\frac{\varphi }{3}.\]

Neka je uz jediničnu dužinu dan i kut \(\varphi\). Sada možemo smatrati \(\sin\varphi\) kao danu veličinu, a \(\sin\frac{\varphi}{3}\) traženu veličinu. Uvrstimo li sada \[\sin\varphi = a\] \[\sin\frac{\varphi}{3}=x\] u gornju jednadžbu, dobijemo \[4x^3-3x+a=0.\]

Uvrstimo ovdje još \(y=2x\) i dobijemo \[y^3-3y+2a=0.\]

Promotrit ćemo dalje poseban slučaj trisekcije kuta od \(30^{\circ}\). Kako je \(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\), pa je onda \(a=\frac{1}{2}\), pa je gornja jednadžba oblika \[y^3-3y+1=0.\]

Kad bi ova konstrukcija bila rješiva tada bi gornja jednadžba morala imati jedno iz racionalnih brojeva konstruktibilno rješenje. Prema teoremu

Ako kubna jednadžba \[x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\] s racionalnim koeficijentima nema ni jedno racionalno rješenje, onda ni jedno njeno rješenje nije konstruktibilno iz racionalnih brojeva.

 bi tada jednadžba \(y^3-3y+1=0\) morala imati barem jedno racionalno rješenje i to bi rješenje prema teoremu

Ako neka kubna jednadžba \[x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\] s cjelobrojnim koeficijentima ima racionalno rješenje \(x_1\), tada je taj \(x_1\) cijeli broj i djelitelj od \(a_0\).

 moralo biti djelitelj od 1. Kako ni -1 ni +1 nije rješenje od \(y^3-3y+1=0\), to smo time došli do proturječja, odakle vidimo da ova geometrijska konstrukcija nije rješiva ravnalom i šestarom.

Kako možemo neograničeno mnogo vrijednosti od \(a\) navesti za kojih jednadžba \(y^3-3y+2a=0\) vodi opet do nerješivosti odgovarajuće konstrukcije, to očito ima neizmjerno mnogo kutova kod kojih trisekcija nije izvediva ravnalom i šestarom.

Promotrimo kratko još nekoliko slučajeva kada je trisekcija kuta rješiva. Kut od \(90^{\circ}\) očito možemo lako podijeliti na tri dijela. U tom slučaju je \(a=1\), pa jednadžba \(y^3-3y+2a=0\) glasi sada \[y^3-3y+2=0,\] pa se lako provjeri rješivost konstrukcije.

Dalje je očito da ako je za neki kut \(\alpha\) trisekcija rješiva, tada je i za polovicu od \(\alpha\) također trisekcija rješiva. Općenito je za svaki kut oblika \(\frac{\pi }{2^{n}}\), gdje je \(n\) neki pozitivni cijeli broj, trisekcija rješiva.

Osim ovih slučajeva, postoje još i drugi kutovi za koje je trisekcija izvediva. Neka je \(s\) mjerni broj dužine koju smo dobili bilo kojom konstrukcijom iz jedinične dužine. Uvrstimo \[\sin\varphi=a=s^3-3s,\] pa je time moguće konstruirati i kut \(\varphi\). Pripadna jednadžba je sada oblika \[y^3-3y-s^3+3s=0.\] Rješenje ove jednadžbe je \(s\), pa je time i trisekcija ovog kuta izvediva.

Arhimedova konstrukcija - trisekcija kuta pomoću trake papira

Kao što je poznato, ovaj problem se ne može riješiti sa šestarom i ravnalom. Pretpostavimo li uporabu još drugih pomagala, mogu se napraviti takve konstrukcije. Tako ćemo sada prikazati vrlo jednostavno i s teorijskog gledišta vrlo zanimljivo rješenje trisekcije kuta pomoću ravnala, šestara i trake papira.

