Ajda Fošner
University of Primorska
Faculty of Management
Cankarjeva 5
SI-6104 Koper
Slovenia
ajda.fosner@fm-kp.si
|
Maja Fošner
University of Maribor
Faculty of Logistics
Mariborska cesta 2
SI-3000 Celje
Slovenia
maja.fosner@uni-mb.si |
Sažetak
U članku uvodimo definiciju asocijativne superalgebre, osnovna svojstva, te dajemo neke primjere.
1Uvod
U posljednjih nekoliko desetljeća, jedna od najplodonosnijih tema iz algebre jest nedavno razvijena teorija graduiranih algebri, te takozvanih superalgebri. U
[12], Kac tvrdi da se interes za područje superalgebri pojavio u fizici, u teoriji “supersimetrije”. Mnogo rezultata o superalgebrama i graduiranim algebrama napisali su Martinez, Zelmanov, Wall, Shestakov i drugi (za primjer vidi
[7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15]). Osnovni cilj ovog rada je uvesti definiciju asocijativne superalgebre, dati ponešto primjera i prezentirati osnovna svojstva.
Pod algebrom ćemo podrazumijevati asocijativnu algebru nad poljem
\Phi. Smatramo da su definicije algebre, modula i ideala poznate. Međutim, napisat ćemo neke definicije i objasniti neka osnovna svojstva algebri. Algebra
\mathcal{A} je
jednostavna, ako je
{\mathcal{A}}^{2}\ne 0 i ako su
0 i
\mathcal{A} jedini ideali u
\mathcal{A}. Kažemo da je algebra
\mathcal{A} prosta ako za nju vrijedi da je produkt bilo kojih dvaju ne-nul ideala opet ne-nul ideal. To je ekvivalentno sljedećoj implikaciji: Ako je
a \mathcal{A} b =0 za neke
a,b\in \mathcal{A}, slijedi da je
a=0 ili
b=0. Primjer proste algebre je
M_{n}(\mathbb{C}), tj. algebra svih
n \times n kompleksnih matrica. Kažemo da je algebra
poluprosta ako nema ne-nul nilpotentnih ideala (ideal
\mathcal{I} u algebri
\mathcal{A} je
nilpotentan, ako je
{\mathcal{I}}^{n}=0 za neki
n\in \mathbb{N}). To je ekvivalentno svojstvu: ako je
a \mathcal{A} a=0 za neki
a\in \mathcal{A}, tada je
a=0. Svaka prosta algebra je i poluprosta. Obrat, međutim, općenito ne vrijedi. Posebno, ako je
\mathcal{A} \neq 0 prosta algebra, tada je
\mathcal{A} \times \mathcal{A} poluprosta algebra koja nije prosta.
2Superalgebre
Dragi čitatelji, u ovom poglavlju pozivamo vas u svijet superalgebri. Uvest ćemo neke osnovne definicije te prikazati neke primjere asocijativnih super\-algebri.
Superalgebra je
{\mathbb{Z}}_{2}-graduirana algebra. To znači da postoje
\Phi-podmoduli
\mathcal{A}_{0} i
\mathcal{A}_{1} od
\mathcal{A} takvi da vrijedi:
\mathcal{A}=\mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1},
\mathcal{A}_{0} \mathcal{A}_{0}\subseteq \mathcal{A}_{0} (što znači da je
\mathcal{A}_{0} podalgebra
\mathcal{A}),
\mathcal{A}_{0} \mathcal{A}_{1} \subseteq \mathcal{A}_{1},
\mathcal{A}_{1} \mathcal{A}_{0} \subseteq \mathcal{A}_{1} i
\mathcal{A}_{1} \mathcal{A}_{1} \subseteq \mathcal{A}_{0}. Kažemo da je
\mathcal{A}_{0} parni dio, a
\mathcal{A}_{1} neparni dio od
\mathcal{A}.
Asocijativna superalgebra \mathcal{A} je asocijativna
\mathbb{Z}_{2}-graduirana algebra. Kažemo da je
\mathcal{A} trivijalna superalgebra ako je
\mathcal{A}_{1}=0. Za
a \in \mathcal{A}_{k} (gdje je
k \in \lbrace 0,1\rbrace) kažemo da je
homogen stupnjak} i pišemo
|a|=k.
Graduiran\Phi-podmodul}
\mathcal{B} asocijativne superalgebre
\mathcal{A} je podmodul algebre
\mathcal{A} za koji vrijedi
\mathcal{B} = \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{1}.
U tom slučaju pišemo
\mathcal{B}_{0} = \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{0} i
B_{1} = \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{1}, što znači
\mathcal{B} = \mathcal{B}_{0} \oplus \mathcal{B}_{1}. Ako je
\mathcal{B} graduirana podalgebra od
\mathcal{A}, tada je
\mathcal{B} i asocijativna superalgebra.
