Sažetak
Ovaj rad nastao je u želji da se mladim natjecateljima srednjoškolcima teorijski i praktično predstavi inverzija u planimetriji. Na samom početku dan je nešto opširniji teorijski uvod u kojem su pored dobro poznatih svojstava inverzije dani i dokazi tih svojstava. U nastavku je na nizu primjera ilustrirana njezina praktična primjena.
1Uvod
Većina transformacija koje se primjenjuju u rješavanju planimetrijskih problema su izometrije. Nešto rjeđe primjenjuju se i homotetivne transformacije – no u svakom od tih preslikvanja pravac se preslikava u pravac, a kružnica u kružnicu (ili u elipsu, u općem slučaju afinih transformacija). No, kod inverzije nije takav slučaj. Inverzija, naime, preslikava pravce i kružnice u pravce i kružnice, ali pri tome može pravac transformirati u kružnicu i obrnuto. Ovo je jedan od razloga zašto inverzija ponekad daje neočekivane i zanimljive rezultate u svojoj primjeni.
Dajmo sada formalnu definiciju inverzije, a zatim protumačimo njezino praktično značenje.
Definicija 1. Neka je
O točka u ravnini
E, a
r pozitivan realan broj. Inverzijom ravnine
E u odnosu na kružnicu
k(O,r) nazivamo preslikavanje koje svaku točku te ravnine
P različitu od
O preslikava u točku
P' na polupravcu
OP tako da vrijedi
OP\cdot OP'=r^{2}. Točka
O se pritom preslikava u točku u beskonačnosti.
Napomenimo da stariji autori izostavljaju posljednju rečenicu ove definicije, navodeći da se točka
O inverzijom uopće ne preslikava (te, samim tim, osporavaju stajalište da je inverzija geometrijska transformacija u strogom smislu, vidjeti npr.
[10]).
Kako su čitatelji upoznati s osnom refleksijom (zrcaljenjem ravnine u odnosu na zadani pravac), pokušat ćemo inverziju objasniti kroz ovo elementarno preslikavanje. Točnije, inverziju možemo smatrati generalizacijom osne refleksije: riječ je, naime, o refleksiji na kružnici. Pravac možemo promatrati kao luk kružnice beskonačnog polumjera, pa ova generalizacija ima smisla.
Zainteresirani čitatelj može relativno lako pokazati kako se praktično provodi ova generalizacija.
Iz definicije
1 direktno slijedi
Posljedica 2. Inverzija ravnine u odnosu na kružnicu
k(O,r) točke na kružnici
k preslikava u njih same, točke u unutrašnjosti kruga koji omeđuje ta kružnica u njegovu vanjštinu i obrnuto.
Nije se teško uvjeriti da vrijedi i
Posljedica 3. Inverzija je bijekcija i involucija.
Pokažimo kako konstruirati točku
P' iz definicije
1, tj. kako naći inverz točke u odnosu na kružnicu. Ovim postupkom uvjeriti ćemo se i u istinitost posljedica
2 i
3.
| (1) |
Neka točka P leži na kružnici k(O,r). Spojimo li ovu točku sa središtem inverzije O, očito je da na polupravcu OP postoji točno jedna točka P' koja ispunjava jednakost OP\cdot OP'=r^{2}, i to sama točka P. Dakle, P'= P. |
| (2) |
Neka točka P leži izvan kružnice k(O,r). Povucimo kroz točku P tangentu na kružnicu k (slika 1) i označimo dodirnu točku tangente i kružnice s M. Neka je MP' visina trokuta OMP. Iz sličnosti pravokutnih trokuta OMP i OP'M slijedi P'O:OM=OM:OP, pa je OP\cdot OP'=r^{2}, te je P' slika točke P pri ovoj inverziji. |
| (3) |
Neka točka P leži unutar kružnice k(O,r). Primijenimo obrnut postupak onom u slučaju (2). Spojimo, dakle, točke O i P i povucimo okomicu na pravac OP kroz točku P. Jedan od presjeka tog pravca s kružnicom k označimo s M, kroz točku M povucimo tangentu na k i presjek te tangente i pravca OP označimo s P' (očito, riječ je o istoj slici kao u slučaju (2), sa zamijenjenim mjestima točaka P i P'). Iz identičnog razloga sličnosti kao pod (2) slijedi da je P' slika točke P pri ovoj inverziji. |
Ovim smo direktno dokazali posljedicu
2. Posljedica
3 za točke na kružnici direktno slijedi iz (1), a za ostale slijedi iz činjenica da su točke
P' u (2) i (3) jednoznačno određene (zbog simetrije, svejedno je koju ćemo od dviju mogućih tangenti povući u (2), ili koji ćemo presjek pravca i kružnice odabrati u (3)). Očita je involutivna veza između slučajeva (2) i (3), gdje točka
P iz (2) odogovara točki
P' iz (3) i obrnuto.
