geometrija

Neke primjene svojstva konveksnosti i konkavnosti u ekonomiji

Dorian Čudina, Ivana Slamić
1Uvod

Konveksnost je jednostavan matematički pojam kojeg je poznavao još i Arhimed. Naime, Arhimed je ovaj pojam koristio pri odreivanju vrijednosti broja π korištenjem kružnici upisanih i opisanih pravilnih mnogokuta te je pri tome uočio da opseg konveksnog geometrijskog lika ne može biti veći od opsega konveksnog geometrijskog lika u kojem je sadržan. Sa konveksnosti i njezinim posljedicama susrećemo se u svakodnevnom životu, a osim u matematici, primjenu tog svojstva pronalazimo u ekonomiji, industriji, medicini, umjetnosti i drugim granama ljudske djelatnosti. Na primjer, velik dio ekonomske analize oslanja se na probleme iz područja optimizacije, a u problemima kao što su maksimizacija profita neke tvrtke ili korisnosti potrošača, poželjno je da funkcija kojom opisujemo proizvodnju te tvrtke, odnosno korisnost, bude konkavna, kao i da je budžetski skup, tj. skup čiji su elementi sve kombinacije količine dobara koje si potrošač može priuštiti, a po kojem maksimiziramo korisnost, konveksan. S druge strane, u problemima minimizacije (primjerice troškova proizvodnje), poželjno je da funkcija koju minimiziramo bude konveksna. U članku ćemo na primjerima spomenutih funkcija - funkcija proizvodnje i funkcija korisnosti, korištenih u teorijskoj ekonomiji, objasniti ulogu korištenja pretpostavke konveksnosti i konkavnosti, njihovu ekonomsku interpretaciju i uporište, te vidjeti kako ove pretpostavke mogu utjecati na donošenje nekih odluka u poslovanju te opisivanju racionalnog ponašanja pojedinca u uvjetima nesigurnosti i rizika. Članak je temeljen na završnom radu1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Doriana Čudine2.

2Osnovna svojstva


Prvu poznatu definiciju vezanu uz konveksnost napisao je Euklid u svojoj zbirci knjiga Elementi, a doradio ju je Arhimed dajući dvije definicije koje su potom korištene sve do početka 20. stoljeća. Zanimljivo je da je jedna od njih temeljena na konceptu iz statike – težištu, kojeg je Arhimed u definiciji iskoristio tvrdeći da se težište svakog konveksnog lika mora nalaziti unutar tog lika.

 

Slika 1: Težište (eng. center of gravity) je pojam koji se odnosi na održavanje statičke ravnoteže. (a) Težište nekih geometrijskih likova i tijela. (b) Održavanje ravnoteže tijela – vertikalna projekcija težišta (prema površini na kojoj stojimo) trebala bi se nalaziti unutar najmanjeg konveksnog skupa koji obuhvaća naša stopala (slika je preuzeta sa: http://thatmanfromsyracuse.weebly.com/contributions/center-of-gravity).


Prisjetimo se, za skup S u ravnini, odnosno za S2, kažemo da je konveksan ako je za svaki par točaka iz S dužina koja ih povezuje cijela sadržana u S. Drugim riječima, skup je konveksan ako je “zatvoren” na sve konveksne kombinacije, odnosno ako je λx+(1-λ)yS za sve x,yS i za sve λ[0,1]. Analogna definicija koristi se i za podskupove od n. Geometrijski, za realnu funkciju f definiranu na nekom intervalu, npr. I=[a,b], kažemo da je konveksna ako se, za sve u,vI, svaka točka grafa tj. točka (x,f(x)), gdje je xu,v, nalazi ispod ili na dužini koja spaja točke (u,f(u)) i (v,f(v)). Preciznije, ovaj uvjet možemo zapisati u obliku
 
(1)
f(x)f(u)+f(v)-f(u)v-u(x-u),   xu,v,u,vI,
 
ili u obliku
 
(2)
f(λx+(1-λ)y)λf(x)+(1-λ)f(y),   x,yI,  λ0,1.
 
Ovaj drugi zapis pogodniji je za proširenje definicije na funkcije više varijabli, pri čemu, jasno, da bi uvjet (2) uopće imao smisla domena funkcije f mora biti konveksan podskup od n. Funkcija f je konkavna na S ako nejednakost u (1), odnosno (2), vrijedi kada znak zamijenimo znakom , a strogo konveksna, odnosno strogo konkavna, ako u definiciji (2) vrijedi stroga nejednakost (uz xy i λ0,1). U skladu s tim možemo reći da je promatrati konveksne funkcije isto što i promatrati konkavne i obratno jer je jasno da konveksnost neke funkcije f znači konkavnost funkcije -f.

Konveksnost ili konkavnost funkcija jedne varijable koje imaju neprekidnu drugu derivaciju (odnosno funkcije klase C2) lako se provjerava ispitivanjem predznaka te derivacije. Prisjetimo se, f je konveksna na a,b ako i samo ako vrijedi: f''(x)0, za sve xa,b, a konkavna na a,b ako i samo ako vrijedi: f''(x)0, za svaki xa,b. Ako je f funkcija dviju varijabli, da bismo utvrdili je li ona konveksna ili konkavna, dovoljno je provjeriti predznak elemenata a11 i a22 Hesseove matrice (čiji su elementi parcijalne derivacije drugog reda u nekoj točki) te predznak njezine determinante. Naime, za f koja je klase C2 i koja je definirana na nekom otvorenom i konveksnom skupu u ravnini, znamo da je konkavna ako i samo ako na tom skupu vrijedi
 
(3)
xxf0,yyf0  i   xxfyyf-(xyf)20
 
Za funkcije više varijabli ovi bi uvjeti bili nešto složeniji, no možemo kratko reći da je konkavnost ekvivalentna negativnoj semidefinitnosti Hesseove matrice.
U primjenama se često pretpostavlja da funkcija korištena u nekom modelu ima dobra analitička svojstva, npr. neprekidnost ili diferencijabilnost. No, uočimo da je uvjet (1) u tom smislu prilično jak. Naime, za funkcije jedne varijable, iz (1) možemo odmah zaključiti da konkavne (odnosno konveksne) funkcije ne mogu imati prekid u unutarnjoj točki domene, te da u svakoj točki postoje lijeva i desna derivacija. Štoviše, skup točaka u kojima derivacija ne postoji je konačan ili prebrojiv, pa su sve konveksne, odnosno konkavne funkcije diferencijabilne gotovo svuda.

Za proizvoljan realan broj a, točke x iz domene funkcije f u kojima ona poprima vrijednost manju ili jednaku a određuju donji nivo skup, Pa=xS  :  f(x)a. Analogno se definira gornji nivo skup, Pa=xS  :  f(x)a. Za konveksne funkcije svi donji nivo skupovi su konveksni, a kod konkavnih funkcija su takvi gornji nivo skupovi. Obrat ne vrijedi, a funkcije koje su definirane ovim svojstvom nazivamo kvazikonveksnim funkcijama. S druge strane, konveksni skupovi sa konveksnim funkcijama povezani su činjenicom da je f:S konveksna ako i samo ako je njezin epigraf, tj. skup Mf=(x,y)  :  xS,yf(x), konveksan.

 

Slika 2: (a) Negativna definitnost Hesseove matrice (u (3) vrijede stroge nejednakosti) je dovoljan, ali ne i nužan uvjet za strogu konkavnost. Funkcija f(x,y)=x4+y4 je strogo konveksna na cijeloj ravnini iako je xxf(0,0)=0. (b) Funkcija “najveće cijelo”, f(x)=x je primjer funkcije koja je kvazikonveksna (kao i svaka druga monotona funkcija), ali nije konveksna (epigraf nije konveksan skup). Ovaj primjer također pokazuje da kvazikonveksna funkcija može imati prekid u unutarnjoj točki domene.

Danski matematičar Johan Jensen karakterizirao je konkavne funkcije f:I kao one funkcije za koje nejednakost
 
(4)
fk=1nλkxkk=1nλkf(xk),
 
vrijedi za sve x1,,xnI i za sve λ1,,λn0,1 takve da je k=1nλk=1. Analogna tvrdnja vrijedi za konveksne zamijenimo li u (4) znak znakom .

3Načini optimiziranja poslovanja pri proizvodnji opisanoj konkavnom funkcijom

Proizvodnja dobara i usluga uključuje proces pretvorbe određenih resursa (rad, sirovine itd.) u gotove proizvode. U ovim modelima korisno je imati funkciju kojom bismo opisali vezu između količine proizvedenog (outputa) i količine uloženih faktora (inputa) da bi se proizvodnja ostvarila, kako bismo pomoću nje mogli predvidjeti kako bi se proizvodnja trebala odvijati u budućnosti, odrediti faktore na čiju je promjenu uložene količine najosjetljivija i slično. Funkcije s ovim svojstvom nazivamo funkcijama proizvodnje.

Ekonomisti često pretpostavljaju da je takva funkcija rastuća i konkavna. Činjenica da je rastuća znači da se povećanjem količine uloženog povećava i količina proizvedenog. Konkavnost funkcije odražava se u promjeni količine proizvedenog prilikom povećanja količine uloženog. Promatramo li, naime, koliko se količina proizvedenog promijenila povećavamo li uzastopce količinu uloženog u slučaju funkcije jedne varijable, odnosno količinu jednog inputa u slučaju funkcija više varijabli (recimo, za neku jedinicu), razlika u količini toga što smo proizveli bila bi manja (ili jednaka) pri drugoj promjeni, odnosno pri svakoj sljedećoj promjeni (slika 2). Takvo ponašanje u skladu je s načelom kojeg ekonomisti nazivaju zakonom opadajućeg graničnog prinosa (poveća li se, primjerice broj radnika, za očekivati je da će u jednom trenutku doći do pada njihove učinkovitosti, a to rezultira manjom promjenom u rastu proizvodnje).

Godine 1928. Charles Cobb i Paul Douglas objavili su rad u kojim su predstavili model rasta američke ekonomije u razdoblju od 1899. do 1922. Funkcija koju su koristili u tom modelu u općem obliku se zapisuje kao
 
f(x,y)=Axαyβ,
 
a poznata je pod nazivom Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje. Iako je zapravo model koji predstavlja ova funkcija prilično pojednostavljen, on se pokazao iznenađujuće točnim.

Slika 3: (a) Graf Cobb-Douglasove funkcije proizvodnje, A=1.01,α=0.75,β=0.25 (ove parametre procijenili su Cobb i Douglas). (b) Ekonomiste često zanima promjena u kratkom roku, odnosno promjena outputa pri promjeni jednog inputa, koje su opisane npr. funkcijom xf(x,y0) za fiksni y0 (odnosno parcijalnim derivacijama polazne funkcije). Iz konkavnosti funkcije f (odnosno iz činjenice xxf0) slijedi konkavnost ovih funkcija za sve y0.


U spomenutom modelu f(x,y) predstavlja količinu proizvedenih dobara, x količinu uloženog rada, a y količinu uloženog kapitala, dok su α,β0,1 i A,A0. Konstante α i β nazivaju se konstante elastičnosti pri čemu α označava elastičnost proizvodnje s obzirom na rad, a β elastičnost proizvodnje s obzirom na kapital. One u ovoj funkciji predstavljaju mjeru promjene u količini proizvedenih dobara koja nastaje radi promjena u količini uloženog rada, odnosno kapitala. Ako u proizvodnju uložimo 1% više rada, tada će se proizvodnja povećati za približno α%, a ukoliko u proizvodnju uložimo 1% više kapitala, tada će se proizvodnja povećati za približno β%. Konstanta A je mjera za učinkovitost svih ulaganja u proces proizvodnje, tj. pokazuje koliko će se promjeniti ukupna proizvodnja ako se uložena sredstva (u ovom slučaju rad i kapital) promjene za određenu količinu. Vrlo lako se provjeri da je Cobb-Douglasova funkcija konkavna ako i samo ako je α+β1 te da je strogo konkavna ako i samo ako vrijedi α+β<1. Vrijednost α+β također ima ekonomsku interpretaciju, a to je da opisuje prinose s obzirom na opseg kojima se mjeri povećanje outputa kada inpute povećamo proporcionalno (istovremeno povećavamo sve inpute, za razliku od prethodnog, kad smo povećavali samo jedan input). Slučaj α+β<1 vezan je uz opadajuće, slučaj α+β=1 uz konstantne, a slučaj α+β>1 uz rastuće prinose s obzirom na opseg. Ova se činjenica može uočiti i iz prikaza nivo krivulja (izokvanti) Cobb-Douglasove funkcije (vidjeti sliku 4), odnosno krivulja koje prikazuju sve kombinacije uloženog rada i kapitala koje tvrtka može upotrijebiti kako bi proizvela određenu količinu dobara.


 

Slika 4: Funkcija f(x,y)=1.01x0.75y0.25 ima svojstvo opadajućih graničnih prinosa i konstantnih prinosa s obzirom na opseg. (a) Presjeci s ravninom z=Q daju sve vrijednosti inputa (količinu uloženog rada i kapitala) uz koji je broj proizvoda jednak Q. (b) Konveksni gornji nivo skupovi i izokvante.


U promatranom obliku Cobb-Douglasove funkcije pretpostavili smo da proizvodnja ovisi samo o dva faktora proizvodnje, odnosno o količini uloženog rada i kapitala, ali promatrana proizvodnja može ovisiti i o više od dva faktora. U idućem primjeru pokazujemo da, uz ove pretpostavke, za svaki faktor proizvodnje možemo relativno jednostavno odrediti točnu količinu koju treba uložiti kako bi se ostvario najveći mogući profit. Želimo li, naime, maksimizirati konkavnu funkciju tada znamo da će ta funkcija poprimati globalni maksimum u unutarnjoj točki domene na čijoj je okolini klase C1 ako i samo ako je ta točka stacionarna. Ova tvrdnja olakšava probleme optimizacije proizvodnje jer se postupak traženja količine uloženih faktora kojom promatrana proizvodnja postaje najbolja moguća svodi na pronalaženje stacionarnih točaka funkcije (što u općem slučaju nije dovoljan uvjet ni za postojanje lokalnog, a posebno ni za postojanje globalnog ekstrema).

 

Slika 5: Za konveksne funkcije jedne varijable, koje su klase C1 možemo uočiti još jednu geometrijsku intepretaciju - naime, za takve funkcije tangenta u svakoj točki nalazi se ispod grafa funkcije (ova tvrdnja slijedi iz zapisa (1)). Ovaj uvjet možemo zapisati kao f(x)f'(x*)(x-x*)+f(x*), x, pa iz pretpostavke da je x* stacionarna točka odmah slijedi da f u x* poprima globalni minimum.

Primjer 1. Pretpostavimo da proizvodnja neke tvrtke ovisi o n faktora, te da smo je opisali nekom diferencijabilnom funkcijom vF(v)=F(v1,,vn). Ako sada pretpostavimo da p označava cijenu outputa i da su q1,,qn cijene faktora proizvodnje v1,,vn (gdje su p i q1,,qn pozitivni), tada je dobit tvrtke očito jednaka:
 
π=pF(v1,,vn)-Q(v1,,vn),
 
gdje je sa Q(v1,,vn)=q1v1++qnvn označena funkcija koja predstavlja troškove proizvodnje i koja je linearna funkcija, dakle konveksna i konkavna. Uvjet za koji π, u slučaju da je konkavna, postiže maksimum (za v1>0,v2>0,,vn>0) zadan je sustavom jednadžbi:
 
πvi=pFvi(v1,,vn)-qi=0,   i=1,,n.
 
Sada pretpostavimo da je F Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje. Tada je vF(v1,,vn)=Av1α1vnαn, gdje su α1,,αn pozitivni i neka vrijedi α=α1++αn<1, što znači da je F strogo konkavna. Relativno jednostavnim računom, uz prethodnu napomenu, dolazimo do zaključka da je sa
 
vi=αiqiAp11-αα1q1α11-αα2q2α21-ααnqnαn1-α,   i=1,,n
 
jednoznačno određena točna količina svakog od faktora proizvodnje koju treba uložiti kako bi se postigla maksimalna dobit.


U prethodnom primjeru profit tvrtke prikazan je kao razlika prihoda i troškova proizvodnje. Ako bismo htjeli minimizirati trošak tvrtke po svim kombinacijama inputa pri kojima je količina proizvedenog barem y, tada bismo kao rješenje tog problema dobili vrijednost koja ovisi o zadanim cijenama inputa i razinama outputa. Mijenjajući cijene inputa i razine outputa, na taj način dobivamo funkciju koju nazivamo funkcijom troškova. Ovaj problem, u slučaju da tvrtka proizvodi jednu vrstu proizvoda te proizvodnja ovisi o jednom faktoru, može se prikazati kao
 
C(w,y)=min{wx:f(x)y},
 
gdje je w cijena inputa, a f predstavlja funkciju proizvodnje. Ako pretpostavimo da je f strogo rastuća konkavna funkcija, onda će (za fiksni w) C biti konveksna funkcija kao funkcija outputa, yC(w,y). Naime, u tom slučaju je C(w,y)=wf-1(y), a može se pokazati da je inverzna funkcija strogo rastuće konkavne funkcije konveksna. Intuitivno, konveksnim funkcijama opisuju se troškovi one proizvodnje u kojoj svaka dodana jedinica uloženog ima veću cijenu, tj. predstavlja veći trošak, od prethodno dodane. Za primjer možemo zamisliti dobro organiziranu tvrtku sa stalnim brojem radnika koja je u situaciji da je dnevna potražnja za njezinim proizvodima veća od najvećeg broja proizvoda koji taj broj radnika može proizvesti u uobičajenoj smjeni. Kako bi zadovoljila tu potražnju, kao jedno od mogućih rješenja takve situacije, tvrtka bi mogla (u periodu dok traje takva potražnja) radnike zadržavati prekovremeno, s time da bi onda prekovremeni sati radnicima bili plaćeni više. Dakle, sve veći ulog nekih faktora proizvodnje (radnih sati radnika) je sve skuplji za tvrtku. Nevezano uz pretpostavku o konveksnosti, prirodno je pretpostaviti da je funkcija koja opisuje troškove proizvodnje rastuća jer se s povećanjem uloženog uvijek povećava i trošak. U idućem primjeru pokazujemo da će, uz ove pretpostavke, ukupni troškovi tvrtke biti svedeni na minimum korištenjem tzv. production leveling metode poslovanja, odnosno prelaskom na proizvodnju jednolikom brzinom. Production leveling je japanska metoda poslovanja otkrivena sredinom 20. stoljeća zahvaljujući istraživanjima Toyota Production Systema. Osnovna ideja tog načina poslovanja je ujednačiti proizvodnju sa potražnjom, proizvoditi proizvode konstantnom brzinom (jednoliko), kako bi se daljnje djelovanje tvrtke izvodilo na stalan i predvidljiv način.

Primjer 2. Zamislimo tvrtku koja proizvodi samo jednu vrstu proizvoda i pretpostavimo da je trošak pri proizvodnji y takvih proizvoda u toku jedne godine jednak C(y), a trošak takve proizvodnje za neki dio godine jednak λC(y), gdje λ0,1 određuje duljinu razdoblja (npr. λ=12 za razdoblje od pola godine itd.). Pretpostavimo da za funkciju yC(y) vrijedi C'(y)0 i C''(y)0 za sve y0, odnosno da je C je rastuća i konveksna funkcija. Pretpostavimo i da proizvodnja tog proizvoda može oscilirati tokom godine. Primjenom diskretne verzije Jensenove nejednakosti pokazat ćemo da za danu ukupnu količinu proizvoda Y, koju tvrtka proizvede u toku godine, ukupni troškovi tvrtke mogu biti svedeni na minimum korištenjem production levelinga, odnosno prelaskom na proizvodnju konstantnom brzinom.
 

Pretpostavimo da je spomenuta tvrtka izabrala različite godišnje razine outputa, y1,,yn za dijelove godine određene sa λ1,,λn (respektivno), pri čemu je λ1+λ2++λn=1. Tada je ukupni godišnji output jednak i=1nλiyi=Y, proizveden uz ukupni trošak od i=1nλiC(yi). Iskoristimo sada pretpostavku konveksnosti funkcije C i primijenimo Jensenovu nejednakost:
 
i=1nλiC(yi)Ci=1nλiyi=C(Y).
 
Uočimo da C(Y) predstavlja trošak održavanja stalne razine outputa Y tokom cijele godine, a to je, dakle, i najmanji mogući trošak.

4Funkcija korisnosti i odlučivanje u uvjetima nesigurnosti

Osim u poslovanju, pretpostavke konveksnosti i konkavnosti korisne su i u određivanju načina na koji će promatrani pojedinac napraviti racionalan izbor pri odlučivanju u uvjetima nesigurnosti i rizika. U svakodnevnom se životu, od najranije dobi, gotovo neprestano nalazimo pred izborom, češće takvim da ishode pojedinih alternativa ne možemo predvidjeti sa sigurnošću. Tako je uobičajeno da svake godine plaćamo izvjesnu svotu novca za osiguranje automobila, a broj odigranih loto listića značajno se poveća u vrijeme kada je mogući dobitak rekordan, iako znamo da kada bi svi ljudi u svijetu svaki tjedan igrali isti loto, i to u razdoblju od jednog prosječnog životnog vijeka, rijetki bi bili oni sa ostvarenim profitom i da ćemo vjerojatno imati puno više onih godina kada od osiguranja nećemo tražiti nikakvu odštetu, a kamo li onu za koju bismo rekli da se te godine isplatilo platiti ga. Ove i druge svakodnevne, možda nerazumne, ljudske postupke objašnjavamo time da se ljudi razilaze u mišljenju o tome što je vrijedno neke količine rizika. S obzirom da bi većini dobitak na lotu promijenio život, a, ne baš vjerojatna, ali moguća, tužba radi materijalne štete koju smo skrivili u prometu bi bila iznimno neželjen događaj, ranije spomenute investicije se, iz te perspektive, čine vrlo isplative.

U ekonomiji se često sklonost prema riziku prikazuje funkcijom korisnosti novca. Iako bismo korisnost novca na prvi pogled poistovjetili sa vrijednošću, odnosno količinom, novca, to bi općenito bilo pogrešno i to vrlo lako možemo shvatiti razmislimo li koliko bi simboličan iznos od 10kn značio nekom prosjaku, a koliko nekom milijarderu. Sličnu je usporedbu koristio i matematičar Daniel Bernoulli još u 18. stoljeću u svojem rješenju tzv. St. Peterburškog paradoksa. U tom problemu pretpostavlja se da je prilikom bacanja simetričnog novčića ukupan iznos koji osvajamo jednak 2n\$ ako je broj bacanja tog novčića do pojave pisma jednak n. Ako zamislimo da za pristupanje ovoj igri pojedinac treba uložiti određenu svotu novca, postavlja se pitanje na koliki bi ulog racionalan pojedinac trebao biti spreman pristati. Kriterij koji bismo mogli koristiti u situacijama u kojima pojedinac treba donijeti neku odluku je matematičko očekivanje, no ovdje bismo dobili
 
EX=212+2214+2318+24116+=1+1+1+1+=.
 
To bi značilo da bi svaki razuman pojedinac trebao biti spreman uložiti koji god, nevažno koliko velik, konačan iznos novca kako bi sudjelovao u ovoj igri. Kako znamo da u stvarnosti to ni približno nije tako, dolazimo do paradoksa. Da bi se taj problem rješio, Bernoulli je, vodeći se idejom o razlici između pojmova korisnosti i vrijednosti novca, predložio korištenje funkcije korisnosti u(x)=ln(x) te je (umjesto očekivanja) uzeo u obzir očekivanu korisnost, koja je ustvari očekivanje slučajne varijable u(X)=ln(X), tj.
 
E[u(X)]=ln212+ln(22)14+ln(23)18+ln(24)116+.
 
Na taj način je za rješenje problema dobio približno 4\$ što bi značilo da bi razumno bilo platiti bilo koji iznos koji je manji od 4\$, a to sigurno više odgovara stvarnoj situaciji, iako bismo se, uzimajući u obzir da je mogući dobitak igre zapravo nezamislivo velik iznos, sigurno složili da ni to rješenje nije dovoljno precizno. Također, mijenjajući pretpostavku o mogućem dobitku na e2n ponovno bismo dobili
 
E(u(X))=ln(e2)12+ln(e22)14+ln(e23)18+=212+414+818+=
 
pa time opet imamo paradoks. Unatoč tome, uvođenje koncepta funkcije korisnosti ne gubi na značaju jer je potaklo razvoj teorije očekivane korisnosti čiju su suvremenu aksiomatiku uveli von Neumann i Morgenstern skoro dva stoljeća kasnije u knjizi Theory of games and economic behaviour. Iako oba pristupa pretpostavljaju da će racionalan pojedinac odabrati onu opciju koja maksimizira očekivanu korisnost, za razliku od Bernoullijevog pristupa, koji je opisni, von Neumann i Morgenstern su formalno dokazali da, ako pojedinac ispunjava određene aksiome racionalnosti, onda se njegove preferencije prema pojedinim opcijama mogu opisati nekom funkcijom korisnosti i opcije mogu uspoređivati na temelju njihove očekivane korisnosti. Spomenimo i da, za razliku od klasične teorije očekivane korisnosti, u kojoj su se javljali problemi npr. pri objašnjavanju racionalnog ponašanja pojedinaca na tržistu (gdje cijena može ovisiti o broju sudionika, njihovim djelovanjem u smislu kupnje i prodaje, pregovorima i raznim drugim faktorima te ju ponekad sudionici iz određenih razloga moraju prihvatiti kao danu), teorijom igara su takvi, ali i drugi strateški i situacijski orijentirani problemi dobili elegantna rješenja. Radi toga, spomenuta von Neumannova i Morgensternova teorija može se smatrati prekretnicom razumijevanja racionalnog odlučivanja, ali i razvitka gotovo svih ljudskih djelatnosti u kojima se koriste strategije.
Pretpostavke za koje se smatra da odgovaraju ponašanju racionalnog pojedinca u stvarnom svijetu su pretpostavke da je funkcija korisnosti novca rastuća, da nema stacionarnih točaka i da je konkavna. To je zato što se pretpostavlja da uvijek želimo imati veću količinu novca, da ne postoji iznos s kojim bismo osjećali potpuno zadovoljstvo i da je većina ljudi nesklona riziku. Možemo uočiti da, ako je u funkcija korisnosti novca, radi konkavnosti vrijedi da je u(x+Δx)-u(x)u(x)-u(x-Δx), što drugim riječima znači da za svaku dodanu jedinicu bogatstva imamo manje povećanje korisnosti od onog koje smo imali za prehodno dodanu (odnosno, u trenutku kada imamo iznos od 10000\$, povećanje od 100\$ značilo bi nam puno manje nego u trenutku kad smo imali 100\$). To svojstvo, koje je posljedica konkavnosti funkcije u, nazivamo opadajuća granična korisnost i ona se odražava u padajućoj prvoj derivaciji funkcije korisnosti. Možemo još reći da konkavnim funkcijama opisujemo ponašanje pojedinca koji nije spreman prihvatiti “poštenu igru” (u kojoj je ulog jednak očekivanom dobitku), odnosno način na koji bi trebale investirati osobe nesklone riziku. Za ilustraciju, promotrimo sljedeći primjer.

Primjer 3. Pretpostavimo da investitor nesklon riziku želi investirati u projekt od kojeg će ostvariti povrat u iznosu XA ili povrat u iznosu XBXA. Pretpostavimo da je vjerojatnost prvog ishoda pA, a drugog (1-pA) i pretpostavimo da je participacija u investiciji poštena, tj. da je jednaka matematičkom očekivanju investicije i iznosi X¯=pAXA+(1-pA)XB.

 

Slika 6: (a) Opadajuća granična korisnost. (b) Konkavna funkcija korisnosti koja pokazuje da investitor nije spreman prihvatiti poštenu igru.


Iz grafa možemo primijetiti da je korisnost iznosa participacije X¯ veća od očekivane korisnosti investicije pAu(XA)+(1-pA)u(XB). Dakle, za spomenutog investitora, korisnije (vrijednije) je zadržati iznos X¯ nego investirati ga u projekt s navedenim mogućim povratima iako je iznos participacije pošten.


Jensenova nejednakost ima važnu primjenu u teoriji vjerojatnosti. Naime, za sve diskretne slučajne varijable X za koje EX postoji, primjenom konkavne funkcije f vrijedi:
 
(5)
f(E(X))E(f(X)).
 
Nejednakost (5) formalni je razlog (i općenitija verzija zaključka iz primjera 3) zbog kojeg se u problemima iz ekonomije konkavne funkcije poistovjećuju sa načinom na koji investiraju osobe koje nisu sklone riziku, a konveksne sa načinom na koji investiraju osobe sklone riziku. U terminima osiguranja (XB na slici 6 odgovarao bi početnom bogatstvu, XA bogatstvu nakon gubitka koji se dogodi s vjerojatnošću pA, opisanog slučajnom varijablom L), upotrebom Jensenove nejednakosti može se pokazati da je pojedinac nesklon riziku spreman platiti premiju veću od očekivanog gubitka pokrivenog osiguranjem (odnosno da je maksimalna premija koju je spreman platiti veća od EL).

Pretpostavimo sada da investitor odabire investiciju u koju želi uložiti. Jasno je da mu je tada u interesu odabrati najisplativiju investiciju, odnosno investiciju koja ima najveću očekivanu korisnost od onih koje su mu ponuđene, a na isti način bi racionalan pojedinac trebao donijeti odluku i u sljedećem primjeru.

Primjer 4. Pretpostavimo da smo u situaciji da moramo izabrati bolju od sljedeće dvije mogućnosti:
(1) Sigurno osvajamo 2 milijuna dolara (tj. ako se odlučimo za ovu mogućnost, vjerojatnost da dobijemo 2 milijuna dolara je 100%).
(2) Vjerojatnost da osvojimo 1,5 milijuna dolara je 80%, 5 milijuna dolara osvajamo uz vjerojatnost 16%, a 0 dolara dobivamo uz vjerojatnost od 4%.

Uočimo da je u (1) očekivanje jednako 2000000, isto kao i u (2), dok je očekivana korisnost u (1) jednaka u(2000000), a u (2) iznosi u(1500000)0.8+u(5000000)0.16+u(0)0.04. Izbor pojedinca ovisi o tome vrijedi li za funkciju u nejednakost u(2000000)>u(1500000)0.8+u(5000000)0.16+u(0)0.04, obratna nejednakost ili jednakost. Općenito, očekivana korisnost lutrije (odnosno investicije) koja nosi potencijalne dobitke w1,w2,,wn uz vjerojatnosti p1,p2,,pn respektivno (gdje se podrazumijeva da je i=1npi=1) jednaka je i=1npiu(wi). Pretpostavimo li da je osoba pred odabirom nesklona riziku, primjenom Jensenove nejednakosti na konkavnu funkciju korisnosti u slijedi:
 
up1w1+p2w2++pnwnp1u(w1)+p2u(w2)++pnu(wn).
 
Dakle, za očekivanu korisnost lutrije vrijedi da nije veća od korisnosti matematičkog očekivanja te lutrije. Prema tome, pojedinac koji nije sklon riziku pri odabiru između svih lutrija sa zadanim očekivanjem izabrao bi onu lutriju koja donosi siguran dobitak (jednak tom očekivanju). U prethodnom primjeru takav pojedinac bi odabrao opciju (1), a to je izbor koji bi vjerojatno donijela i većina ljudi. Unatoč tome što postoje primjeri izbora između lutrija (kao u primjeru 6) kod kojih je pokazano da postoji značajno odstupanje odluka pojedinaca od onih koje predviđa teorija očekivane korisnosti, ustanovljeno je da u nekim segmentima svakodnevnog života ova teorija prilično dobro predviđa naše postupke te se pokazala korisnom, primjerice, u problemima vezanim uz osiguranja, investicije ili marketing.

5Zaključak

Navedeni primjeri samo su neki od razloga zbog kojih se konveksnost smatra jednim od središnjih pojmova u teorijskoj ekonomiji. Proučavanje konveksnosti - od jednostavnog geometrijskog pojma, čija su korisna svojstva uočavali i starogrčki filozofi, a neka od njih gotovo dva tisućljeća kasnije razvojem matematičke analize formalno dokazali matematičari kao što su Cauchy ili Euler, uz primjenu na probleme iz astronomije Keplera ili statike Newtona i Fouriera, dobilo je posebno veliku važnost sredinom 20. stoljeća, paralelno uz razvoj linearnog programiranja, gdje se problemi maksimizacije, odnosno minimizacije rješavaju oslanjajući se na činjenicu da afina funkcija definirana na politopu ima ekstreme i postiže ih u vrhovima tog politopa.

 

Slika 7: U primjenama često moramo maksimizirati funkciju uz neka ograničenja, a tom kontekstu konveksnost je važna jer znamo da konveksna funkcija definirana na kompaktnom i konveksnom skupu postiže maksimum u rubnoj točki tog skupa. U problemima linearnog programiranja, gdje je funkcija cilja linearna, a skup dopustivih rješenja politop, problem se svodi na ispitivanje vrijednosti funkcije u vrhovima politopa. Na slici je prikazano područje dopustivih rješenja jednog problema linearnog programiranja.


Nije zanemariva ni primjena konveksnosti u nekim drugim teorijama tog vremena, kao što je teorija očekivane korisnosti te u raznim matematičkim teorijama koje ju nadopunjavaju - kao što je teorija igara, ali i na području psihologije i ekonomije - kao što je Kahnemanova i Tverskyjeva teorija očekivanog izbora. Zadnjih nekoliko desetljeća prošlog stoljeća i otkrivanjem da se metodama unutarnjih točaka (koje su zapravo nastale s namjerom da se pomoću njih rješavaju problemi linearnog programiranja) određeni problemi konveksne optimizacije mogu riješiti jednostavno kao i oni linearnog programiranja, ali i tehnološkim napretkom te spoznajom da su problemi konveksne optimizacije u stvarnosti puno rasprostranjeniji nego što se prethodno mislilo, interes za istraživanjem ovog svojstva postaje još veći. Na taj način konveksnost postaje jedan od središnjih pojmova u teoriji optimizacije i na tom području postiže svoju (vjerojatno) najveću primjenu.

U primjerima ovog članka mogli smo koristiti i nešto općenitija svojstva pritom zadržavajući određena načela. Tako, na primjer, u teoriji potrošača ekonomisti o funkciji korisnosti češće razmišljaju kao o sredstvu koje prikazuje prioritete promatranog potrošača nego o brojčanoj vrijednosti njegove dobrobiti, te se u problemima kao što su maksimiziranje korisnosti potrošača više pažnje posvećuje nivo skupovima koje ta funkcija određuje nego vrijednostima koje ona postiže. Zato je za takve probleme prikladnije koristiti pretpostavku kvazikonveksnosti, odnosno kvazikonkavnosti, koja je u matematičkom smislu slabija od konveksnosti, odnosno konkavnosti, ali iz ekonomske perspektive prirodnija, s obzirom da je poželjno da je proizvoljnom transformacijom povećanja vrijednosti koje poprima zadana funkcija korisnosti očuvana ista hijerarhija prioriteta potrošača koja je bila i prije transformacije (a to je svojstvo koje općenito ne vrijedi za konveksne, odnosno konkavne, funkcije).