 Ova metoda, to jest konstrukcija je dana u arapskom djelu "Knjiga lema" koja se pripisuje Arhimedu. Sigurno ovo djelo nije samo prijevod arhimedovih radova, jer je Arhimed citiran nekoliko puta u djelu na takav način da si ne može to pripisati za sebe. Međutim većina povjesničara matematike vjeruje da mnogi rezultati u "Knjiga lema" doista dobiveni zbog Arhimeda i rezultat trisekcije kuta je toliko u duhu njegovog rada na spirali da je široko prihvaćeno da je ova metoda doista Arhimedova.

Uzimamo \(S\) kao vrh kuta \(\Phi\)  kojega ćemo podijeliti na tri jednaka dijela. Konstruiramo kružnicu radijusa \(r\) koja presijeca krakove kuta \(\Phi\) u točkama \(A\) i \(B\). Nanesemo na rub trake papira točke \(Q\) i \(P\) tako da je \(\left | QP \right |=r\). Položimo tu traku papira na našu ravninu crteža tako da joj točka \(Q\) bude na pravcu \(SA\) i da joj rub prolazi točkom \(B\). tu traku sada pomičemo tako sa točka \(Q\) ostaje na pravcu \(SA\) i da joj rub stalno prolazi kroz \(B\), i to tako dugo dok joj točka \(P\) ne padne u točku na kružnici. Tada \(\measuredangle PQS=\varphi\) je jedna trećina danog kuta \(\Phi\).

 DOKAZ: Kako je \(PS\)=\(PQ\) \(\left ( =r \right )\), \(\bigtriangleup PQS\) je jednakokračan pa je stoga i \(\measuredangle PSQ\) veličine \(\varphi \), dok je vanjski kut \(\measuredangle SPB\) tada jednak \(2\varphi\). Kako je \(\bigtriangleup SPB\) također jednakokračan, \(\measuredangle SBP\) = \(\measuredangle SPB\) = \(2\varphi\). Konačno, kako je vanjski kut \(\Phi\) u vrhu \(S\) trokuta \(\bigtriangleup SBQ\) jednak zbroju dva nesusjedna unutarnja kuta \(\measuredangle SQB\) i \(\measuredangle SBQ\), doznajemo da je \(\Phi =\varphi +2\varphi\) ili \[\varphi =\frac{1}{3}\Phi. \]

Trisekcija kuta pomoću fiksne hiperbole

Problem trisekcije kuta se također može riješiti uz pomoć fiksne hiperbole, kako je grčki matematičar Pappus pokazao u svojem genijalnom remek-djelu \(\Sigma \upsilon \nu \alpha \gamma \omega \gamma \alpha \iota\) \(\mu \alpha \theta \eta \mu \alpha \tau \iota \kappa \alpha \iota\) (Collectiones mathematicae ili matematičke zbirke).

Kako bi razumjeli konstrukciju prvo moramo riješiti sljedeći problem: Pronađi  geometrijsko mjesto točaka vrha \(P\) trokuta \(ABP\) sa fiksnom bazom \(AB\) kada su kutovi baze \(\alpha \) i \(\beta\) jedan prema drugome u omjeru 2:1.

Neka je \(AB = 3k\), \(AP = u\). Položimo kut \(\beta\) u točki \(P\) na dužini \(PB\) i odredimo točku \(Q\) kao mjesto presijecanja kraka kuta \(\beta\) i dužine \(AB\). Trokuti \(BPQ\) i \(APQ\) su jednakokračni ( \(\measuredangle AQP\) je kao vanjski kut od trokuta \(BPQ\) jednak \(2\beta = \alpha\)); stoga slijedi \(AP = QP = BQ = u\). Tada produžimo \(AB\) za \(BC = k\) i postavimo da je \(CP\) jednako \(v\). Iz lika \(AQCP\) slijedi, prema Stewartovom teoremu (vidi http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart's_theorem), da je \[v^{2}-u^{2}=CA\cdot CQ=4k(k+u)\] ili \[v^{2}=(u+2k)^{2},\] jednostavnije \[v = u+2k\] ili isto \[v-u = 2k.\]

Ovo je jednadžba geometrijskog mjesta točaka sa kooordinatama \(u , v\).