Sad ćemo dokazati nekoliko osnovnih svojstava inverzije, koja je čine moćnim sredstvom u modernoj planimetriji.
Teorem 4. Ako je
O centar inverzije, a točke
A i
B tom su inverzijom preslikane u
A' i
B', tada su trokuti
OAB i
OB'A' slični.
Dokaz. Iz definicije
1 slijedi:
OA\cdot OA'=OB\cdot OB', pa je
OA:OB=OB':OA, a budući da je
\angle AOB=\angle B'OA', trokuti
OAB i
OB'A' su slični.
\ \blacksquare
Teorem 5. Ako je
O centar inverzije, pravac
p koji prolazi točkom
O preslikava se u samog sebe.
Dokaz. Prema definiciji
1, svaka točka pravca
p (osim
O) se preslikava u točku na istom tom pravcu. Budući da je riječ o bijekciji, pravac
p preslikava se u samog sebe.
\ \blacksquare
Teorem 6. Ako je
O centar inverzije, pravac
p koji ne prolazi točkom
O preslikava se u kružnicu koja prolazi točkom
O.
Dokaz. Spustimo normalu
OC na pravac
p iz centra inverzije
O (slika 2) te odaberimo proizvoljnu točku
M na
p. Budući da su trokuti
OCM i
OM'C' slični (teorem
4), kut
\angle OM'C' je pravi, pa po Talesovu teoremu točka
M' leži na kružnici
k promjera
OC'. Ako je
X točka kružnice
k različita od
O, tada je ona slika pri inverziji točke
Y koja se nalazi u presjeku polupravca
OX i
p. Dakle, inverzija preslikava pravac
p u kružnicu
k (preciznije,
k\setminus \lbrace O\rbrace).
\ \blacksquare
Teorem 7. Ako je
O centar inverzije, kružnica koja prolazi točkom
O preslikava se u pravac, a kružnica koja ne prolazi točkom
O u kružnicu.
Dokaz. Slučaj kružnice koja prolazi točkom
O direktno slijedi iz teorema
6 i svojstva involutivnosti inverzije.
Neka sada
O ne pripada kružnici
k i neka su
A i
B točke presjeka kružnice
k i pravca koji prolazi točkama
O i
S (gdje je
S središte kružnice
k), a
M proizvoljna točka na
k. Pokažimo da je kružnica
k' promjera
A'B' slika pri inverziji kružnice
k. Za to će, po Talesovu teoremu, biti dovoljno pokazati da je kut
\angle A'M'B' pravi. U daljnjem razmatranju koristit ćemo se orijentiranim kutovima, da ne bismo morali analizirati više slučajeva u ovisnosti o položaju točke
M. Iz teorema
4 imamo sličnost trokuta
OAM i
OM'A' te
OBM i
OM'B', pa je
\angle OMA=\angle OA'M' i
\angle OMB=\angle OB'M', tj.
\angle (OM,MA)=-\angle (OA',M'A') i
\angle (OM,MB)=-\angle (OB',M'B'). Zato je
\angle (A'M',M'B')=\angle (A'M',OA')+\angle (OB',M'B') = \angle (OM,MA)+ \angle (MB,OM)=\angle (MB,MA)=90^{\circ}.
\ \blacksquare
Teorem 8. Slike pri inverziji kružnice i njezine tangente (ili dviju kružnica koje se dodiruju) dodiruju se ako i samo ako se točka dodira originala ne poklapa s centrom inverzije. U suprotnom, preslikavaju se u paralelne pravce.