S obzirom da je teorija konveksnosti teorija koja dotiče gotovo sve grane matematike i mnoga druga područja, ovaj članak zasigurno ne daje pregled svih tema vezanih uz konveksnost, niti svih područja u kojima se konveksnost primjenjuje. Također, jasno je da svaki model, pa tako i oni spomenuti u članku, kojim stvarni problem opisujemo na apstraktan (matematički) način ima mane jer takvim prijelazom neke uvjete nužno moramo idealizirati. Unatoč tome, takvi modeli i njihovi rezultati danas su izrazito važni kod donošenja raznih zaključaka u ekonomiji i omogućuju nam da probleme iskažemo na drugačiji način, sažetim i preciznijim jezikom te tako poboljšamo njegovo razumijevanje i preciznost analize. Napomenimo i da su detalji teorija spomenutih u članku izostavljeni jer bi se o svakoj od njih mogao napisati zaseban članak, ali i zbog toga što je osnovna namjera ovog članka čitatelju predstaviti više zanimljivih načina korištenja ovog svojstva i modeliranja problema koji se pojavljuju u ekonomiji (u problemima proizvodnje, teoriji očekivane korisnosti i sl.) kao i to da je uz takve modele matematički moguće potkrijepiti neke poslovne odluke. Uz to, prikazom uloga ovih pretpostavki i njihovim interpretacijama te naglašavanjem golemog spektra područja u kojima se koriste, ovim člankom čitatelja nastojimo motivirati za uočavanje važnosti i netrivijalnih posljedica ovih naizgled jednostavnih svojstava.


Bibliografija
[1] Berger, M.: Convexity, Amer. Math. Mothly, 97, 650-678 (1990)
[2] Kahneman, D - Tversky, A.: Prospect theory, Econometrica, 47(2), 263-291 (1979)
[3] Nicolescu, C. - Persson, L. E.: Convex Functions and Their Applications, Springer, 2006
[4] Boyd, S. - Vandenberghe, L.: Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004
[5] Johnson T. C. Utility functions. C2922 economics, Heriot Watt University, Edinburgh (2007)
[6] Schoemaker, P.J.H.: The Expected Utility Model: Its Variants, Purposes, Evidence and Limitations, Journal of Economic Literature 20(2),529-563 (1982)
[7] Sydsaeter, K.- Hammond, P. - Seierstad, A. - Strøm A.: Further Mathematics for Economic Analysis, Pearson Education, 2010
[8] Cobb-Douglas Production Function. URL: http://economicpoint.com/production-function/cobb-douglas . (12.03.2016.)
[9] What is production leveling?. URL: http://www.businessknowledgesource.com/manufacturing/what_is_production_... . (18.03.2016.)
[10] Risk and Certainty Equivalence Applet. URL: http://www.gametheory.net/mike/applets/Risk/ . (26.09.2016.)
[11] Penati, A. - Pennacchi, G.: Choice Under Uncertainty, Finance 400, URL: http://home.cerge-ei.cz/petrz/FM/notes.html (26.09.2016.)
 

 

Različiti nastavno-metodički pristupi čunjosječnicama

Ivančica Miroševic, Nikola Koceić-Bilan, Josipa Jurko

1Uvod

Elipsa, hiperbola i parabola su neke od prvo proučavanih krivulja. Pogledamo li "razvoj priče" o njima kroz povijest, vidimo da je "veliki geometar" Apolonije iz Perge još 200-tih godina pr. Kr. napisao o njima opsežnu studiju, i to čisto geometrijskim pristupom. Njegovi su rezultati bili toliko podrobni i potpuni da se današnja euklidska geometrija nije mnogo odmakla od njegovih spoznaja. I kao takvi, bili su dostatna osnova Johannesu Kepleru (1571.-1630.) i Isaacu Newtonu (1643.-1728.) da dođu do svojih izvanrednih otkrića o gibanjima nebeskih tijela.

Međutim, Apolonije nije svojstva čunjosječnica opisivao algebarski, kao što mi to danas u školskom sustavu činimo. Trebalo je proći skoro 2000 godina da bi matematičari postigli veliki pomak u razumijevanju čunjosječnica povezivanjem geometrijskih i algebarskih tehnika.

Ono što nas je ponukalo na pisanje ovoga članka jest dojam da su neki aspekti pri proučavanju tih krivulja kroz srednješkolsku naobrazbu pomalo zanemareni. U nastavnim programima za matematiku u srednjim školama i gimnazijama, krivuljama drugog reda uglavnom se pristupa analitički, preko algebarske jednadžbe tih krivulja, iz čega se onda izvode i njihova svojstva, a mi smo stajališta da se i s pomoću čisto geometrijskog pristupa ove krivulje sasvim lijepo mogu upoznati, i da se na taj način mogu učenicima pokazati neka važna svojstva koja se iz analitičkog pristupa ne vide, npr. njihovo optičko svojstvo refleksije. Time ne želimo umanjiti značaj analitičkog pristupa, već samo ukazati na neke druge pristupe, te ih objediniti u "širu priču" o krivuljama drugoga reda.

U sintetičkom pristupu, u 2. poglavlju uvodimo pojam tangente na najelementarniji način, kao i njezine karakterizacije. Već kod parabole vidimo da je pojam tangente (na način kako ju većina doživljava) vrlo suptilan pojam koji se ne može definirati kao pravac koji siječe krivulju u jednoj točki, a s druge strane želja nam je bila izbjeći bilo koju uporabu infinitezimalnoga računa koji je neprimjeren za učenike prije završnog razreda srednje škole. Nadalje, pojam asimptote hiperbole je, također, uveden ad hoc s ciljem da se izbjegne uobičajeni pristup preko formalnog graničnog procesa. Treba reći da smo, kroz različite pristupe čunjosječnicama, htjeli naglasiti neka njihova važna svojstva koja su nedovoljno istaknuta u analitičkom pristupu, a koja se s lakoćom mogu izvesti bez prevelikog predznanja, i kao takva se mogu obrađivati i prije 3. razreda srednje škole (kad se ove krivulje prvi puta sustavno obrađuju u sklopu analitičke geometrije). Sintetički pristup je pogodan za dokazivanje svojstava tangenata i asimptote i nekih manje poznatih, ali zanimljivih tvrdnja (Ponceletovi teoremi). No, u ovomu pristupu učenik ne može sagledati sličnost i vezu između ovih krivulja. Algebarski pristup pojašnjava zbog čega ove krivulje zajednički nazivamo krivuljama 2. reda. Proučavanje ovih krivulja kao presjeka s konusom (čunjem) opravdava naziv čunjosječnice ili konike, te upućuje kako ih možemo pronaći kao obrise na sjenama što ih ostavlja stožasti izvor svjetlosti sobne svjetiljke, a to otvara zanimljiv prostor za samostalne učeničke pokuse i projektne zadatke. Papus-Boškovićev pristup ovim krivuljama pojašnjava ulogu ravnalice kod elipse i hiperbole, ulogu numeričkog ekscentriciteta \varepsilon (kojeg se najčešće bez neke primjene i svrhe spominje u nastavi) te pokazuje kako se variranjem parametra \varepsilon krivulje mijenjaju od elipse, preko parabole i hiperbole do kružnice.

Slike u članku generirane su uglavnom s pomoću besplatnog programskog paketa Geogebra (https://www.geogebra.org). Iznimno su, zbog ograničenja Geogebre, slike 21, 22 , 23 i 24 izrađene u programu Microsoft Word.

Inače, na internetu se može pronaći velik broj interaktivnih uradaka o čunjosječnicama izrađenih u Geogebri, i mnogi se temelje na sintetičkoj definiciji.

2Sintetički pristup

U ovomu poglavlju, koje se dobrim dijelom temelji na nastavnim materijalima [1], definiramo elipsu, hiperbolu i parabolu, te izvodimo neka njihova svojstva bez uporabe algebarskog alata.

Definicija 1. Neka su F_{1} i F_{2} dvije čvrste međusobno različite točke ravnine \pi i neka je d\left( F_{1},F_{2}\right) =2e, te neka je a\gt 0 zadani realni broj, a\gt e. Skup svih točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od točaka F_{1} i F_{2} konstantan i jednak 2a nazivamo elipsom, u oznaci E\left( F_{1},F_{2},a\right). Kraće,
E=\left\lbrace T\in\pi\ :\ \, d(T,F_{1})+d(T,F_{2})=2a\right\rbrace .


Točke F_{1} i F_{2} nazivamo žarištima ili fokusima elipse, a dužine \overline{T F_{1}} i \overline{T F_{2}} radijusvektorima točke T elipse (iako to nisu vektori). Dopustimo li da bude i F_{1}=F_{2}, odnosno e=0, dobivamo skup svih točaka jednako udaljenih od fiksne točke F, kojega nazivamo kružnicom.

Realni broj e nazivamo linearnim ekscentricitetom.

Polovište O dužine \overline{F_{1}F_{2}} nazivamo središtem elipse. Lako se pokaže da pravac F_{1}F_{2} siječe elipsu u dvjema točkama, označimo ih s A i B, i da simetrala dužine \overline{F_{1}F_{2}} također siječe elipsu u dvjema točkama, označimo ih s C i D. Točke A i B, te točke C i D nazivamo tjemenima elipse. Dužinu \overline{A B} nazivamo velikom (glavnom) osi, a dužine \overline{O A} i \overline{O B} velikim poluosima. Dužinu \overline{C D} nazivamo malom (sporednom) osi elipse, a dužine \overline{O C} i \overline{O D} malim poluosima. Duljinu male poluosi označavamo sa b.

Budući da je osna simetrija S_{A B} izometrija, pa čuva i zbroj udaljenosti od točke do fiksnih točaka F_{1} i F_{2} na osi A B, velika os je os simetrije za elipsu. Analogno, budući da je osna simetrija S_{C D} izometrija, pa čuva i zbroj udaljenosti od točke do međusobno simetričnih točaka F_{1} i F_{2} s obzirom na os S_{C D}, mala os je također os simetrije za elipsu.

Sada se lako dokaže da je \left\vert O A\right\vert =a, i da je \left\vert A B\right\vert =2a.

Iz pravokutnoga trokuta \triangle F_{1}O C vidimo da za duljine poluosi a i b, i za linearni ekscentricitet e elipse vrijedi

a^{2}-b^{2}=e^{2}.

Neka je T bilo koja točka elipse. Produžimo dužinu \overline{F_{1}T} preko točke T za \left|F_{2}T\right|. Tako dobivamo točku S koju nazivamo suprotištem žarišta F_{2} za točku T elipse. Suprotište S je udaljeno od žarišta F_{1} za \left\vert F_{1}S\right\vert =2a. Promjena točke T na elipsi ne utječe na tu udaljenost. Odatle slijedi da, ako točka T varira, onda suprotište S opisuje kružnicu sa središtem u F_{1} i polumjerom 2a. Tu kružnicu nazivamo kružnicom suprotišta žarišta F_{2} (Slika 1). Analogno definiramo i kružnicu suprotišta žarišta F_{1}.

Slika 1: Kružnica suprotišta žarišta F_{2} elipse
Slika 2: Tangenta i normala elipse


Navest ćemo sada teorem koji opisuje zanimljivo "optičko-geometrijsko" svojstvo elipse: postavimo li izvor svjetlosti u jedno od žarišta elipse, zraka svjetlosti će se odbiti od elipse i proći kroz drugo žarište. To znači da je reflektirani kut zrake u svakoj točki elipse jednak upadnom. Definirajmo najprije tangentu elipse.

Definicija 2. Tangenta elipse je pravac koji s elipsom ima jednu zajedničku (dodirnu) točku.

Teorem 3. Tangenta t u točki T elipse je pravac koji raspolavlja vanjski kut što ga tvore dva radijusvektora točke T. Normala n u točki T elipse je pravac koji raspolavlja unutarnji kut što ga tvore dva radijusvektora točke T.
 



Dokaz. Trokut F_{2}S T, gdje je S suprotište žarišta F_{2} za točku T elipse, je jednakokračan trokut s osnovicom F_{2}S (Slika 2). Uz to vrijedi
\left|F_{1}S\right|=\left|F_{1}T\right|+\left|T S\right|=\left|F_{1}T\right|+ \left|F_{2}T\right|=2a.
Neka je pravac t simetrala dužine \overline{F_{2}S}, a time i simetrala kuta \angle F_{2}T S. Dokažimo da je t ujedno tangenta elipse. Pretpostavimo protivno, tj. da postoji točka P na pravcu t koja je ujedno i točka elipse i koja je različita od T. U trokutu F_{1}P S vrijedi nejednakost trokuta
\left|F_{1}P\right|+\left|F_{2}P\right|= \left|F_{1}P\right|+\left|P S\right|\gt \left|F_{1}S\right|=2a,
a to se protivi pretpostavci. Dakle, pravac t je tangenta elipse, čime je dokazana tvrdnja.

Dokažimo sada obrat tvrdnje, odnosno, dokažimo da pravac p kroz točku T elipse, koji nije simetrala kuta \angle F_{2}T S, ne može biti tangenta. U tu svrhu dovoljno je dokazati da pravac p siječe elipsu u još jednoj točki uz T. Neka je F_{2}^{\prime}:=S_{p}(F_{2}) osno simetrična slika žarišta F_{2} s obzirom na pravac p i neka je {Q}=p\cap F_{1}F_{2}^{\prime}. Očito, točka Q ima svojstvo
\left|F_{1}Q\right|+\left|Q F_{2}\right|\lt \left|F_{1}P\right|+\left|PF_{2}\right|
za svaku točku P\in p, P\neq Q, tj. to je točka pravca p u kojoj je najmanji zbroj udaljenosti od žarišta. Budući da je Q\neq T jer je F_{2}'\neq S, to je
\left|F_{1}Q\right|+\left|Q F_{2}\right|\lt \left|F_{1}T\right|+\left|T F_{2}\right|=2a.
Zamijetimo da za dovoljno daleku točku P polupravca određenog s p i Q koji ne sadrži T vrijedi \left|F_{1}P\right|+\left|PF_{2}\right|\gt 2a. Sada je intuitivno jasno da na dužini \overline{Q P} leži točka T' takva da je \left|F_{1}T'\right|+\left|T'F_{2}\right|=2a (formalno to slijedi po teoremu o međuvrijednostima). To znači da p siječe elipsu u još jednoj točki, pa nije tangenta.
\ \blacksquare



Korolar 4. Tangenta t u točki T elipse uvijek postoji i jedinstvena je.

Teorem 5. Nožišta okomica spuštenih iz oba žarišta elipse na tangentu elipse leže na kružnici k polumjera a sa središtem u središtu elipse. Tu kružnicu nazivamo glavnom kružnicom elipse (Slika 3).
 
Slika 3: Glavna kružnica elipse


Dokaz. Neka je zadana tangenta t elipse. Označimo s K nožište okomice spuštene iz F_{2} na t, i sa S suprotište žarišta F_{2}. Promotrimo trokut \Delta F_{1}F_{2}S. Dužina \overline{O K} je srednjica tog trokuta pa vrijedi
\left|O K\right|=\frac{1}{2}\left|F_{1}S\right|=a,
što povlači K\in k(O,a). Slično se vidi i obratno, tj. da je u točki K kružnice k(O,a) okomica na F_{2}K tangenta elipse.
\ \blacksquare



Teorem 6. [Prvi Ponceletov teorem za elipsu] Spojnice žarišta elipse sa sjecištem dviju tangenata simetrale su kutova što ih tvore spojnice žarišta s diralištima tangenata.
Slika 4: Prvi Ponceletov teorem za elipsu


Dokaz. Neka je točka T sjecište tangenata t_{1} i t_{2}, neka je S_{1} suprotište žarišta F_{1} s obzirom t_{1} i S_{2} suprotište žarišta F_{2} s obzirom na t_{2} (Slika 4). Tada su S_{1}, diralište D_{1} tangente t_{1} i F_{2} kolinearne točke. Isto tako, F_{1}, diralište D_{2} tangente t_{2} i S_{2} su kolinearne točke. Budući da osna simetrija čuva udaljenosti, slijedi \left|T S_{1}\right|=\left|T F_{1}\right| i \left|T S_{2}\right|=\left|T F_{2}\right|. Iz \left|S_{1}F_{2}\right|=2a=\left|S_{2}F_{1}\right| proizlazi \Delta T F_{2}S_{1} \cong\Delta T F_{1}S_{2}. To povlači \angle T S_{1}F_{2}=\angle T F_{1}S_{2}. No, budući da je \angle T S_{1}F_{2}=\angle T S_{1}D_{1}, zbog toga što osna simetrija čuva kutove, slijedi \angle T S_{1}F_{2}=\angle T F_{1}D_{1}. Time je dokazano da je \angle T F_{1}D_{1}=\angle T F_{1}D_{2}.
\ \blacksquare



Teorem 7. [Drugi Ponceletov teorem za elipsu] Odsječak varijabilne tangente elipse između dviju fiksnih tangenata vidi se iz žarišta pod stalnim kutom koji je jednak polovini kuta pod kojim se iz žarišta vide dirališta fiksnih tangenata.
Slika 5: Drugi Ponceletov teorem za elipsu


Dokaz. Neka su t_{1} i t_{2} fiksne tangente, a t varijabilna tangenta (Slika 5). Neka je D diralište bilo koje tangente P Q. Primjenom Teorema 6 na t i t_{1} dobivamo da je \angle D_{1}F_{1}P=\angle PF_{1}D. Isto tako, primjenom na t i t_{2} dobivamo da je \angle DF_{1}Q=\angle D_{2}F_{1}Q. Iz toga slijedi da je \angle PF_{1}Q=\frac{1}{2}\angle D_{1}F_{1}D_{2}.
\ \blacksquare



Definicija 8. Neka su F_{1} i F_{2} dvije međusobno različite čvrste točke ravnine \pi, d(F_{1},F_{2})=2e i neka je dan realni broj a, 0\lt a\lt e. Skup svih točaka za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do danih točaka F_{1} i F_{2} konstantna i jednaka 2a, nazivamo hiperbolom, u oznaci H\left( F_{1},F_{2},a\right). Kraće,
H=\left\lbrace T\in \pi\ : \ \left\vert d(F_{1},T)-d(F_{2},T)\right\vert =2a\right\rbrace


Točke F_{1} i F_{2} nazivamo žarištima ili fokusima hiperbole, a dužine \overline{\ T F_{1}} i \overline{T F_{2}} radijusvektorima točke T hiperbole. Realni broj e nazivamo linearnim ekscentricitetom. Polovište O dužine \overline{F_{1}F_{2}} nazivamo središtem hiperbole.

Lako se pokaže da pravac F_{1}F_{2} siječe hiperbolu u dvije točke koje leže između F_{1} i F_{2}. Te točke, označimo ih s A i B, nazivamo tjemenima. Dužinu \overline{A B} nazivamo realnom osi, a dužine \overline{O A} i \overline{O B} realnim poluosima.

Točke C i D, koje dobivamo presijecanjem kružnice k(A,e) (ili k(B,e)) i simetrale realne osi, određuju dužinu \overline{C D} koju nazivamo imaginarnom osi hiperbole. Dužine \overline{O C} i \overline{O D} nazivamo imaginarnim poluosima. Duljinu imaginarne poluosi označimo s b.

Budući da je osna simetrija S_{A B} izometrija, pa čuva i razliku udaljenosti točaka od fiksnih točaka F_{1} i F_{2} na osi A B, velika os je os simetrije hiperboli. Analogno, budući da je osna simetrija S_{C D} izometrija, pa čuva i razliku udaljenosti točaka od međusobno simetričnih točaka F_{1} i F_{2} s obzirom na os S_{C D}, mala os je, također, os simetrije hiperboli.

Sada se lako pokaže da je \left\vert O A\right\vert =a, i da je \left\vert A B\right\vert =2a.

Iz pravokutnog trokuta \triangle A O C vidimo da za duljine poluosi a i b, i linearni ekscentricitet e hiperbole vrijedi

a^{2}+b^{2}=e^{2}.

Neka je T\in H, te neka S pripada pravcu F_{1}T tako da je \left\vert F_{2}T\right\vert =\left\vert S T\right\vert i \left\vert F_{1}S\right\vert =\left\vert \left\vert F_{1}T\right\vert -\left\vert S T\right\vert\right\vert. Tada je \left\vert F_{1}S\right\vert =\left\vert \left\vert F_{1}T\right\vert -\left\vert F_{2}T\right\vert\right\vert =2a.

Točku S nazivamo suprotištem žarišta F_{2} (s obzirom na T). Kada točka T varira hiperbolom, pripadna suprotišta variraju kružnicom. Svako suprotište žarišta F_{2} leži na kružnici k\left(F_{1},2a\right) koju nazivamo kružnicom suprotišta žarišta F_{2} (Slika 6). Analogno k\left(F_{2},2a\right) je kružnica suprotišta žarišta F_{1}.

Slika 6: Kružnica suprotišta žarišta F_{2} hiperbole


I hiperbola, kao i elipsa, ima "optičko" svojstvo: postavimo li izvor svjetlosti u jedno od žarišta hiperbole, zraka svjetlosti će se odbiti od hiperbole po pravcu koji prolazi kroz drugo žarište. Prije nego navedemo teorem koji opisuje ovo svojstvo, treba nam definicija tangente hiperbole.

Definicija 9. Tangenta hiperbole je pravac koji ima s hiperbolom jednu dodirnu (zajedničku) točku.



Teorem 10. Tangenta t u točki T hiperbole je pravac koji raspolavlja unutrašnji kut, a normala je pravac koji raspolavlja vanjski kut, što ga zatvaraju dva radijusvektora točke T.
Slika 7: Tangenta i normala hiperbole
Slika 8: Glavna kružnica hiperbole


Dokaz ove tvrdnje analogan je onomu za tangentu elipse (Slika 7).



Korolar 11. Tangenta postoji u svakoj točki hiperbole, i jedinstvena je.


Očigledno je da je suprotište S žarišta F_{2} s obzirom na T osno simetrična slika točke F_{2} s obzirom na tangentu na hiperboli u točki T, što opravdava naziv suprotište.

Teorem 12. Nožišta svih okomica spuštenih iz žarišta na tangente hiperbole leže na kružnici k\left( O,a\right) koju nazivamo glavnom kružnicom hiperbole.



Dokaz. Analogno dokazu Teorema 5.
\ \blacksquare


Vrijede i analogni Prvi i Drugi Ponceletov teorem za hiperbolu.

Teorem 13. [Prvi Ponceletov teorem za hiperbolu] Spojnica žarišta hiperbole sa sjecištem dviju tangenata simetrala je kuta određenog spojnicama žarišta s diralištima tangenata, kojem pripada sjecište tangenata.
 


Slika 9: Prvi Ponceletov teorem za hiperbolu
Slika 10: Drugi Ponceletov teorem za hiperbolu




Dokaz. Neka je točka T sjecište tangenata t_{1} i t_{2}, neka je S_{1} suprotište žarišta F_{1} s obzirom na t_{1} i S_{2} suprotište žarišta F_{2} s obzirom na t_{2} (Slika 9). Tada su S_{1}, diralište D_{1} tangente t_{1} i F_{2} kolinearne točke. Isto tako, F_{1}, diralište D_{2} tangente t_{2} i S_{2} su kolinearne točke. Budući da osna simetrija čuva udaljenosti, slijedi \left|T S_{1}\right|=\left|T F_{1}\right| i \left|T S_{2}\right|=\left|T F_{2}\right|. Iz \left|S_{1}F_{2}\right|=2a=\left|S_{2}F_{1}\right| proizlazi \Delta T F_{2}S_{1} \cong\Delta T F_{1}S_{2}. To povlači \angle T S_{1}F_{2}=\angle T F_{1}S_{2}. No, budući da osna simetrija čuva kutove, slijedi \angle T S_{1}D_{1}=\angle T F_{1}D_{1}. Time je dokazano da F_{1}T raspolavlja kut određen spojnicama žarišta s diralištima tangenata, kojem pripada sjecište tangenata.
\ \blacksquare



Teorem 14. [Drugi Ponceletov teorem za hiperbolu] Odsječak varijabilne tangente hiperbole između dviju fiksnih tangenata vidi se iz žarišta pod stalnim kutom koji je jednak polovini kuta određenog spojnicama žarišta s diralištima fiksnih tangenata, kojem pripada sjecište fiksnih tangenata.

Dokaz. Tvrdnju dokazujemo tako da primijenimo Teorem 13, najprije na tangente t i t_{1} hiperbole, a zatim na t i t_{2} (Slika 10).
\ \blacksquare


Neka je T po volji odabrana točka hiperbole, t tangenta hiperbole u T i S suprotište, a N ortogonalna projekcija F_{2} na tangentu t (Slika 11).

Pretpostavimo da se točka T "giba" po hiperboli tako da se njezina udaljenost od neke fiksne točke povećava prema beskonačnom. Intuitivno možemo zamisliti da točka T ide prema "beskonačno dalekoj točki". Njezina tangenta t past će u tom graničnom procesu u neki pravac a kojeg nazivamo asimptotom (Slika 12). Označimo sa S_{1} točku u koju će u tom graničnom procesu pasti suprotište S žarišta F_{2} s obzirom na T (S\in k(F_{1},2a) \rightarrow S_{1}\in k(F_{1},2a)) i s N_{1} točku u koju će pasti točka N (N\in k\left( O,a\right) \rightarrow N_{1}\in k(O,a)).

Slika 11: Tangenta hiperbole
Slika 12: Asimptota hiperbole


Budući da je F_{2}N\perp t, to je i F_{2}N_{1}\perp a. Pri tomu pravac F_{1}T prelazi u F_{1}S_{1}. Budući da je F_{1}T\cap t=\left\lbrace T\right\rbrace, to se F_{1}S_{1} i a "sijeku" u beskonačno dalekoj točki, tj. F_{1}S_{1}\parallel a. Stoga je F_{2}N_{1}\bot F_{1}S_{1}. Budući da je pravac koji prolazi točkama F_{2}, N i S prešao u pravac koji prolazi točkama F_{2}N_{1} i S_{1}, F_{2}S_{1} je tangenta, a F_{1}S_{1} polumjer kružnice suprotišta k(F_{1},2a). Nadalje, iz \left\vert F_{2}N\right\vert =\left\vert NS\right\vert slijedi \left\vert F_{2}N_{1}\right\vert =\left\vert N_{1}S_{1}\right\vert. Asimptota a je simetrala dužine \overline{S_{1}F_{2}}, pa je onda i O\in a. Naravno, analogni zaključci vrijede kad zamijenimo uloge žarišta.

Po tome, smijemo reći ili definirati asimptotu hiperbole kao simetralu dužine \overline{S_{1}F_{2}}, gdje je S_{1}F_{2} tangenta na k(F_{1},2a) iz F_{2}, a S_{1} njezino diralište.

Isto tako, smijemo reći da je asimptota normala na k(O,a) u točki N_{1}, gdje je N_{1} diralište tangente iz F_{2} na k(O,a).

Povucimo u tjemenima A i B okomice na os A B i označimo njihova sjecišta s asimptotama hiperbole s K,L,K_{1} i L_{1}. Tada je

\triangle O A K_{1}\cong\triangle O B L\cong\triangle O F_{2}N_{1}

(trokutima su sukladni jedna stranica \left\vert O B\right\vert =\left\vert ON_{1}\right\vert =a i dva priležeća kuta uz tu stranicu). Također, vrijedi

\left\vert O L\right\vert =\left\vert O F_{2}\right\vert=e\Longrightarrow\left\vert B L\right\vert~=b.

Dakle, asimptote hiprebole leže na dijagonalama pravokutnika sa stranicama 2a i 2b, čije je središte u središtu hiperbole (Slika 13).

Slika 13: Asimptote hiperbole


U prethodnomu asimptotu smo definirali kao "tangentu u beskonačno dalekoj točki", odnosno kao granični položaj tangente kad se njezino diralište "giba" po neomeđenom dijelu krivulje prema beskonačno dalekoj točki. Uobičajeno je, međutim, da se asimptota definira kao pravac kojemu se krivulja približava kad se točka "giba" po njezinom neomeđenom dijelu prema beskonačno dalekoj točki. Ove dvije definicije su ekvivalentne, ako je krivulja algebarska (hiperbola to jest). Nama je zanimljivija prva definicija, iako manje stroga i formalna, ali vrlo intuitivna, jer s pomoću nje možemo izvesti i neka zanimljiva, netrivijalna svojstva koja nisu očigledna u analitičkom pristupu definiciji.

Definicija 15. Neka je F točka izvan pravca d. Skup svih točaka u ravnini \pi koje su jednako udaljene od točke F i pravca d nazivamo parabolom, u oznaci P(F,d). Točku F nazivamo njezinim žarištem ili fokusom, a pravac d ravnalicom ili direktrisom. Kraće,
P=\left\lbrace T\in\pi\ : \ \frac{d\left( T,F\right) }{d\left( T,d\right) }=1\right\rbrace .


Neka je T točka parabole. Dužinu \overline{T F} nazivamo radijusvektorom točke T parabole, isto kao i dužinu \overline{T S}, gdje je S ortogonalna projekcija točke T na d (Slika 14).

Slika 14: Parabola
Slika 15: Tangenta parabole


Ako je O ortogonalna projekcija točke F na d, onda polovište A dužine \overline{O F} očigledno pripada paraboli i nazivamo ga tjemenom parabole. Pravac O F nazivamo osi parabole. Parabola je, zbog izometričnih svojstava osne simetrije, simetrična u odnosu na svoju os.

Sada bismo htjeli definirati i tangentu parabole, i to na najjednostavniji mogući način, bez primjene infinitezimalnog računa. Budući da ju ne možemo definirati kao pravac koji s parabolom ima jednu zajedničku točku (npr. os parabole ima to svojstvo, a nije tangenta parabole), motivaciju za definiciju nam daje sljedeći teorem.



Teorem 16. Simetrala kuta što ga zatvaraju radijusvektori točke T na paraboli ima s parabolom samo tu jednu zajedničku točku T. Taj pravac ćemo zvati tangentom parabole.



Dokaz.

Neka je T točka parabole i S ortogonalna projekcija točke T na ravnalicu d. Tada je \left|F T\right|=\left|T S\right|. Neka je t simetrala kuta \angle F T S (Slika 15). Pokažimo da parabola i t imaju samo jednu zajedničku točku, točku T.

Pretpostavimo protivno, tj. neka postoji još jedna zajednička njima točka Q, Q\neq T. Primijetimo da je t simetrala dužine \overline{S F}. Po tomu, \left|Q F\right|=\left|Q S\right|. Neka je Q_{1} ortogonalna projekcija točke Q na d. Budući da je Q točka parabole, vrijedi da je \left|QQ_{1}\right|=\left|Q F\right|. Iz toga slijedi da je \left|QQ_{1}\right|=\left|Q S\right|. S druge strane, \left|QQ_{1}\right|\lt \left|Q S\right|, čime smo upali u protuslovlje.
\ \blacksquare


Navedeni teorem pojašnjava važno "optičko" svojstvo parabole, da se svjetlost usmjerena iz žarišta parabole odbija od parabole po pravcima paralelnima s osi parabole.

Korolar 17. Tangenta t u točki T parabole uvijek postoji i jedinstvena je.


Ortogonalnu projekciju S točke T na ravnalicu d, budući da je simetrala t kuta \angle F T S ujedno i simetrala dužine \overline{S F}, nazivamo suprotištem žarišta F s obzirom na t.



Korolar 18. Ravnalica je skup svih točaka koje su suprotišta žarišta parabole (točke osno simetrične fokusu s obzirom na tangente parabole).

Teorem 19. Skup svih točaka koje su nožišta okomica iz žarišta parabole na tangente je tjemena (vršna) tangenta parabole.
 
Slika 16: Tjemena tangenta parabole




Dokaz. Neka je N ortogonalna projekcija žarišta F na tangentu t s diralištem u točki T (Slika 16). Budući da je t simetrala dužine \overline{S F}, točke F, N i S su kolinearne i N je polovište dužine \overline{S F}. Dužina \overline{N A}, gdje je A tjeme parabole, je srednjica trokuta \triangle O F S, pa je A N\parallel d, tj. A N\bot O F, što znači da je A N tjemena tangenta parabole.

Slično se dokaže da je u točki N tjemene tangente okomica na F N tangenta parabole.
\ \blacksquare

Teorem 20. [Prvi Ponceletov teorem za parabolu] Spojnica žarišta sa sjecištem dviju tangenata raspolavlja kut što ga tvore radijusvektori dirališta.
 
Slika 17: Prvi Ponceletov teorem za parabolu
Slika 18: Drugi Ponceletov teorem za parabolu




Dokaz. Neka je točka T sjecište tangenti t_{1} i t_{2} parabole, i neka su D_{1} i D_{2} njihova dirališta (Slika 17). Dokažimo da je \angle T FD_{1}=\angle T FD_{2}. Budući da je \left|FD_{2}\right|=\left|S_{2}D_{2}\right| i \left|T F\right|=\left|T S_{2}\right|, vrijedi \triangle T FD_{2}\cong \triangle T S_{2}D_{2} i \angle T FD_{2} =\angle T S_{2}D_{2}. Analogno vrijedi \angle T FD_{1} =\angle T S_{1}D_{1}.

Nadalje, zbog \left|T S_{1}\right|=\left|T F\right|=\left|T S_{2}\right| trokut \triangle S_{1}T S_{2} je jednakokračan, pa je \angle T S_{2}S_{1}=\angle T S_{1}S_{2}. Po tomu, \angle T FD_{1}=T FD_{2}.
\ \blacksquare

Teorem 21. [Drugi Ponceletov teorem za parabolu] Odsječak varijabilne tangente parabole između dviju fiksnih tangenata vidi se iz žarišta pod stalnim kutom koji je jednak polovini kuta pod kojim se iz žarišta vide dirališta fiksnih tangenata.



Dokaz.

Tvrdnja se dokazuje tako da se primijeni Teorem 20, najprije na tangente t i t_{1} parabole, a zatim na t i t_{2} (Slika 18).
\ \blacksquare

3Algebarski pristup

Jednadžbu oblika F(x,y)=0, gdje je F polinom drugog stupnja s realnim varijablama x i y, nazivamo jednadžbom drugog reda. Zbog toga svaku krivulju kojoj je jednadžba F(x,y)=0, gdje je F polinom drugog stupnja s varijablama x i y, nazivamo krivuljom drugog reda. Opći oblik jednadžbe za krivulje drugog reda je, dakle,

a_{1}x^{2}+a_{2}xy+a_{3}y^{2}+a_{4}x+a_{5}y+a_{6}=0,

pri čemu je barem jedan od koeficijenata uz kvadratne članove različit od nule. Pokažimo zašto se elipsa, hiperbola i parabola nazivaju krivuljama drugog reda. Svojstva ovih krivulja koja iz te činjenice proizlaze detaljno su obrađena u [2], pa ih ovdje izostavljamo.
Neka su F_{1} i F_{2} žarišta elipse, te a duljina velike poluosi. Odaberimo pravokutni koordinatni sustav tako da polovište O dužine \overline{F_{1}F_{2}} bude ishodište koordinatnog sustava, pravac F_{1}F_{2} os x, a simetrala dužine \overline{F_{1}F_{2}} os y. Sada se lako iz definicije elipse dobije da za svaku točku T(x,y) na elipsi E\left( F_{1},F_{2},a\right) vrijedi relacija

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,

i obratno, da svaka točka T(x,y) za koju vrijedi ova relacija pripada elipsi. Ovu relaciju nazivamo kanonskom jednadžbom elipse.