Graduiran ideal (ili
superideal)
\mathcal{I} superalgebre
\mathcal{A} je ideal od
\mathcal{A} koji je i graduiran
\Phi-podmodul, tj.
\mathcal{I} = \mathcal{I} \cap \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{I} \cap \mathcal{A}_{1}, ili
\mathcal{I} = \mathcal{I}_{0} \oplus \mathcal{I}_{1}.
Napišimo ponešto o graduiranosti. Prirodno se postavlja pitanje kako opisati
\mathbb{Z}_{2}-graduiranost. Za danu asocijativnu superalgebru
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1} definirajmo funkciju
\sigma ~ : ~ \mathcal{A} \to \mathcal{A} sa
(a_{0}+a_{1})^{\sigma} = a_{0} - a_{1}, te primijetimo da je tako definirana funkcija
\sigma zapravo automorfizam od
\mathcal{A} za koji vrijedi
\sigma^{2} = \text{id}. Obratno, za danu algebru
\mathcal{A} i automorfizam
\sigma od
\mathcal{A} sa svojstvom
\sigma^{2} = \text{id},
\mathcal{A} postaje superalgebra definiranjem
\mathcal{A}_{0} = \lbrace a \in \mathcal{A} \ | \ \sigma (a) = a\rbrace i
{\mathcal{A}}_{1} = \lbrace a \in \mathcal{A} \ | \ \sigma (a) = -a\rbrace (doista, bilo koji element
a \in \mathcal{A} može se prikazati kao
a= \frac{a + a^{\sigma}}{2} + \frac{a - a^{\sigma}}{2}, te je
\frac{a + a^{\sigma}}{2} \in \mathcal{A}_{0},
\frac{a - a^{\sigma}}{2} \in \mathcal{A}_{1}). Tako reći,
{\mathbb{Z}}_{2}-graduiranje može se karakterizirati preko automorfizma s kvadratom
\text{id}.
Podmodul
\mathcal{B} superalgebre
\mathcal{A} je graduiran ako i samo ako je
\mathcal{B}^{\sigma} = \mathcal{B}. Neka je centar
\mathcal{Z}(\mathcal{A}) superalgebre
\mathcal{A} upravo centar algebre
\mathcal{A} u uobičajenom smislu, tj.
\mathcal{Z}(\mathcal{A}) = \lbrace a \in \mathcal{A} \ | \ ab=ba \ \forall b \in \mathcal{A} \rbrace. Centar je graduiran, jer svaki automorfizam preslikava centar na centar. To znači da je
\mathcal{Z}(\mathcal{A}) = \mathcal{Z}(\mathcal{A})_{0} \oplus \mathcal{Z}(\mathcal{A})_{1}.
U sljedećem tekstu prikazat ćemo neke primjere asocijativnih superalgebri.
Primjer 1. Neka je
\mathcal{A} algebra i neka je
c \in \mathcal{A} invertibilan element. Nadalje, neka je
\sigma automorfizam algebre
\mathcal{A} definiran s
x^{\sigma} = cxc^{-1} za sve
x \in \mathcal{A}. Uočimo da je
\sigma^{2} = \text{id} ako i samo ako je
c^{2} \in \mathcal{Z}(\mathcal{A}). Slijedi da je
\mathcal{A}=\mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1} superalgebra, gdje je
\mathcal{A}_{0} = \lbrace x \in \mathcal{A} \ | \ xc=cx\rbrace i
\mathcal{A}_{1} = \lbrace x \in \mathcal{A} \ | \ xc=-cx\rbrace.
Konkretno, neka je
\mathcal{A}=M_{r+s}(\Phi) algebra svih
(r+s) \times (r+s) matrica nad
\Phi, gdje su
r,s \in \mathbb{N}. Za element
c možemo izabrati matricu
\begin{bmatrix} I_{r} & 0 \\ 0 & -I_{s} \end{bmatrix},
gdje je
I_{r} jedinična matrica iz
M_{r}(\Phi) te
I_{s} jedinična matrica iz
M_{s}(\Phi). Tada su parni i neparni dijelovi dani s
A_{0} = \left[\begin{array}{cc} M_{r}(\Phi) & 0 \\ 0 & M_{s}(\Phi) \\ \end{array}\right], \quad \mathcal{A}_{1} = \left[\begin{array}{cc} 0 & M_{r,s}(\Phi) \\ M_{s,r}(\Phi) & 0 \\ \end{array}\right],
gdje
M_{r,s}(\Phi) označava skup svih
r \times s matrica. Ova algebra je asocijativna superalgebra, koju obično označujemo s
M(r|s).