Dokaz. Dovoljno je provesti dokaz u jednom smjeru, drugi slijedi iz bijektivnosti i involutivnosti inverzije. Ako se točka dodira ne poklapa sa centrom inverzije, očito će i nakon inverzije postojati zajednička točka među krivuljama, tj. i slike će se dodirivati. S druge strane, ako se dvije kružnice dodiruju u točki
O, tada se preslikavaju u dva pravca okomita na pravac koji povezuje njihova središta. Ako je riječ o pravcu i kružnici koji se dodiruju u točki
O, tada se pravac preslikava u samog sebe, a kružnica u pravac okomit na pravac koji povezuje točku
O i središte kružnice. Očito je da je u oba slučaja riječ o preslikavanju u dva paralelna pravca.
\ \blacksquare
Teorem 9. Ako je
O centar inverzije, a točke
A i
B tom su inverzijom preslikane u
A' i
B', tada vrijedi
A'B'= \frac{AB\cdot r^{2}}{OA\cdot OB}.
Dokaz. Iz teorema
4 imamo
OA:AB=OB':A'B', dok iz definicije
1 imamo
OB\cdot OB'= r^{2}. Iz ove dvije relacije direktno slijedi
A'B'= AB\cdot r^{2} / (OA\cdot OB).
\ \blacksquare
Teorem 10. Inverzija je konformalno preslikavanje, tj. čuva kutove među krivuljama.
Dokaz. Dokaz ćemo provesti na primjeru dviju kružnica (što ne vodi smanjenju općenitosti, jer je slučaj pravca i kružnice zapravo specijalan slučaj dviju kružnica). Povucimo tangente
t_{1} i
t_{2} kroz točku presjeka kružnica. Prema teoremu
8, kut između slika kružnica jednak je kutu između slika tangenti. Inverzijom s centrom u
O, pravac
t_{i} preslikava se u samog sebe ili u kružnicu čija je tangenta u točki
O paralelna pravcu
t_{i}. Zato je kut između slika pravaca
t_{1} i
t_{2} jednak kutu između originala. Time je tvrdnja dokazana.
\ \blacksquare
Navedeni teoremi dovoljni su za uspješno korištenje inverzije u elementarnoj planimetriji (kao što ćemo i vidjeti na primjerima). No, sa znanstvene strane potrebno je na ovom mjestu dati još nekoliko napomena koje inverziju povezuju s modernim tokovima u geometriji.
S analitičke strane, inverziju krivulje možemo promatrati kroz transformaciju koordinata na temelju sljedećih teorema, koje navodimo bez dokaza samo zato što spomenuti teoremi nisu nužni za korištenje inverzije u standardnoj školskoj i natjecateljskoj planimetriji. No, čitatelj s osnovnim poznavanjem analitičke geometrije lako se može uvjeriti da ovi teoremi jednostavno slijede iz definicije
1.
Teorem 11. Ako je polarna jednadžba krivulje
K dana s
r=r(\theta), tada je polarna jednadžba njoj inverzne krivulje dana jednadžbom
r=k^{2}/r(\theta), gdje je
k polumjer inverzije.
Teorem 12. Ako je
O(x_{0},y_{0}) centar, a
k polumjer inverzije, tada je krivulja inverzna krivulji
C(f(t),g(t)) u Kartezijevim pravokutnim koordinatama dana s
x=x_{0} + \frac{k^{2} (f-x_{0})}{(f-x_{0})^{2}+(g-y_{0})^{2}}
y=y_{0} + \frac{k^{2} (g-y_{0})}{(f-x_{0})^{2}+(g-y_{0})^{2}}.
Koristeći se ovim teoremima, nije teško pokazati i analitički rezultate koje smo dobili kroz teoreme
4 –
9, kao i nove rezultate, npr. možemo doći do spoznaja u što se inverzijom preslikavaju druge poznate krivulje (konike, spirale
\ldots). Tako se npr. hiperbola preslikava u lemniskatu (ako se inverzija radi u odnosu na njezino središte), ili parabola u kardioidu (ako se inverzija radi u odnosu na njezin fokus). Više o tome možete naći u
[12]. Na kraju, spomenimo i mogućnost generalizacije inverzije na višedimenzionalne prostore, od kojih je za elementarnu geometriju bitna samo sferna (trodimenzionalna) inverzija, o čemu više možete naći u
[1].