Analogno dolazimo do kanonske jednadžbe hiperbole H(F_{1},F_{2},a),

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Da bismo naveli kanonsku jednadžbu parabole, potreban nam je još jedan pojam vezan uz parabolu, poluparametar. Duljinu tetive koja prolazi fokusom i okomita je na os parabole P(F,d) nazivamo parametrom parabole i označavamo s 2p. Poluparametar parabole je duljina p koja je jednaka \left\vert O F\right\vert, gdje je O ortogonalna projekcija točke F na d.

Kanonsku jednadžbu parabole lako izvedemo ako pravokutni koordinatni sustav odaberemo tako da je os x os parabole, i da je ishodište u njezinom tjemenu. Za točku T(x,y) na paraboli tada vrijedi

y^{2}=2px,

gdje je p poluparametar parabole.

Očigledno je da su kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole, te kružnice kao specijalnog slučaja elipse, algebarske jednadžbe drugog reda, što znači da su elipsa, hiperbola i parabola krivulje drugog reda. Pokažuje se (ne računajući degenerirane slučajeve) da je svaka krivulja drugog reda neka od ovih krivulja.

U nastavku ćemo pokazati da se svaka čunjosječnica može zadati jednom te istom jednadžbom, čime još jedanput ukazujemo na sličnost naizgled poprilično različitih ravninskih krivulja. Promatrat ćemo krivulje u posebnom položaju u koordinatnom sustavu: kad im je jedno tjeme u ishodištu, a os y tjemena tangenta.

Promotrimo najprije elipsu E(F_{1},F_{2},a) zadanu jednadžbom \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. Translatiramo li elipsu u pozitivnom smjeru osi x za x_{0}=a, tako da je novi centar elipse u točki S(a,0), dolazimo do jednadžbe elipse

y^{2}=2\frac{b^{2}}{a}x-\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}.

Isto tako, translatiramo li hiperbolu zadanu jednažbom \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 u negativnom smjeru osi x za x_{0}=-a, tako da je novi centar hiperbole u točki S(-a,0), dolazimo do jednadžbe hiperbole

y^{2}=2\frac{b^{2}}{a}x+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}.

Da bismo malo pojednostavnili navedene izraze, definirajmo poluparametar elipse i hiperbole.

Duljinu tetive koja prolazi jednim od žarišta elipse (hiperbole) i okomita je na glavnu os elipse (hiperbole) nazivamo parametrom elipse (hiperbole) i označavamo s 2p. Duljinu p nazivamo poluparametrom elipse (hiperbole).

Označimo li s T sjecište elipse (hiperbole) i tetive elipse (hiperbole) okomite na glavnu os, primjenom Pitagorina poučka na pravokutnom trokutu \Delta F_{1}T F_{2} lako dobivamo da za poluparametar elipse i hiperbole vrijedi p=\frac{b^{2}}{a}.

Sada y^{2}=2\frac{b^{2}}{a}x-\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2} prelazi u

y^{2}=2px-\frac{p}{a}x^{2},

što nazivamo jednadžbom elipse u vršnom ili tjemenom obliku.
Isto tako, y^{2}=2\frac{b^{2}}{a}x+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2} prelazi u

y^{2}=2px+\frac{p}{a}x^{2},

što nazivamo jednadžbom hiperbole u vršnom ili tjemenom obliku.
Uočimo da se kanonska i vršna jednadžba parabole podudaraju.

Ako geometrijski interpretiramo ove jednadžbe i usporedimo površinu y^{2} kvadrata određenog točkom T(x,y) na krivulji i površinu pravokutnika 2p\cdot x, jedna stranica kojega je apscisa x točke T, a druga stranica fiksni parametar 2p (Slika 19), vidimo

\bullet da je za točku na elipsi površina kvadrata manja od površine pravokutnika,
\bullet da su za točku na paraboli površine jednake, i
\bullet da je za točku na hiperboli površina kvadrata veća od površine pravokutnika,

što je, po predaji, i navelo Apolonija iz Perge da čunjosječnicama nadjene imena elipsa, hiperbola i parabola. Naime, elipsa na Grčkom znači "manjak", parabola znači "jednakost", a hiperbola znači "višak".

Slika 19:


Pogledajmo još jedanput vršne jednadžbe elipse i hiperbole. Uvedemo li oznaku \varepsilon=\frac{e}{a}, za elipsu ćemo dobiti \varepsilon ^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}, pa je \frac{p}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}=1-\varepsilon^{2}.

Isto tako, za hiperbolu iz \varepsilon=\frac{e}{a} slijedi \varepsilon ^{2}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}, pa je \frac{p}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}=-(1-\varepsilon^{2}).

Iz ovoga slijedi da je zajednička jednadžba elipse, hiperbole i parabole u vršnom obliku

y^{2}=2px-(1-\varepsilon ^{2})x^{2},

pri čemu je za parabolu \varepsilon =1.

Inače, \varepsilon uobičajeno nazivamo numeričkim ekscentricitetom, a malo više o njemu reći ćemo kad budemo govorili o Boškovićevu pristupu krivuljama drugog reda.

4Krivulja drugoga reda kao presjek stožaste plohe i ravnine

Neka je pravac o os rotacije i neka pravac s koji siječe os o u točki V rotira oko osi o. Pri toj rotaciji pravac s opisuje stožastu plohu. Točku V nazivamo vrhom, pravac o osi, a svaki položaj pravca s izvodnicom te stožaste plohe.

Ovdje ćemo pokazati da se krivulja drugoga reda može okarakterizirati kao presjek stožaste plohe i ravnine (Slika 20). Upravo zbog toga se svaka krivulja drugoga reda naziva čunjosječnicom ili konikom ([2],[4]).

Slika 20: Čunjosječnice


Čunjosječnicama se intenzivno bavio Apolonije iz Perge, starogrčki matematičar koji je o njima napisao osam knjiga, i koji je, uostalom, uveo nazive koje i danas rabimo: elipsa, hiperbola i parabola. On je uočio da vrsta krivulje koju ćemo dobiti presjekom stošca i ravnine ovisi o nagibu ravnine koja presjeca stožac.

Promotrimo najprije elipsu. Definirali smo ju kao krivulju za koju vrijedi da je zbroj udaljenosti svake njezine točke od dvaju žarišta konstantan. Sada tvrdimo da je to krivulja koja se dobije kao presjek stošca ravninom koja nije paralelna ni s jednom od izvodnica i ne prolazi vrhom stošca.

Ove dvije "definicije" elegantno je povezao Germinal Pierre Dandelin (1794. - 1847.), belgijski matematičar i inženjer koji je 1822. otkrio vezu između presjeka stošca i ravnine, zarišta čunjosječnica i kugala upisanih u stožac koje dodiruju ravninu kojom je presječen. Takve kugle, njemu u čast, nazivamo Dandelinovim kuglama.

Teorem 22. [Dandelinov teorem za elipsu] Ako stožastu plohu presiječemo ravninom koja ne prolazi vrhom stožaste plohe i siječe sve njezine izvodnice, onda je presječna krivulja ili kružnica (ako je ravnina okomita na os stošca) ili elipsa.

Dokaz.

Slika 21: Dandelinove kugle i elipsa


Na Slici 21 je skiciran presjek stožaste plohe i ravnine \pi koja ne prolazi vrhom, siječe sve izvodnice stožaste plohe i kosa je prema njezinoj osi. Upišimo u tu stožastu plohu kuglu K_{1} koja dodiruje ravninu odozgor i kuglu K_{2} koja dodiruje ravninu odozdol. Neka prva kugla dodiruje ravninu u točki F_{1}, a druga kugla u točki F_{2}. Dokazat ćemo da je presječna krivulja elipsa i da su točke F_{1} i F_{2} njezina žarišta.

U tu svrhu uzmimo na presječnoj krivulji bilo koju točku T. Gornja kugla dodiruje stožastu plohu uzduž kružnice k_{1}, a dolnja kugla uzduž kružnice k_{2}. Spojimo vrh V stožaste plohe s točkom T. Ta izvodnica siječe k_{1} u točki D_{1}, a k_{2} u D_{2}.

Budući da su duljine tangenata povučenih na kuglinu plohu iz točke izvan nje jednake duljine, to je \left|T F_{2}\right|=\left|T D_{2}\right| i \left|T F_{1}\right|=\left|T D_{1}\right|. Zbrajanjem tih jednakosti dobivamo \left|T F_{1}\right|+\left|T F_{2}\right|=\left|T D_{1}\right|+\left|T D_{2}\right|, dakle \left|T F_{1}\right|+\left|T F_{2}\right|=\left|D_{1}D_{2}\right|. Dužina \overline{D_{1}D_{2}} je izvodnica uspravnoga krnjeg stošca kojemu je dolnja osnovica krug omeđen kružnicom k_{2}, a gornja osnovica krug omeđen kružnicom k_{1}. Zbog toga je \left|D_{1}D_{2}\right|=2a, gdje je a\gt 0 realna konstanta.

Dakle, \left|T F_{1}\right|+\left|T F_{2}\right|=2a, za svaku točku T presječne krivulje, pa je ta krivulja elipsa sa žarištima F_{1} i F_{2}.
\ \blacksquare



Teorem 23. [Dandelinov teorem za hiperbolu] Ako stožastu plohu presiječemo ravninom koja ne prolazi vrhom stožaste plohe i paralelna je s dvije njezine izvodnice, onda je presječna krivulja hiperbola.
Slika 22: Dandelinove kugle i hiperbola


Dokaz. Ako je presječna ravnina \pi nagnuta prema osi stožaste plohe pod manjim kutom nego izvodnice, ravnina siječe oba dijela plohe po krivulji koja se sastoji od dviju disjunktnih grana (Slika 22).

Upisane kugle dodiruju ravninu s iste strane, u točkama F_{1} i F_{2}, a stožastu plohu duž kružnica k_{1} i k_{2}. Neka je T bilo koja točka presječne krivulje. Neka izvodnica kroz točku T siječe kružnicu k_{1} u točki D_{1} i kružnicu k_{2} u točki D_{2}. Budući da su pravci T F_{1} i T D_{1} tangente povučene iz T na gornju kuglinu plohu, i da su pravci T F_{2} i T D_{2} tangente povučene iz T na dolnju kuglinu plohu, slijedi \left|T D_{1}\right|=\left|T F_{1}\right| i \left|T D_{2}\right|=\left|T F_{2}\right|.

Ravnine u kojima leže kružnice k_{1} i k_{2} su paralelne, pa su sve izvodnice krnjega dvostrukog stošca od k_{1} do k_{2} jednake duljine. Odatle, i iz \left|D_{1}D_{2}\right|=\left|T D_{1}\right|-\left|T D_{2}\right|, slijedi da je razlika \left|T F_{1}\right|-\left|T F_{2}\right| konstantna za svaku točku na presječnoj krivulji.

Dakle, presječna krivulja je skup svih točaka ravnine za koje je razlika udaljenosti od dviju fiksnih točaka F_{1} i F_{2} konstantna, što znači da je riječ o hiperboli.
\ \blacksquare

Teorem 24. [Dandelinov teorem za parabolu] Ako stožastu plohu presiječemo ravninom koja ne prolazi vrhom stožaste plohe i paralelna je s jednom njezinom izvodnicom, onda je presječna krivulja parabola.


Slika 23: Dandelinove kugle i parabola


Dokaz. Ako je presječna ravnina \pi paralelna s jednom izvodnicom stožaste plohe, označimo ju sa s, onda u stožastu plohu možemo upisati samo jednu kuglu koja dodiruje ravninu \pi u točki F i stožastu plohu uzduž kružnice k (Slika 23).

Neka je T bilo koja točka presječne krivulje. Neka izvodnica kroz točku T siječe kružnicu k u točki D. Točka T leži na kružnici k' koja je paralelna s ravninom kružnice k. Dužine \overline{T F} i \overline{T D} pripadaju tangentama povučenim iz T na kuglinu plohu, iz čega slijedi \left|T D\right|=\left|T F\right|.

Označimo s A i B točke u kojima izvodnica s siječe kružnice k i k'. Budući da su ravnine kružnica k i k' međusobno paralelne, i okomite na osni presjek kroz izvodnicu s, a ravnina \pi je paralelna s dužinom \overline{A B}, presjek d ravnine kružnice k i ravnine \pi je također okomit na osni presjek stožaste plohe. Zbog toga, za okomicu T N iz T na pravac d vrijedi \left|T N\right|=\left|A B\right|=\left|T D\right|, odnosno \left|T N\right|=\left|T F\right|.

Dakle, svaka točka T na presječnoj krivulji jednako je udaljena od fiksne točke F i od fiksnog pravca d, što znači da je presječna krivulja parabola.
\ \blacksquare


Budući da se svaka elipsa, hiperbola ili parabola može dobiti kao presjek ravnine i neke stožaste plohe, to je jasno da je ovakav način uvođenja tih krivulja ekvivalentan sintetičkomu.

Osim opisanih, postoje i degenerirani oblici čunjosječnica, takozvane raspadnute čunjosječnice. Naime, ako se stožasta ploha presiječe ravninom koja prolazi kroz vrh V stožaste plohe, onda je presjek par pravaca koji se sijeku u vrhu V, pa stoga i takav par pravaca smatramo čunjosječnicom, tj. krivuljom drugog reda. Očigledno je da se posebnim odabirom presječnih ravnina dobivaju, k tomu, i jedan pravac ili točka, pa i njih valja smatrati čunjosječnicama.



5Boškovićev pristup

Upravo opisana konstrukcija Dandelinovih kugala, kao što je navedeno u [3], vodi nas do još jednog važnog svojstva čunjosječnica.

Pretpostavimo da ravnina \pi siječe stožastu plohu i ne prolazi njezinim vrhom V. Promotrimo kuglu upisanu u stožastu plohu, koja dodiruje ravninu \pi u točki F. Kružnicu duž koje kugla dodiruje stožastu plohu označimo s k, a ravninu u kojoj leži kružnica k označimo sa \sigma. Neka se ravnine \pi i \sigma sijeku u pravcu d.

Za bilo koju točku T presječne krivulje ravnine \pi i stožaste plohe, neka je D presjek izvodnice V T i ravnine \sigma, a N projekcija točke T na pravac d. Pokažimo da je omjer udaljenosti \left|T D \right| i \left|T N \right| konstantan, odnosno da ne ovisi o izboru točke T.

Slika 24: Direktrisa čunjosječnice


Neka je X projekcija točke T na \sigma. Omjer udaljenosti \left|T X \right| i \left|T D \right| ne ovisi o T i jednak je kosinusu kuta između izvodnice stošca i njegove osi o. (označimo ga s \alpha). Omjer udaljenosti \left|T X \right| i \left|T N \right| također ne ovisi o T i jednak je kosinusu kuta između osi o i ravnine \pi (označimo ga s \beta). Iz toga slijedi

\frac{\left| T D\right| }{\left|T N \right| }=\frac{\left| T D\right| }{\left|T X \right| }\frac{\left| T X\right| }{\left|T N \right| }=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}.

Napokon, budući da su \left| T F\right| i \left|T D \right| jednaki (kao tangente na kuglu kroz T), i omjer udaljenosti \left|T F \right| i \left|T N \right| je konstantan.

Dakle, za svaku čunjosječnicu postoji pravac d takav da za je svaku točku na čunjosječnici omjer udaljenosti od žarišta i tog pravca konstantan. Ovaj omjer nazivamo numeričkim ekscentricitetom čunjosječnice i označavamo s \varepsilon, a pravac d nazivamo ravnalicom ili direktrisom. Budući da elipsa i hiperbola imaju dva žarišta, one imaju i dvije ravnalice (po jednu za svako žarište). Broj \varepsilon određuje vrstu i oblik čunjosječnice.

Na ovaj način je naš hrvatski matematičar Ruđer Bošković (1711.-1787.) definirao krivulje drugoga reda, i na osnovi te definicije analitički izveo njihova svojstva. Ta se definicija danas naziva Pappus-Boškovićeva definicija, jer je Pappus iz Aleksandrije (oko 290.-oko 350.) iste rezultate dobio sintetičkom metodom.

Pappus-Boškovićeva definicija čunjosječnice. Neka je F točka izvan pravca d i \varepsilon pozitivni realni broj. Skup svih točaka sa svojstvom

\frac{d\left( T,F\right) }{d\left( T,d\right) }=\varepsilon

je elipsa čim je \varepsilon\lt 1, hiperbola čim je \varepsilon\gt 1, a parabola čim je \varepsilon=1.

Lijep primjer numeričkog ekscentriciteta u prirodi su Mjesečev ekscentricitet i ekscentricitet Halleyeva kometa. Naime, Mjesec se oko Zemlje, te Halleyev komet oko Sunca gibaju po eliptičnim putanjama. Mjesečeva putanja oko Zemlje je skoro kružna i njegov numerički ekscentricitet je 0,055, dok je putanja Halleyeva kometa jako izdužena (Sunce je u jednomu žarištu eliptične putanje) i njegov numerički ekscentricitet je 0.967.



6Projektivni pristup

Čunjosječnice možemo okarakterizirati i kao perspektivno kolinearne slike kružnice. Definirajmo najprije perspektivnu kolineaciju.

Definicija 25.

Perspektivna kolineacija u ravnini je bijekcija na skupu svih točaka i svih pravaca, koja udovoljuje sljedećim uvjetima:
(a) čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p, onda slika \overline{A} točke A pripada slici \overline{p} pravca p;
(b) sva spojnice pridruženih točaka prolaze istom točkom S ravnine. Točka S je fiksna točka i nazivamo ju središtem kolineacije, a spojnice pridruženih točaka zrakama kolineacije.
(c) postoji točno jedan pravac o u ravnini svaka točka kojega je pridružena sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo osi kolineacije.


Perspektivna kolineacija je posve određena čim je zadana njezina os o, njezino središte S i jedan par pridruženih točaka A i \overline{A}, tako da ni jedna točka tog para ne leži na osi o, niti je njihova spojnica paralelna s osi o.

Sliku \overline{n} "beskonačno dalekog pravca" n kojeg tvore "beskonačno daleke točke", nazivamo nedoglednim pravcem. On je paralelan s osi jer na njemu leži i beskonačno daleka točka osi. Praslika pravca n, tj. pravac m koji se preslikava u "beskonačno daleki pravac" n nazivamo doglednim pravcem.

Perspektivnom kolineacijom kružnica se preslikava u čunjosječnicu, pri čemu o položaju kružnice i doglednog pravca ovisi vrsta čunjosječnice.

Kada dogledni pravac ne siječe kružnicu, sve točke kružnice preslikaju se u realne točke i kolinearna slika kružnice je elipsa.

Ako dogledni pravac dodiruje kružnicu u dvije točke, onda se dvije točke kružnice (sjecišta pravca i kružnice) kolinearno preslikaju u "beskonačno daleke točke" i kolinearna slika kružnice je hiperbola.

Ako dogledni pravac dodiruje kružnicu u jednoj točki, onda se jedna točka kružnice (diralište pravca i kružnice) kolinearno preslika u "beskonačno daleku točku" i kolinearna slika kružnice je parabola.



Zaključak


Donekle je neprimjereno da se u jednoj cjelini, koja je po programu smješ tena u 2. polugodište 3. razreda srednje škole, obrađuju istovremeno dvije važne teme iz elementarne matematike: analitička geometrija i čunjosječnice. Vrlo jak i moćan alat kojega nudi analitička geometrija, s pomoću kojega se mnogi geometrijski problemi svode, nakon koordinatizacije, na algebarske, na prvi pogled ostavlja dojam univerzalnosti. Zapravo, mnogi učenici će rado posegnuti za analiti čkim aparatom pri rješavanju nekoga geometrijskog problema prije nego li čisto geometrijskim, sintetičkim pristupom. To nimalo ne čudi jer sam koncept nastavnog plana i programa predmeće analitič ki pristup geometriji. Osim toga i većina postupaka za rješavanje geometrijskih zadataka na nastavnim satima u višim razredima srednje škole napućuje da je geometrijske zadatke najlakše i najsigurnije rješavati svođenjem na odgovarajuće sustave jednadžbi do kojih dolazimo analitičkim pristupom. I sam Rene Descartes (1596.-1650.), tvorac analiti čke geometrije, se vodio mišlju da ova metoda, ne samo da je najpogodnija za rješavanje geometrijskih problema, već se ona mož e primijeniti i na sve ostale matematičke grane i znanosti. Rezultat njegove filozofske potrage za univerzalnom metodom rješavanja problema je njegovo djelo Praktična i jasna pravila za vođenje uma u istra živanju istine. No, i sam Descartes se uvjerio da univerzalna metoda, koja bi sve probleme svodila na matematičke, a matematičke na rje šavanje odgovarajućih jednadžbi, nije ostvariva. Na sreću, ta metoda nije ostvariva niti unutar matematičke znanosti, jer bi se, u protivnom, širina i ljepota matematičke misli znatno osakatila i vodila bi ka tehnicizmu. Upravo tu zamku treba izbjeći i u nastavi analitičke geometrije. Tehnike analitičke geometrije, koje su bez daljnjega vrlo korisne, često puta sakriju i neka lijepa i zanimljiva svojstva geometrijskih objekata do kojih bismo mogli doći, prirodnijim, sintetičkim putem. Najbolji primjer za to su krivulje elipsa, parabola i hiperbola o kojima učenici, po svršetku srednjoškolske naobrazbe, znaju isključivo u kontekstu njihovih kanonskih jednadž bi. Kružnica je izdvojena iz ove priče, jer se ona obrađuje jo š od nižih razreda osnovne škole. S najljepšim svojstvima kru žnice (obodni kut, pojam tangente...) učenici su već upoznati po svršetku osnovnoškolske naobrazbe, a analitički pristup u 3. razredu srednje škole predstavlja korisnu nadgradnju. A sada zamislimo da kružnicu, poput ostalih čunjosječnica, učenici sustavno obrađuju tek u 3. razredu srednje škole i to uglavnom analitičkim pristupom. Više nego jasno je to da taj objekt ne bi doživjeli na prirodan način. Želja nam je ukazati da bi se i ostale čunjosječnice trebale zasebno obraditi prije 3. razreda srednje škole. Jedan razlog je potreba da se ove krivulje samostalno obrade, neovisno o koordinatizaciji ravnine, budući da se one permanentno javljaju u svijetu koji nas okružuje kao i u koreliranju s drugim nastavnim predmetima još od osnovne škole. Drugi razlog jest što se primjenjujući sintetički ili neki drugi pristup mogu, uz minimalno znanje elementarne geometrije, izvesti neka zanimljiva svojstva ovih krivulja s kojima se učenici po svršetku srednjoškolske naobrazbe (a slično se može dogoditi i po svr šetku nekog matematičkog studija) nisu susreli, a koja ove krivulje čine primijenjivima u mnogim područjima i koja spadaju u opću matematičku kulturu.



Bibliografija
[1] N. Koceić-Bilan, Nastavni materijali "Konstruktivna geometrija"
 
[2] B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb (1995.)
 
[3] A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, Geometry of conics, AMS, Mathematical World, Volume: 26 (2007.)
 
[4] http://www.nabla.hr/PC-ConicsProperties2.htm
 

 

Krivulje s više fokusa

Stjepan Poljak
Tomislav Rudec

Email: stjepan.poljak@gmail.com, tomo@ffos.hr

Sažetak

Promatramo elipse i hiperbole koje su definirane s tri ili više fokusa. U prvom dijelu rada pokazat ćemo kako zapisati krivulje s dva i tri fokusa bez korijena samo pomoću standardnih operacija, kvadriranja, etc. Drugi dio rada bit će posvećen podijeli pa vladaj algoritmu kojim crtamo ovakve krivulje direktno po definiciji. U trećem dijelu rada navest ćemo neke primjere krivulja s tri, četiri ili više fokusa te dati njihov grafički prikaz.

1Uvod

Već u našim osnovnoškolskim danima, negdje u davnom petom razredu, susreli smo se s prvom krivuljom drugog reda čiju ćemo definiciju morati znati napamet, za ocjenu. Naš nastavnik je tu krivulju nazvao kružnicom i definirao ju kao skup svih točaka jednako udaljenih od jedne čvrste točke, koju vrlo često i simbolički, nazivamo središte. Nekoliko godina kasnije, dolazimo u srednjoškolske klupe i upoznajemo se s nekim drugim krivuljama drugog reda. Saznajemo što su elipsa, hiperbola i parabola. Znamo, naravno, laički rečeno, te se krivulje nazivaju krivuljama drugog reda upravo zato što je najveća potencija koju njihove varijable sadrže upravo broj dva. No, po čemu su se ipak ove tri krivulje razlikovale od kružnice? Kružnica je, imala samo jedno središte. Elipsa je, kao i hiperbola, definirana pomoću dvije čvrste točke, koje nazivamo fokusi. Parabola je pak bila definirana jednim pravcem i jednim fokusom. Prisjetimo se točnijih definicija. Rekli smo kako je elipsa skup svih točaka ravnine čiji je zbroj udaljenosti od dva fokusa jednak nekom prethodno zadanom broju (kod kružnice bi to bio polumjer). Hiperbola je, pak, skup svih točaka ravnine čija je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dva fokusa jednaka nekom prethodno zadanom broju. Ovdje je izuzetak parabola jer se ona definira kao skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od zadanog pravca i fokusa te ju stoga nećemo uključiti u naša razmatranja. Kružnica bi se, naravno, mogla nazvati specijalnim slučajem elipse ukoliko bismo imali zadana dva fokusa jednakih koordinata (ako bi se preklapali). No, mi želimo sada promatrati ovako predstavljenu stvar jedan korak dalje. Što ako bi definirali elipsu i hiperbolu općenitije? Što ako bismo riječ dva u gornjim definicijama elipse zamijenili riječju tri? Što ako bismo htjeli promatrati n fokusa? Definirajmo multifokalnu elipsu.

Definicija 1. Neka je n\in\mathbb{N}, S_{n}=\left\lbrace F_{i}:\ F_{i}\left(x_{i},y_{i}\right)\in\mathbb{R}^{2},\ i=1,\ldots,n\right\rbrace i r\in\mathbb{R}^{+}. Tada multifokalnom elipsom nazivamo skup svih točaka T\left(x,y\right) koje zadovoljavaju jednadžbu

\sum_{i=1}^{n}{d\left(F_{i},T\right)}=r,

tj. skup svih točaka ravnine čiji je zbroj udaljenosti od n unaprijed zadanih točaka (n fokusa) upravo r.

Primjedba 2. Napomenimo samo kako ćemo koristiti skraćeni zapis udaljenosti d\left(T_{1},T_{2}\right) (koja može i ne mora biti euklidska), za točke T_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) i T_{2}\left(x_{2},y_{2}\right) u ravnini. Za potrebe našeg rada podrazumijevat ćemo (osim kada je drugačije naznačeno):

d\left(T_{1},T_{2}\right)=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}.\

Definirajmo i multifokalnu hiperbolu (primijetimo da se definicija multifokalne hiperbole razlikuje od definicije multifokalne elipse po tome što ispred barem jednog člana u jednadžbi imamo negativan predznak).

Definicija 3. Neka je zadan skup S_{n}=\left\lbrace F_{i}:\ F_{i}\left(x_{i},y_{i}\right)\in\mathbb{R}^{2},\ i=1,\ldots,n\right\rbrace, gdje je n\in\mathbb{N}\backslash\left\lbrace 1\right\rbrace i neka je r\in\mathbb{R}^{+}_{0}. Definiramo skupove S^{+} i S^{-} tako da vrijedi S^{+}\cup S^{-}=S_{n}, S^{+}\neq\emptyset, S^{-}\neq\emptyset i S^{+}\cap S^{-}=\emptyset. Tada multifokalnom hiperbolom nazivamo skup svih točaka T\left(x,y\right) koje zadovoljavaju jednadžbu

\left|\sum_{i\in S^{+}}{d\left(F_{i},T\right)}-\sum_{i\in S^{-}}{d\left(F_{i},T\right)}\right|=r,

tj. skup svih točaka ravnine čija je apsolutna vrijednost od zbroja udaljenosti točaka iz S^{+} i razlike udaljenosti točaka iz S^{-} (ukupno n fokusa iz S^{+} i S^{-}) jednaka upravo r.

2Red krivulje

U ovom dijelu rada naš je cilj pokušati standardnim (bolje rečeno srednjoškolskim) metodama riješiti se korijena u gornjim jednadžbama. Dopuštamo samo potenciranje i prebacivanje članova s jedne strane jednakosti na drugu. Pokazat ćemo kako je to moguće napraviti sve do krivulja zadanih pomoću tri fokusa. No, za početak, na jednostavnijim primjerima za kružnicu i elipsu (i hiperbolu) pogledajmo kako naša metoda funkcionira. Zanemarit ćemo sve restrikcije koje se mogu pojaviti kvadriranjem, et similis. Zanima nas samo čista forma algebarskog izraza. Radi lakšeg izvoda, udaljenost d\left(F_{i},T\right), gdje su F_{i}\left(x_{i},y_{i}\right) i T\left(x,y\right) točke u ravnini, kraće ćemo označavati s d_{i}. Uočimo kako d_{i} u sebi sadrži korijen (kako je i prethodno definirana euklidska udaljenost) te kako, ako bi se htjeli riješiti korijena, svaki d_{i} mora biti parne potencije, npr. najmanje d_{i}^{2} (izuzevši trivijalnu d_{i}^{0}=1 koja nam nije od koristi), a to je izraz koji je u stvari jednak

d_{i}^{2}=\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}.

Primijetimo kako će, po uzoru na gornji primjer, u kojem je najveća potencija sadržana na x ili y varijabli drugog stupnja (naravno sve potencije moraju biti cjelobrojne), stupanj izraza d_{i}^{2k},\ k\in\mathbb{N} biti 2k-tog reda.

Primjer 4. Kružnica je, mogli bismo sada reći, multifokalna elipsa kada je n=1 (skup S_{1}); zadan je samo jedan fokus (koji nazivamo središte) u točki F_{1}(x_{1},y_{1}) i r\in\mathbb{R}^{+}. Tada je

S_{1}=\left\lbrace T\left(x,y\right):\ d\left(F_{1},T\right)=r\right\rbrace .

Riješimo se korijena u izrazu (moramo dobiti d_{1} parne potencije).

Rješenje. Potrebno je kvadrirati samo jedanput želimo li dobiti izraz bez korijena. Tada je d_{1}^{2}=r^{2}; imamo zadanu krivulju drugog reda jer je najveća potencija nad x ili y varijablom jednaka 2.

Primjer 5. Uobičajenu elipsu i hiperbolu definiramo kao multifokalnu elipsu (hiperbolu) za n=2 (skup S_{2}). Tada, ako imamo zadana dva fokusa F_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) i F_{2}\left(x_{2},y_{2}\right) te konstantu r\in\mathbb{R}^{+}, možemo generalizirano uzeti

S_{2}=\lbrace T\left(x,y\right):\ \left|d\left(F_{1},T\right)\pm d\left(F_{2},T\right)\right|=r\rbrace .

Zanima nas oblik jednadžbe \left|d_{1}\pm d_{2}\right|=r bez korijena (i d_{1} i d_{2} moraju biti parne potencije).

Rješenje. Kvadrirajmo cijeli izraz. Kvadratom dobivamo uvijek nenegativne vrijednosti pa nam je apsolutna vrijednost sada nepotrebna. Imamo

d_{1}^{2}\pm2d_{1} d_{2}+d_{2}^{2}=r^{2}.

Članovi d_{1}^{2} i d_{2}^{2} su od sada pa nadalje bez korijena te ih možemo prebaciti na desnu stranu i kvadrirati još jedanput kako bismo se riješili korijena u članu \pm2 d_{1} d_{2}.

\pm2d_{1} d_{2}=r^{2}-\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right).

Nakon kvadriranja dobivamo jednadžbu bez korijena:

4d_{1}^{2} d_{2}^{2}=r^{4}-2r^{2}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)+\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)^{2}.

No, radi potpunosti, riješimo se kvadrata na desnoj strani. Tada je:

4d_{1}^{2} d_{2}^{2}=r^{4}-2r^{2}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)+d_{1}^{4}+2d_{1}^{2} d_{2}^{2}+d_{2}^{4}.

Prebacimo li član s lijeve strane na desnu stranu imamo

r^{4}-2r^{2}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)+d_{1}^{4}-2d_{1}^{2} d_{2}^{2}+d_{2}^{4}=0.

Zapišemo posljednja tri člana s lijeve strane kao kvadrat binoma:

(1)
r^{4}-2r^{2}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)+\left(d_{1}^{2}-d_{2}^{2}\right)^{2}=0.

Promotrimo bolje izraz d_{1}^{2}-d_{2}^{2}:

d_{1}^{2}-d_{2}^{2}=\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(y-y_{2}\right)^{2}-\left(x-x_{2}\right)^{2}-\left(y-y_{2}\right)^{2}.

Lako je uočiti kako će se članovi x^{2} i y^{2} pokratiti te će ostati samo konstante (čije nam potencije nisu bitne) i članovi koji uz sebe sadrže x ili y. Tako je u jednadžbi (1) izraz u zagradi \left(d_{1}^{2}-d_{2}^{2}\right)^{2} prvog reda, a nakon kvadriranja samo drugog reda. Druge dvije najveće potencije su u d_{1}^{2}+d_{2}^{2} i one su također drugog reda. Tako smo pokazali kako su i elipsa i hiperbola krivulje drugog reda. No, tu smo imali sreće upravo zbog pokraćivanja kvadrata u izrazu d_{1}^{2}-d_{2}^{2}. Nažalost, već u elipsi i hiperboli s tri fokusa, takvo nešto se neće dogoditi te izraz postaje iznimno kompliciraniji.

Primjer 6. Promotrimo elipsu s tri fokusa,

S_{3}=\left\lbrace T\in\mathbb{R}^{2}: d\left(F_{1},T\right)+d\left(F_{2},T\right)+d\left(F_{3},T\right)=r\right\rbrace .

Analogno prethodnim primjerima, pokušajmo se riješiti korijena.

Rješenje. Prebacimo d_{3} na desnu stranu i kvadrirajmo izraz d_{1}+d_{2}=r-d_{3}; tako je sada

d_{1}^{2}+2d_{1} d_{2}+d_{2}^{2}=r^{2}-2r d_{3}+d_{3}^{2}.

Preostala su dva člana čijih se korijena moramo riješiti, a to su 2d_{1} d_{2} i -2r d_{3}; prebacimo ih na lijevu stranu, ostale članove na desnu:

2d_{1} d_{2}+2r d_{3}=r^{2}+d_{3}^{2}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2}.