Geometrijsko mjesto točaka je dakle hiperbola sa žarištima u točkama \(A\) i \(C\) i glavnom osi \(BD = 2k\). ( \(D\) leži između \(A\) i \(B\) tako da prema jednadžbi geometrijskog mjesta točaka \(v-u = 2k, CD = 3k\), i \(AD = k\).

Razmotrimo sada da je hiperbola nacrtana za svaki \(k\). ( Dovoljno je uzeti u obzir polovicu krivulje koja pripada žarištu \(A\) i da je iznad glavne osi.)

Tada nazovimo vanjski kut trokuta \(ABP\) u vrhu \(P\) \(\omega\), to jest \[\measuredangle ABP=\beta =\frac{1}{3}\omega. \]

DOKAZ: Iz \(\measuredangle APB=180^{\circ}-\omega \) zaključujemo da je \(\alpha +\beta =\omega\) i iz toga slijedi ( zato jer je \(\alpha=2\beta\)), \(3\beta=\omega\).

Primjeri "konstrukcija"

• Primjer 1
  • Konstrukcija
  • Rješenje
• Primjer 2
  • Konstrukcija
  • Rješenje
• Primjer 3
  • Konstrukcija
  • Rješenje
• Primjer 4
  • Konstrukcija
  • Rješenje

Literatura

1. Dorrie - 100 Great Problems Of Elementary Mathematics
2. Palman - Geometrijske konstrukcije
3. http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/jackter.html
4. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Trisecting_an_angle.html

Petra Lipovača, Doris Jurišić, Anja Kocijan

Matematičari su od davnina pokazivali osobito zanimanje za izrađivanje geometrijskih konstrukcija s ravnalom i šestarom. Nemogućnost podjele glavnih kutova na tri jednaka dijela s pomoću tih pomagala skrenula je pozornost na podjelu bilo kojeg kuta. Upravo to je bio razlog kasnog pojavljivanja sljedećeg teorema koji glasi: susjedni parovi trisektrisa kuta trokuta uvijek se sijeku na vrhovima jednakostraničnog trokuta. Ovaj teorem otkrio je tek 1904. angloamerički matematičar Frank Morley.

Životopis

Frank Morley rođen je 9. rujna 1860. godine u Velikoj Britaniji u obitelji protestanata. Pohađao je gimnaziju u Woodbridgeu, diplomirao 1884. na Cambridgeu. Bio je jedan od vodećih matematičara. Bavio se najviše algebrom i geometrijom. Osim što je bio izvanredan matematičar, bio je i odličan šahist, te je pobijedio Emanuela Laskera koji je u to vrijeme bio šahovski prvak. Nakon što je diplomirao, Morley je podučavao matematiku. Od 1889. živio je u SAD-u gdje se i oženio. Imao je tri sina među kojima se najviše isticao Frank koji je surađivao s ocem, te su zajedno izdali tri knjige. Zajedno su napisali "Raspravu o teoriji funkcija" 1919., "Uvod u teoriju analitičke funkcije" 1898. i "Inverznu geometriju" 1933. Od 1919. do 1920. Morley je bio predsjednik Američkog matematičkog društva.

Problem trisekcije kuta

Problem trisekcije kuta (dijeljenja kuta na tri jednaka djela):

Za dani kut \(\phi\) mjernog broja (veličine) \(\phi\) treba konstruirati kut mjernog broja \(\frac{\phi}{3}\)

Dokaz nerješivosti:

 Da se dokaže nerješivost konstrukcije ravnalom i šestarom, dovoljno je da to dokažemo za jedan poseban kut.