2Primjeri
Brojni su primjeri korištenja inverzije u planimetrijskim problemima. Kroz većinu primjera provlači se jedna važna činjenica: inverziju primjenjujemo u slučajevima kad se jedna točka na slici zadatka nameće kao centar problema: kroz nju prolazi više kružnica, određuje više važnih kutova i slično.
Ovdje ćemo se ograničiti na primjere iz „natjecateljske prakse”. Naime, iako je jako ilustrativna primjena inverzije na tzv. pramene kružnica i sustave koje čine same kružnice (vidi npr. nešto više o Steinerovoj porizmi, ili o Apolonijevim krugovima u
[7] ili
[2]), takvi primjeri nisu najpogodniji za upoznavanje mladog natjecatelja s magijom inverzije (kao ni, npr., jako zanimljivi načini primjene inverzije u izvođenju geometrijskih konstrukcija samo s pomoću šestara, vidi
[6] ili
[10]).
Primjer 13. (
[8], Ptolomejev teorem) Za konciklične točke
A,
B,
C,
D vrijedi:
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD.
Rješenje. Promatrajmo inverziju s centrom u
D i proizvoljnim polumjerom
r. Opisana kružnica trokuta
ABC preslikava se u pravac koji prolazi točkama
A',
B' i
C' (teorem
7). Budući da je
A'B'+B'C'=A'C', prema teoremu
9 imamo:
\frac{AB\cdot r^{2}}{AD\cdot BD}+\frac{BC\cdot r^{2}}{BD\cdot CD} = \frac{AC\cdot r^{2}}{AD\cdot CD}.
Množenjem posljednje jednakosti s
(AD\cdot BD\cdot CD)/r^{2} dobivamo traženu jednakost. Provedemo li postupak unatrag, nije teško dobiti i obrat ovog teorema.
Primjer 14. (
[3]) Dane su kružnice
k_{1},
k_{2},
k_{3} i
k_{4} takve da svaka od kružnica
k_{2},
k_{4} dodiruje kružnice
k_{1} i
k_{3}, pri čemu točke dodira nisu kolinearne. Dokazati da su točke dodira konciklične.
Rješenje. Označimo točke dodira kružnica
k_{1} i
k_{2},
k_{2} i
k_{3},
k_{3} i
k_{4} te
k_{4} i
k_{1} redom s
A,
B,
C i
D. Inverzija s centrom u
A proizvoljnog polumjera preslikava
k_{1} i
k_{2} u paralelne pravce
k_{1}' i
k_{2}', a
k_{3} i
k_{4} u kružnice
k_{3}' i
k_{4}' koje se dodiruju u točki
C', a pravce
k_{2}' i
k_{4}' dodiruju redom u
B' i
D'. Očito su
B',
C' i
D' kolinearne točke, pa
B,
C i
D leže na kružnici koja prolazi točkom
A (teorem
6).
Primjer 15. (
[8], Iran 1995.) Označimo s
M,
N i
P točke dodira upisane kružnice trokuta
ABC i stranica
AB,
BC i
CA, redom. Dokazati da su središte upisane i opisane kružnice trokuta
ABC te ortocentar trokuta
MNP kolinearni.
Rješenje. Središte upisane kružnice trokuta
ABC i ortocentar trokuta
MNP leže na Eulerovom pravcu
trokuta
MNP. Inverzijom u odnosu na upisanu kružnicu trokuta
ABC točke
A,
B i
C preslikaju se u
A',
B' i
C' koje su redom polovišta dužina
PM,
MN i
NP. Budući da je središte opisane kružnice trokuta
A'B'C' ujedno i središte kružnice devet točaka
trokuta
MNP, koji se nalazi na Eulerovom pravcu trokuta
MNP, središte kružnice opisane oko trokuta
ABC također se nalazi na ovom pravcu.