Kvadriranjem dobivamo

4d_{1}^{2} d_{2}^{2}+8r d_{1} d_{2} d_{3}+4r^{2} d_{3}^{2}=\left(\left(r^{2}-d_{1}^{2}\right)+\left(d_{3}^{2}-d_{1}^{2}\right)\right)^{2}.

Prebacimo sve članove s lijeve strane na desnu, osim srednjeg člana:

8r d_{1} d_{2} d_{3}=\left(\left(r^{2}-d_{1}^{2}\right)+\left(d_{3}^{2}-d_{1}^{2}\right)\right)^{2}-4\left(r^{2} d_{3}^{2}+d_{1}^{2} d_{2}^{2}\right).

Opet kvadriramo i imamo konačnu jednadžbu

64r^{2} d_{1}^{2} d_{2}^{2} d_{3}^{2}=\left(\left(\left(r^{2}-d_{1}^{2}\right)+\left(d_{3}^{2}-d_{1}^{2}\right)\right)^{2}-4\left(r^{2} d_{3}^{2}+d_{1}^{2} d_{2}^{2}\right)\right)^{2}.

Primijetimo kako s lijeve strane imamo umnožak od tri izraza, a svaki od njih je drugog reda. Tako je ukupan red s lijeve strane šest. S desne strane pak imamo opet pokraćivanje kao kod elipse jer izraz d_{3}^{2}-d_{1}^{2} postaje prvog reda; no, to ipak ne mijenja ništa jer kvadrirajući i r^{2}-d_{1}^{2} dobivamo izraz sa zasad najvećim redom, a to je d_{1}^{4} (izraz četvrtog reda). Drugi član u cijeloj desnoj zagradi je pak isto tako četvrtog reda jer je d_{1}^{2} d_{2}^{2} umnožak dva izraza drugog reda. Stoga, kvadrirajući cjelokupnu desnu zagradu, imamo dva člana najvećeg reda, a to su d_{1}^{8} i d_{1}^{4} d_{2}^{4}; oba člana su osmog reda pa smo pokazali kako je elipsa s tri fokusa krivulja osmog reda. No, što je s hiperbolom definiranom pomoću tri fokusa? Hiperbola naravno mora sadržavati i apsolutnu vrijednost pa je potrebno još jedno kvadriranje. Pokažimo da je ipak i hiperbola definirana pomoću tri fokusa također krivulja osmog reda! Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je negativan predznak uz d_{2}:

\left|d_{1}-d_{2}+d_{3}\right|=r.

Kvadriranjem bi dobili

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+2d_{1} d_{3}-2d_{1} d_{2}-2d_{3} d_{2}=r^{2}.

Prebacimo sve članove osim -2d_{1} d_{2}-2d_{3} d_{2} na desnu stranu:

-2d_{1} d_{2}-2d_{3} d_{2}=\left(r^{2}-\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\right)\right)-2d_{1} d_{3}.

Jednostavnosti radi, označimo t_{2}=r^{2}-\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\right) i pamtimo da je t_{2} izraz drugog reda. Kvadriramo opet i sada je

4d_{1}^{2} d_{2}^{2}+8d_{1} d_{2}^{2} d_{3}+4d_{3}^{2} d_{2}^{2}=t_{2}^{2}-4t_{2} d_{1} d_{3}+4d_{1}^{2} d_{3}^{2}.

Prebacimo -4t_{2} d_{1} d_{3} na lijevu stranu, a 4d_{1}^{2} d_{2}^{2}+4d_{3}^{2} d_{2}^{2} na desnu stranu. Imamo

8d_{1} d_{2}^{2} d_{3}+4t_{2} d_{1} d_{3}=t_{2}^{2}+4\left(d_{1}^{2} d_{3}^{2}-d_{1}^{2} d_{2}^{2}-d_{3}^{2} d_{2}^{2}\right).

 Kvadriramo.

64d_{1}^{2} d_{2}^{4} d_{3}^{2}+64t_{2} d_{1}^{2} d_{2}^{2} d_{3}^{2}+16t_{2}^{2} d_{1}^{2} d_{3}^{2}=\left(t_{2}^{2}+4\left(d_{1}^{2} d_{3}^{2}-d_{1}^{2} d_{2}^{2}-d_{3}^{2} d_{2}^{2}\right)\right)^{2}.

Prva dva člana s lijeve strane su osmog reda. Kvadriranjem zagrade s desne strane dobivamo izraz najvećeg reda, a to je t_{2}^{4}, koji je, isto tako, osmog reda. Time smo pokazali i da je hiperbola s tri fokusa osmog reda. Možemo li istim postupkom doći i do jednadžbe krivulje definirane s četiri ili više fokusa (tako da ne sadrže korijene)? Taj problem ćemo za sad ostaviti sa strane jer se povećavanjem broja fokusa povećava entropija među članovima jednadžbe, a time se otvaraju i vrata za mnoge druge mogućnosti rješavanja korijena. Za sada, intuitivno, ovakvim gornjim naivnim postupkom, možemo olako reći kako nije moguće. Isto tako, bilo bi krajnje besmisleno pokušati gornji izraz zapisati pomoću x i y varijabli jer je jednadžba jednostavno prekompleksna za takav pothvat, a broj članova je daleko veći nego u slučaju elipse; možemo procijeniti taj broj ako nam je dopušteno ići do osme potencije. Imamo 16 različitih članova za kombinaciju (x,\ldots,x^{8},y,\ldots,y^{8} u parovima), a to je 8\cdot 8=64. Uzmemo li u obzir i slobodan član, to otvara mogućnost za čak 65 članova. Čak i kada bismo zapisali sve te članove, iz njih ne bismo mogli vidjeti ništa što bi nam dalo nekakvu korisnu informaciju o krivulji. Ljepota, čini se, leži u jednostavnosti.

3Algoritam

Cilj ovog rada je zapravo demonstrirati, pokazati primjere krivulja koje možemo dobiti generalizacijom definicija elipse i hiperbole. No, kako ne možemo čak ni za elipsu osmisliti nekakvu jednostavnu jednadžbu za direktno izračunavanje, moramo se poslužiti raznim trikovima koje nam rad na računalu i malo razmišljanja može pružiti. Ideja je ostaviti definicije elipse i hiperbole takve kakve jesu, kao skup točaka čiji je zbroj i/ili razlika udaljenosti od fokusa neki zadan broj i uopće ne pokušavati rješavati se korijena. Ideja je ići od točke do točke na nekom području u ravnini i gledati kolika je vjerojatnost njenog pojavljivanja unutar skupa (elipse, hiperbole ili slično). No, ići od jedne do druge točke, čak i ako je u pitanju prikaz na monitoru rezolucije samo 800\times 600 pixela, je veoma dugotrajan posao. Stoga koristimo drugačiji pristup, podijeli pa vladaj algoritam koji radi na sljedeći način: podijelimo ekran na četiri kvadranta. U svakom od ta četiri kvadranta promatramo samo jednu točku. Računamo udaljenost te točke od fokusa i uz predodređenu preciznost gledamo postoji li mogućnost nalaženja još točki u tom kvadrantu. Ukoliko imamo dovoljan razlog vjerovati kako unutar kvadranta nećemo naći više točki, taj kvadrant zaboravljamo i idemo dalje. Ukoliko mislimo kako bi unutar nekog kvadranta moglo postojati još točki koje zadovoljavaju uvjete skupa tada taj kvadrant dijelimo dalje na četiri kvadranta i postupamo kao i za prošla četiri kvadranta i tako dalje do određene profinjenosti.

Sama struktura algoritma ovdje nije problem. Dijelimo ravninu na četiri dijela i radimo to proizvoljno dugo. Problem je odrediti parametar kojim određujemo udaljenost. Kada imamo euklidsku udaljenost - stvar je jasna. No, kada podijelimo ravninu na četiri dijela, uzmimo za primjer, ravninu veličine 256\times 256. Tada možemo promatrati četiri kvadranta veličine 128\times 128. Imamo četiri točke koje određuju te kvadrante, a to su (0,0), (0,128), (128,0) i (128,128). Treba izračunati zbroj i/ili razliku udaljenosti tih točki od fokusa i vidjeti jesu li one otprilike jednake nekom broju r (iz definicije elipse i hiperbole). Problem je u tome što prelaskom na ovakav diskretan sustav gubimo informacije o udaljenostima. Intuitivno, mogli smo pretpostaviti kako će se još točki nalaziti u kvadrantu (točka T_{i}, gdje je i=1,2,3,4) ako vrijedi \left|\delta\left(T_{i}\right)-r\right|\leq p d\sqrt{2}, gdje je \delta\left(T_{i}\right) funkcija koja vraća zbroj i/ili razliku udaljenosti točke od svih zadanih fokusa. Također, p je parametar kojim određujemo preciznost, a d je dimenzija kvadranta (u našem slučaju 128). Nekako smo smatrali kako ćemo odabirom p=1 pokupiti sve potrebne točke, no ispostavilo se kako to vrijedi samo za mali broj fokusa. Povećanjem broja fokusa, gubimo više točki; stoga intuitivno razmišljamo kako zbog gubitka podataka ne možemo tako olako uspoređivati udaljenosti te moramo uzeti u obzir koliko smo njih zbrojili i/ili oduzeli. Kada je zbrajanje u pitanju, eksperimentalno se pokazalo da je dovoljno uzeti za p broj fokusa ako je u pitanju samo zbrajanje. Ako je u pitanju i oduzimanje neke udaljenosti, sustav postaje kaotičniji i teže je odrediti parametar p (ako nam je optimalnost nužna). Ipak, trivijalno je za vidjeti da, što dublje idemo u rekurziju (što dulje izvršavamo algoritam), to nam p smije biti veći; kupit ćemo više točki pri "silasku", ali ćemo zbog duljine "silaska" poprilično profiniti izbor točki.

4Primjeri

Posljednji dio rada posvećen je isključivo konkretnim primjerima1 nekih krivulja dobivenih korištenjem definicije multifokalne elipse i hiperbole. U prvom primjeru vidjet ćemo kakve sve krivulje možemo dobiti ako fokusi čine vrhove jednakostraničnog trokuta (ako je udaljenost između svaka dva fokusa jednaka). U drugom primjeru pokazat ćemo primjere krivulja gdje fokusi čine vrhove kvadrata, a u trećem neke "slučajno dobivene" krivulje. Primijetimo kako su fokusi na slikama označeni sivom bojom - tamno sivom ako je uz udaljenost točke do tog fokusa pozitivan predznak, a svijetlo sivom ako je negativan.

Primjer 1. Neka su zadani fokusi sa sljedećim koordinatama:

\bullet

F_{1}\left(200,366.6\right),

\bullet

F_{2}\left(150,250\right),

\bullet

F_{3}\left(250,250\right).

Na Slici 1. prikazani su rezultati dobiveni korištenjem sljedećih jednadžbi (pod (a) i (b) definirane su hiperbole s tri fokusa, a pod (c) i (d) elipse s tri fokusa):

\bullet

[(a)]H_{1}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ \left|d\left(T,F_{2}\right)+d\left(T,F_{3}\right)-d\left(T,F_{1}\right)\right|=0\right\rbrace,

\bullet

[(b)]H_{2}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ \left|d\left(T,F_{3}\right)-d\left(T,F_{1}\right)-d\left(T,F_{2}\right)\right|=4\right\rbrace,

\bullet

[(c)]E_{1}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ d\left(T,F_{1}\right)+d\left(T,F_{2}\right)+d\left(T,F_{3}\right)=200\right\rbrace,

\bullet

[(d)]E_{2}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ d\left(T,F_{1}\right)+d\left(T,F_{2}\right)+d\left(T,F_{3}\right)=173.19\right\rbrace.

(a)
(b)
(c)
(d)

Slika 1: Vrhovi jednakostraničnog trokuta.

 

Ne ulazeći u dublju analizu ovakvih figura, prepuštamo čitatelju za provjeru kako se u krivulji na slici 1. pod (a) zapravo radi o luku trokutu opisane kružnice; zatim, kako se u krivulji pod (c) radi o uniji lukova kružnica povučenih iz svakog pojedinačnog vrha trokuta te kako se u točki pod (d) zapravo radi o središtu trokutu opisane i upisane kružnice (a i o težištu i ortocentru jer imamo vrhove jednakostraničnog trokuta).

Primjer 2. Neka su zadani fokusi sa sljedećim koordinatama:

\bullet

F_{1}\left(150,250\right),

\bullet

F_{2}\left(250,250\right),

\bullet

F_{3}\left(250,350\right),

\bullet

F_{4}\left(150,350\right).

Na Slici 2. prikazani su rezultati dobiveni korištenjem sljedećih jednadžbi (pod (a) i (b) definirane su hiperbole s četiri fokusa, a pod (c) i (d) elipse s četiri fokusa):

\bullet

[(a)]H_{1}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ \left|d\left(T,F_{4}\right)+d\left(T,F_{2}\right)-d\left(T,F_{3}\right)-d\left(T,F_{1}\right)\right|=0\right\rbrace,

\bullet

[(b)]H_{2}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ \left|d\left(T,F_{4}\right)+d\left(T,F_{2}\right)-d\left(T,F_{3}\right)-d\left(T,F_{1}\right)\right|=25\right\rbrace,

\bullet

[(c)]E_{1}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ d\left(T,F_{1}\right)+d\left(T,F_{2}\right)+d\left(T,F_{3}\right)+d\left(T,F_{4}\right)=340\right\rbrace,

\bullet

[(d)]E_{2}=\left\lbrace T(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ d\left(T,F_{1}\right)+d\left(T,F_{2}\right)+d\left(T,F_{3}\right)+d\left(T,F_{4}\right)=282.84\right\rbrace.

(a)
(b)
(c)
(d)

Slika 2: Vrhovi kvadrata

 

Uzeli smo analogne primjere vrhovima jednakostraničnog trokuta za vrhove kvadrata. Na slici 2. pod (a) možemo primijetiti kako je krivulja sačinjena od dva okomita pravca (polako prelazeći iz stanja u kakvom je pod (b) kada smanjujemo r s 25 na 0); u oba slučaja se radi o hiperboli. Druga dva slučaja su elipse, pod (c) smo uzeli krivulju koja prolazi kroz fokuse, a pod (d) je rezultat jedna točka, a to je sjecište dijagonala (opet prepuštamo čitatelju provjeru o kakvoj se točki radi i kako ona zadovoljava jednadžbu skupa E_{2}). Zanimljivo kako zapravo pod elipsom obično smatramo onu jednu dosadnu krivulju koju radimo kroz srednju školu, ne uzimajući u obzir da elipsa može biti i samo jedna točka ili pak dva okomita pravca! U egzotičnost ovakvih krivulja uvjerit će nas još par idućih primjera multifokalnih elipsi i krivulja prikazanih na slici 3.

(a)
(b)
(c)

Slika 3: Razne krivulje

 

5Zaključak

U ovom radu napravili smo kratku obradu općenitijih definicija elipse i hiperbole. Vidjeli smo samo nekoliko primjera od beskonačno mnogo raznih drugačijih postavki, uvjeta i slično. Mogli smo sustave učiniti još kaotičnijim i dodati udaljenosti od nekih pravaca, kružnica, drugih geometrijskih tijela, skupova, funkcija i tako dalje i tako dalje. Također, nije ostavljeno niti dovoljno mjesta u radu za krivulje koje bi mogli dobiti mijenjanjem definicija udaljenosti (mi smo promatrali samo euklidsku udaljenost, a mogli smo dodati u definiciju npr. i trigonometrijske funkcije za eksponencijalno egzotičnije krivulje). No, što više parametara dodajemo, to je teže (i u neku ruku besmislenije) s ovakvim krivuljama raditi, pogotovo algebarski. Stoga smo i koristili numerički algoritam koji divide-and-conquer metodom pronalazi područja u kojima se najvjerojatnije nalaze točke naših krivulja (ovakav algoritam bi se pak mogao bolje iskoristiti u CUDA okružju). Ostaje otvoreno pitanje (što se naših istraživanja tiče), kada i kako se jednadžbe ovakvih krivulja mogu prikazati bez korijena (i ima li to uopće smisla jer se broj članova povećava kvadratno obzirom na red krivulje). Ostaje otvoreno pitanje i kako saznati kojeg će reda biti krivulja bez rješavanja korijena. Ah, bien! Ako dotad autori ovoga rada ne pronađu tražene odgovore, možda se pronađe neki čitatelj koji bi mogao riješiti sve probleme navedene u ovom minijaturnom zaključku! Ako ništa drugo, uvijek je zabavno igrati se sa svim ovim definicijama i promatrati nove rezultate i nove krivulje.{plain}

Bibliografija

 [1]

Nie, Jiawang; Parrilo, Pablo A.; and Sturmfels, Bernd. Semidefinite Representation of the k-Ellipse, IMA Volumes in Mathematics and its Applications, Vol. 146, pp. 117-132, 2008

 [2]

Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L.; and Stein, Clifford. Introduction to Algorithms (Second ed.), MIT Press and McGraw-Hill. pp. 822–848. ISBN 0-262-03293-7, 2001.
  

 

Poincareov i Kleinov model

Poincareov i Kleinov model hiperboličke ravnine
 
 
 

 

U ovom dodatku prikazane su dvije animacije pravca i točke u Klein Poincareovom modelu hiperboličke ravnine. (tekst urednika).

 


pravacKleinPoincare.avi


tockaKleinPoincare.avi

Vedrana Mikulić Crnković
Ivona Novak

 

Trisekcija kuta

Marko Srebačić



Trisekcija kuta, još od starih Grka zadavala je glavobolje matematičarima, koji su je pokušavali riješiti samo uz pomoć ravnala i šestara. Takav način rješavanja konstrukcije postavila je Platonova akademija.

Matematičari su dolazili do različitih rješenja ovoga problema, od blago rečeno uzaludnih do poprilično približnih, pa sve do točnih rješenja uz pritom korištenih pomoćnih krivulja ili drugih sredstava. Na posljetku matematičari su došli do zaključka da trisekcija kuta ne može riješiti uz pomoć euklidskih konstrukcija.

Tema je obrađena s povijesnog stajališta i pokazana je nekoliko rješenja dobivenih neeuklidskim metodama do kojih su došli slavni matematičari. Također pokazane su dvije približne konstrukcije trisekcije kuta, do kojih se došlo euklidskim metodama. Uz primjer načina konstrukcija, prikazana su i "rješenja" kojima je prikazano kolika su odstupanja s tim načinom rješavanja navedenog problema.

 

Povijest trisekcije kuta


Geometrijske konstrukcije predstavljale su značajan dio matematike starih Grka. Oni su konstrukcije vršili isključivo ravnalom i šestarom, pri čemu su ravnalo koristili za spajanje dviju točaka, a šestar za crtanje kružnica, kojima su unaprijed poznati središte i radijus. Akademija koja je postavila takva pravila, bila je Platonova akademija, koja je djelovala od 387. godine prije nove ere, do 529. godine nove ere. Navedeni pristup geometrijskim konstrukcijama doveo je do niza matematičkih problema, među kojima su najpoznatija tri: kvadratura kruga, duplikacija kocke i trisekcija kuta. Važno je napomenuti da su pokušaji rješavanja tih problema doveli do velikog razvoja tadašnje matematike, a matematičarima diljem svijeta ovi su problemi i danas jednako zanimljivi.

Problem trisekcije kuta bio je poznat Grcima još iz doba Antike. Stoljećima su matematičari tražili eukidske konstrukcije, koristeći samo ravnalo i šestar, pa isto tako i druge pristupe: točna rješenja pomoću pomoćnih krivulja i približne vrijednosti euklidskih metoda. Najutjecajniji matematičari koji su se bavili ovim problemom bili su Grci Hipija, Arhimed i Nicomedes. Rani rad na tom problemu pokazuje svaki zamisliv stupanj vještine, u rasponu od najviše uzaludnih,do izvrsnih približnih rješenja, kao i genijalno rješenje koristeći "više" krivulje. Matematičari su na kraju došli do empirijskog zaključka da se problem trisekcije kuta ne može riješiti putem euklidskih konstrukcija, ali to je uzdiglo dublji problem: potreba za dokazom njegove nemogućnosti pod navedenim ograničenjima.

Prema tradicionalnoj klasifikaciji korištenoj u Antici postoje tri vrste problema u geometriji:ravnine, čvrstog tijela i linearan. Problem ravnine je takav problem koji se može riješiti euklidskim metodama, koristeći ravne linije i kružnice. Koristeći jedan ili više dijelova konusa, pod nazivom površina stošca, rješavamo problem čvrstog tijela. Problemi koji uključuju druge linije osim prethodnih navedenih, koje imaju manje prirodne i složenije izvore jer su generirane od više nepravilnih površina ili čisto mehaničkih konstrukcija, zovu se linearni. Rani matematičari su posebno bili zainteresirani za trisekciju kuta uz pomoć metode ravnine. Kako se uspostavilo, trisekcija kuta nije problem ravnine, već problem čvrstog tijela. To je razlog zašto rani matematičari nisu uspjeli pronaći opću konstrukciju trisekcije kuta uz pomoć euklidskih konstrukcija, iako su našli elegantna rješenja temeljena na korištenju konika i drugih sofisticiranih krivulja.

Trisekcija kuta ili općenitije, podjela kuta na bilo koji broj jednakih dijelova, prirodni je nastavak problema bisekcije kuta, koji je riješen u antičko doba. Euklidsko rješenje za problem bisekcije kuta, kao što je navedeno u njegovom djelu "Elementi", je kako slijedi:

" Napraviti bisekciju pravolinijskog kuta: Neka je kut \(BAC\) zadani pravolinijski kut. Stoga je potrebno da ga prepolovimo. Neka je točka \(D\) nasumično uzeta na \(AB\); neka se na \(AC\) odsiječe \(AE\) koji je jednak \(AD\); spojimo točke \(D\) i \(E\) i neka se na \(DE\) konstruira jednakostraničan trokut \(DEF\); spojimo točke \(A\) i \(F\). Kažemo da je ravna linija \(AF\) prepolovila kut \(BAC\). Jer, budući da je \(AD\) jednaka \(AE\) i \(AF\) im je zajednička, dvije stranice \(DA\) i \(AF\) su jednake dvjema stranica \(EA\) odnosno \(AF\). Baza \(DF\) jednaka je bazi \(EF\); stoga kut \(DAF\) jednak je kutu \(EAF\). Stoga je dani pravolinijski kut \(BAC\) podijeljen na dva jednaka dijela ravnom linijom \(AF\)".

Postoji nekoliko načina po kojima je problem trisekcije kuta različit od preostala dva klasična problema. Prvi je taj da nema stvarnu povijest koja se odnosi na način kojim se  ovaj problem prvi put počeo proučavati. Drugo, to je problem sasvim druge vrste. Čovjek ne može kvadrirati krug, niti može duplicirati kocku. Ali, moguće je napraviti trisekciju kuta za određene kutove. Za primjer prilično je jednostavno napraviti trisekciju pravog kuta. Za dani pravi kut \(CAB\) konstruiraj kružnicu takvu da siječe \(AB\) u točki \(E\). Konstruiramo drugu kružnicu jednakog radijusa sa centrom u točki \(E\). Sjecište dviju kružnica je točka \(D\). Tada je trokut \(DAE\) jedankostraničan i stoga je kut \(DAE = 60^{\circ}\) i kut \(DAC = 30^{\circ}\). Time je riješena trisekcija kuta \(CAB\).

Iako je teško dati točan datum kada se problem trisekcije kuta prvi put pojavio, zna se da je Hipokrat, koji je dao prvi veliki doprinos problemu kvadriranju kruga i duplikacije kocke, također proučavao problem trisekcije kuta. Postoji prilično jednostavan način trisekcije kuta koji je poznat Hipokratu.

On funkcionira na sljedeći način. S obzirom na dani kut \(CAB\) konstruiramo okomicu \(CD\) na \(AB\) tako da ju siječe u točki \(D\). Konstruiramo pravokutnik \(CDAF\). Produžimo \(FC\) do točke \(E\) i tada spojimo \(A\) i \(E\) tako da siječe \(CD\) u \(H\). Točka \(E\) je odabrana tako da \(HE=2AC\). Sada je kut \(EAB\) jednak \(\frac{1}{3}\) od kuta \(CAB\).

Kako bi se to vidjelo, neka je \(G\) polovište od \(HE\) tako da \(HG=GE=AC\). Kako je \(ECH\) pravi kut, stoga je \(CG=HG=GE\). Sada je \( \measuredangle EAB=\measuredangle CEA=\measuredangle ECG\). Također, budući da je \(AC\)=\(CG\) tada je kut \(CAG\) jednak kutu \(CGA\). Ali \(\measuredangle CGA=\measuredangle GEC+\measuredangle ECG=2CEG=2EAB\) kako je potrebno.

Jedan od razloga zašto je problem trisekcije kuta bio manje privlačan od preostala dva problema kod grčkih matematičara je da iako konstrukcija iznad nije moguća s neoznačenim ravnalom i šestarom, ipak je lako provediva u praksi. Mehanički tip rješenja je lako za naći. Dovoljno je označiti duljinu od \(2AC\) na desnoj strani ravnala, a zatim klizimo ravnalom s jednim označenim krajem po \(CD\) i drugim krajem po polupravcu \(FC\) do te mjere da ravnalom definiramo pravac kroz \(A\). Trisekcija je nađena na prilično jednostavan mehanički način.


Dokaz nerješivosti


Da se dokaže nerješivost ove konstrukcije ravnalom i šestarom, dovoljno je da to dokažemo za jedan posebni kut.

Na temelju Moivreove formule imamo \[(\cos\frac{\varphi }{3}+i\sin\frac{\varphi }{3})^{3}=\cos \varphi +i\sin \varphi \]
\[\scriptsize (\cos^3\frac{\varphi}{3}-3\cos\frac{\varphi}{3}\sin^2\frac{\varphi}{3})+i(3\cos^2\frac{\varphi}{3}\sin\frac{\varphi}{3}-\sin^3\frac{\varphi}{3})=\cos\varphi + i\sin\varphi\]

Odatle slijedi \[\sin\varphi=3\cos^{2}\frac{\varphi }{3}\sin\frac{\varphi }{3}-\sin^{3}\frac{\varphi}{3} \]

ili\[\sin\varphi=3\sin\frac{\varphi }{3}-4\sin^{3}\frac{\varphi }{3}.\]

Neka je uz jediničnu dužinu dan i kut \(\varphi\). Sada možemo smatrati \(\sin\varphi\) kao danu veličinu, a \(\sin\frac{\varphi}{3}\) traženu veličinu. Uvrstimo li sada \[\sin\varphi = a\] \[\sin\frac{\varphi}{3}=x\] u gornju jednadžbu, dobijemo \[4x^3-3x+a=0.\]

Uvrstimo ovdje još \(y=2x\) i dobijemo \[y^3-3y+2a=0.\]

Promotrit ćemo dalje poseban slučaj trisekcije kuta od \(30^{\circ}\). Kako je \(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\), pa je onda \(a=\frac{1}{2}\), pa je gornja jednadžba oblika \[y^3-3y+1=0.\]

Kad bi ova konstrukcija bila rješiva tada bi gornja jednadžba morala imati jedno iz racionalnih brojeva konstruktibilno rješenje. Prema teoremu

Ako kubna jednadžba \[x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\] s racionalnim koeficijentima nema ni jedno racionalno rješenje, onda ni jedno njeno rješenje nije konstruktibilno iz racionalnih brojeva.

 bi tada jednadžba \(y^3-3y+1=0\) morala imati barem jedno racionalno rješenje i to bi rješenje prema teoremu

Ako neka kubna jednadžba \[x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\] s cjelobrojnim koeficijentima ima racionalno rješenje \(x_1\), tada je taj \(x_1\) cijeli broj i djelitelj od \(a_0\).

 moralo biti djelitelj od 1. Kako ni -1 ni +1 nije rješenje od \(y^3-3y+1=0\), to smo time došli do proturječja, odakle vidimo da ova geometrijska konstrukcija nije rješiva ravnalom i šestarom.

Kako možemo neograničeno mnogo vrijednosti od \(a\) navesti za kojih jednadžba \(y^3-3y+2a=0\) vodi opet do nerješivosti odgovarajuće konstrukcije, to očito ima neizmjerno mnogo kutova kod kojih trisekcija nije izvediva ravnalom i šestarom.

Promotrimo kratko još nekoliko slučajeva kada je trisekcija kuta rješiva. Kut od \(90^{\circ}\) očito možemo lako podijeliti na tri dijela. U tom slučaju je \(a=1\), pa jednadžba \(y^3-3y+2a=0\) glasi sada \[y^3-3y+2=0,\] pa se lako provjeri rješivost konstrukcije.

Dalje je očito da ako je za neki kut \(\alpha\) trisekcija rješiva, tada je i za polovicu od \(\alpha\) također trisekcija rješiva. Općenito je za svaki kut oblika \(\frac{\pi }{2^{n}}\), gdje je \(n\) neki pozitivni cijeli broj, trisekcija rješiva.

Osim ovih slučajeva, postoje još i drugi kutovi za koje je trisekcija izvediva. Neka je \(s\) mjerni broj dužine koju smo dobili bilo kojom konstrukcijom iz jedinične dužine. Uvrstimo \[\sin\varphi=a=s^3-3s,\] pa je time moguće konstruirati i kut \(\varphi\). Pripadna jednadžba je sada oblika \[y^3-3y-s^3+3s=0.\] Rješenje ove jednadžbe je \(s\), pa je time i trisekcija ovog kuta izvediva.


Arhimedova konstrukcija - trisekcija kuta pomoću trake papira


Kao što je poznato, ovaj problem se ne može riješiti sa šestarom i ravnalom. Pretpostavimo li uporabu još drugih pomagala, mogu se napraviti takve konstrukcije. Tako ćemo sada prikazati vrlo jednostavno i s teorijskog gledišta vrlo zanimljivo rješenje trisekcije kuta pomoću ravnala, šestara i trake papira.

 Ova metoda, to jest konstrukcija je dana u arapskom djelu "Knjiga lema" koja se pripisuje Arhimedu. Sigurno ovo djelo nije samo prijevod arhimedovih radova, jer je Arhimed citiran nekoliko puta u djelu na takav način da si ne može to pripisati za sebe. Međutim većina povjesničara matematike vjeruje da mnogi rezultati u "Knjiga lema" doista dobiveni zbog Arhimeda i rezultat trisekcije kuta je toliko u duhu njegovog rada na spirali da je široko prihvaćeno da je ova metoda doista Arhimedova.

Uzimamo \(S\) kao vrh kuta \(\Phi\)  kojega ćemo podijeliti na tri jednaka dijela. Konstruiramo kružnicu radijusa \(r\) koja presijeca krakove kuta \(\Phi\) u točkama \(A\) i \(B\). Nanesemo na rub trake papira točke \(Q\) i \(P\) tako da je \(\left | QP \right |=r\). Položimo tu traku papira na našu ravninu crteža tako da joj točka \(Q\) bude na pravcu \(SA\) i da joj rub prolazi točkom \(B\). tu traku sada pomičemo tako sa točka \(Q\) ostaje na pravcu \(SA\) i da joj rub stalno prolazi kroz \(B\), i to tako dugo dok joj točka \(P\) ne padne u točku na kružnici. Tada \(\measuredangle PQS=\varphi\) je jedna trećina danog kuta \(\Phi\).

 DOKAZ: Kako je \(PS\)=\(PQ\) \(\left ( =r \right )\), \(\bigtriangleup PQS\) je jednakokračan pa je stoga i \(\measuredangle PSQ\) veličine \(\varphi \), dok je vanjski kut \(\measuredangle SPB\) tada jednak \(2\varphi\). Kako je \(\bigtriangleup SPB\) također jednakokračan, \(\measuredangle SBP\) = \(\measuredangle SPB\) = \(2\varphi\). Konačno, kako je vanjski kut \(\Phi\) u vrhu \(S\) trokuta \(\bigtriangleup SBQ\) jednak zbroju dva nesusjedna unutarnja kuta \(\measuredangle SQB\) i \(\measuredangle SBQ\), doznajemo da je \(\Phi =\varphi +2\varphi\) ili \[\varphi =\frac{1}{3}\Phi. \]


Trisekcija kuta pomoću fiksne hiperbole


Problem trisekcije kuta se također može riješiti uz pomoć fiksne hiperbole, kako je grčki matematičar Pappus pokazao u svojem genijalnom remek-djelu \(\Sigma \upsilon \nu \alpha \gamma \omega \gamma \alpha \iota\) \(\mu \alpha \theta \eta \mu \alpha \tau \iota \kappa \alpha \iota\) (Collectiones mathematicae ili matematičke zbirke).

Kako bi razumjeli konstrukciju prvo moramo riješiti sljedeći problem: Pronađi  geometrijsko mjesto točaka vrha \(P\) trokuta \(ABP\) sa fiksnom bazom \(AB\) kada su kutovi baze \(\alpha \) i \(\beta\) jedan prema drugome u omjeru 2:1.

Neka je \(AB = 3k\), \(AP = u\). Položimo kut \(\beta\) u točki \(P\) na dužini \(PB\) i odredimo točku \(Q\) kao mjesto presijecanja kraka kuta \(\beta\) i dužine \(AB\). Trokuti \(BPQ\) i \(APQ\) su jednakokračni ( \(\measuredangle AQP\) je kao vanjski kut od trokuta \(BPQ\) jednak \(2\beta = \alpha\)); stoga slijedi \(AP = QP = BQ = u\). Tada produžimo \(AB\) za \(BC = k\) i postavimo da je \(CP\) jednako \(v\). Iz lika \(AQCP\) slijedi, prema Stewartovom teoremu (vidi http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart's_theorem), da je \[v^{2}-u^{2}=CA\cdot CQ=4k(k+u)\] ili \[v^{2}=(u+2k)^{2},\] jednostavnije \[v = u+2k\] ili isto \[v-u = 2k.\]

Ovo je jednadžba geometrijskog mjesta točaka sa kooordinatama \(u , v\).

Geometrijsko mjesto točaka je dakle hiperbola sa žarištima u točkama \(A\) i \(C\) i glavnom osi \(BD = 2k\). ( \(D\) leži između \(A\) i \(B\) tako da prema jednadžbi geometrijskog mjesta točaka \(v-u = 2k, CD = 3k\), i \(AD = k\).

Razmotrimo sada da je hiperbola nacrtana za svaki \(k\). ( Dovoljno je uzeti u obzir polovicu krivulje koja pripada žarištu \(A\) i da je iznad glavne osi.)

Tada nazovimo vanjski kut trokuta \(ABP\) u vrhu \(P\) \(\omega\), to jest \[\measuredangle ABP=\beta =\frac{1}{3}\omega. \]

DOKAZ: Iz \(\measuredangle APB=180^{\circ}-\omega \) zaključujemo da je \(\alpha +\beta =\omega\) i iz toga slijedi ( zato jer je \(\alpha=2\beta\)), \(3\beta=\omega\).