Primjer 2.
Neka je
A algebra nad
\Phi i stavimo
\mathcal{A} = A \times A. Nadalje, neka je
\sigma automorfizam na
\mathcal{A} definiran sa
\sigma(a,b)=(b,a), za sve
a,b \in A. Tada vrijedi
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1}, gdje je parni dio dan s
\mathcal{A}_{0} = \lbrace (a,a) \ | \ a \in A\rbrace, a neparni s
\mathcal{A}_{1} = \lbrace (b,-b) \ | \ b \in A\rbrace. Pokaže se da vrijedi:
\mathcal{A} \cong \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} C & D \\ D & C \\ \end{array}\right] \ | \ C,D \in A \Big\rbrace ,
\mathcal{A}_{0} \cong \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} C & 0 \\ 0 & C \\ \end{array}\right] \ | \ C \in A \Big\rbrace , \qquad \mathcal{A}_{1} \cong \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} 0 & D \\ D & 0 \\ \end{array}\right] \ | \ D \in A \Big\rbrace .
U ovom slučaju kažemo da je superalgebra
\mathcal{A} zadana automorfizmom zamjene.
Primjer 3.
Neka je
\mathcal{A} = Q(\alpha, \beta)4-dimenzionalna algebra nad
\Phi, s bazom
\lbrace 1,uv,u,v\rbrace. Definirajmo množenje na sljedeći način:
u^{2}=\alpha \in \Phi,
v^{2}=\beta \in \Phi,
uv=-vu. Posebno,
\mathcal{A} je algebra kvaterniona nad
\mathbb{R}. Stavimo
\mathcal{A}_{0} = \Phi 1 + \Phi uv i
\mathcal{A}_{1} = \Phi u + \Phi v. Vrijedi da je
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1} asocijativna superalgebra, koju zovemo superalgebra kvaterniona.
Navedimo neka osnovna svojstva asocijativnih superalgebri. Asocijativna superalgebra
\mathcal{A} je
jednostavna, ako nema pravih ne-nul graduiranih ideala. Jedini graduirani ideali su
0 i cijela superalgebra
\mathcal{A}. Primijetimo da jednostavna superalgebra ne mora biti jednostavna i kao algebra. Ako produkt dvaju ne-nul graduiranih ideala superalgebre
\mathcal{A} uvijek bude različit od
0, kažemo da je
\mathcal{A} prosta superalgebra. Superalgebra
\mathcal{A} je
poluprosta, ako nema ne-nul nilpotentnih graduiranih ideala. Kao što je zabilježeno u
[1], to je ekvivalentno implikaciji da
a \mathcal{A} b = 0 povlači da je
a=0 ili
b=0, gdje su
a i
b bilo koji
homogeni elementi u
\mathcal{A}. Zapravo, isti zaključak i dalje vrijedi ako pretpostavimo da je samo jedan od tih dvaju elemenata, recimo
b, homogen.
Neka je
\mathcal{A} prosta superalgebra. Prirodno se javlja pitanje jesu tada i algebre
\mathcal{A} i
\mathcal{A}_{0} proste. Sljedeća dva primjera pokazuju da to ne mora vrijediti uvijek.
Primjer 4. Neka je
A prosta algebra nad
\Phi i neka je
\mathcal{A} = A \times A superalgebra s graduiranošću definiranom kao u primjeru
2. Ova algebra je prosta superalgebra (produkt bilo kojih dvaju ne-nul graduiranih ideala je različit od
0), ali nije prosta algebra, jer
(0 \times A)(A \times 0)=0.
Primjer 5. Superalgebra
M(r|s) je prosta superalgebra. Skupovi
\mathcal{I} = \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} C & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right] \ | \ C \in M_{r}(\mathbb{F})\Big\rbrace \quad \text{i} \quad \mathcal{J} = \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & D \\ \end{array}\right] \ | \ D \in M_{s}(\mathbb{F})\Big\rbrace
su ne-nul ideali u algebri
M(r|s)_{0} takvi da im je produkt
0. Stoga algebra
M(r|s)_{0} nije prosta algebra.
Veza između proste superalgebre (ili poluproste superalgebre)
\mathcal{A} i prostih algebri (ili poluprostih algebri)
\mathcal{A} i
\mathcal{A}_{0} je sljedeća: Ako je
\mathcal{A} asocijativna poluprosta superalgebra, tada su
\mathcal{A} i
\mathcal{A}_{0} također poluproste algebre. Ako je
\mathcal{A} asocijativna prosta superalgebra, tada je ili
\mathcal{A} prosta algebra, ili
\mathcal{A}_{0} prosta algebra. Dokazi tih rezultata mogu se vidjeti u
[13].