Primjer 16. (
[4], IMO 1996.) Neka je
P točka u unutrašnjosti trokuta
ABC takva da vrijedi
\angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC i neka su
D i
E središta upisanih kružnica trokuta
APB i
APC, redom. Pokazati da se
AP,
BD i
CE sijeku u jednoj točki.
Rješenje. Primijenimo li inverziju s centrom u
A i proizvoljnim polumjerom
r, zadani uvjet pretvara se u
\angle B'C'P' = \angle C'B'P', tj.
B'P'=P'C'. Budući da je
P'B'= PB\cdot r^{2}/(AP\cdot AB) (teorem
9), vrijedi
AC/AB=PC/PB. Iz posljednje jednakosti slijedi da simetrale
BD i
CD kutova
\angle ABP i
\angle ACP dijele dužinu
AP u istim omjerima, te su konkurentne s
AP.
Primjer 17. (
[3], Izrael 1995.) Neka je
PQ promjer polukružnice
s, a kružnica
k iznutra dodiruje
s i dužinu
PQ u točki
C. Neka su
A i
B redom točke na
s i
PQ takve da je
AB tangenta na
k okomita na
PQ. Dokazati da je
AC simetrala kuta
\angle PAB.
Rješenje. Promatrajmo inverziju s centrom u
C, proizvoljnog polumjera. Polukružnica
s preslikava se u polukružnicu
s' promjera
P'Q', kružnica
k u tangentu
k' polukružnice
s' paralelnu s
P'Q', a
AB u kružnicu
l čije se središte nalazi na
P'Q' i dodiruje
k' (pa je polumjer kružnice
l jednak polumjeru polukružnice
s'). Kružnica
l tada siječe
s' i
P'Q' redom u točkama
A' i
B'. Očito je
P'A'B' jednakokračan trokut, pa vrijedi
\angle PAC = \angle A'P'C = \angle A'B'C = \angle BAC (teorem
10).
Primjer 18. (
[11], Srbija 2008.) Dan je trokut
ABC. Neka su točke
D i
E na pravcu
AB u redoslijedu
D -
A -
B -
E takve da je
AD = AC i
BE = BC. Simetrale unutarnjih kutova kod tjemena
A i
B sijeku nasuprotne stranice redom u točkama
P i
Q, a kružnicu opisanu trokutu
ABC redom u točkama
M i
N. Pravac koji spaja točku
A sa središtem kružnice opisane trokutu
BME i pravac koji spaja točku
B sa središtem kružnice opisane trokutu
AND sijeku se u točki
X,
X \neq C. Dokazati da je
CX \perp PQ.
Rješenje. Označimo s
U središte kružnice opisane trokutu
BME. Primijenimo li inverziju s centrom u
A i kvadratom polumjera
AB\cdot AC, točke
B i
C preslikavaju se u točke
B' i
C' simetrične točkama
C i
B u odnosu na
AP, točke
P i
M preslikavaju se jedna u drugu, a
E preslikava se u točku
E' simetričnu
Q u odnosu na
AP. Prema tome, pravac
AU poklapa se s pravcem koji spaja
A sa središtem kružnice
B'PE'.
Vidimo da je taj pravac simetričan pravcu
AZ u odnosu na simetralu kuta
A, gde je
Z središte kružnice opisane trokutu
CPQ. Analogno se dobiva da je pravac
BZ simetričan pravcu koji spaja
B sa središtem
V kružnice
AND u odnosu na simetralu kuta
B. Po Cevinu teoremu u trigonometrijskom obliku, pravci simetrični pravcima
AU,
BV,
CX u odnosu na simetrale kutova
A,
B,
C redom se također sijeku u jednoj točki, što znači da je pravac
CZ simetričan
CX u odnosu na simetralu kuta
C. No, kako je
Z središte kružnice
CPQ, pravac
CX sadržava visinu trokuta
CPQ, što je trebalo i dokazati.
Analizom ovih primjera čitatelj je mogao doći do zaključka da primjena inverzije često pojednostavljuje inače kompliciran problem (uglavnom je, naime, riječ o problemima koji su i nastali invertiranjem poznatijih, jednostavnih problema). No, to nije uvijek slučaj. Mnoge probleme primjena inverzije može dodatno zakomplicirati – zato oprez!