 Na temelju Moivreove formule imamo:

\[(\cos\frac{\phi}{3}+ i\sin\frac{\phi}{3})^3 = \cos\phi + i\sin\phi\] \[(\cos^3\frac{\phi}{3}-3\cos\frac{\phi}{3}\sin^2\frac{\phi}{3})+i(3\cos^2\frac{\phi}{3}\sin\frac{\phi}{3}-\sin^3\frac{\phi}{3})=\cos\phi + i\sin\phi\]

Slijedi:  \[\sin\phi=3\cos^2\frac{\phi}{3}\sin\frac{\phi}{3}-\sin^3\frac{\phi}{3}\]

ili \[\sin\phi=3\sin\frac{\phi}{3}-4\sin^3\frac{\phi}{3}.\]

Sada možemo smatrati da je \(\sin\phi\) dana veličina, a \(\sin\frac{\phi}{3}\) tražena veličina.

Uvrstimo li  \(\sin\phi=a\) i \(\sin\frac{\phi}{3}=x\),

dobijamo \(4x^3-3x+a=0\).

Ako uvrstimo da je \(y=2x\), dobijemo \(y^3-3y+2a=0\) 

Sada promotrimo slučaj trisekcije kuta od 30˚

\(\sin{30\circ}=\frac{1}{2}\), iz toga slijedi da je \(a=\frac{1}{2}\), pa jednadžba glasi: \(y^3-3y+1=0\)

Kada bi ova konstrukcija bila rješiva, tada bi gornja jednadžba morala imati jedno iz racionalnih brojeva konstruktibilno rješenje.

Prema teoremu koji kaže da kubna jednadžba \(x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\) s racionalnim koeficijentima nema ni jedno racionalno rješenje, slijedi da ni jedno njeno rješenje nije konstruktibilno iz racionalnih brojeva", pa bi tada jednadžba \(y^3-3y+1=0\) morala imati barem jedno racionalno rješenje. To bi rješenje prema teoremu:"ako neka kubna jednadžba  \(x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\) s cjelobrojnim koeficijentima ima racionalno rješenje \(x_1\), tada je taj \(x_1\) cijeli broj i djeljtelj od \(a_0\)" moralo biti djeljitelj od 1.

Budući da mi imamo rješenja -1 i 1, a ona nisu rješenja od \(y^3-3y+1=0\), dolazimo do proturječja, odakle vidimo da ova geometrijska konstrukcija nije rješiva ravnalom i šestarom.

Razmotrimo još slučaj  kuta od 90 ̊

Trisekcija kuta je rješiva, kut možemo podijeliti na tri djela.

U tom slučaju je \(a=1\), pa iz jednadžbe:

\(y^3-3y+2a=0\) slijedi \(y^3-3y+2=0\).

Općenito vrijedi da je \(2a\) svaki kut oblika \(\frac{\pi}{2^n}\) gdje je \(n\) neki pozitivni cijeli broj te da je u tom slučaju trisekcija rješiva.

Osim ovih slučajeva postoje i drugi kutovi za koje je trisekcija izvediva.

Ako uzmemo da je s mjerni broj dužine koju smo dobili bilo kojom konstrukcijom iz jedinične dužine i uvrstimo

\(\sin\phi=a=s^3-3s\), pa je time moguće konstruirati i kut \(\phi\).

Sada je pripadajuća jadnadžba ovakvog oblika:

\(y^3-3y-s^3+3s=0\).

Rješenje te jednadžbe je s, pa je time i trisekcija kuta izvediva.

Zbog problema podjele kuta na tri jednaka dijela, odnosno trisekcije, teorem je otkriven tek 1904.

Trisekcija kuta s pomoću trake papira

Ovdje je riječ o mogućnosti izvedbe neke konstrukcije s pomoću ravnala i šestara, a pretpostavimo li uporabu još drugih pomagala, takve se konstrukcije eventualno mogu riješiti.

Sljedeća slika prikazuje vrlo jednostavno i s teorijskog gledišta vrlo zanimljivo rješenje trisekcije kuta pomoću šestara, ravnala i trake papira.

Dan je kut \(3\phi\). Opišemo oko vrha O tog kuta kružnicu polumjera r koja siječe krakove kuta u točkama E i C, zatim nanesemo na rub trake papira točke A i B tako da je duljina AB jednaka duljini polumjera. Položimo tu traku papira na našu ravninu crteža tako da joj točka A bude na pravcu OE i da joj rub prolazi točkom C. Tu traku sada pomičemo tako da točka A bude na pravcu OE i da joj rub stalno prolazi kroz točku C i to tako dugo dok joj točka B ne padne u točku na kružnici.