Primjeri "konstrukcija"


Literatura

  1. Dorrie - 100 Great Problems Of Elementary Mathematics
  2. Palman - Geometrijske konstrukcije
  3. http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/jackter.html
  4. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Trisecting_an_angle.html

Morleyev teorem

Petra Lipovača, Doris Jurišić, Anja Kocijan

Matematičari su od davnina pokazivali osobito zanimanje za izrađivanje geometrijskih konstrukcija s ravnalom i šestarom. Nemogućnost podjele glavnih kutova na tri jednaka dijela s pomoću tih pomagala skrenula je pozornost na podjelu bilo kojeg kuta. Upravo to je bio razlog kasnog pojavljivanja sljedećeg teorema koji glasi: susjedni parovi trisektrisa kuta trokuta uvijek se sijeku na vrhovima jednakostraničnog trokuta. Ovaj teorem otkrio je tek 1904. angloamerički matematičar Frank Morley.

 

Životopis

Frank Morley rođen je 9. rujna 1860. godine u Velikoj Britaniji u obitelji protestanata. Pohađao je gimnaziju u Woodbridgeu, diplomirao 1884. na Cambridgeu. Bio je jedan od vodećih matematičara. Bavio se najviše algebrom i geometrijom. Osim što je bio izvanredan matematičar, bio je i odličan šahist, te je pobijedio Emanuela Laskera koji je u to vrijeme bio šahovski prvak. Nakon što je diplomirao, Morley je podučavao matematiku. Od 1889. živio je u SAD-u gdje se i oženio. Imao je tri sina među kojima se najviše isticao Frank koji je surađivao s ocem, te su zajedno izdali tri knjige. Zajedno su napisali "Raspravu o teoriji funkcija" 1919., "Uvod u teoriju analitičke funkcije" 1898. i "Inverznu geometriju" 1933. Od 1919. do 1920. Morley je bio predsjednik Američkog matematičkog društva.

Problem trisekcije kuta

Problem trisekcije kuta (dijeljenja kuta na tri jednaka djela):

Za dani kut \(\phi\) mjernog broja (veličine) \(\phi\) treba konstruirati kut mjernog broja \(\frac{\phi}{3}\)

Dokaz nerješivosti:

 Da se dokaže nerješivost konstrukcije ravnalom i šestarom, dovoljno je da to dokažemo za jedan poseban kut.

 Na temelju Moivreove formule imamo:

\[(\cos\frac{\phi}{3}+ i\sin\frac{\phi}{3})^3 = \cos\phi + i\sin\phi\] \[(\cos^3\frac{\phi}{3}-3\cos\frac{\phi}{3}\sin^2\frac{\phi}{3})+i(3\cos^2\frac{\phi}{3}\sin\frac{\phi}{3}-\sin^3\frac{\phi}{3})=\cos\phi + i\sin\phi\]

Slijedi:  \[\sin\phi=3\cos^2\frac{\phi}{3}\sin\frac{\phi}{3}-\sin^3\frac{\phi}{3}\]

ili \[\sin\phi=3\sin\frac{\phi}{3}-4\sin^3\frac{\phi}{3}.\]

Sada možemo smatrati da je \(\sin\phi\) dana veličina, a \(\sin\frac{\phi}{3}\) tražena veličina.

Uvrstimo li  \(\sin\phi=a\) i \(\sin\frac{\phi}{3}=x\),

dobijamo \(4x^3-3x+a=0\).

Ako uvrstimo da je \(y=2x\), dobijemo \(y^3-3y+2a=0\) 

 

Sada promotrimo slučaj trisekcije kuta od 30˚

\(\sin{30\circ}=\frac{1}{2}\), iz toga slijedi da je \(a=\frac{1}{2}\), pa jednadžba glasi: \(y^3-3y+1=0\)

Kada bi ova konstrukcija bila rješiva, tada bi gornja jednadžba morala imati jedno iz racionalnih brojeva konstruktibilno rješenje.

Prema teoremu koji kaže da kubna jednadžba \(x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\) s racionalnim koeficijentima nema ni jedno racionalno rješenje, slijedi da ni jedno njeno rješenje nije konstruktibilno iz racionalnih brojeva", pa bi tada jednadžba \(y^3-3y+1=0\) morala imati barem jedno racionalno rješenje. To bi rješenje prema teoremu:"ako neka kubna jednadžba  \(x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\) s cjelobrojnim koeficijentima ima racionalno rješenje \(x_1\), tada je taj \(x_1\) cijeli broj i djeljtelj od \(a_0\)" moralo biti djeljitelj od 1.

Budući da mi imamo rješenja -1 i 1, a ona nisu rješenja od \(y^3-3y+1=0\), dolazimo do proturječja, odakle vidimo da ova geometrijska konstrukcija nije rješiva ravnalom i šestarom.

 

Razmotrimo još slučaj  kuta od 90 ̊

Trisekcija kuta je rješiva, kut možemo podijeliti na tri djela.

U tom slučaju je \(a=1\), pa iz jednadžbe:

\(y^3-3y+2a=0\) slijedi \(y^3-3y+2=0\).

Općenito vrijedi da je \(2a\) svaki kut oblika \(\frac{\pi}{2^n}\) gdje je \(n\) neki pozitivni cijeli broj te da je u tom slučaju trisekcija rješiva.

Osim ovih slučajeva postoje i drugi kutovi za koje je trisekcija izvediva.

Ako uzmemo da je s mjerni broj dužine koju smo dobili bilo kojom konstrukcijom iz jedinične dužine i uvrstimo

\(\sin\phi=a=s^3-3s\), pa je time moguće konstruirati i kut \(\phi\).

Sada je pripadajuća jadnadžba ovakvog oblika:

\(y^3-3y-s^3+3s=0\).

Rješenje te jednadžbe je s, pa je time i trisekcija kuta izvediva.

Zbog problema podjele kuta na tri jednaka dijela, odnosno trisekcije, teorem je otkriven tek 1904.

 

Trisekcija kuta s pomoću trake papira

Ovdje je riječ o mogućnosti izvedbe neke konstrukcije s pomoću ravnala i šestara, a pretpostavimo li uporabu još drugih pomagala, takve se konstrukcije eventualno mogu riješiti.

Sljedeća slika prikazuje vrlo jednostavno i s teorijskog gledišta vrlo zanimljivo rješenje trisekcije kuta pomoću šestara, ravnala i trake papira.

 

 

Dan je kut \(3\phi\). Opišemo oko vrha O tog kuta kružnicu polumjera r koja siječe krakove kuta u točkama E i C, zatim nanesemo na rub trake papira točke A i B tako da je duljina AB jednaka duljini polumjera. Položimo tu traku papira na našu ravninu crteža tako da joj točka A bude na pravcu OE i da joj rub prolazi točkom C. Tu traku sada pomičemo tako da točka A bude na pravcu OE i da joj rub stalno prolazi kroz točku C i to tako dugo dok joj točka B ne padne u točku na kružnici.

Ako dalje kut OAB označimo s \(\phi\), lako vidi da kut OBC iznosi \(2\phi\), a kut EOC iznosi \(3\phi\).

Teorem i dokaz

Sjecišta susjednih trisektrisa kutova nekog trokuta su vrhovi jednog jednakostraničnog trokuta.

Prvi dokaz:

Označimo li promatrani trokut s ABC, njegovi su kutovi \(A=3a, B=3b, C=3c\).

Neka se prve dvije susjedne trisektrise nad stranicom BC sijeku u točki P, a druge dvije u točki S. Tada PB i PC raspolavljaju kuteve trokuta SBC. Sa svake strane dužine PS konstruiramo kut od \(30^\circ\) s vrhom u točki P tako da bismo dobili točke Q i R na stranicama SC i SB. Točke P, R, S i Q čine dva trokuta, a to su \(\triangle{PRS}\) i \(\triangle{PQS}\) koji su međusobno sukladni. Iz njihove sukladnosti slijedi da je duljina dužine PR jednaka duljini dužine PQ. Budući da \(\angle{QPR}\) iznosi \(60^\circ\), trokut PQR je jednakostraničan. Ostaje dokazati da su dužine AR i AQ trisektrise \(\angle{BAC}\).

Prenesemo duljinu dužine BP na stranicu BA trokuta BCA s početkom u točki B. Dobivenu točku označimo s M. Sada su \(\triangle{MBR}\) i  \(\triangle{BRP}\) sukladni te je duljina dužine MR jednaka duljini dužine RP. Zatim prenesemo duljinu dužine CP na stranicu CA trokuta BCA i dobijemo točku N, sada su \(\triangle{CNQ}\) i \(\triangle{CPQ}\) sukladni pa je duljina dužine QN jednaka duljini dužine PQ.  Budući da je trokut PQR jednakostraničan, dobivamo da je duljina dužine MR jednaka duljini dužine PQ koja je opet jednaka duljini dužine QN. Zatim smo izračunali mjeru kuta MRQ. Za trokut PRS imali smo na umu da je vanjski kut BRP jednak zbroju unutarnjih kutova S i P.  

Stoga imamo \(\angle{BRP}=\frac{1}{2}S+30^\circ\), a kut BRM je iste veličine pa imamo

\(\angle{MRQ}=360^\circ-2(\frac{1}{2}s+30^\circ)-60^\circ=240^\circ-s\).

Isti argument pokazuje da \(\angle{RQN}\) također iznosi \(240^\circ-S\). Budući da zbroj mjera unutarnjih kutova trokuta iznosi \(180^\circ\), imamo

\(s=180^\circ-(2b+2c)=180^\circ-\frac{2}{3}(3a+3b+3c)+2a=180^\circ-120^\circ+2a=60^\circ+2a\),

stoga

\(\angle{MQR}=\angle{RQN}=240^\circ-(60^\circ+2a)=180^\circ-2a\).

Očita činjenica je da sukladne stranice MR, RQ i QN imaju svoje krajnje točke na kružnici.

Konstrukcijom okomica XO, YO na stranice MR i RQ s početkom u točki O lako je dokazati da su tri trokuta  \(\triangle{OMR}\), \(\triangle{ORQ}\) i \(\triangle{OQN}\) sukladna.

Iz toga slijedi da je duljina dužine ON jednaka duljini dužine OQ, što znači da kružnica sa središtem u O radijusa duljine MO prolazi kroz točke M, R, Q, N. Radijus duljine OR dijeli kut MQR na dva jednaka dijela, a radijus duljine OQ dijeli kut RQN na dva jednaka dijela. Također radijus duljine XO dijeli kut MOR na dva jednaka dijela i radijus duljine YO dijeli kut ROQ na dva jednaka dijela.

Sada imamo

\(\angle{MRO}=\frac{1}{2}\angle{MRQ}=\frac{1}{2}(180^\circ-2a)=90^\circ-a\)

iz čega vidimo da je \(\angle{XOR}=a\), \(\angle{MOR}=2a\), što dovodi do toga da je \(\angle{MON}=6a\).

U ovom krugu tetiva MN sadržava kut od \(6a\) u točki O. U skladu s time, kružni luk MN sadržava kut od \(3a\). No MN sadržava Q u vrhu A dobivenog \(\triangle{ABC}\). Tako krug mora proći kroz točku A. Budući da MR, RQ i QN sadržavaju kut s vrhom u točki O koja je središte kružnice, svi sadržavaju kut, a točka A se također nalazi na toj kružnici. Stoga su AR i AQ trisektrise \(\angle{MAN}\).

 

 

Drugi dokaz:

Pođimo obrnutim redoslijedom pa najprije nad stranicama nekog jednakostraničnog trokuta PQR odredimo (prema van) jednakokračne trokute.

Imamo jednakokračne trokute P'QR, Q'RP I R'PQ kojima su kutovi uz baze \(\phi,\rho,\sigma\).

Ti kutovi neka zadovoljavaju uvijete \(\phi<60^\circ, \rho<60^\circ, \sigma<60^\circ\)

\(\phi+\rho+\sigma=120^\circ\)

Sjecišta trisektrisa vrhovi su jednakostraničnog trokuta.

Produžene pobočne stranice tih jednakostraničnih trokuta sijeku se u točkama ABC. Lako se prema slici provjeri da za dani trokut ABC i središte U upisane kružnice vrijedi \(\angle{BUC}=90^\circ+\frac{1}{2}\alpha\).

Primijenimo sada ovo na trokut BCP'.

\(\triangle{BCP}\): Očito imamo najprije

\(\frac{1}{2}\angle{BP'C}=\frac{1}{2}(180^\circ-2\phi)=90^\circ-\phi\)

dok je

\(\angle{BCP}=360^\circ-\phi-(\phi+\rho+\sigma+60^\circ)=180^\circ-\phi=90^\circ+(90^\circ-\phi)\).

Na temelju tog je

\(\angle{BCP}=90^\circ+\frac{1}{2}\angle{BP'C}\).

Ako uz ovo uočimo na osnovi skice da je PP' simetrala kuta \(\angle{BP'C}\), tada vidimo da je točka P središte trokutu BCP' upisane kružnice.

To znači da je PB simetrala od \(\angle{CBP'}\), a PC simetrala od \(\angle{BCP'}\).

Analognim promatranjem trokuta CQ'A i AR'B zaključujemo da je:

QC simetrala od \(\angle{PCA}\),

QA simetrala od \(\angle{CAR}\),

AR simetrala od \(\angle{QAB}\),

BR simetrala od \(\angle{ABP}\).

Prema tome su te simetrale trisektrise kutova trokuta ABC.

Promatranjem trokuta ARQ izlazi odmah:

\(\angle{RAQ}=\frac{1}{3}\alpha=60^\circ-\phi\),

odnosno:

\(\phi=60^\circ-\frac{1}{3}\alpha\)

i analogno tomu:

\(\rho=60^\circ-\frac{1}{3}\beta\)

>te

\(\sigma=60^\circ-\frac{1}{3}\gamma\).

Time nam je omogućeno izračunati kutove \(\phi,\rho,\sigma\) ako je dan trokut ABC (a time i kutovi \(\alpha,\beta,\gamma\)) pa na temelju svih izlaganja možemo iz danog jednakostraničnog trokuta odrediti trokut koji je sličan danom trokutu ABC, čime je ovaj teorem dokazan.

Literatura:

Ross Honsberger. "Mathematical Gems 1"

Dominik Palman: "Geometrijske konstrukcije" Zagreb, 1996.

Dominik Palman: "Trokut i kružnica", Element, Zagreb, 1994.

Regularni politopi

 
Mario Berljafa Ana Šušnjara

Sažetak
U ovom članku promatramo dvodimenzionalne, trodimenzionalne i višedimenzionalne regularne politope. Pozabavili smo se ponajprije njihovom egzistencijom, konstrukcijom te svojstvima koja zadovoljavaju njihovi elementi. Najvažniji teorem članka, poznat pod nazivom Euler–Poincaréova formula, nalazi se u šestom poglavlju te povezuje broj svih elemenata n–dimenzionalnog politopa.


1Uvod

Teorija politopa u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom Euklidskom prostoru jedna je od najstarijih grana matematike. Još od antičkih vremena bila je intrigantno područje tadašnjim matematičarima pa su tako regularni poligoni i poliedri činili znatan dio njihovih proučavanja. Pretpostavlja se da su čak i pitagorejci bili upoznati s regularnim poliedrima.

Osoba koja je prva sustavno iznijela teoriju regularnih poliedara bio je Euklid. U XIII. knjizi „Elemenata”, posvećenoj upravo regularnim poliedrima, Euklid, uz njihovu definiciju, daje dokaz njihove egzistencije, konstrukcije pa i dokaz da ih postoji samo pet. Zbog algebarskih, geometrijskih i kombinatornih svojstava koja regularni poliedri imaju, matematičari su često pokušavali naći njima analogne objekte koji bi imali neka, ne nužno sva, svojstva regularnih poliedara. Međutim, bilo je potrebno duže razdoblje da bi se stvorili preduvjeti za daljnji razvoj ovog područja matematike pa je tek u 19. stoljeću dokazano da postoje n–dimenzionalni politopi, n \geq 4. U trenutku kada je Ludwig Schäfli dokazao da takvi objekti postoje, tek je nekolicina matematičara bila svjesna da je geometrija u n–dimenzionalnom prostoru, n \geq 4, moguća. Također je pokazano da su jedini regularni politopi u tim prostorima poopćenja određenih regularnih poliedara. Premda su regularni politopi uglavnom proučavani radi svojeg oblika, a prvobitna im je upotreba bila u umjetnosti, danas imaju i praktičnu primjenu u mineralogiji, arhitekturi, linearnom programiranju i drugim područjima.

Temeljna ideja članka je upoznati čitatelja s osnovnim pojmovima iz teorije regularnih politopa te se nadamo da ćemo nekoga potaknuti da sazna više o ovoj temi. Naše putovanje kroz dimenzije počinjemo od najmanjih:

2Manje dimenzije

U 0–dimenzionalnom prostoru jedini objekti su točke dok u jednodimenzionalnom imamo i dužine. Iz sljedeće definicije vidimo da je 2–dimenzionalni prostor nešto bogatiji.

Definicija 1. Poligon je konačno područje omeđeno s p\geq 3 dužina \overline{A_{1}A_{2}}, \overline{A_{2}A_{3}}, \ldots, \overline{A_{p}A_{1}} koje se ne sijeku osim u zajedničkom vrhu, ako takav postoji.

Definicija 2. Ćelija poligona \pi_{2} je brid danog poligona.

Definicija 3. Vršna figura vrha V poligona \pi_{2} je dužina čije su krajnje točke polovišta bridova incidentnih s vrhom V.

Posebnu klasu poligona čine regularni poligoni:

Definicija 4. Poligon je regularan ako su svi njegovi bridovi i svi unutrašnji kutovi sukladni.

L. Schläfli uveo je notaciju regularnih politopa koja se njemu u čast naziva Schläflijev simbol. U kontekstu Schläflijeve notacije, regularne poligone s p stranica, odnosno p–terokute, označavamo s \left\lbrace p \right\rbrace. Laganim računom dobivamo da su mjere unutrašnjih kutova \left\lbrace p \right\rbrace–a jednake
\displaystyle\frac{ \left( p-2 \right) \cdot 180^{\circ}}{p}. Primjenom teorema SKS o sukladnosti trokuta na jednakokračne trokute čiji je jedan vrh vrh \left\lbrace p \right\rbrace–a, a osnovica vršna figura tog vrha, dobivamo da su vršne figure \left\lbrace p \right\rbrace–a sukladne.

Regularnih poligona ima beskonačno mnogo, za razliku od njihovih višedimenzionalnih poopćenja.

Definicija 5. Dualan poligon danog poligona \pi_{2} je poligon čiji su vrhovi polovišta bridova od \pi_{2}.

Definicija 6. Okrnjen poligon danog poligona \pi_{2} je poligon čiji su bridovi vršne figure vrhova od \pi_{2}.

Napomena 7. Primijetimo da je \pi'_{2} okrnjen poligon poligona \pi_{2} ako i samo ako je \pi'_{2} dualan poligon poligonu \pi_{2}. Prethodna tvrdnja slijedi iz definicije, ali ona neće vrijediti u višim dimenzijama.

Na sljedećoj se slici vidi što se događa u slučaju kvadrata:
Slika 1: Okrnjen kvadrat


3Kroz poznato...

U ovom ćemo se poglavlju upoznati s trodimenzionalnim tijelima te nekim njihovim svojstvima. Počnimo s definicijom:

Definicija 8. Poliedar je konačan skup poligona tako raspoređenih u prostoru da je svaki brid nekog poligona ujedno brid još točno jednog poligona.

Definicija 9. Svaki od poligona iz prethodne definicije nazivamo ćelijom danog poliedra \pi_{3}.

Definicija 10. Vršna figura vrha V poliedra \pi_{3} je poligon čije su krajnje točke polovišta bridova incidentnih s vrhom V.

Definicija 11. Poliedar je regularan ako su njegove ćelije i vršne figure regularni poligoni.

Schläflijev simbol regularnog poliedra je \left\lbrace p,q \right\rbrace pri čemu je \left\lbrace p \right\rbrace ćelija, a \left\lbrace q \right\rbrace vršna figura danog poliedra. Na slici 9 može se vidjeti primjer.

U poliedru \pi_{3} označimo broj vrhova s N_{0} , broj bridova s N_{1} te broj strana s N_{2}. Imajući u vidu ove oznake, vrijedi sljedeći, važan rezultat:

Teorem 12. (Eulerova formula) Za konveksan \pi_{3} vrijedi
N_{0}-N_{1}+N_{2}=2.

Dokaz. Neka je \phi=N_{0}-N_{1}+N_{2}-1. Treba dokazati da je \phi=1. Promatramo konstrukciju poliedra. U prvom koraku imamo jednu stranicu. Dakle, tada je
N_{2}=1, N_{0}=N_{1}=:n \Longrightarrow \phi=0.
Dodajemo poligone na dosadašnju konstrukciju tako da imaju barem jedan zajednički brid. Indukcijom pokazujemo da, sve dok ne dobijemo „potpuni” poliedar, vrijedi \phi=0.
U nekom koraku konstrukcije dodajemo k–terokut koji ima l zajedničkih bridova s dosadašnjom konstrukcijom, to jest l+1 zajedničkih vrhova. Označimo li s N_{2}, N_{1} i N_{0} broj strana, bridova i vrhova konstruiranog objekta prije dodavanja k–terokuta respektivno, te analogno N'_{2}, N'_{1}, N'_{0} nakon dodavanja k–terokuta, dobivamo sljedeći niz jednakosti:
\begin{align*} N'_{0} &= N_{0}+k-l-1,\\ N'_{1} &= N_{0}+k-1,\\ N'_{2} &= N_{0}+1. \end{align*}
Dakle, \phi'=N'_{0}-N'_{1}+N'_{2}-1=N_{0}-N_{1}+N_{2}-1=\phi=0.
U zadnjem koraku konstrukcije broj vrhova i bridova se ne mijenja, dok se broj strana poveća za 1 pa vrijedi:
\left. \begin{aligned} N'_{0} &= N_{0} \\ N'_{1} &= N_{1} \\ N'_{2} &= N_{2}+1 \end{aligned} \right\rbrace \Longrightarrow\phi'=1.
\ \blacksquare

U sljedećem teoremu upotrebljavamo pojmove prizma, piramida i antiprizma, od kojih definiramo, ne sasvim precizno, samo posljednji. Poznato je na koji način možemo točku i \left\lbrace p \right\rbrace spojiti s p trokuta kako bismo formirali piramidu.
Slika 2: Četverostrana & peterostrana piramida
Također je jasno da spajanjem dvaju sukladnih \left\lbrace p \right\rbrace pravokutnicima dobivamo prizmu.
Slika 3: Peterostrana & osmerostrana prizma
Na slici 3 može se vidjeti peterostrana i osmerostrana prizma.
Antiprizma je poliedar sastavljen od dvaju sukladnih paralelnih poligona (baza) tako postavljenih u prostoru da ih možemo povezati nizom „alternirajućih” trokuta. Kažemo da je antiprizma p–strana ako su njene baze \left\lbrace p \right\rbrace.
Slika 4: Šesterostrana & sedmerostrana antiprizma
Primjer šesterostrane i sedmerostrane antiprizme ilustrirani su slikom 4. Kao što smo već spomenuli, regularni poliedri bili su predmet izučavanja antičkih matematičara, a budući da im je Platon pridavao posebna značenja, u literaturi su poznati i kao Platonova tijela.

Teorem 13. Postoji 5 Platonovih tijela do na sličnost.

Dokaz. Neka je dan poliedar \left\lbrace m,n \right\rbrace. Očito je da vrijedi 2N_{1}=mN_{2}=nN_{0}. Koristeći se Eulerovom formulom dobivamo:
\begin{align*} 2\frac{N_{1}}{m}-N_{1}+2\frac{N_{1}}{n} &= 2 \\ 2nN_{1}-mnN_{1}+2mN_{1}&= 2mn \\ N_{1} \left( 2n-mn+2m \right)&= 2mn. \end{align*}
Ta jednakost vrijedi samo ako je 2n-mn+2m\gt 0 , to jest mn-2n-2m+4\lt 4 , odnosno ako je \left( m-2 \right) \left( n-2 \right) \lt 4. Dakle, \left( m-2 \right) \left( n-2 \right) \in \left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace. Razlikujemo tri slučaja:
(1) \left( m-2 \right) \left( n-2 \right) =1\Longrightarrow m=n=3
(2) \left( m-2 \right) \left( n-2 \right) =2\Longrightarrow \left( m,n \right) \in \left\lbrace \left( 3,4 \right) , \left( 4,3 \right) \right\rbrace
(3) \left( m-2 \right) \left( n-2 \right) =3\Longrightarrow \left( m,n \right) \in \left\lbrace \left( 3,5 \right) , \left( 5,3 \right) \right\rbrace.
Time smo pokazali da nema više od 5 Platonovih tijela. Konstrukcijom ćemo pokazati da zaista sva i postoje. \left\lbrace 3,3 \right\rbrace je piramida čija baza je trokut, \left\lbrace 4,3 \right\rbrace je prizma čija je baza kvadrat,
Slika 5: Tetraedar & kocka
\left\lbrace 3,4 \right\rbrace dobivamo spajanjem dviju pravilnih četverostranih piramida tako da im se baze poklapaju ( vidi sliku 6 ).
Slika 6: Konstrukcija oktaedra
\left\lbrace 3,5 \right\rbrace dobivamo spajanjem dviju pravilnih peterostranih piramida i jedne peterostrane antiprizme, kako je i prikazano na slici 7.
Slika 7: Konstrukcija ikozaedra
Preostaje opisati konstrukciju \left\lbrace 5,3 \right\rbrace–na odgovarajući način spojimo 6 peterokuta kako bismo formirali „zdjelu”. Slobodni bridovi čine deseterokut koji ne leži u ravnini. Spajanjem dvaju takvih objekata duž spomenutih slobodnih bridova dobivamo \left\lbrace 5,3 \right\rbrace.
Slika 8: Konstrukcija dodekaedra
Gornju konstrukciju možete vidjeti na slici 8.
\ \blacksquare

U tablici 1 navodimo Platonova tijela zajedno sa značenjima koja im je Platon pridao te osnovne podatke o njima.


Naziv Element Schläflijev simbol N_{0} N_{1} N_{2}
Tetraedar vatra \left\lbrace 3,3 \right\rbrace 4 6 4
Oktaedar zrak \left\lbrace 3,4 \right\rbrace 6 12 8
Kocka zemlja \left\lbrace 4,3 \right\rbrace 8 12 6
Ikozaedar voda \left\lbrace 3,5 \right\rbrace 12 30 20
Dodekaedar svemir \left\lbrace 5,3 \right\rbrace 20 30 12
Tablica 1: Platonova tijela

Pogledajmo na primjeru ikozaedra što predstavlja Schläflijev simbol te što su pripadne vršne figure i ćelije. Schläflijev simbol ikozaedra je \left\lbrace 3,5 \right\rbrace, što po definiciji znači da su ćelije trokuti (jasno, regularni), a vršne figure peterokuti (također regularni), kao što se može uočiti na već prije spomenutoj slici 9.
Slika 9: Schläflijev simbol na primjeru ikozaedra


Definicija 14. Dualan poliedar poliedra \pi_{3} je onaj poliedar čiji su vrhovi težišta ćelija poliedra \pi_{3}.

Definicija 15. Okrnjen poliedar poliedra \pi_{3} je onaj poliedar čije su ćelije vršne figure od \pi_{3} i okrnjeni poligoni ćelija od \pi_{3}.

Na primjerima ćemo vidjeti što su to dualni i okrnjeni poliedri. Odmah je jasno da je tetraedar dualan sam sebi. Oktaedar i kocka su međusobno dualni te su isto tako dodekaedar i ikozaedar međusobno dualni. Navedeno možete vidjeti na slikama 10 i 11. Dualan poligon, odnosno poliedar, regularnog poligona, tj. poliedra je regularan. Primijetimo da je \left\lbrace p,q \right\rbrace dualan s \left\lbrace q,p \right\rbrace (analogno vrijedi i za više dimenzije).
Slika 10: Dual tetraedra & dualnost \left\lbrace 3,4 \right\rbrace \leftrightarrow \left\lbrace 4,3 \right\rbrace
Slika 11: Dualnost ikozaedra i dodekaedra


Iz definicije je jasno, uz gornju napomenu, da je okrnjen poligon regularnog poligona regularan. No, okrnjen poliedar regularnog poliedra ne mora nužno biti regularan. Npr. strane okrnjene kocke su trokuti – kao vršne figure kocke, i kvadrati – okrnjeni poligoni strana kocke. Takvo tijelo ne može biti regularno. S druge strane, okrnjen tetraedar je oktaedar.
Slika 12 zornije ilustrira navedeno.
Slika 12: Okrnjena kocka & okrnjen tetraedar
Kako bismo se na adekvatan način mogli pozabaviti manje intuitivnim četvrtom i višim dimenzijama, u sljedećem poglavlju navodimo potrebne pojmove.

4... generalizacijom...

Definicija 16. Za skup točaka S u n–dimenzionalnom prostoru kažemo da je konveksan ako za svake dvije točke x,y\in S vrijedi \left[ x,y \right] \subseteq S , pri čemu je
\left[ x,y \right] = \left\lbrace y+ \left( x-y \right) \lambda \ |\ \lambda \in \left[ 0,1 \right] \right\rbrace.

Definicija 17. Za skup točaka S\subseteq E^{n} definiramo njegov konveksan zatvarač \bar{S} kao presjek svih konveksnih nadskupova od S:
\bar{S}=\bigcap_{\substack{S\subseteq\mathcal{K}\\\mathcal{K}\text{ konveksan}}}\mathcal{K}.

Napomena 18. Presjek konveksnih skupova je konveksan skup pa je i konveksan zatvarač konveksan. Primijetimo da je konveksan zatvarač najmanji konveksan skup koji sadržava polazni skup.

Definicija 19. Neka su a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}. Skup svih točaka n–dimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju jednakost
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots+a_{n}x_{n}=a_{0}
nazivamo hiperravninom.

Napomena 20. Za n=2 uobičajen naziv je pravac, a za n=3 jednostavno ravnina.

Definicija 21. Politop je ograničeno konveksno područje n\ - dimenzionalnog prostora omeđeno s konačno mnogo hiperravnina. Neprazan presjek politopa i hiperravnine nazivamo ćelijom.

Uočimo da je ćelija n–dimenzionalnog politopa \left( n-1 \right)–dimenzionalni politop.

Napomena 22. Politop za n=2 je poligon, a za n=3 je poliedar.

Definicija 23. Vršna figura vrha V politopa \pi_{n} u n–dimenzionalnom prostoru je
\left( n-1 \right)–dimenzionalni politop čiji su vrhovi ona polovišta bridova politopa \pi_{n} koji su incidentni s vrhom V.

Definicija 24. Neka je \pi_{k}^{1}, \pi_{k}^{2}, \ldots, \pi_{k}^{n_{k}} proizvoljan odabir k–dimenzionalnih politopa. Formalnu sumu
\sum_{j=1}^{n_{k}}x_{j}\pi_{k}^{j},
gdje je svaki x_{j}\in \left\lbrace 0,1 \right\rbrace , nazivamo klancem. Suma ćelija \pi_{k} je k–lanac koji nazivamo rub politopa \pi_{k+1}.

Za dva k–lanca \sum_{j=1}^{n_{k}}x_{j}\pi_{k}^{j} , \sum_{j=1}^{m_{k}}y_{j}\lambda_{k}^{j} definiramo njihovu sumu kao lanac \sum_{j=1}^{M}z_{j}\mu_{k}^{j} , gdje je M=\max \left\lbrace n_{k},m_{k} \right\rbrace. Nadalje je
\mu_{k}^{j}\in \Pi \cup \Lambda,\quad \Pi= \left\lbrace \pi_{k}^{j}\ |\ 1\leq j \leq n_{k} \right\rbrace ,\ \Lambda= \left\lbrace \lambda_{k}^{j}\ |\ 1\leq j \leq m_{k} \right\rbrace .
Neka su indeksi l_{1} \text{ i } l_{2} takvi da je \mu_{k}^{j}=\pi_{k}^{l_{1}}=\lambda_{k}^{l_{2}}. Ako takvi ne postoje, stavimo x_{l_{1}}=0 odnosno y_{l_{2}}=0. Za koeficijente z_{j} vrijedi
z_{j}=0 \Longleftrightarrow x_{l_{1}}=y_{l_{2}}.

Rub k–lanca stoga možemo definirati kao sumu rubova politopa koji čine taj lanac. Jasno je da će tada rub politopa \pi_{k+1} biti k–lanac čiji rubni \left( k-1 \right)–lanac „nestaje” (svi koeficijenti x_{j} iz definicije su 0). Takav k–lanac nazivamo kmreža.

Definicija 25. Jednostavno povezan politop \pi_{n} je onaj čija je svaka k–mreža rub nekog \left( k+1 \right)–lanca.

Definicija 26. Kažemo da je politop \pi_{n}, n\gt 2 regularan ako su njegove ćelije i vršne figure regularne.

Napomena 27. Regularan politop je jednostavno povezan.

Očito je da su sve ćelije regularnog politopa sukladne, a može se pokazati da isto vrijedi i za vršne figure.

Definicija 28. Neka je dan politop \pi_{n} s k\left( n-1 \right)–dimenzionalnih ćelija. Označimo li s T_{1}, \ldots, T_{k} težišta tih ćelija, tada je sljedećom relacijom definiran njemu dualan politop \overline{\pi}_{n} :
\overline{\pi}_{n}=\overline{ \left\lbrace T_{1}, \ldots, T_{k} \right\rbrace }.

Definicija 29. Okrnjen politop politopa \pi_{n},\ n\gt 2 je onaj čiji rub čine vršne figure od \pi_{n} te okrnjeni politopi koji čine rub od \pi_{n}.

Schläflijev simbol regularnog politopa \pi_{n} u n–dimenzionalnom prostoru, n\gt 2 , označavamo s \left\lbrace m_{1},\ldots,m_{n-1} \right\rbrace, pri čemu je \left\lbrace m_{1},\ldots,m_{n-2} \right\rbrace ćelija od \pi_{n} , a \left\lbrace m_{2},\ldots,m_{n-1} \right\rbrace njegova vršna figura.

5... u nepoznato

Proučavanje objekata u četvrtoj dimenziji ponajviše se temelji na intuiciji i na dimenzionalnoj analogiji. Ovim malim osvrtom pokušat ćemo razotkriti neke „tajne” ovog prostora.

Napomena 30. U četverodimenzionalnom politopu vršne figure i ćelije su poliedri.

Analogno slučaju n=3 i ovdje ćemo s N_{k} označavati broj k–ćelija politopa.

Teorem 31. Za jednostavno povezane četverodimenzionalne politope vrijedi
N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0.


Dokaz. Direktna posljedica teorema 34.
\ \blacksquare

Napomena 32. Alternativni dokaz čitatelj može pronaći u [2], str. 150.

Teorem 33. Postoji 6 regularnih četverodimenzionalnih politopa do na sličnost.

Gore navedeni teorem nećemo dokazivati, budući da je sam dokaz vrlo složen i nije bitan za daljnja razmatranja koja ćemo provesti. Zainteresirani čitatelj dokaz može vidjeti u [3], teorem 4.6.1., str. 65.–69.. U tablici 2 navodimo broj k–ćelija regularnih četverodimenzionalnih politopa.