3Zadaci za samostalan rad
Zadatak 19. (
[9], Dunavski kup 2007.) Neka je točka
E polovište dijagonale
BD tetivnog četverokuta
ABCD i neka su
k_{1},
k_{2},
k_{3} i
k_{4} opisane kružnice trokuta
AEB,
BEC,
CED i
DEA, redom. Ako je pravac
CD tangenta na kružnicu
k_{4}, dokazati da su tada pravci
BC,
AB i
AD redom tangente na kružnice
k_{1},
k_{2} i
k_{3}.
Zadatak 20. (
[3]) Dokazati Feuerbachov teorem: kružnica devet točaka dodiruje upisanu i sve tri pripisane kružnice trokuta.
Zadatak 21. (
[4], IMO Shortlist 2003.) Neka su
\Gamma_{1},
\Gamma_{2},
\Gamma_{3},
\Gamma_{4} nepodudarne kružnice takve da se
\Gamma_{1} i
\Gamma_{3} te
\Gamma_{2} i
\Gamma_{4} dodiruju izvana u točki
P. Neka su
A,
B,
C i
D redom točke presjeka
\Gamma_{1} i
\Gamma_{2};
\Gamma_{2} i
\Gamma_{3};
\Gamma_{3} i
\Gamma_{4};
\Gamma_{4} i
\Gamma_{1}, pri čemu su sve te točke različite od
P. Dokazati da vrijedi
\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^{2}}{PD^{2}}.
Zadatak 22. (
[7], Rumunjska 1997.) Označimo s
k upisanu kružnicu trokuta
ABC i s
D proizvoljnu točku na stranici
BC tog trokuta. Dokazati da se kružnice koje dodiruju
k,
AD i
BD te
k,
AD,
DC međusobno dodiruju ako i samo ako je
\angle BAD = \angle CAD.
Zadatak 23. (
[7], SAD 1993.) Neka je
ABCD četverokut s međusobno okomitim dijagonalama koje se sijeku u
O i neka su točke
O_{1},
O_{2},
O_{3} i
O_{4} osno simetrične točki
O u odnosu na
AB,
BC,
CD i
DA, redom. Dokazati da je četverokut
O_{1}O_{2}O_{3}O_{4} tetivni.
Zadatak 24. (
[4], IMO Shortlist 1993.) Neka je točka
I središte upisane, a
O središte opisane kružnice
k trokuta
ABC. Kružnica
k_{C} dodiruje stranice
CA i
CB u točkama
D i
E te iznutra dodiruje kružnicu
k. Dokazati da je točka
I polovište dužine
DE.
Zadatak 25. (
[4], IMO Shortlist 2002.) Upisana kružnica
k oštrokutnog trokuta
ABC dodiruje stranicu
BC u točki
K. Točka
M je polovište visine spuštene iz točke
A na
BC, a
N (druga) točka presjeka kružnice
k i
KM. Dokazati da se opisana kružnica trokuta
BCN i kružnica
k dodiruju u točki
N.
Bibliografija
| [1] |
H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1969. |
| [2] |
H. S. M. Coxeter, S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Toronto - New York, 1967. |
| [3] |
D. Đukić, Inversion, Olympiad Training Materials (IMO Compendium Group), 2007. |
| [4] |
D. Đukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2005. |
| [5] |
D. Hilbert, S. Cohn-Fossen, Geometry and the Imagination, Chelsea - New York, 1952. |
| [6] |
I. M. Jaglom, Geometričeskie preobrazovanija II, Moskva, 1956. |
| [7] |
K. S. Kedlaya, Geometry Unbound, 2006. |
| [8] |
K. Y. Li, Inversion, Mathematical Excalibur, Vol. 9., No. 2, May-July 2004. |
| [9] |
MathLinks Forums |
| [10] |
V. V. Praslov, Problems in Plane Geometry (prijevod: D. Leites), 2005. |
| [11] |
Srpska matematička olimpijada 2008 – zadaci i rešenja, Srb. imomath. com., 2008. |
| [12] |
R.C. Yates, A Handbook of Curves and Their Properties, Ann Arbor, 1952. |