3Zaključak
Prirodno pitanje koje se postavlja jest kako generalizirati neke klasične strukture. Opišimo ukratko pozadinu toga. Naprimjer, neka je
\mathcal{A} asocijativna algebra. Uvođenjem novog produkta u
\mathcal{A} (takozvanog Jordanovog produkta)
a \circ b = ab + ba,
\mathcal{A} postaje Jordanova algebra, koju obično označujemo s
\mathcal{A}^{+}. Postavlja se pitanje veze između strukturalnih svojstava algebri
\mathcal{A} i
\mathcal{A}^{+} (naprimjer, svaki ideal u algebri
\mathcal{A} je ideal i u
{\mathcal{A}}^{+}; vrijedi li obrat?). Takva pitanja razmatrao je Herstein 1950-ih (vidi
[10]). Promatrao je većinom jednostavne algebre. U posljednje vrijeme njegova je teorija generalizirana. Na tu temu dosta su radova napisali Lanski, Martindale, McCrimmon, Miers, Montgomery i mnogi drugi. Na sličan način možemo uvesti Jordanove superalgebre. Ponovo se nameće isto pitanje: Koja je veza između struktura superalgebri i Jordanovih superalgebri? Čitatelja upućujemo da vidi primjerice
[1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13].
Na kraju, naznačimo da možemo proširiti pojam superalgebre na
\mathcal{G}-graduirane algebre, gdje je
\mathcal{G} neka Abelova grupa. Algebru zovemo
\mathcal{G}-graduirana ako postoje potprostori
\mathcal{A}_{g},
g \in \mathcal{G}, od
{{\mathcal{A}}}, takvi da je
\mathcal{A} = \bigoplus_{g \in \mathcal{G}}\mathcal{A}_{g} i
\mathcal{A}_{g} \mathcal{A}_{h} \subseteq \mathcal{A}_{gh} za sve
g, h \in \mathcal{G}. Superalgebre su zapravo posebni slučajevi
\mathcal{G}-graduiranih algebri. U tom slučaju
\mathcal{G} = \mathbb{Z}_{2}. U kontekstu
\mathcal{G}-graduiranih algebri možemo također definirati pojmove popout modula, ideala, graduiranih prostih algebri ... Stoga se prirodno javljaju mnogi novi problemi.
Bibliografija
| [1] |
K. I. Beidar, M. Brešar, M. A. Chebotar, Jordan superhomomorphisms, Comm. Algebra 31 (2003), 633.–644. |
| [2] |
M. Brešar, A. Fošner, M. Fošner, Jordan ideals revisited, Monatsh. Math., 1 (2005), 1.–10. |
| [3] |
M. Fošner, Jordan superderivations, Comm. Algebra 31 (2003), 4533.–4545. |
| [4] |
M. Fošner, Jordan superderivations, II, Internat. J. Math. Math. Sci. 2004 (2004), 2357.–2369. |
| [5] |
M. Fošner, On the extended centroid of prime associative superalgebras with applications to superderivations, Comm. Algebra 32 (2004), 689.–705. |
| [6] |
M. Fošner, Asociativne superalgebre in jordanske strukture, doktorska disertacija, Maribor 2004. |
| [7] |
C. Gómez-Ambrosi, J. Laliena, I. P. Shestakov, On the Lie structure of the skew elements of a prime superalgebra with superinvolution, Comm. Algebra 2 (2000), 3277.–3291. |
| [8] |
C. Gómez-Ambrosi, F. Montaner, On Herstein's constructions relating Jordan and associative superalgebras, Comm. Algebra 28 (2000), 3743.–3762. |
| [9] |
C. Gómez-Ambrosi, I. P. Shestakov, On the Lie structure of the skew elements of a simple superalgebra with superinvolution, J. Algebra 208 (1998), 43.–71. |
| [10] |
I. N. Herstein, Topics in ring theory, The University of Chicago Press, Chicago 1969. |
| [11] |
V. G. Kac, Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras, Comm. Algebra 13 (1977), 1375.–1400. |
| [12] |
V. G. Kac, Lie superalgebras, Advances in mathematics 26 (1977), 8.–96. |
| [13] |
F. Montaner, On the Lie structure of associative superalgebras, Comm. Algebra 26 (1998), 2337.–2349. |
| [14] |
S. Montgomery, Constructing simple Lie superalgebras from associative graded algebras, J. Algebra 195 (1997), 558.–579. |
| [15] |
I. P. Shestakov, Prime alternative superalgebras of arbitrary characteristic, Algebra and logic 36 (1997), 389.–420. |