Naziv Schläflijev simbol N_{0} N_{1} N_{2} N_{3}
\alpha_{4} (5-ćelija) \left\lbrace 3,3,3 \right\rbrace 5 10 10 5
\beta_{4} (16-ćelija) \left\lbrace 3,3,4 \right\rbrace 8 24 32 16
\gamma_{4} (8-ćelija) \left\lbrace 4,3,3 \right\rbrace 16 32 24 8
24-ćelije \left\lbrace 3,4,3 \right\rbrace 24 96 96 24
120-ćelija \left\lbrace 3,3,5 \right\rbrace 600 1200 720 120
600-ćelija \left\lbrace 5,3,3 \right\rbrace 120 720 1200 600
Tablica 2: 6 regularnih 4–dimenzionalnih politopa


Pomnije ćemo proučiti konstrukciju \alpha_{4}, \beta_{4} i \gamma_{4} zato što su njihove generalizacije jedini regularni politopi u većim dimenzijama.
(1) Konstrukciju provodimo u tri koraka. Neka je dana dužina u ravnini - po definiciji je to \alpha_{1}. U sljedećem koraku odabiremo točku tako da ona uz \alpha_{1} čini jednakostraničan trokut. Na taj smo način dobili \alpha_{2}. Nadalje, \alpha_{3} dobivamo odabirom točke u prostoru tako da je ona vrh tetraedra s bazom \alpha_{2}. Sada je jasno da, u četvrtoj dimenziji, uz prikladan odabir točke, dobivamo \alpha_{4}. Navedena konstrukcija prikazana je na slici 13 .
Slika 13: \alpha_{1} \Rightarrow \alpha_{2} \Rightarrow \alpha_{3} \Rightarrow \alpha_{4}
Navodimo 0, 1, 2 i 3–dimenzionalne ćelije politopa \alpha_{4} uz gore navedene oznake. Napomenimo da je svaka 3–dimenzionalna ćelija tetraedar, 2–dimenzionalna jednakostraničan trokut i imajmo pritom na umu da je \alpha_{4} konveksan.
\begin{align*} N_{0} &= \left\lbrace A,B,C,D,E \right\rbrace , \\ N_{1} &= \left\lbrace AB, BC, CA, DA, DB, DC, EA, EB, EC, ED \right\rbrace \\ N_{2} &= \left\lbrace ABC, ABD, BCD, ACD, EAB, EBC, ECA, EDA, EDB, EDC \right\rbrace , \\ N_{3} &= \left\lbrace ABCD, EABC, EABD, EBCD, EACD \right\rbrace . \end{align*}
Na slici 14 donosimo prikaz \alpha_{4}.
Slika 14: \alpha_{4}
(2) Svaki od koraka konstrukcije \beta_{4} sastoji se od odabira odgovarajućih dviju točaka. Konstrukciju započinjemo tako da uzmemo dvije proizvoljne točke u ravnini. Dana dužina je \beta_{1}. Da bismo dobili \beta_{2} , potrebno je izabrati točke takve da je \beta_{1} dijagonala kvadrata kojem su dva vrha odabrane točke. \beta_{2} leži u ravnini koja dijeli prostor na dva dijela. Iz svakog od tih dijelova odabiremo točku takvu da je ona vrh pravilne četverostrane piramide čija je baza \beta_{2}. Jasno je da smo ovime dobili oktaedar – \beta_{3}. \beta_{4} jest generalizacija oktaedra (kao što je \alpha_{4} generalizacija tetraedra) te se dobiva analognim postupkom, samo u višoj dimenziji. Dakle, \beta_{3} leži u prostoru E^{3}\lt E^{4} te dijeli E^{4} na 2 dijela iz kojih odabiremo po jednu točku.
Slika 15: \beta_{1} \Rightarrow \beta_{2} \Rightarrow \beta_{3} \Rightarrow \beta_{4}
Svaka ćelija oktaedra zajedno s novoodabranom točkom čini tetraedar – ćeliju politopa \beta_{4} pa \beta_{4} ima 2\cdot 8=16 ćelija.
(3) Sljedeća na redu je konstrukcija \gamma_{4}. Pokazat ćemo kako iz točke nizom elementarnih transformacija, preko dužine i kvadrata, dolazimo do kocke. Danu točku ( \gamma_{0} ) „razvučemo” duž proizvoljnog pravca. Dobivenu dužinu ( \gamma_{1} ) „razvučemo” po drugoj dimenziji ne bismo li dobili kvadrat ( \gamma_{2} ) koji potom „razvučemo” po trećoj dimenziji. Na taj način dolazimo do kocke ( \gamma_{3} ), što možete vidjeti na slici 16 . Probajte zamisliti što se događa kada kocku „razvlačimo” po četvrtoj dimenziji - rezultat je \gamma_{4}.
Slika 16: \gamma_{0} \Rightarrow \gamma_{1} \Rightarrow \gamma_{2} \Rightarrow \gamma_{3}
Na slici 17 probajte uočiti 8 paralelepipeda. U 4D to su, jasno, kocke.
Slika 17: \gamma_{4}
Konstrukcije preostalih triju politopa nešto su složenije i manje intuitivne pa o njima govorimo u kratkim natuknicama bez dokaza. Zainteresirani čitatelj dokaze može pronaći u [3], str. 46.–48., str. 61.–63.
4. Krenimo redom: 24–ćelije je okrnjen \beta_{4}. Naime, \beta_{4} ima šesnaest 3–ćelija. Iz Schläflijeva simbola vidimo da je riječ o tetraedrima. Kako smo prije pokazali, okrnjeni tetraedar je oktaedar, baš kao i vršna figura politopa \beta_{4}. Budući da \beta_{4} ima 8 vrhova, ima 8 vršnih figura – ponovno je riječ o oktaedrima. Dakle, imamo 24 regularna poliedra. To su upravo 3–ćelije politopa koji konstruiramo. No, da bismo pokazali da je ovako dobiven politop regularan, preostaje pokazati regularnost vršnih figura. Strane vršnih figura 24–ćelije su vršne figure oktaedara pa je jasno da su to kvadrati. Svaki vrh vršne figure zajednički je za tri kvadrata (svaki brid 24– ćelije zajednički je za tri ćelije) pa je polovište zajedničko za tri strane. Zaključujemo da su vršne figure kocke.
5. Konstrukciju 600–ćelija provodimo preko 24–ćelija. Okrnjen 24–ćelije nije regularan, no „malim trikom” možemo doći do regularnog politopa. Naime, okrnjen politop nekog politopa je konveksan zatvarač skupa polovišta bridova početnog politopa. U našem je slučaju korisno stranice podijeliti u omjeru \left( \sqrt{5}+1 \right) /2. Na taj način okrnjeni oktaedri postaju ikozaedri. Kvadrati, kao vršne figure oktaedra, više ne leže u istoj ravnini, te ih možemo promatrati kao dva trokuta. Analitički se, poznavajući koordinate oktaedra, lako pokazuje da upravo omjer zlatnog reza osigurava regularnost tako dobivenog poliedra. Konveksan zatvarač skupa tako dobivenih točaka je neregularan politop koji se u literaturi označava sa s \left\lbrace 3,4,3 \right\rbrace. Trodimenzionalne ćelije tog politopa čini 120 tetraedara i 24 ikozaedra. Na svakom ikozaedru preostaje konstruirati četverodimenzionalnu piramidu čija je baza upravo dani ikozaedar, a strane 20 regularnih tetraedara. Dobivamo 120+24\cdot 20=600 tetraedara – trodimenzionalne ćelije politopa koji konstruiramo.
6. 120–ćelija je dualan 600–ćelija.
Na sljedećoj se slici može vidjeti kako iz oktaedra, uz prikladan odabir omjera kojim dijelimo stranice i prikladnu orijentaciju, dobivamo ikozaedar.
Slika 18: „Okrnjen” oktaedar


6Veće dimenzije

Predmet proučavanja ovog poglavlja su n–dimenzionalni politopi za n\geq 5.

Slijedi već spomenuta Euler–Poincaréova formula:

Teorem 34. Za jednostavno povezan n–dimenzionalni politop \pi_{n} vrijedi
N_{n-1}-N_{n-2}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-1}N_{0}+ \left( -1 \right) ^{n}=1.

Dokaz. Dokaz provodimo matematičkom indukcijom. Označimo s
\phi_{n}:=N_{n-1}-N_{n-2}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-1}N_{0}+ \left( -1 \right) ^{n}.
Za n=2 tvrdnja očito vrijedi (broj vrhova i bridova je jednak), a za n=3 ekvivalentna je Eulerovu teoremu. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki politop dimenzije d\leq n-1.
Kao i kod Eulerova teorema, promatramo konstrukciju politopa \pi_{n} koji dobivamo spajanjem niza \left( n-1 \right)–dimenzionalnih politopa.

U prvom koraku konstrukcije imamo jedan \pi_{n-1} , stoga je N_{n-1}=1 (upravo on sam), a
N_{n-2}-N_{n-3}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-2}N_{0}+ \left( -1 \right) ^{n-1}=1
vrijedi po pretpostavci indukcije pa je \phi_{n}=0.

Dodajemo sljedeći \pi_{n-1} takav da ima neprazan ( \left( n-2 \right)–dimenzionalni) presjek s dosadašnjom konstrukcijom. Neka taj presjek čini N'_{k}\ k–dimenzionalnih ćelija, k=0,1,\ldots,n-3. Vrijedi
N'_{n-3}-N'_{n-4}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-3}N'_{0}=1- \left( -1 \right) ^{n-2}=:\phi'_{n-2}.
Za dodani politop vrijedi
N''_{n-2}-N''_{n-3}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-2}N''_{0}=1- \left( -1 \right) ^{n-1}=:\phi''_{n-1}.
Dakle, doprinos dodanog politopa u sumi N_{n-1}-\phi_{n} iznosi \phi''_{n-1}+\phi'_{n-2}-1=1 zbog čega su suma
N_{n-2}-N_{n-3}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-2}N_{0}
i N_{n-1} uvećani za 1. Stoga je jasno da je \phi_{n}=0.
Doprinos zadnje dodanog politopa \pi_{n-1} u sumi
N_{n-2}-N_{n-3}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-2}N_{0}
je očito 0, dok je za N_{n-1} jednak 1. Time je dokaz teorema završen.
\ \blacksquare

Višedimezionalni prostori siromašniji su regularnim politopima, što možemo uočiti iz sljedećeg teorema.

Teorem 35. Postoje 3 regularna n–dimenzionalna ( n\geq 5 ) politopa do na sličnost.

Politopi o kojima govori prethodni teorem su regularan n–simpleks ( \alpha_{n} ), n–dimenzionalni oktaedar ( \beta_{n} ) i n–dimenzionalna kocka ( \gamma_{n} ) koji su, kao što se da uočiti iz njihovih naziva, generalizacije tetraedra, oktaedra i kocke respektivno te su njihove konstrukcije analogne opisanima u prethodnom poglavlju. Promatrajmo regularan n–simpleks. Iz konstrukcije se vidi da je broj vrhova
N_{0}=n+1 , a budući da svaka dva vrha čine jedan brid, broj bridova je N_{1}=\binom{n+1}{2}. Broj strana je N_{2}=\binom{n+1}{3}\ - svaka tri vrha čine jednu stranu. Vidimo da općenito vrijedi da je broj k–ćelija
N_{k}=\binom{n+1}{k+1},\;\; k=0,1,\ldots,n
Primijetimo da zaista vrijedi teorem 34:
\begin{align*} \phi_{n} &= N_{n-1}-N_{n-2}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-1}N_{0}+ \left( -1 \right) ^{n} \\ &= \binom{n+1}{n}-\binom{n+1}{n-1}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-1}\binom{n+1}{1}+ \left( -1 \right) ^{n} \\ &= \binom{n+1}{n+1}- \left[ \binom{n+1}{n+1}-\binom{n+1}{n}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n}\binom{n+1}{1}+ \left( -1 \right) ^{n+1}\binom{n+1}{0} \right] \\ &= 1- \left( 1-1 \right) ^{n+1} \\ &= 1. \end{align*}

Na red dolazi \beta_{n}. Označimo li s N_{k} broj k–ćelija od \beta_{n} i s N'_{k} broj k–ćelija od \beta_{n-1} – iz kojeg konstruiramo \beta_{n} , vrijedi:
\begin{align*} N_{0} & \stackrel{ \left( 1 \right) }{=} N'_{0}+2 \\ N_{1} & \stackrel{ \left( 2 \right) }{=} N'_{1}+2N'_{0} \\ N_{2} & \stackrel{ \left( 3 \right) }{=} N'_{2}+2N'_{1} \\ &\ \vdots \\ N_{k-1} & \stackrel{ \left( k \right) }{=} N'_{k-1}+2N'_{k-2} \\ &\ \vdots \\ N_{n-1} & = N'_{n-1}+2N'_{n-2}. \end{align*}
Pri čemu:
(1) dobivamo tako da dodajemo dvije točke,
(2) očito vrijedi, naime, broj već postojećih bridova uvećavamo brojem novonastalih koje dobivamo tako da dodane točke spojimo sa svim vrhovima politopa \beta_{n-1}. Isto tako za
(3) broj 2–ćelija povećan je za dvostruki broj bridova zato što svaki brid u \beta_{n-1} čini 2–ćeliju s jednom od dodanih točaka. Jasno za
(4) zaključujemo analogno.
Indukcijom po dimenziji prostora pokazujemo da vrijedi
N_{k}=2^{k+1}\binom{n}{k+1}, \;\; k=0,\ldots,n-1.
Za bazu uzmimo n=1, k=0. Budući da dužina ima dvije krajnje točke, vrijedi N_{0}=2 , što je u skladu s tvrdnjom. Pretpostavimo da relacija vrijedi u \left( n-1 \right)–voj dimenziji. Neka je k\in \left\lbrace 0,1,\ldots,n-1 \right\rbrace proizvoljan. Tada je:
\begin{align*} N_{k} &= N'_{k}+2N'_{k-1} \\ &= 2^{k+1}\binom{n-1}{k+1}+2\cdot 2^{k}\binom{n-1}{k} \\ &= 2^{k+1} \left[ \binom{n-1}{k+1}+\binom{n-1}{k} \right] \\ &= 2^{k+1}\binom{n}{k+1}. \end{align*}
Pokažimo da za \beta_{n} vrijedi generalizacija Eulerove formule:
\begin{align*} \phi_{n} &= N_{n-1}-N_{n-2}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-1}N_{0}+ \left( -1 \right) ^{n} \\ &= 2^{n}\binom{n}{n}-2^{n-1}\binom{n}{n-1}+\ldots+ \left( -1 \right) ^{n-1}2^{1}\binom{n}{1}+ \left( -1 \right) ^{n} \\ &= \left( 2-1 \right) ^{n} \\ &= 1. \end{align*}
Za kraj promotrimo poopćenje kocke. Iz konstrukcije je očito da o \gamma_{n} možemo razmišljati kao o „prizmi” čije su baze dva sukladna \gamma_{n-1}. Označimo s N_{k} broj k–ćelija u \displaystyle\gamma_{n} i s N'_{k} broj k–ćelija u \gamma_{n-1}. Vrhove od \gamma_{n} čine vrhovi dviju baza, stoga je N_{0}=2N'_{0}. Bridovi od \gamma_{n} su bridovi dviju baza i bridovi koji spajaju odgovarajuće vrhove baza pa vrijedi jednakost N_{1}=2N'_{1}+N'_{0}. Općenito, k–ćeliju od \gamma_{n} čine ćelije dviju baza i k–ćelije koje nastaju spajanjem odgovarajućih \left( k-1 \right)–ćelija baza. Stoga vrijedi
N_{k}=2N'_{k}+N'_{k-1}, \;\; k=2,\ldots,n-1.
Indukcijom se lako pokaže da je onda
N_{k}=2^{n-k}\binom{n}{k}, \;\; 0\leq k\lt n.
Tvrdnja teorema 34 istinita je i za \gamma_{n}. To nas ne čudi, budući da je to jednostavno povezan politop:
\begin{align*} \phi_{n}- \left( -1 \right) ^{n} &= \left( -1 \right) ^{n-1} \left[ \left( 2-1 \right) ^{n}- \left( -1 \right) ^{n} \right] \\ \phi_{n} &= \left( -1 \right) ^{n}+ \left( -1 \right) ^{n-1}+1 \\ \phi_{n} &= 1. \end{align*}
Tabelirajmo dosadašnje rezultate:


Naziv Schläflijev simbol N_{0} N_{k} N_{n-1}
\alpha_{n} \left\lbrace 3^{n-1} \right\rbrace n+1 \binom{n+1}{k+1} n+1
\beta_{n} \left\lbrace 3^{n-2},4 \right\rbrace 2n 2^{k+1}\binom{n}{k+1} 2^{n}
\gamma_{n} \left\lbrace 4,3^{n-2} \right\rbrace 2^{n} 2^{n-k}\binom{n}{k} 2n
Tablica 3: Regularni politopi

Bibliografija
[1] Coxeter, H. S. M.: Regular polytopes, Methuen & Co Ltd., London, 1948
[2] Sommerville, D. M. Y.: An introduction to the geometry of n dimensions, Dover Publications, Inc, New York, 1958
[3] Favro, P.; Zucco, A.: Appunti di Geometria Convessa, skripta, Università di Torino
[4] Zucco, A.: Poligoni, poliedri e politopi regolari, Matematicamente.it, 123 (2009), 17.–24.

 

Ortogonalni latinski kvadrati i konačne projektivne ravnine

 
Rafael Mrđen,
student na PMF-Matematičkom odjelu
e-mail: rafaelmrdjen@gmail.com

Sažetak
U ovom članku uvodi se pojam latinskog kvadrata, njegove ortogonalnosti, te konačne projektivne ravnine (s kombinatornog aspekta). Navode se i dokazuju neka njihova osnovna svojstva i veze. Dokazuje se dovoljan uvjet egzistencije konačne projektivne ravnine zadanog reda. Najjači rezultat koji se dokazuje jest Bruck-Ryserov teorem, koji daje neke nužne uvjete na red konačne projektivne ravnine. Na kraju, kratko i informativno daje se uvid u generalizaciju.




1Ortogonalni latinski kvadrati

Tijekom povijesti latinski su kvadrati bili dio zabavne matematike. Međutim, u jednom su trenu matematičari uvidjeli netrivijalnost kombinatornih problema koji proizilaze iz razmatranja o latinskim kvadratima, kao i primjenu u drugim granama matematike. Mi ćemo razviti teoriju latinskih kvadrata u mjeri koja nam je potrebna da uspostavimo vezu s konačnim projektivnim ravninama.

Definicija. Kažemo da je kvadratna matrica A reda n \in \mathbb{N} latinski kvadrat ako vrijedi:
\bullet Elementi matrice A su elementi nekog n-članog skupa1\lbrace a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rbrace;
\bullet U svakom retku matrice A, svaki a_{i}, i=1,2,\ldots{},n nalazi se na točno jednom mjestu;
\bullet U svakom stupcu matrice A, svaki a_{i}, i=1,2,\ldots{},n nalazi se na točno jednom mjestu.

Primjer 1. Vrlo je lako provjeriti da su matrice
M := \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right) \quad \text{i} \quad N := \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right)
latinski kvadrati reda 3.


Općeniti latinski kvadrati neće nam biti posebno zanimljivi, ali hoće familije latinskih kvadrata istog reda koje imaju sljedeće svojstvo:

Definicija. Za latinske kvadrate A_{1}=\Big(a_{ij}^{(1)}\Big)_{ij} i A_{2}=\Big(a_{ij}^{(2)}\Big)_{ij} reda n kažemo da su ortogonalni ako skup2
\Big\lbrace \Big(a_{ij}^{(1)},a_{ij}^{(2)}\Big) \ : \ i,j=1,2,\ldots{},n \Big\rbrace
sadržava n^{2} različitih uređenih parova. Očito je ekvivalentno zahtijevati da je
\Big(a_{i_{1}j_{1}}^{(1)},a_{i_{1}j_{1}}^{(2)}\Big) \neq \Big(a_{i_{2}j_{2}}^{(1)},a_{i_{2}j_{2}}^{(2)}\Big), \text{ čim je } i_{1} \neq i_{2} \text{ ili } j_{1} \neq j_{2}.
Kažemo da je skup \lbrace A_{1},A_{2},\ldots,A_{t}\rbrace latinskih kvadrata istog reda ortogonalan ako su svaka dva različita elementa tog skupa ortogonalna.

Napomena. Uz ortogonalne latinske kvadrate veže se jedna poznata Eulerova hipoteza: Ako je n \equiv 2 \pmod{4}, tada ne postoje ortogonalni latinski kvadrati reda n. Pokazalo se poslije da je hipoteza pogrešna, točnije, da postoje ortogonalni latinski kvadrati reda n za n \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 2,6\rbrace. Više o tome vidi u [2], str. 151.–152.

Propozicija 2. Neka je S=\lbrace A_{1},A_{2},\ldots,A_{t}\rbrace ortogonalan skup latinskih kvadrata, reda n \geq 3. Tada je t \leq n-1.

Dokaz. Budući da nam je bitan samo raspored elemenata u latinskom kvadratu, a ne svojstva samih elemenata, možemo bez smanjenja općenitosti svakom posebno preimenovati elemente; time nećemo pokvariti ni definicijska svojstva latinskog kvadrata, niti ortogonalnost s drugim latinskim kvadratima, naravno, uz uvjet da različitim elementima pridružimo različito ime. Svakom latinskom kvadratu A_{i} \in S preimenujmo prvi redak u (1 \ 2 \ \ldots \ n). Budući da se u prvom retku od A_{i} nalazi svaki element (točno jednom), time su jedinstveno određena imena elemenata u svim preostalim retcima od A_{i}. Dakle, možemo smatrati da su
A_{1}= \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \ldots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}\right), \quad A_{2}= \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \ldots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}\right), \quad \ldots
\ldots, \quad A_{t}= \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \ldots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}\right).
Promotrimo koji brojevi mogu biti na mjestu (2,1) u tim matricama. Tu ne može biti 1, jer su te matrice latinski kvadrati. Također, zbog međusobne ortogonalnosti, ti brojevi očito moraju biti različiti za različite matrice, kojih ima t. Brojevi su iz skupa \lbrace 2,3,\ldots,n\rbrace, pa slijedi t \leq n-1, tj. tvrdnja teorema.
\ \blacksquare

Napomena. Gornji dokaz možemo provesti i u slučaju n=2, te zaključiti da ne postoje dva različita ortogonalna latinska kvadrata reda 2.

Primjer 3. Latinski kvadrati M i N iz primjera 1 su ortogonalni, jer njihovom superpozicijom dobivamo skup
\left\lbrace \begin{array}{ccc} (1,1) & (2,2) & (3,3) \\ (2,3) & (3,1) & (1,2) \\ (3,2) & (1,3) & (2,1) \end{array} \right\rbrace
u kojem se nalaze svi mogući uređeni parovi elemenata iz skupa \lbrace 1,2,3\rbrace. Možemo po propoziciji 2 zaključiti da ne postoji ni jedan latinski kvadrat koji bi istovremeno bio ortogonalan s M i N.


Sada kada znamo da postoje ortogonalni latinski kvadrati, te kada imamo gornju među za njihov broj, postavlja se pitanje koliko ih zapravo može biti za zadani red. Odgovor na to općenito nije poznat. Međutim, u nekim posebnim slučajevima ipak možemo primjetiti da se ta gornja međa postiže. To je sadržaj sljedećeg teorema.

Definicija. Ako ortogonalan skup latinskih kvadrata reda n ima n-1 element, kažemo da je taj skup potpun (ili zasićen).

Teorem 4. Neka je n prim-potencija3. Tada postoji potpun skup ortogonalnih latinskih kvadrata reda n.

Dokaz. Za brojeve oblika n=p^{m} postoji konačno (Galoisovo) polje reda n, u oznaci (GF(n),+,\cdot) – vidi [1], str. 280. Neka su svi (međusobno različiti) elementi tog polja sljedeći4: a_{0}=0, a_{1}=1, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n-1}. Definirajmo matrice
(1)
A_{k}=\Big(a_{ij}^{(k)}\Big)_{i,j=0,1,\ldots{},n-1} \qquad k=1,2,\ldots{},n-1
na sljedeći način:
(2)
a_{ij}^{(k)}:=a_{k} a_{i} + a_{j} \qquad i,j=0,1,\ldots{},n-1 \quad k=1,2,\ldots{},n-1.
Dokažimo da je svaka matrica iz (1) latinski kvadrat. Budući da u našem polju ima n elemenata, kao i mjesta u svakom retku (stupcu) matrice A_{k}, dovoljno je dokazati da se u svakom retku (stupcu) pojavljuju samo različiti elementi. Pretpostavimo da matrica A_{k} u istom retku ima dva ista elementa, tj. neka je a_{ij_{1}}^{(k)}=a_{ij_{2}}^{(k)}. Zbog (2) vrijedi:
a_{k} a_{i}+a_{j_{1}}=a_{k} a_{i} + a_{j_{2}} \quad \Rightarrow \quad a_{j_{1}}=a_{j_{2}} \quad \Rightarrow \quad j_{1}=j_{2},
pa vidimo da ti elementi moraju biti i u istom stupcu. Slično za stupce, pretpostavimo da matrica A_{k} u istom stupcu ima dva ista elementa, tj. a_{i_{1} j}^{(k)}=a_{i_{2} j}^{(k)}. Opet zbog (2) imamo:
a_{k} a_{i_{1}}+a_{j}=a_{k} a_{i_{2}} + a_{j} \quad \Rightarrow \quad a_{k} a_{i_{1}}=a_{k} a_{i_{2}} \quad \Rightarrow \quad a_{k} (a_{i_{1}}-a_{i_{2}})=0.
Sad iskoristimo činjenicu da u polju nema djelitelja nule, te a_{k} \neq 0 (jer je k\gt 0), pa imamo
a_{i_{1}}-a_{i_{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad a_{i_{1}}=a_{i_{2}} \quad \Rightarrow \quad i_{1}=i_{2}.
Dakle, matrice (1) su latinski kvadrati (reda n). Dokažimo još da su svaka dva međusobno ortogonalna. Neka su k,k' \in \lbrace 1,2,\ldots,n-1\rbrace međusobno različiti. Uočimo da je tada i a_{k} \neq a_{k'}, tj. a_{k} - a_{k'} \neq 0. Pretpostavimo da za neke i_{1},i_{2},j_{1},j_{2} \in \lbrace 0,1,\ldots,n-1\rbrace vrijedi
\Big(a_{i_{1} j_{1}}^{(k)},a_{i_{1} j_{1}}^{(k')}\Big)=\Big(a_{i_{2} j_{2}}^{(k)},a_{i_{2} j_{2}}^{(k')}\Big).
To povlači a_{i_{1} j_{1}}^{(k)}=a_{i_{2} j_{2}}^{(k)} i a_{i_{1} j_{1}}^{(k')}=a_{i_{2} j_{2}}^{(k')}, iz čega slijede izrazi
(3)
a_{k} a_{i_{1}}+a_{j_{1}}=a_{k} a_{i_{2}}+a_{j_{2}},
(4)
a_{k'} a_{i_{1}}+a_{j_{1}}=a_{k'} a_{i_{2}}+a_{j_{2}}.
Nakon što od (3) oduzmemo (4) te iskoristimo komutativnost, asocijativnost i distributivnost u polju, dobijemo
(a_{k} - a_{k'})a_{i_{1}}=(a_{k} - a_{k'})a_{i_{2}} \quad \Rightarrow \quad (a_{k} - a_{k'})(a_{i_{1}}-a_{i_{2}})=0
\Rightarrow \quad a_{i_{1}}-a_{i_{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad a_{i_{1}}=a_{i_{2}} \quad \Rightarrow \quad i_{1}=i_{2}.
Nakon što izraz i_{1}=i_{2} stavimo u (3), trivijalno slijedi i j_{1}=j_{2}, pa su latinski kvadrati A_{k} i A_{k'} ortogonalni (uočimo da to povlači i da su međusobno različiti). Stoga je skup \lbrace A_{1},A_{2},\ldots, A_{n-1}\rbrace ortogonalan te sadržava n-1 različitih elemenata, pa je potpun.
\ \blacksquare


Sljedeći teorem nama je više tehničkog karaktera, iako je značajan i sam za sebe (npr. u teoriji kodiranja).

Teorem 5. Neka su n \geq 3, t \geq 2 prirodni brojevi. Postoji ortogonalan skup od t latinskih kvadrata reda n ako i samo ako postoji matrica tipa (t+2,n^{2}) s elementima iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, koja ima svojstvo da stupci svake podmatrice tipa (2,n^{2}) tvore n^{2} različitih uređenih parova iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, ili ekvivalentno tomu, da se pojavljuju svi mogući uređeni parovi elemenata iz tog skupa.5 Nazovimo to svojstvo (\ast).

Dokaz. Neka su
A_{1}=\Big(a_{ij}^{(1)}\Big)_{ij}, \quad A_{2}=\Big(a_{ij}^{(2)}\Big)_{ij}, \quad \ldots , \quad A_{t}=\Big(a_{ij}^{(t)}\Big)_{ij}
t latinskih kvadrata reda n, takvih da su svaka dva različita međusobno ortogonalna. Neka su, bez smanjenja općenitosti, elementi svih tih latinskih kvadrata iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace. Posložimo elemente tih matrica u matricu tipa (t+2,n^{2}) na sljedeći način:
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1 & \ldots & 1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & \ldots & n & n & \ldots & n \\ 1 & 2 & \ldots & n & 1 & 2 & \ldots & n & \ldots & 1 & 2 & \ldots & n \\ a_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} & \ldots & a_{1n}^{(1)} & a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \ldots & a_{2n}^{(1)} & \ldots & a_{n1}^{(1)} & a_{n2}^{(1)} & \ldots & a_{nn}^{(1)} \\ a_{11}^{(2)} & a_{12}^{(2)} & \ldots & a_{1n}^{(2)} & a_{21}^{(2)} & a_{22}^{(2)} & \ldots & a_{2n}^{(2)} & \ldots & a_{n1}^{(2)} & a_{n2}^{(2)} & \ldots & a_{nn}^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11}^{(t)} & a_{12}^{(t)} & \ldots & a_{1n}^{(t)} & a_{21}^{(t)} & a_{22}^{(t)} & \ldots & a_{2n}^{(t)} & \ldots & a_{n1}^{(t)} & a_{n2}^{(t)} & \ldots & a_{nn}^{(t)} \end{array} \right).
Nazovimo tu matricu A. Ako primijetimo da je svaka podmatrica tipa (2,n^{2}) matrice A zapravo kombinacija 2 različita retka matrice A, lako se vidi da joj stupci tvore sve različite uređene parove (njih n^{2}). Naime, za prva dva retka poprilično je jasno. Ako bi i-ti redak (2\lt i \leq t+2) s prvim ili drugim retkom tvorio dva jednaka uređena para, to bi bilo u kontradikciji s činjenicom da je A_{i-2} latinski kvadrat. Ako bi i-ti i j-ti redak (2\lt i\lt j \leq t+2) tvorili dva jednaka uređena para, to bi bilo u kontradikciji s ortogonalnošću latinskih kvadrata A_{i-2} i A_{j-2}. Dakle, matrica A ima i svojstvo (\ast).

Obrnuto, neka je A' matrica tipa (t+2,n^{2}), s elementima iz \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, koja ima svojstvo (\ast). Primijetimo očitu činjenicu da se svaki broj u svakom retku pojavljuje točno n puta. Naime, ako bi se neki broj k pojavljivao više od n puta u i-tom retku, tada bi tvorio više od n uređenih parova oblika (k,\text{nešto}), u nekoj podmatrici u kojoj se nalazi i-ti redak, pa bi neka dva para morala biti jednaka. Ako bi se pak k pojavljivao manje od n puta, tada bi se neki drugi broj k' morao pojaviti više od n puta, pa provedemo analogno razmatranje za k'. Također primijetimo da se svojstvo (\ast) neće pokvariti pri permutiranju stupaca A', pa možemo pretpostaviti da A' ima prvi redak kao matrica A. Promotrimo početni komad duljine n drugog retka matrice A'. Iznad tog komada nalaze se samo jedinice, pa prvih n stupaca možemo permutirati da nam taj početni komad bude (1 \quad 2 \quad \ldots \quad n), a da se ne promijeni prvi redak. To ponovimo i za sljedeći blok duljine n (ispod dvojki), te analogno sve do kraja drugog retka. Dobili smo da prva dva retka matrice A' izgledaju kao prva dva retka matrice A, te je ostalo sačuvano svojstvo (\ast). Dakle, bez smanjenja općenitosti, neka je A'=A. Sad očito možemo reverzibilnim postupkom (dobivanja matrice A iz skupa \lbrace A_{1},A_{2},\ldots,A_{t}\rbrace) iz matrice A dobiti skup S:=\lbrace A_{1},A_{2},\ldots,A_{t}\rbrace. Lako se vidi kako svojstvo (\ast) i prva dva retka matrice A garantiraju da su matrice A_{1},A_{2},\ldots,A_{t} latinski kvadrati. Jednako je lako vidjeti da svojstvo (\ast) povlači i međusobnu ortogonalnost od A_{i} i A_{j}, za međusobno različite i,j = 1,2,\ldots{},t. Stoga je S ortogonalan skup od t latinskih kvadrata reda n.
\ \blacksquare

Primjer 6. Ortogonalna shema latinskih kvadrata M i N primjera 1 je
\left(\begin{array}{ccccccccc} 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \end{array} \right).

Primjer 7. Dva ortogonalna latinska kvadrata reda 10 (prvi se dobije uzimajući u obzir samo znamenke jedinica brojeva u matrici, a drugi gledajući samo znamenke desetica):
\left(\begin{array}{cccccccccc} 00 & 67 & 58 & 49 & 91 & 83 & 75 & 12 & 24 & 36 \\ 76 & 11 & 07 & 68 & 59 & 92 & 84 & 23 & 35 & 40 \\ 85 & 70 & 22 & 17 & 08 & 69 & 93 & 34 & 46 & 51 \\ 94 & 86 & 71 & 33 & 27 & 18 & 09 & 45 & 50 & 62 \\ 19 & 95 & 80 & 72 & 44 & 37 & 28 & 56 & 61 & 03 \\ 38 & 29 & 96 & 81 & 73 & 55 & 47 & 60 & 02 & 14 \\ 57 & 48 & 39 & 90 & 82 & 74 & 66 & 01 & 13 & 25 \\ 21 & 32 & 43 & 54 & 65 & 06 & 10 & 77 & 88 & 99 \\ 42 & 53 & 64 & 05 & 16 & 20 & 31 & 89 & 97 & 78 \\ 63 & 04 & 15 & 26 & 30 & 41 & 52 & 98 & 79 & 87 \end{array} \right).


Za kraj odjeljka spomenimo da ne postoji „elegantna” matematička teorija uz pomoć koje bi se tražile familije ortogonalnih latinskih kvadrata. Uglavnom se za proučavanje ortogonalnih latinskih kvadrata koriste računalne metode za nalaženje, te asimptotske formule za broj takvih.