Ako dalje kut OAB označimo s \(\phi\), lako vidi da kut OBC iznosi \(2\phi\), a kut EOC iznosi \(3\phi\).

Teorem i dokaz

Sjecišta susjednih trisektrisa kutova nekog trokuta su vrhovi jednog jednakostraničnog trokuta.

Prvi dokaz:

Označimo li promatrani trokut s ABC, njegovi su kutovi \(A=3a, B=3b, C=3c\).

Neka se prve dvije susjedne trisektrise nad stranicom BC sijeku u točki P, a druge dvije u točki S. Tada PB i PC raspolavljaju kuteve trokuta SBC. Sa svake strane dužine PS konstruiramo kut od \(30^\circ\) s vrhom u točki P tako da bismo dobili točke Q i R na stranicama SC i SB. Točke P, R, S i Q čine dva trokuta, a to su \(\triangle{PRS}\) i \(\triangle{PQS}\) koji su međusobno sukladni. Iz njihove sukladnosti slijedi da je duljina dužine PR jednaka duljini dužine PQ. Budući da \(\angle{QPR}\) iznosi \(60^\circ\), trokut PQR je jednakostraničan. Ostaje dokazati da su dužine AR i AQ trisektrise \(\angle{BAC}\).

Prenesemo duljinu dužine BP na stranicu BA trokuta BCA s početkom u točki B. Dobivenu točku označimo s M. Sada su \(\triangle{MBR}\) i  \(\triangle{BRP}\) sukladni te je duljina dužine MR jednaka duljini dužine RP. Zatim prenesemo duljinu dužine CP na stranicu CA trokuta BCA i dobijemo točku N, sada su \(\triangle{CNQ}\) i \(\triangle{CPQ}\) sukladni pa je duljina dužine QN jednaka duljini dužine PQ.  Budući da je trokut PQR jednakostraničan, dobivamo da je duljina dužine MR jednaka duljini dužine PQ koja je opet jednaka duljini dužine QN. Zatim smo izračunali mjeru kuta MRQ. Za trokut PRS imali smo na umu da je vanjski kut BRP jednak zbroju unutarnjih kutova S i P.  

Stoga imamo \(\angle{BRP}=\frac{1}{2}S+30^\circ\), a kut BRM je iste veličine pa imamo

\(\angle{MRQ}=360^\circ-2(\frac{1}{2}s+30^\circ)-60^\circ=240^\circ-s\).

Isti argument pokazuje da \(\angle{RQN}\) također iznosi \(240^\circ-S\). Budući da zbroj mjera unutarnjih kutova trokuta iznosi \(180^\circ\), imamo

\(s=180^\circ-(2b+2c)=180^\circ-\frac{2}{3}(3a+3b+3c)+2a=180^\circ-120^\circ+2a=60^\circ+2a\),

stoga

\(\angle{MQR}=\angle{RQN}=240^\circ-(60^\circ+2a)=180^\circ-2a\).

Očita činjenica je da sukladne stranice MR, RQ i QN imaju svoje krajnje točke na kružnici.

Konstrukcijom okomica XO, YO na stranice MR i RQ s početkom u točki O lako je dokazati da su tri trokuta  \(\triangle{OMR}\), \(\triangle{ORQ}\) i \(\triangle{OQN}\) sukladna.

Iz toga slijedi da je duljina dužine ON jednaka duljini dužine OQ, što znači da kružnica sa središtem u O radijusa duljine MO prolazi kroz točke M, R, Q, N. Radijus duljine OR dijeli kut MQR na dva jednaka dijela, a radijus duljine OQ dijeli kut RQN na dva jednaka dijela. Također radijus duljine XO dijeli kut MOR na dva jednaka dijela i radijus duljine YO dijeli kut ROQ na dva jednaka dijela.