2Konačne projektivne ravnine

U ovom odjeljku želimo istaknuti samo kombinatorna svojstva projektivnih ravnina, dok geometrijska svojstva zanemarujemo (npr. ne zanima nas je li neka projektivna ravnina Desarguesova6).

Definicija. (Konačna) projektivna ravnina \Pi (reda n \in \mathbb{N}\setminus \lbrace 1\rbrace) je uređena trojka (\mathcal{T},\mathcal{P},\textbf{I}) nepraznih skupova; elemente skupa \mathcal{T} zovemo točke, skupa \mathcal{P} pravci, a \textbf{I} \subseteq \mathcal{T} \times \mathcal{P} je binarna relacija koju zovemo relacija incidencije (ako je (T,p) \in \textbf{I}, kažemo da točka T leži na pravcu p, ili pak da pravac p prolazi točkom T), te vrijedi7:
(P1) Za svake dvije različite točke postoji jedinstven pravac na kojem obje leže;
(P2) Za svaka dva različita pravca postoji jedinstvena točka kojom oba prolaze;
(P3) Svakom točkom prolazi točno n+1 pravac;
(P4) Na svakom pravcu leži točno n+1 točka.
Za dva različita pravca koja prolaze istom točkom kažemo da se sijeku u toj točki, te je ona sjecište danih pravaca. Za pravac koji prolazi kroz dvije različite točke kažemo da je spojnica tih dviju točaka, tj. da spaja te dvije točke.

Napomena. Primijetimo da je definicija projektivne ravnine simetrična s obzirom na pojmove točka i pravac. Stoga koju god tvrdnju dokažemo, vrijedit će i njoj dualna tvrdnja dobivena zamjenom pojmova točka\leftrightarrowpravac i svih izvedenih pojmova.

Primjer 8. Ako stavimo \mathcal{T}:=\lbrace 1,2,\ldots,7\rbrace i
\mathcal{P}:=\Big\lbrace \lbrace 1,2,3\rbrace ,\lbrace 3,4,5\rbrace ,\lbrace 1,5,6\rbrace ,\lbrace 1,4,7\rbrace ,\lbrace 2,5,7\rbrace ,\lbrace 3,6,7\rbrace ,\lbrace 2,4,6\rbrace \Big\rbrace ,
tada se lako provjeri da je (\mathcal{T},\mathcal{P},\in) projektivna ravnina reda 2, koju zovemo Fanova ravnina. Možemo je predočiti slikom:
Slika 1: Fanova ravnina – projektivna ravnina reda 2.

Propozicija 9. Projektivna ravnina reda n sadržava n^{2}+n+1 točku i isto toliko pravaca.

Dokaz. Neka je P bilo koja točka spomenute projektivne ravnine. Kroz nju (po (P3)) prolazi n+1 različitih pravaca, pri čemu na svakom leži n različitih točaka koje nisu P (po (P4)). Ti se pravci sijeku u P pa nemaju drugih zajedničih točaka (po (P2)). Dakle, imamo 1 + (n+1) \cdot n = n^{2}+n +1 različitih točaka. Ostaje provjeriti ima li preostalih. Ako je Q neka točka različita od P, onda (po (P1)) postoji pravac koji ih spaja. Taj pravac jedan je od onih n+1, pa smo točku Q već uračunali. Dakle, točaka ima n^{2}+n +1, a po prethodnoj napomeni isto toliko ima i pravaca.
\ \blacksquare


Sljedećim teoremom potpuno razotkrivamo vezu između projektivne ravnine reda n i potpunog skupa ortogonalnih latinskih kvadrata reda n. Izlazi da je ta veza 11 korespondencija. Štoviše, u dokazu dajemo efektivan način konstrukcije jedne strukture iz druge. To će, u kombinaciji s rezultatima iz prethodnog odjeljka osigurati neke dovoljne uvjete za egzistenciju projektivnih ravnina.

Teorem 10. Neka je n \geq 3 prirodan broj. Postoji projektivna ravnina reda n ako i samo ako postoji potpun skup ortogonalnih latinskih kvadrata reda n.

Dokaz. Neka je dana projektivna ravnina reda n, te fiksirajmo neki pravac p. Neka su sve (međusobno različite) točke koje leže na pravcu p sljedeće: P_{1},P_{2},\ldots,P_{n+1}. Preostalo je n^{2}+n+1-(n+1)=n^{2} različitih točaka koje ne leže na pravcu p. Neka su sve takve Q_{1},Q_{2},\ldots,Q_{n^{2}}. Kroz svaku točku P_{i} prolazi još n različitih pravaca koji nisu p, pa tim n injektivno pridružimo oznake iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, za i=1\ldots{}n+1 (dakle, dva pravca s istom oznakom ne moraju biti jednaka, dok dva pravca s istom oznakom koja oba prolaze točkom P_{i}, za neki i \in \lbrace 1,2,\ldots,n+1\rbrace moraju biti isti pravac). Definirajmo a_{ij} kao pravac koji je jedinstveno određen točkama P_{i} i Q_{j}, te promotrimo matricu
A := \big( \text{oznaka od } a_{ij}\big)_{i=1,2,\ldots{},n+1,j=1,2,\ldots{},n^{2}}
tipa (n+1,n^{2}). Elementi te matrice očito su iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace. Dokažimo da A ima svojstvo (\ast). Ako pretpostavimo da nije tako, tada postoje međusobno različiti i_{1}, i_{2} \in \lbrace 1,2,\ldots,n+1\rbrace i međusobno različiti j_{1}, j_{2} \in \lbrace 1,2,\ldots,n^{2}\rbrace takvi da vrijedi
(\text{oznaka od } a_{i_{1} j_{1}},\ \text{oznaka od } a_{i_{2} j_{1}})=(\text{oznaka od } a_{i_{1} j_{2}}, \ \text{oznaka od } a_{i_{2} j_{2}}).
Izjednačavanjem prvih komponenti uređenih parova dobijemo da je oznaka od a_{i_{1} j_{1}} ista kao i oznaka od a_{i_{1} j_{2}}, za pravce a_{i_{1} j_{1}} i a_{i_{1} j_{2}} koja oba prolaze točkom P_{i_{1}}. Stoga mora biti a_{i_{1} j_{1}} = a_{i_{1} j_{2}}. Potpuno analogno je i a_{i_{2} j_{1}} = a_{i_{2} j_{2}}. Neka je q pravac određen točkama Q_{j_{1}} i Q_{j_{2}}. Vrijedi:
Q_{j_{1}} \ \text{leži na} \ a_{i_{1} j_{1}} = a_{i_{1} j_{2}}, \ Q_{j_{2}} \ \text{leži na} \ a_{i_{1} j_{2}} \ \stackrel{\href{#P1}{(P1)}}{\Rightarrow} \ q=a_{i_{1} j_{2}} \ \Rightarrow \ P_{i_{1}} \ \text{leži na} \ q .
Potpuno analogno vidi se da i P_{i_{2}} leži na q, pa je p=q (po (P1)). To povlači da Q_{j_{1}} leži na p, što je očita kontradikcija. Dakle, matrica A tipa (n+1,n^{2}), s elementima iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, ima svojstvo (\ast). Prema teoremu 5, postoji (n-1)-člani ortogonalan skup latinskih kvadrata reda n, a to je upravo potpuni skup ortogonalnih latinskih kvadrata reda n.

Obrnuto, ako postoji potpuni ortogonalni skup latinskih kvadrata reda n, tada po teoremu 5 postoji matrica A tipa (n+1,n^{2}), s elementima iz \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, koja ima svojsto (\ast). Stupce matrice A proglasimo točkama Q_{1},Q_{2},\ldots,Q_{n^{2}} (zbog svojstva (\ast) svaka dva stupca su različita), te uvedimo i dodatne točke P_{1},P_{2},\ldots,P_{n+1}. Neka pravac p sadržava točke P_{1},P_{2},\ldots,P_{n+1} i samo te. Uzmimo da pravac p_{ij}, i=1,2,\ldots{},n, j=1,2,\ldots{},n+1 prolazi točkom P_{j}, te onima i samo onima Q_{k} (k=1,2,\ldots{},n^{2}) kojima se u j-tom retku nalazi broj i. Provjerimo da je konstrukcija dobra, tj. da smo zaista dobili projektivnu ravninu (potrebno je provjeriti aksiome (P1)(P4)):
(P1): Za kombinaciju točaka P_{i} i P_{j} (i,j=1,2,\ldots{},n+1, i \neq j) jasno vrijedi – pravac p je jedini koji ih spaja). Također je jasno i za kombinaciju Q_{i} i P_{j} (i=1,2,\ldots{},n^{2}, j=1,2,\ldots{},n+1) – jedino ih spaja pravac p_{kj}, gdje je k broj na mjestu (j,i) matrice A. Za kombinaciju Q_{i} i Q_{j} (i,j=1,2,\ldots{},n^{2}, i \neq j) dovoljno je pokazati da i-ti i j-ti stupac matrice A imaju u točno jednom retku isti broj (reći ćemo da se preklapaju točno jednom). Budući da se svaki broj, u svakom retku matrice A javlja točno n puta, broj svih preklapanja svih stupaca je \binom{n}{2} \cdot n \cdot (n+1). Očito se zbog svojstva (\ast) dva različita stupca mogu preklapati najviše jednom. Ako se neka dva stupca ne preklapaju, tada je
\binom{n^{2}}{2} \gt \binom{n}{2} \cdot n \cdot (n+1) \quad \Rightarrow \quad \frac{n^{2}(n^{2}-1)}{2}\gt \frac{n^{2}(n-1)(n+1)}{2},
što je nemoguće. Dakle, svaka dva stupca preklapaju se točno jednom. Neka se broj k nalazi u stupcima i i j matrice A, u istom retku r. Sada je jasno da je p_{kr} jedini pravac koji spaja točke Q_{i} i Q_{j}.
(P2): Za pravce p i p_{ij} (i=1,2,\ldots{},n, j=1,2,\ldots{},n+1) očito vrijedi, sijeku se samo u točki P_{j}. Također je jasno da je jedina zajednička točka pravaca p_{i_{1} j} i p_{i_{2} j} (i_{1},i_{2}=1,2,\ldots{},n, i_{1} \neq i_{2}, j=1,2,\ldots{},n+1) upravo P_{j}. Sad promotrimo pravce p_{i_{1} j_{1}} i p_{i_{2} j_{2}} (i_{1},i_{2}=1,2,\ldots{},n, j_{1},j_{2}=1,2,\ldots{},n+1, j_{1} \neq j_{2}). Redci j_{1} i j_{2} matrice A (svojstvo (\ast)) tvorit će sve uređene parove iz skupa \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace, pa među ostalim i par (i_{1},i_{2}), i to točno jednom. Zato promatrani pravci imaju jedinstveno sjecište.
(P3): Za točke P_{i} (i=1,2,\ldots{},n+1) očito vrijedi. Međutim, vrijedi i za Q_{j} (j=1,2,\ldots{},n^{2}), jer se u svakom stupcu matrice A nalazi n+1 brojeva.
(P4): Za pravac p očito vrijedi. Pravac p_{ij} (i=1,2,\ldots{},n, j=1,2,\ldots{},n+1) osim P_{j}, sadržava još točno n različitih točaka, jer se u j-tom retku matrice A broj i pojavljuje točno n puta.
Dakle, konstruirali smo projektivnu ravninu, koja je očigledno reda n. Time je teorem potpuno dokazan.
\ \blacksquare


Sada smo se domogli glavnog rezultata ovog odjeljka:

Korolar 11. [Veblen–Bussey] Za svaku prim-potenciju p^{n} postoji projektivna ravnina reda p^{n}.

Dokaz. Za p^{n}=2 imamo Fanovu ravninu. Za ostale prim-potencije egzistencija slijedi direktno iz teorema 4 i teorema 10.
\ \blacksquare


Prirodno se postavlja pitanje vrijedi li obrat korolara 11 (je li red svake konačne projektivne ravnine prim-potencija?). To pitanje i dalje nije riješeno, te je preraslo u tzv. hipotezu o prim-potencijama8, koja kaže da je red svake konačne projektivne ravnine prim-potencija. Rezultat koji bi bio najbliži spomenutoj hipotezi dali su još 1949. godine R. H. Bruck i H. J. Ryser, a mi ćemo ga dokazati. Međutim, bit će nam potrebni neki netrivijalni rezultati iz teorije brojeva.

3Rezultati iz teorije brojeva

Dokazi sljedećih dvaju teorema nisu trivijalni te nemaju direktne veze s našom temom. Stoga ćemo navesti samo iskaze teorema, uz naznaku gdje se ti dokazi mogu pronaći.

Teorem 12. Broj n \in \mathbb{N} može se zapisati u obliku n=k^{2}+m^{2} za neke k,m \in \mathbb{Z} ako i samo ako se u rastavu broja n na proste faktore svaki prosti faktor p za koji je p \equiv 3 \pmod{4} javlja s parnom potencijom.

Dokaz. Vidi [6], str. 43.
\ \blacksquare

Teorem 13. [Lagrange] Za svaki n \in \mathbb{N} postoje x,y,z,w \in \mathbb{Z} takvi da je
n = x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}.

Dokaz. Vidi [6], str. 44.–45.
\ \blacksquare

Lema 14. Neka je n \in \mathbb{N} takav da je n=p^{2}+q^{2} za neke p,q \in \mathbb{Q}. Tada postoje m,k \in \mathbb{Z} takvi da je n=m^{2}+k^{2}.

Dokaz. Neka je n=\big(\frac{p_{1}}{q_{1}}\big)^{2}+\big(\frac{p_{2}}{q_{2}}\big)^{2}, gdje su p_{1},p_{2} \in \mathbb{Z}, q_{1},q_{2} \in \mathbb{N}. Slijedi \displaystyle (q_{1}q_{2})^{2} n=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}. Po teoremu 12 slijedi da se u prikazu broja (q_{1}q_{2})^{2} n na proste faktore svaki prosti faktor p za koji je p \equiv 3 \pmod{4} javlja s parnom potencijom. U prikazu broja (q_{1}q_{2})^{2} na proste faktore očito se svaki prosti faktor javlja s parnom potencijom. Dakle, u prikazu broja n na proste faktore svaki prosti faktor p za koji je p \equiv 3 \pmod{4} javlja se s parnom potencijom. Po teoremu 12 slijedi da je n=k^{2}+m^{2} za neke k,m \in \mathbb{Z}.
\ \blacksquare

Lema 15. Za brojeve a,b,c,d,x,y,w,z \in \mathbb{R} vrijedi identitet
\begin{align*} (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) & (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})=\\ = & \ (ax-by-cz-dw)^{2}+(bx+ay-dz+cw)^{2}+\\ & +(cx+dy+az-bw)^{2}+(dx-cy+bz+aw)^{2}. \end{align*}

Dokaz. Trivijalan je posao izmnožiti obje strane i provjeriti jednakost.
\ \blacksquare


Za potrebe sljedećeg dokaza bit će nam zgodna i sljedeća definicija.

Definicija. Reći ćemo da uređena četvorka (x,y,z,w) \in \mathbb{Z}^{4} reprezentira broj t \in \mathbb{Z} ako je t=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}.

4Bruck–Ryserov teorem

Teorem 16. [Bruck–Ryser] Neka je \Pi projektivna ravnina reda n te neka je n \equiv 1 \text{ ili } 2 \pmod{4}. Tada je n=k^{2}+m^{2} za neke k,m \in \mathbb{Z}.

Dokaz. Neka je \Pi projektivna ravnina reda n te neka je n \equiv 1 \text{ ili } 2 \pmod{4}. Po propoziciji 9, ravnina \Pi sadržava n^{2}+n+1=:v točku, i jednako toliko pravaca. Lako je vidjeti da je v+1 \equiv 0 \pmod{4}. Neka su P_{1},P_{2},\ldots,P_{v} točke, a l_{1},l_{2},\ldots,l_{v} pravci ravnine \Pi. Neka su x_{1},x_{2},\ldots,x_{v} varijable s vrijednostima u \mathbb{R}, te označimo
(5)
L_{i}:=\sum_{\lbrace j \ : \ P_{j} \text{ leži na } l_{i}\rbrace } x_{j}, \qquad i=1,2,\ldots,v.
Vrijede identiteti:
(6)
\sum_{i=1}^{v}L_{i}^{2} = 2 \sum_{i=1}^{v}\sum_{j=i+1}^{v}x_{i}x_{j} + (n+1) \sum_{i=1}^{v}x_{i}^{2},
(7)
\sum_{i=1}^{v}L_{i}^{2} = n \sum_{i=1}^{v}x_{i}^{2} + \Big(\sum_{i=1}^{v}x_{i}\Big)^{2}.
Identitet (6) dobijemo tako da nakon kvadriranja identiteta (5) i sumiranja po i=1,2,\ldots,v iskoristimo aksiome (P1) i (P3). Identitet (7) je malo zgodnije zapisan identitet (6). Uvedimo još jednu varijablu x_{v+1} s vrijednošću u \mathbb{R} te pribrojimo nx_{v+1}^{2} u (7). Dobijemo
(8)
\sum_{i=1}^{v}L_{i}^{2} + nx_{v+1}^{2} = n \sum_{i=1}^{v+1}x_{i}^{2} + T^{2},
gdje je T:=\sum_{i=1}^{v}x_{i}. Po teoremu 13 postoje nenegativni brojevi a,b,c,d \in \mathbb{Z} takvi da je n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}. Neka je matrica A_{n} \in M_{4}(\mathbb{R}) dana s
A_{n}:=\left(\begin{array}{rrrr} a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a \end{array}\right).
Nije teško vidjeti da je \det{}A_{n}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}=n^{2} \neq 0, pa je A_{n} regularna matrica. Ako (x,y,z,w) reprezentira broj t, tada lema 15 povlači da (x,y,z,w)A_{n} reprezentira broj tn. Zato možemo pisati
(9)
n(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2},
gdje je
(10)
(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})A_{n}.
Sustav (10) možemo napisati u obliku
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})A_{n}^{-1}.
Primijetimo da su elementi matrice A_{n}^{-1} iz \mathbb{Q}. Dakle, svaki x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} je linearna kombinacija varijabli y_{1},y_{2},y_{3},y_{4} s racionalnim koeficijentima. Te linearne kombinacije zajedno s (9) uvrstimo u (8) te dobijemo
\sum_{i=1}^{v}L_{i}^{2} + nx_{v+1}^{2} = y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2} + n \sum_{i=5}^{v+1}x_{i}^{2} + T^{2},
gdje su L_{1},L_{2},\ldots,L_{v},T linearne kombinacije (s racionalnim koeficijentima) varijabli y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},x_{5},x_{6},\ldots,x_{v+1}. Isti postupak napravimo i za sljedeću uređenu četvorku (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}), i tako dalje, sve do (x_{v-2},x_{v-1},x_{v},x_{v+1}) jer je v+1 \equiv 0 \pmod{4}. Dobijemo identitet
(11)
\sum_{i=1}^{v}L_{i}^{2} + nx_{v+1}^{2} = \sum_{i=1}^{v+1}y_{i}^{2} + T^{2},
gdje su L_{1},L_{2},\ldots,L_{v},x_{v+1},T linearne kombinacije varijabli y_{1},y_{2},\ldots,y_{v+1}. Izraz (11) je valjan za svaku valuaciju varijabli y_{1},y_{2},\ldots,y_{v+1}. Želimo uzeti takav y_{1} da bude y_{1}^{2}=L_{1}^{2}. Kako bismo se uvjerili da je to moguće, promotrimo sljedeća dva slučaja:
\bullet Ako u linearnoj kombinaciji L_{1}, y_{1} dolazi s koeficijentom 1, tada jednadžbu y_{1}=-L_{1} očito možemo riješiti po y_{1}, tj. možemo za y_{1} uzeti neku linearnu kombinaciju varijabli y_{2},y_{3},\ldots,y_{v+1} takvu da je y_{1}^{2}=L_{1}^{2}.
\bullet Ako u linearnoj kombinaciji L_{1}, y_{1} dolazi s koeficijentom različitim od 1, tada možemo analogno izvesti isti zaključak kao u prošlom slučaju, proučavajući jednadžbu y_{1}=L_{1}.
Nakon te supstitucije, identitet (11) sada postaje
\sum_{i=2}^{v}L_{i}^{2} + nx_{v+1}^{2} = \sum_{i=2}^{v+1}y_{i}^{2} + T^{2},
gdje su L_{2},L_{3},\ldots,L_{v},x_{v+1},T linearne kombinacije varijabli y_{2},\ldots,y_{v+1}. Ponavljajući taj postupak (za y_{2},y_{3},\ldots,y_{n} redom), dobijemo identitet
(12)
nx_{v+1}^{2} = y_{v+1}^{2} + T^{2},
gdje su x_{v+1},T linearne kombinacije varijable y_{v+1}. Tada je x_{v+1}=\alpha{}y_{v+1}, T=\beta{}y_{v+1} za neke \alpha, \beta \in \mathbb{Q} (primijetimo da su koeficijenti svih linearnih kombinacija tijekom cijelog dokaza racionalni brojevi – ni jedan korak u dokazu nije za posljedicu imao gubitak racinalnosti koeficijenata). Izaberimo sada y_{v+1}:=1. Sada (12) povlači
n \alpha^{2}=1+\beta^{2} \quad \stackrel{\alpha \neq 0}{\Rightarrow} \quad n=\Big(\frac{1}{\alpha}\Big)^{2}+\Big(\frac{\beta}{\alpha}\Big)^{2}, \quad \frac{1}{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha} \in \mathbb{Q}.
Lema 14 povlači da je n=m^{2}+k^{2} za neke m,k \in \mathbb{Z}.
\ \blacksquare

Korolar 17. [Bruck–Ryser, alternativna formulacija] Ako je n prirodan broj za koji vrijedi n \equiv 1 \text{ ili } 2 \pmod{4} i ako nekvadratni dio9 broja n u rastavu na proste faktore sadržava barem jedan prosti faktor p takav da je p \equiv 3 \pmod{4}, tada ne postoji projektivna ravnina reda n.

Dokaz. Pretpostavimo da postoji projektivna ravnina reda n te neka vrijedi n \equiv 1 \text{ ili } 2 \pmod{4}. Tada je po teoremu 16 n=m^{2}+k^{2} za neke m,k \in \mathbb{Z}. Teorem 12 povlači da se u rastavu broja n na proste faktore svaki prosti faktor p za koji je p \equiv 3 \pmod{4} javlja s parnom potencijom. Očito tada nekvadratni dio broja n ne sadržava ni jedan prosti faktor p za koji je p \equiv 3 \pmod{4}. Obratom po kontrapoziciji dobivamo tvrdnju korolara.
\ \blacksquare


Korolar 11 nam kaže da postoje projektivne ravnine redova 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, \ldots{} Korolar 17 nam kaže da ne postoje projektivne ravnine redova 6, 14, 21, 22, \ldots{} Međutim, već za red 10, 12 ili 15 navedeni rezultati ne mogu nam dati odgovor. Može se lako pokazati da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva za koje navedeni rezultati ne daju odgovor.

Krajem prošlog stoljeća uz pomoć računala je dokazano da ne postoji projektivna ravnina reda 10, dok je pitanje o postojanju projektivne ravnine reda 12 i dalje otvoren problem. Vidi [7].

5Poopćenje

U ovom odjeljku iskazat ćemo poopćenje teorema 16, koje su našli H. J. Ryser i S. Chowla 1950. godine. No prije toga potrebno je definirati nešto općenitiju strukturu od konačne projektivne ravnine. Promatrat ćemo konačne projektivne ravnine s aspekta teorije dizajna.

Definicija. Neka su v,k,\lambda \in \mathbb{N} takvi da je v \geq k \geq 2. Uređen par (X,\mathcal{A}), gdje je \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X), zovemo (v,k,\lambda)-balansiran nepotpun blok dizajn (kraće ćemo pisati (v,k,\lambda)-BIBD10), ako vrijedi:
(B1) \text{card}(X)=v;
(B2) Svaki blok (tj. element od \mathcal{A}) sadržava točno k elemenata;
(B3) Svaki neuređeni par različitih elemenata iz X nalazi se u točno \lambda blokova.
Nadalje, kažemo da je (v,k,\lambda)-BIBD simetričan ako je \lambda (v-1)=k^{2}-k.


Sada nije teško vidjeti da je projektivna ravnina reda n zapravo (n^{2}+n+1,n+1,1)-BIBD, uz identifikaciju: pravac \leftrightarrow blok (tj. pravac smatramo skupom točaka koje na njemu leže). Štoviše, projektivna ravnina reda n simetričan je (n^{2}+n+1,n+1,1)-BIBD. Sada smo u mogućnosti iskazati najavljeni teorem:

Teorem 18. [Bruck–Ryser–Chowla] Uzmimo da postoji simetričan (v,k,\lambda)-BIBD. Ako je v paran broj, tada je k- \lambda=w^{2} za neki w \in \mathbb{Z}. Ako je v neparan broj, tada postoje x,y,z \in \mathbb{Z} koji nisu svi nula, tako da vrijedi:
(13)
x^{2}=(k- \lambda)y^{2}+(-1)^{\frac{v-1}{2}} \lambda z^{2}.

Dokaz. Vidi [2], str. 30.–35.
\ \blacksquare


Zašto je teorem 18 općenitiji slučaj teorema 16? Pretpostavimo da postoji projektivna ravnina reda n, tj. da postoji simetričan (n^{2}+n+1,n+1,1)-BIBD, te primijetimo da je n^{2}+n+1 uvijek neparan broj.

Pretpostavimo prvo da je n \equiv 0 \text{ ili } 3 \pmod{4}. Tada se jednakost (13) reducira na jednadžbu x^{2}=ny^{2}+z^{2}, koja uvijek ima netrivijalno rješenje x=z=1, y=0. Dakle, u slučaju n \equiv 0 \text{ ili } 3 \pmod{4} teorem Bruck–Ryser–Chowla ne daje odgovor o (ne)postojanju projektivne ravnine reda n.

Pretpostavimo sada da je n \equiv 1 \text{ ili } 2 \pmod{4}. Tada se jednakost (13) reducira na x^{2}+z^{2}=ny^{2}, pa je (po lemi 14) n=m^{2}+k^{2} za neke m,k \in \mathbb{Z}, što je upravo tvrdnja teorema 16.
Bibliografija
[1] T. W. Hungerford, Algebra, Springer, 2003
[2] D. R. Stinson, Combinatorial desings, construction and analysis, Springer, 2004
[3] S. Radas, Ortogonalni latinski kvadrati, magistarski rad, PMF–Matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, 1988
[4] D. R. Huges, F. C. Piper, Projective planes, Springer, 1973
[5] D. Palman, Projektivna geometrija, Školska knjiga, 1984
[6] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, skripta, PMF–Matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, http://web.math.hr/~duje/utb/utblink.pdf
[7] C. W. H. Lam, The Search for a Finite Projective Plane of Order 10, The American Mathematical Monthly Volume 98, Issue 4 (str. 305–318), 1991


Arbelos

 

Goran Malić



1Uvod

Arbelos ili postolarov nož je lik omeđen trima međusobno tangentnim polukružnicama s kolinearnim središtima. Tim su se likom bavili starogrčki matematičari Arhimed i Pappus Aleksandrijski. Arhimed je unutar arbelosa uočio dvije istaknute kružnice jednakog radijusa, koje je spomenuo i u svojoj ”Knjizi Lema”, dok je Pappus zaključio da je arbelos ispunjen tangentnim kružnicama. Njihov je rad, nakon gotovo dvije tisuće godina, obradio i popularizirao Leon Bankoff, uvodenjem nekoliko novih sličnih kružnica.

U ovom radu opisat ćemo osnovna geometrijska svojstva arbelosa i kružnica koje su proučavali Arhimed i Pappus. Također, iskoristit ćemo prednosti elektroničkog formata tako što ćemo u 4. poglavlju konstrukcije nekih kružnica prikazati dinamički. U tu svrhu bit će potrebno instalirati i pokrenuti programski paket Java 1.4.2. (ili kasniju inačicu).


1Definicije i osnovna svojstva

Započnimo s formalnom definicijom arbelosa.

Definicija. Lik omeđen trima međusobno tangentnim polukružnicama s kolinearnim središtima zovemo arbelos.

Slika 1. Arbelos
Slika 1. Arbelos.

Polukružnice ćemo označavati s \alpha, \beta i \gamma kao na slici 1, njihove radijuse s r_1, r_2 i r, a dijametre s d_1, d_2 i d. Središta polukružnica \alpha, \beta i \gamma označavat ćemo s O_1, O_2 i O, a pravac na kojem se nalaze središta s AB, gdje je točka A presjecište tog pravca i polukružnice \alpha, a točka B presjecište tog pravca i polukružnice \beta. Točkom C označavat ćemo zajedničko presjecište polukružnica \alpha i \beta i pravca AB.

Često ćemo spominjati različite kružnice pa ćemo u tu svrhu kružnicu sa središtem u točki S označavati sa (S), a kružnicu sa središtem u točki S i radijusom |ST| označavati ćemo sa S(T). Analogno ćemo označavati i različite polukružnice.

Krenimo od osnovnih, ali ne i očiglednih svojstava arbelosa.

Propozicija 1. a) Opseg arbelosa jednak je d\pi, a površina r_1 r_2 \pi.
b) Ako s D označimo presjecište polukružnice \gamma i okomice na pravac AB u točki C, tada je površina kružnice promjera |CD| jednaka površini arbelosa.
Dokaz. Tvrdnja a) lagano se može provjeriti uz pomoć poznatih jednadžbi za opseg i površinu polukružnica \alpha, \beta i \gamma pa dokaz te tvrdnje ostavljamo čitatelju za vježbu. Dokaz tvrdnje b) također nije ništa bitno složeniji. Budući da se točka D nalazi na polukružnici \gamma trokut ABD je pravokutan, s pravim kutom u točki D. Očigledno je |CD| visina pravokutnog trokuta ABD pa iz Pitagorina poučka slijedi |CD|^2 = d_1 d_2 =4r_1 r_2. Dakle, površina kružnice s dijametrom |CD| jednaka je \left( \frac{|CD|}{2}\right)^2 \pi = r_1 r_2 \pi.
\ \blacksquare

Napomenimo da je tvrdnja b) propozicije 1 poznata kao propozicija 4 u Arhimedovoj "Knjizi Lema".

Uz pomoć arbelosa možemo vizualno predočiti nejednakosti harmonijske, geometrijske, aritmetičke i kvadratne sredine za dvije veličine. U tu svrhu dokazujemo sljedeću propoziciju:

Propozicija 2. Uz oznake kao na slici 2., vrijedi
a) duljina dužine CQ je kvadratna sredina M_2(d_1, d_2).
b) duljina dužine OQ i dužine OD je aritmetička sredina M_1(d_1, d_2).
c) duljina dužine CD je geometrijska sredina M_0(d_1, d_2).
d) duljina dužine DD', gdje je D' nožište okomice iz točke C na dužinu OD, je harmonijska sredina M_{-1}(d_1,d_2).
e) Ako je d_1 \geq d_2, onda vrijedi d_1 \geq M_2(d_1, d_2) \geq M_1(d_1, d_2) \geq M_0(d_1, d_2) \geq M_{-1}(d_1, d_2) \geq d_2.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Slika 2. Pomicanjem klizača d_1 mijenjaju se duljine dužina iz propozicije 2.

Dokaz. a) Trokut QOC je pravokutan, s pravim kutom u vrhu O, pri čemu je |OQ|=\frac{d}{2} i |OC|=d_1-\frac{d}{2}. Koristeći se d=d_1+d_2 i Pitagorinim poučkom, zaključujemo da vrijedi
|CQ|^2 = |OQ|^2 + |OC|^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(d_1-\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{2}.
Iz prethodne jednakosti zaključujemo da vrijedi |CQ|=\sqrt{\frac{d_1^2+d_2^2}{2}}=M_2(d_1,d_2).
b) Duljina dužina OQ i OD jednaka je \frac{d}{2} pa je očito |OQ|=|OD|=\frac{d_1 + d_2}{2}=M_1(d_1, d_2).
c) Trokut OCD je pravokutan, s pravim kutom u vrhu C. Prema Pitagorinom poučku vrijedi
|CD|^2 = |OD|^2 - |OC|^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(d_1-\frac{d}{2}\right)^2 = d_1 d_2,
odnosno |CD|=$\sqrt{d_1 d_2}$=M_0(d_1, d_2).
d) Trokuti DD'C i DCO su slični pa vrijedi \frac{|DD'|}{|CD|} = \frac{|CD|}{|OD|}. Dalje vrijedi |DD'| = \frac{|CD|^2}{|OD|} = \frac{2d_1 d_2}{d_1 + d_2} = M_{-1}(d_1, d_2).
e) Trokut QOC je pravokutan, s pravim kutom u vrhu O. U tom trokutu je |CQ| = M_2(d_1, d_2) hipotenuza, a |OQ| = M_1(d_1, d_2) kateta pa očito vrijedi M_2(d_1, d_2) \geq M_1(d_1, d_2). U pravokutnim trokutima OCD i CD'D analogno pokazujemo M_1(d_1, d_2) \geq M_0(d_1, d_2) \geq M_{-1}(d_1, d_2). Dalje imamo
d_1 = |AC| = |AO| + |OC| = |QO| + |OC| \geq |QC| = M_2(d_1, d_2).
d_2 = |CB| = |OB| - |OC| \leq; |OB| - |OD'| = |OD| - |OD'| = |DD'| = M_{-1}(d_1, d_2).
Možemo primijetiti da se jednakost postiže kada je d_1=d_2.
\ \blacksquare

Prvih nekoliko svojstava pokazuje da je doista riječ o zanimljivom liku, što za američkog matematičara C. Dodgea nije ništa čudno jer je arbelos, pored svega, trokut kojemu su stranice polukružnice ([2]). O još nekim svojstvima arbelosa, koja se mogu dokazati elementarnom geometrijom, možete pročitati u [3]. No ipak, najviše zanimanja za arbelos nisu potaknula ova prethodna svojstva, već svojstva kružnica koje je Arhimed primijetio i zabilježio u svojoj ”Knjizi Lema”. To su tzv. Arhimedove kružnice (u literaturi se ponekad navode i kao ”magične kružnice”).


2Arhimedove kružnice

Vjeruje se da je Arhimed prvi matematičar koji je proučavao arbelos. On je unutar arbelosa prepoznao dvije kružnice koje je smatrao specifičnima zbog toga što uz jednake radijuse, obje diraju dva luka arbelosa i pravac CD. Te dvije spomenute kružnice često se nazivaju Arhimedovim blizancima, očigledno zbog jednakog radijusa, koji ćemo odrediti u sljedećem teoremu.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Slika 3. Arhimedovi blizanci. Točka C je pomična.

Teorem 1. Radijusi p_1 i p_2 kružnica (W_1) i (W_2) jednaki su \frac{r_1 r_2}{r}.
Dokaz. Označimo s W_1' sjecište pravca AB i okomice iz točke W_1 na pravac AB. Tada vrijede sljedeće jednakosti (vidi sliku 4.):
|O_1W_1| = r_1 + p1,~|OW_1| = r - p_1,~|O_1W_1'| = r_1 - p_1,~|OW_1'| = r_1 - r_2 - p_1.
U pravokutnom trokutu O_1W_1'W_1 vrijedi |W_1'W_1|^2 = (r_1 + p_1)^2 - (r_1 - p_1)^2, a u pravokutnom trokutu OW_1'W_1 vrijedi |W_1'W_1|^2 = (r - p_1)^2 - (r_1 - r_2 - p_1)^2. Izjednačavanjem prethodnih dviju jednadžbi dobivamo 4 r_1 p_1 = 4 (r_1 - p_1) r_2 iz čega slijedi p_1 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{r_1 r_2}{r}. Analognim postupkom dokazuje se da je p_2 = \frac{r_1 r_2}{r}.
\ \blacksquare

Slika 4.
Slika 4.Skica uz dokaz teorema 1.

Od vremena Arhimeda pa sve do posljednje četvrtine 20. stoljeća proučavanje Arhimedovih blizanaca nije zaokupljalo pozornost matematičara. Godine 1974. Leon Bankoff, američki zubar i matematičar amater, pokazao je da Arhimedovi blizanci nisu samo blizanci, već da postoji i treća kružnica radijusa \frac{r_1 r_2}{r} koja je nekim karakterističnim svojstvom vezana uz arbelos. Njegov rad potaknuo je niz matematičara, među kojima su Z. Čerin, C. Dodge, F. van Lamoen, H. Okumura, M. Watanabe, P.Y. Woo, P. Yiu i drugi, da pronađu druge kružnice radijusa \frac{r_1 r_2}{r} koje su na neki način vezane uz arbelos. Takve kružnice nazivamo Arhimedovim kružnicama. Definirajmo ih formalnije:

Definicija. Kružnice s radijusom p =\frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{r_1r_2}{r}, gdje su r_1, r_2 i r redom radijusi polukružnica \alpha, \beta i \gamma koje čine arbelos, nazivamo Arhimedovim kružnicama.

Pored Arhimedovih blizanaca, treća Arhimedova kružnica, koju je otkrio Bankoff, usko je vezana uz kružnicu koja dira sva tri luka arbelosa, tzv. arbelosu upisana kružnica. Arbelosu upisanu kružnicu označavat ćemo s (O_3), a njeno središte s O_3. Treća Arhimedova, odnosno prva Bankoffova kružnica prolazi točkom C i diralištima M i N kružnice (O_3) s lukovima \alpha i \beta (vidi sliku 5.).

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Slika 5. Treća Arhimedova kružnica. Točka C je pomična.

Dokaz da je zbilja riječ o Arhimedovoj kružnici slijedi iz Pitagorina poučka i Heronove formule, a detalje prepuštamo čitatelju (ili vidi [3]).

Pored prethodne kružnice, Bankoff je otkrio još jednu Arhimedovu kružnicu: označimo s EF zajedničku tangentu polukružnica \alpha i \beta, gdje je točka E diralište polukružnice \alpha i tangente EF, a točka F diralište polukružnice \beta i tangente EF. Tada kružnica, koja iznutra dira polukružnicu \gamma i pravac EF, ima radijus p. Štoviše, ta kružnica dira polukružnicu \gamma u točki D i to je najmanja kružnica koja prolazi kroz točku D i dira pravac EF.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Slika 6. Četvrta Arhimedova kružnica. Točka C je pomična.

Dokaz da je riječ o Arhimedovoj kružnici ponovo prepuštamo čitatelju (ili vidi [3]).

Od Bankoffova otkrića treće i četvrte Arhimedove kružnice pa sve do danas otkriveno je više od pedeset novih Arhimedovih kružnica, a H. Okumura i M. Watanabe otkrili su i nekoliko beskonačnih familija Arhimedovih kružnica. O tim kružnicama možete čitati u [2], [3], [4] i [5]. Dostupan je i online katalog Arhimedovih kružnica.


3Pappusov lanac kružnica

Osim Arhimedovih kružnica uz arbelos vezana je još jedna familija kružnica, tzv. Pappusov lanac kružnica (vidi sliku 7.). Pappusov lanac kružnica formira se na sljedeći način: najprije konstruiramo arbelosu upisanu kružnicu koju ćemo označiti s (P_1). Zatim konstruiramo kružnicu (P_2) koja dira lukove \alpha i \gamma i kružnicu (P_1). Analogno konstruiramo svaku iduću kružnicu (P_n) u lancu.

Slika 7. Pappusov lanac kružnica
Slika 7. Pappusov lanac kružnica.

Pappusov lanac kružnica nazvan je prema starogrčkom matematičaru Pappusu Aleksandrijskom. On je dokazao teorem uz pomoć kojeg se može odrediti ordinata središta kružnica u Pappusovu lancu kružnica:

Teorem 2. Udaljenost središta kružnice (P_n) do pravca AB, u oznaci h_n, jednaka je h_n = 2 n p_n, pri čemu je p_n radijus kružnice (P_n).

Suvremeni dokaz teorema 2. provodi se inverzijom pa se često postavlja pitanje kako je Pappus dokazao taj teorem kada je tehnika inverzije uvedena tek u 19. stoljeću. Za više informacija i odgovor na to pitanje, korisno je proučiti članak [1]. Dokaz primjenom inverzije možete proučiti u [3].

Pappus je pokazao i da se središta kružnica u lancu nalaze na elipsi.

Teorem 3. Središta kružnica (P_1), (P_2), \dots nalaze se na elipsi sa žarištima u točkama O i O_1.

Slika 8. Središta kružnica u lancu nalaze se na elipsi
Slika 8. Središta kružnica u lancu nalaze se na elipsi.

Dokaz. Elipsa je definirana kao skup točaka za koje je suma udaljenosti do dvije fiksne točke konstantna. Promotrimo sumu udaljenosti središta proizvoljne kružnice (P_n) do točaka O i O_1:
|OP_n|+|O_1P_n|=(r-p_n)+(r_1+p_n)=r+r_1.
Dakle, središta kružnica (P_1), (P_2), \ldots nalaze se na elipsi jer je udaljenost od tih središta do točkaka O i O_1 konstantna.
\ \blacksquare

Konstruirajmo arbelos u kojem su radijusi polukružnica \alpha i \beta jednaki i upišimo mu Pappusov lanac kružnica. Konstruirajmo dva kružna luka radijusa |AC| tako da je središte jednog luka u točki A, a središte drugog luka u točki C. Novonastala figura je gotički luk, jedan od motiva u gotičkoj arhitekturi.

Slika 9. Gotički luk
Slika 9. Gotički luk.

4Geometrijske konstrukcije

U ovom poglavlju opisat ćemo geometrijske konstrukcije Arhimedovih blizanaca, arbelosu upisane kružnice i Pappusova lanca kružnica. Dokaze nećemo provoditi; dokaze čitatelji mogu provesti za vježbu ili pogledati u [3].

Konstrukcija 1. Arhimedovi blizanci
  • Neka je točka Q_1, odnosno Q_2, presjecište polukružnice \alpha, odnosno \beta i okomice na pravac AB, povučene iz središta polukružnice \alpha, odnosno \beta. Označimo s P presjecište dužina Q_1O_2 i Q_2O_1. To presjecište nalazi se na pravcu CD.
  • Konstruirajmo kružnicu (W) sa središtem u točki C i radijusom |CP|. Ta kružnica je Arhimedova.
  • Označimo s P_1 i P_2 presjecišta kružnice (W) i pravca AB te povucimo tangente t_1 i t_2 na kružnicu (W) u točkama P_1 i P_2.
  • Presjecište tangente t_1 kružnice (W), odnosno t_2 u točki P_1, odnosno P_2 i polukružnice O_1(P_2), odnosno polukružnice O_2(P_1), dat će točku W_1, odnosno W_2, koja je središte kružnice (W_1), odnosno (W_2).
  • Konačno, kružnice se središtem u točkama W_1 i W_2 s radijusom |CP| Arhimedovi su blizanci.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Konstrukcija Arhimedovih blizanaca. Radi jednostavnijeg prikaza, neki su koraci sakriveni.

Konstrukcija 2. Arbelosu upisana kružnica
  • Primjenom konstrukcije 1. konstruirajmo kružnicu (W_3) (to je prva Bankoffova kružnica).
  • Neka je točka M presjecište polukružnice \alpha i kružnice (W_3) te neka je točka N presjecište polukružnice \beta i kružnice (W_3). Povucimo pravce O_1M i O_2N i njihovo presjecište označimo s O_3.
  • Kružnica sa središtem u točki O_3 i radijusom |O_3M|=|O_3N| je arbelosu upisana kružnica.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Konstrukcija arbelosu upisane kružnice. Radi jednostavnijeg prikaza, neki su koraci sakriveni.

Konstrukcija 3. Pappusov lanac kružnica
  • Najprije konstruirajmo okomice na pravac AB u točkama B i C i označimo ih s l i l'. Konstruirajmo zatim kružnicu koja dira polukružnicu \beta i pravce l i l'. Očito se središte te kružnice nalazi na pravcu koji prolazi točkom O_2 i okomit je na pravac AB, a radijus je očito jednak r_2.
  • Označimo s Q_2 diralište prethodno konstruirane kružnice s polukružnicom \beta, a s E, odnosno F, označimo diralište s pravcem l, odnosno l'.
  • Konstruirajmo pravce AQ_2, AE i AF. Označimo s Q_2' presjecište pravca AQ_2 i polukružnice \beta, s E' presjecište pravca AE i polukružnice \alpha i s F' presjecište pravca AF i polukružnice \gamma. Kružnica određena točkama Q_2, E' i F' je kružnica (P_1).
  • Svaku sljedeću kružnicu u lancu konstruiramo analogno.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Konstrukcija Pappusova lanca kružnica. Radi jednostavnijeg prikaza, neki su koraci sakriveni.

Bibliografija
[1] L. Bankoff, How Did Pappus Do It?, Mathematical Gardner (Urednik D. Klarner). Boston, MA: Prindle, Weber, and Schmidt, str. 112.-118., 1981.
[2] C.W. Dodge, T. Schoch, P. Y. Woo, P. Yiu, Those Ubiquitous Archimedean Circles, Math. Mag., 72 (1999), 202.-213.
[3] G. Malić, Arbelos, studentski rad izrađen na PMF-MO, nagrađen Rektorovom nagradom Sveučilišta u Zagrebu za akademsku godinu 2006./2007.
[4] H. Okumura, M. Watanabe, A generalization of Power's Archimedean Circles, Forum Geometricorum 6 (2006), 103.-105.
[5] H. Okumura, M. Watanabe, The Archimedean Circles of Schoch and Woo, Forum Geometricorum 4 (2004), 27.-34.

Inverzija

 

Harun Šiljak




Sažetak
Ovaj rad nastao je u želji da se mladim natjecateljima srednjoškolcima teorijski i praktično predstavi inverzija u planimetriji. Na samom početku dan je nešto opširniji teorijski uvod u kojem su pored dobro poznatih svojstava inverzije dani i dokazi tih svojstava. U nastavku je na nizu primjera ilustrirana njezina praktična primjena.

1Uvod

Većina transformacija koje se primjenjuju u rješavanju planimetrijskih problema su izometrije. Nešto rjeđe primjenjuju se i homotetivne transformacije – no u svakom od tih preslikvanja pravac se preslikava u pravac, a kružnica u kružnicu (ili u elipsu, u općem slučaju afinih transformacija). No, kod inverzije nije takav slučaj. Inverzija, naime, preslikava pravce i kružnice u pravce i kružnice, ali pri tome može pravac transformirati u kružnicu i obrnuto. Ovo je jedan od razloga zašto inverzija ponekad daje neočekivane i zanimljive rezultate u svojoj primjeni.

Dajmo sada formalnu definiciju inverzije, a zatim protumačimo njezino praktično značenje.

Definicija 1. Neka je O točka u ravnini E, a r pozitivan realan broj. Inverzijom ravnine E u odnosu na kružnicu k(O,r) nazivamo preslikavanje koje svaku točku te ravnine P različitu od O preslikava u točku P' na polupravcu OP tako da vrijedi OP\cdot OP'=r^{2}. Točka O se pritom preslikava u točku u beskonačnosti.1


Napomenimo da stariji autori izostavljaju posljednju rečenicu ove definicije, navodeći da se točka O inverzijom uopće ne preslikava (te, samim tim, osporavaju stajalište da je inverzija geometrijska transformacija u strogom smislu, vidjeti npr. [10]).

Kako su čitatelji upoznati s osnom refleksijom (zrcaljenjem ravnine u odnosu na zadani pravac), pokušat ćemo inverziju objasniti kroz ovo elementarno preslikavanje. Točnije, inverziju možemo smatrati generalizacijom osne refleksije: riječ je, naime, o refleksiji na kružnici. Pravac možemo promatrati kao luk kružnice beskonačnog polumjera, pa ova generalizacija ima smisla.2 Zainteresirani čitatelj može relativno lako pokazati kako se praktično provodi ova generalizacija.

Iz definicije 1 direktno slijedi

Posljedica 2. Inverzija ravnine u odnosu na kružnicu k(O,r) točke na kružnici k preslikava u njih same, točke u unutrašnjosti kruga koji omeđuje ta kružnica u njegovu vanjštinu i obrnuto.


Nije se teško uvjeriti da vrijedi i

Posljedica 3. Inverzija je bijekcija i involucija.3


Pokažimo kako konstruirati točku P' iz definicije 1, tj. kako naći inverz točke u odnosu na kružnicu. Ovim postupkom uvjeriti ćemo se i u istinitost posljedica 23.
(1) Neka točka P leži na kružnici k(O,r). Spojimo li ovu točku sa središtem inverzije O, očito je da na polupravcu OP postoji točno jedna točka P' koja ispunjava jednakost OP\cdot OP'=r^{2}, i to sama točka P. Dakle, P'= P.
(2) Neka točka P leži izvan kružnice k(O,r). Povucimo kroz točku P tangentu na kružnicu k (slika 1) i označimo dodirnu točku tangente i kružnice s M. Neka je MP' visina trokuta OMP. Iz sličnosti pravokutnih trokuta OMP i OP'M slijedi P'O:OM=OM:OP, pa je OP\cdot OP'=r^{2}, te je P' slika točke P pri ovoj inverziji.
(3) Neka točka P leži unutar kružnice k(O,r). Primijenimo obrnut postupak onom u slučaju (2). Spojimo, dakle, točke O i P i povucimo okomicu na pravac OP kroz točku P. Jedan od presjeka tog pravca s kružnicom k označimo s M, kroz točku M povucimo tangentu na k i presjek te tangente i pravca OP označimo s P' (očito, riječ je o istoj slici kao u slučaju (2), sa zamijenjenim mjestima točaka P i P'). Iz identičnog razloga sličnosti kao pod (2) slijedi da je P' slika točke P pri ovoj inverziji.
Slika 1: Inverzija je bijekcija i involucija.


Ovim smo direktno dokazali posljedicu 2. Posljedica 3 za točke na kružnici direktno slijedi iz (1), a za ostale slijedi iz činjenica da su točke P' u (2) i (3) jednoznačno određene (zbog simetrije, svejedno je koju ćemo od dviju mogućih tangenti povući u (2), ili koji ćemo presjek pravca i kružnice odabrati u (3)). Očita je involutivna veza između slučajeva (2) i (3), gdje točka P iz (2) odogovara točki P' iz (3) i obrnuto.

Sad ćemo dokazati nekoliko osnovnih svojstava inverzije, koja je čine moćnim sredstvom u modernoj planimetriji.

Teorem 4. Ako je O centar inverzije, a točke A i B tom su inverzijom preslikane u A' i B', tada su trokuti OAB i OB'A' slični.

Dokaz. Iz definicije 1 slijedi: OA\cdot OA'=OB\cdot OB', pa je OA:OB=OB':OA, a budući da je \angle AOB=\angle B'OA', trokuti OAB i OB'A' su slični.
\ \blacksquare

Teorem 5. Ako je O centar inverzije, pravac p koji prolazi točkom O preslikava se u samog sebe.4

Dokaz. Prema definiciji 1, svaka točka pravca p (osim O) se preslikava u točku na istom tom pravcu. Budući da je riječ o bijekciji, pravac p preslikava se u samog sebe.
\ \blacksquare

Teorem 6. Ako je O centar inverzije, pravac p koji ne prolazi točkom O preslikava se u kružnicu koja prolazi točkom O.

Dokaz. Spustimo normalu OC na pravac p iz centra inverzije O (slika 2) te odaberimo proizvoljnu točku M na p. Budući da su trokuti OCM i OM'C' slični (teorem 4), kut \angle OM'C' je pravi, pa po Talesovu teoremu točka M' leži na kružnici k promjera OC'. Ako je X točka kružnice k različita od O, tada je ona slika pri inverziji točke Y koja se nalazi u presjeku polupravca OX i p. Dakle, inverzija preslikava pravac p u kružnicu k (preciznije, k\setminus \lbrace O\rbrace).
\ \blacksquare
Slika 2: Ako je O centar inverzije, pravac p koji ne prolazi točkom O preslikava se u kružnicu koja prolazi točkom O.

Teorem 7. Ako je O centar inverzije, kružnica koja prolazi točkom O preslikava se u pravac, a kružnica koja ne prolazi točkom O u kružnicu.5

Dokaz. Slučaj kružnice koja prolazi točkom O direktno slijedi iz teorema 6 i svojstva involutivnosti inverzije.

Neka sada O ne pripada kružnici k i neka su A i B točke presjeka kružnice k i pravca koji prolazi točkama O i S (gdje je S središte kružnice k), a M proizvoljna točka na k. Pokažimo da je kružnica k' promjera A'B' slika pri inverziji kružnice k. Za to će, po Talesovu teoremu, biti dovoljno pokazati da je kut \angle A'M'B' pravi. U daljnjem razmatranju koristit ćemo se orijentiranim kutovima, da ne bismo morali analizirati više slučajeva u ovisnosti o položaju točke M. Iz teorema 4 imamo sličnost trokuta OAM i OM'A' te OBM i OM'B', pa je \angle OMA=\angle OA'M' i \angle OMB=\angle OB'M', tj. \angle (OM,MA)=-\angle (OA',M'A') i \angle (OM,MB)=-\angle (OB',M'B'). Zato je \angle (A'M',M'B')=\angle (A'M',OA')+\angle (OB',M'B') = \angle (OM,MA)+ \angle (MB,OM)=\angle (MB,MA)=90^{\circ}.
\ \blacksquare

Teorem 8. Slike pri inverziji kružnice i njezine tangente (ili dviju kružnica koje se dodiruju) dodiruju se ako i samo ako se točka dodira originala ne poklapa s centrom inverzije. U suprotnom, preslikavaju se u paralelne pravce.

Dokaz. Dovoljno je provesti dokaz u jednom smjeru, drugi slijedi iz bijektivnosti i involutivnosti inverzije. Ako se točka dodira ne poklapa sa centrom inverzije, očito će i nakon inverzije postojati zajednička točka među krivuljama, tj. i slike će se dodirivati. S druge strane, ako se dvije kružnice dodiruju u točki O, tada se preslikavaju u dva pravca okomita na pravac koji povezuje njihova središta. Ako je riječ o pravcu i kružnici koji se dodiruju u točki O, tada se pravac preslikava u samog sebe, a kružnica u pravac okomit na pravac koji povezuje točku O i središte kružnice. Očito je da je u oba slučaja riječ o preslikavanju u dva paralelna pravca.
\ \blacksquare

Teorem 9. Ako je O centar inverzije, a točke A i B tom su inverzijom preslikane u A' i B', tada vrijedi
A'B'= \frac{AB\cdot r^{2}}{OA\cdot OB}.

Dokaz. Iz teorema 4 imamo OA:AB=OB':A'B', dok iz definicije 1 imamo OB\cdot OB'= r^{2}. Iz ove dvije relacije direktno slijedi A'B'= AB\cdot r^{2} / (OA\cdot OB).
\ \blacksquare

Teorem 10. Inverzija je konformalno preslikavanje, tj. čuva kutove među krivuljama.6

Dokaz. Dokaz ćemo provesti na primjeru dviju kružnica (što ne vodi smanjenju općenitosti, jer je slučaj pravca i kružnice zapravo specijalan slučaj dviju kružnica). Povucimo tangente t_{1} i t_{2} kroz točku presjeka kružnica. Prema teoremu 8, kut između slika kružnica jednak je kutu između slika tangenti. Inverzijom s centrom u O, pravac t_{i} preslikava se u samog sebe ili u kružnicu čija je tangenta u točki O paralelna pravcu t_{i}. Zato je kut između slika pravaca t_{1} i t_{2} jednak kutu između originala. Time je tvrdnja dokazana.
\ \blacksquare


Navedeni teoremi dovoljni su za uspješno korištenje inverzije u elementarnoj planimetriji (kao što ćemo i vidjeti na primjerima). No, sa znanstvene strane potrebno je na ovom mjestu dati još nekoliko napomena koje inverziju povezuju s modernim tokovima u geometriji.

S analitičke strane, inverziju krivulje možemo promatrati kroz transformaciju koordinata na temelju sljedećih teorema, koje navodimo bez dokaza samo zato što spomenuti teoremi nisu nužni za korištenje inverzije u standardnoj školskoj i natjecateljskoj planimetriji. No, čitatelj s osnovnim poznavanjem analitičke geometrije lako se može uvjeriti da ovi teoremi jednostavno slijede iz definicije 1.

Teorem 11. Ako je polarna jednadžba krivulje K dana s r=r(\theta), tada je polarna jednadžba njoj inverzne krivulje dana jednadžbom r=k^{2}/r(\theta), gdje je k polumjer inverzije.

Teorem 12. Ako je O(x_{0},y_{0}) centar, a k polumjer inverzije, tada je krivulja inverzna krivulji C(f(t),g(t)) u Kartezijevim pravokutnim koordinatama dana s7
x=x_{0} + \frac{k^{2} (f-x_{0})}{(f-x_{0})^{2}+(g-y_{0})^{2}}
y=y_{0} + \frac{k^{2} (g-y_{0})}{(f-x_{0})^{2}+(g-y_{0})^{2}}.


Koristeći se ovim teoremima, nije teško pokazati i analitički rezultate koje smo dobili kroz teoreme 49, kao i nove rezultate, npr. možemo doći do spoznaja u što se inverzijom preslikavaju druge poznate krivulje (konike, spirale\ldots). Tako se npr. hiperbola preslikava u lemniskatu (ako se inverzija radi u odnosu na njezino središte), ili parabola u kardioidu (ako se inverzija radi u odnosu na njezin fokus). Više o tome možete naći u [12]. Na kraju, spomenimo i mogućnost generalizacije inverzije na višedimenzionalne prostore, od kojih je za elementarnu geometriju bitna samo sferna (trodimenzionalna) inverzija, o čemu više možete naći u [1].

2Primjeri

Brojni su primjeri korištenja inverzije u planimetrijskim problemima. Kroz većinu primjera provlači se jedna važna činjenica: inverziju primjenjujemo u slučajevima kad se jedna točka na slici zadatka nameće kao centar problema: kroz nju prolazi više kružnica, određuje više važnih kutova i slično.

Ovdje ćemo se ograničiti na primjere iz „natjecateljske prakse”. Naime, iako je jako ilustrativna primjena inverzije na tzv. pramene kružnica i sustave koje čine same kružnice (vidi npr. nešto više o Steinerovoj porizmi, ili o Apolonijevim krugovima u [7] ili [2]), takvi primjeri nisu najpogodniji za upoznavanje mladog natjecatelja s magijom inverzije (kao ni, npr., jako zanimljivi načini primjene inverzije u izvođenju geometrijskih konstrukcija samo s pomoću šestara, vidi [6] ili [10]).

Primjer 13. ([8], Ptolomejev teorem) Za konciklične točke A, B, C, D vrijedi: AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD.


Rješenje. Promatrajmo inverziju s centrom u D i proizvoljnim polumjerom r. Opisana kružnica trokuta ABC preslikava se u pravac koji prolazi točkama A', B' i C' (teorem 7). Budući da je A'B'+B'C'=A'C', prema teoremu 9 imamo:
\frac{AB\cdot r^{2}}{AD\cdot BD}+\frac{BC\cdot r^{2}}{BD\cdot CD} = \frac{AC\cdot r^{2}}{AD\cdot CD}.
Množenjem posljednje jednakosti s (AD\cdot BD\cdot CD)/r^{2} dobivamo traženu jednakost. Provedemo li postupak unatrag, nije teško dobiti i obrat ovog teorema.

Primjer 14. ([3]) Dane su kružnice k_{1}, k_{2}, k_{3} i k_{4} takve da svaka od kružnica k_{2}, k_{4} dodiruje kružnice k_{1} i k_{3}, pri čemu točke dodira nisu kolinearne. Dokazati da su točke dodira konciklične.


Rješenje. Označimo točke dodira kružnica k_{1} i k_{2}, k_{2} i k_{3}, k_{3} i k_{4} te k_{4} i k_{1} redom s A, B, C i D. Inverzija s centrom u A proizvoljnog polumjera preslikava k_{1} i k_{2} u paralelne pravce k_{1}' i k_{2}', a k_{3} i k_{4} u kružnice k_{3}' i k_{4}' koje se dodiruju u točki C', a pravce k_{2}' i k_{4}' dodiruju redom u B' i D'. Očito su B', C' i D' kolinearne točke, pa B, C i D leže na kružnici koja prolazi točkom A (teorem 6).

Primjer 15. ([8], Iran 1995.) Označimo s M, N i P točke dodira upisane kružnice trokuta ABC i stranica AB, BC i CA, redom. Dokazati da su središte upisane i opisane kružnice trokuta ABC te ortocentar trokuta MNP kolinearni.


Rješenje. Središte upisane kružnice trokuta ABC i ortocentar trokuta MNP leže na Eulerovom pravcu8 trokuta MNP. Inverzijom u odnosu na upisanu kružnicu trokuta ABC točke A, B i C preslikaju se u A', B' i C' koje su redom polovišta dužina PM, MN i NP. Budući da je središte opisane kružnice trokuta A'B'C' ujedno i središte kružnice devet točaka9 trokuta MNP, koji se nalazi na Eulerovom pravcu trokuta MNP, središte kružnice opisane oko trokuta ABC također se nalazi na ovom pravcu.

Primjer 16. ([4], IMO 1996.) Neka je P točka u unutrašnjosti trokuta ABC takva da vrijedi \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC i neka su D i E središta upisanih kružnica trokuta APB i APC, redom. Pokazati da se AP, BD i CE sijeku u jednoj točki.


Rješenje. Primijenimo li inverziju s centrom u A i proizvoljnim polumjerom r, zadani uvjet pretvara se u \angle B'C'P' = \angle C'B'P', tj. B'P'=P'C'. Budući da je P'B'= PB\cdot r^{2}/(AP\cdot AB) (teorem 9), vrijedi AC/AB=PC/PB. Iz posljednje jednakosti slijedi da simetrale BD i CD kutova \angle ABP i \angle ACP dijele dužinu AP u istim omjerima, te su konkurentne s AP.

Primjer 17. ([3], Izrael 1995.) Neka je PQ promjer polukružnice s, a kružnica k iznutra dodiruje s i dužinu PQ u točki C. Neka su A i B redom točke na s i PQ takve da je AB tangenta na k okomita na PQ. Dokazati da je AC simetrala kuta \angle PAB.


Rješenje. Promatrajmo inverziju s centrom u C, proizvoljnog polumjera. Polukružnica s preslikava se u polukružnicu s' promjera P'Q', kružnica k u tangentu k' polukružnice s' paralelnu s P'Q', a AB u kružnicu l čije se središte nalazi na P'Q' i dodiruje k' (pa je polumjer kružnice l jednak polumjeru polukružnice s'). Kružnica l tada siječe s' i P'Q' redom u točkama A' i B'. Očito je P'A'B' jednakokračan trokut, pa vrijedi \angle PAC = \angle A'P'C = \angle A'B'C = \angle BAC (teorem 10).

Primjer 18. ([11], Srbija 2008.) Dan je trokut ABC. Neka su točke D i E na pravcu AB u redoslijedu D - A - B - E takve da je AD = AC i BE = BC. Simetrale unutarnjih kutova kod tjemena A i B sijeku nasuprotne stranice redom u točkama P i Q, a kružnicu opisanu trokutu ABC redom u točkama M i N. Pravac koji spaja točku A sa središtem kružnice opisane trokutu BME i pravac koji spaja točku B sa središtem kružnice opisane trokutu AND sijeku se u točki X, X \neq C. Dokazati da je CX \perp PQ.


Rješenje. Označimo s U središte kružnice opisane trokutu BME. Primijenimo li inverziju s centrom u A i kvadratom polumjera AB\cdot AC, točke B i C preslikavaju se u točke B' i C' simetrične točkama C i B u odnosu na AP, točke P i M preslikavaju se jedna u drugu, a E preslikava se u točku E' simetričnu Q u odnosu na AP. Prema tome, pravac AU poklapa se s pravcem koji spaja A sa središtem kružnice B'PE'.

Vidimo da je taj pravac simetričan pravcu AZ u odnosu na simetralu kuta A, gde je Z središte kružnice opisane trokutu CPQ. Analogno se dobiva da je pravac BZ simetričan pravcu koji spaja B sa središtem V kružnice AND u odnosu na simetralu kuta B. Po Cevinu teoremu u trigonometrijskom obliku, pravci simetrični pravcima AU, BV, CX u odnosu na simetrale kutova A, B, C redom se također sijeku u jednoj točki, što znači da je pravac CZ simetričan CX u odnosu na simetralu kuta C. No, kako je Z središte kružnice CPQ, pravac CX sadržava visinu trokuta CPQ, što je trebalo i dokazati.

Analizom ovih primjera čitatelj je mogao doći do zaključka da primjena inverzije često pojednostavljuje inače kompliciran problem (uglavnom je, naime, riječ o problemima koji su i nastali invertiranjem poznatijih, jednostavnih problema). No, to nije uvijek slučaj. Mnoge probleme primjena inverzije može dodatno zakomplicirati – zato oprez!

3Zadaci za samostalan rad

Zadatak 19. ([9], Dunavski kup 2007.) Neka je točka E polovište dijagonale BD tetivnog četverokuta ABCD i neka su k_{1}, k_{2}, k_{3} i k_{4} opisane kružnice trokuta AEB, BEC, CED i DEA, redom. Ako je pravac CD tangenta na kružnicu k_{4}, dokazati da su tada pravci BC, AB i AD redom tangente na kružnice k_{1}, k_{2} i k_{3}.

Zadatak 20. ([3]) Dokazati Feuerbachov teorem: kružnica devet točaka dodiruje upisanu i sve tri pripisane kružnice trokuta.

Zadatak 21. ([4], IMO Shortlist 2003.) Neka su \Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}, \Gamma_{4} nepodudarne kružnice takve da se \Gamma_{1} i \Gamma_{3} te \Gamma_{2} i \Gamma_{4} dodiruju izvana u točki P. Neka su A, B, C i D redom točke presjeka \Gamma_{1} i \Gamma_{2}; \Gamma_{2} i \Gamma_{3}; \Gamma_{3} i \Gamma_{4}; \Gamma_{4} i \Gamma_{1}, pri čemu su sve te točke različite od P. Dokazati da vrijedi
\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^{2}}{PD^{2}}.

Zadatak 22. ([7], Rumunjska 1997.) Označimo s k upisanu kružnicu trokuta ABC i s D proizvoljnu točku na stranici BC tog trokuta. Dokazati da se kružnice koje dodiruju k, AD i BD te k, AD, DC međusobno dodiruju ako i samo ako je \angle BAD = \angle CAD.

Zadatak 23. ([7], SAD 1993.) Neka je ABCD četverokut s međusobno okomitim dijagonalama koje se sijeku u O i neka su točke O_{1}, O_{2}, O_{3} i O_{4} osno simetrične točki O u odnosu na AB, BC, CD i DA, redom. Dokazati da je četverokut O_{1}O_{2}O_{3}O_{4} tetivni.

Zadatak 24. ([4], IMO Shortlist 1993.) Neka je točka I središte upisane, a O središte opisane kružnice k trokuta ABC. Kružnica k_{C} dodiruje stranice CA i CB u točkama D i E te iznutra dodiruje kružnicu k. Dokazati da je točka I polovište dužine DE.

Zadatak 25. ([4], IMO Shortlist 2002.) Upisana kružnica k oštrokutnog trokuta ABC dodiruje stranicu BC u točki K. Točka M je polovište visine spuštene iz točke A na BC, a N (druga) točka presjeka kružnice k i KM. Dokazati da se opisana kružnica trokuta BCN i kružnica k dodiruju u točki N.
Bibliografija
[1] H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1969.
[2] H. S. M. Coxeter, S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Toronto - New York, 1967.
[3] D. Đukić, Inversion, Olympiad Training Materials (IMO Compendium Group), 2007.
[4] D. Đukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2005.
[5] D. Hilbert, S. Cohn-Fossen, Geometry and the Imagination, Chelsea - New York, 1952.
[6] I. M. Jaglom, Geometričeskie preobrazovanija II, Moskva, 1956.
[7] K. S. Kedlaya, Geometry Unbound, 2006.
[8] K. Y. Li, Inversion, Mathematical Excalibur, Vol. 9., No. 2, May-July 2004.
[9] MathLinks Forums
[10] V. V. Praslov, Problems in Plane Geometry (prijevod: D. Leites), 2005.
[11] Srpska matematička olimpijada 2008 – zadaci i rešenja, Srb. imomath. com., 2008.
[12] R.C. Yates, A Handbook of Curves and Their Properties, Ann Arbor, 1952.



 
2Kažu da je tako na ideju inverzije došao Apolonije iz Perge, u jednom od svojih izgubljenih djela (ta ideja vidi se i u teoremu o Apolonijevoj kružnici, vidi [1]). U novije doba, tek je Jacob Steiner u XIX. stoljeću pokazao pravu moć inverzije, iskoristivši je u svojim radovima za virtuozne dokaze nekih starih i postavljanje nekih novih teorema.
3To znači da je invertirana slika svake točke P' točka P, tj. I(I(P))=P, gdje I označuje inverziju.
4Kad govorimo o krivulji q koja prolazi centrom inverzije O, mislimo na q\setminus \lbrace O\rbrace, zbog specifičnosti (ne)preslikavanja točke O.
5Ovo ipak ne znači da se u slučaju preslikavanja kružnice u kružnicu središte jedne preslikava u središte druge – možete to provjeriti!
6Točnije, antikonformalno preslikavanje, jer preslikani (orijentirani) kut je suprotan po smjeru onom originalnom. Napomenimo i to da kutom između dviju krivulja smatramo kut između tangenti na te krivulje.
7Primijetimo da se, ako se za kružnicu inverzije izabere jedinična kružnica sa središtem u ishodištu, navedene jednadžbe dosta pojednostavljuju.
8Eulerov pravac trokuta je pravac na kojem leže središte opisane kružnice, težište i ortocentar tog trokuta.
9Kružnica devet točaka ili Feuerbachova (Eulerova) kružnica trokuta ABC prolazi polovištima stranica trokuta, nožištima normala i polovištima dužina AH, BH i CH, gdje je H ortocentar trokuta ABC.