Sada imamo

\(\angle{MRO}=\frac{1}{2}\angle{MRQ}=\frac{1}{2}(180^\circ-2a)=90^\circ-a\)

iz čega vidimo da je \(\angle{XOR}=a\), \(\angle{MOR}=2a\), što dovodi do toga da je \(\angle{MON}=6a\).

U ovom krugu tetiva MN sadržava kut od \(6a\) u točki O. U skladu s time, kružni luk MN sadržava kut od \(3a\). No MN sadržava Q u vrhu A dobivenog \(\triangle{ABC}\). Tako krug mora proći kroz točku A. Budući da MR, RQ i QN sadržavaju kut s vrhom u točki O koja je središte kružnice, svi sadržavaju kut, a točka A se također nalazi na toj kružnici. Stoga su AR i AQ trisektrise \(\angle{MAN}\).

Drugi dokaz:

Pođimo obrnutim redoslijedom pa najprije nad stranicama nekog jednakostraničnog trokuta PQR odredimo (prema van) jednakokračne trokute.

Imamo jednakokračne trokute P'QR, Q'RP I R'PQ kojima su kutovi uz baze \(\phi,\rho,\sigma\).

Ti kutovi neka zadovoljavaju uvijete \(\phi<60^\circ, \rho<60^\circ, \sigma<60^\circ\)

\(\phi+\rho+\sigma=120^\circ\)

Sjecišta trisektrisa vrhovi su jednakostraničnog trokuta.

Produžene pobočne stranice tih jednakostraničnih trokuta sijeku se u točkama ABC. Lako se prema slici provjeri da za dani trokut ABC i središte U upisane kružnice vrijedi \(\angle{BUC}=90^\circ+\frac{1}{2}\alpha\).

Primijenimo sada ovo na trokut BCP'.

\(\triangle{BCP}\): Očito imamo najprije

\(\frac{1}{2}\angle{BP'C}=\frac{1}{2}(180^\circ-2\phi)=90^\circ-\phi\)

dok je

\(\angle{BCP}=360^\circ-\phi-(\phi+\rho+\sigma+60^\circ)=180^\circ-\phi=90^\circ+(90^\circ-\phi)\).

Na temelju tog je

\(\angle{BCP}=90^\circ+\frac{1}{2}\angle{BP'C}\).

Ako uz ovo uočimo na osnovi skice da je PP' simetrala kuta \(\angle{BP'C}\), tada vidimo da je točka P središte trokutu BCP' upisane kružnice.

To znači da je PB simetrala od \(\angle{CBP'}\), a PC simetrala od \(\angle{BCP'}\).

Analognim promatranjem trokuta CQ'A i AR'B zaključujemo da je:

QC simetrala od \(\angle{PCA}\),

QA simetrala od \(\angle{CAR}\),

AR simetrala od \(\angle{QAB}\),

BR simetrala od \(\angle{ABP}\).

Prema tome su te simetrale trisektrise kutova trokuta ABC.

Promatranjem trokuta ARQ izlazi odmah:

\(\angle{RAQ}=\frac{1}{3}\alpha=60^\circ-\phi\),

odnosno:

\(\phi=60^\circ-\frac{1}{3}\alpha\)

i analogno tomu:

\(\rho=60^\circ-\frac{1}{3}\beta\)

>te

\(\sigma=60^\circ-\frac{1}{3}\gamma\).

Time nam je omogućeno izračunati kutove \(\phi,\rho,\sigma\) ako je dan trokut ABC (a time i kutovi \(\alpha,\beta,\gamma\)) pa na temelju svih izlaganja možemo iz danog jednakostraničnog trokuta odrediti trokut koji je sličan danom trokutu ABC, čime je ovaj teorem dokazan.

Literatura:

Ross Honsberger. "Mathematical Gems 1"

Dominik Palman: "Geometrijske konstrukcije" Zagreb, 1996.

Dominik Palman: "Trokut i kružnica", Element, Zagreb, 1994.