Kao u prethodna dva članka nastavljamo s vizualnim i kratkim dokazima. Ovaj članak, kao i prethodna dva, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljima i profesorima Borisu Pavkoviću (1931.-2006.) i akademiku Sibi Mardešiću (1927.-2016.). Kao njihovi studenti, koautori i kolege znamo da su obojica voljela i cijenila kratke, elegantne i jednostavne dokaze.

Nema jednakostraničnog trokuta u vrhovima iz šahovske ploče (točnije u vrhovima \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{2}).

Iz slike 1a nije jasno zašto nema jednakostraničnog trokuta u čvorovima mreže \mathbb{Z}^{2}, ali ako pogledamo sliku 1a vidimo da je tangens kuta trokuta kod vrha O=A jednak \operatorname{tg} A=\frac{q}{p}, dakle racionalan broj. Nije sasvim jednostavno, ali se može pokazati da vrijedi sljedeći nužan i dovoljan uvjet za postojanje trokuta u cjelobrojnoj mreži. Postoji trokut s vrhovima u \mathbb{Z}^{2} ako i samo su tangensi svih kutova racionalni brojevi. Kako je tangens jednakostraničnog trokuta iracionalan, (\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}) slijedi negativan odgovor na upit u naslovu.
Zanimljivo postoji jednakostraničan trokut (s vrhovima) u kubičnoj cjelobrojnoj rešetki \mathbb{Z}^{3}. Recimo, trokut (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) je takav. Zato postoji jednakostraničan trokut u \mathbb{Z}^{3} \subset \mathbb{Z}^{4} \subset \mathbb{Z}^{5} \subset \cdots. Slično se vidi da ne postoji pravilni tetraedar u \mathbb{Z}^{3}, ali postoji u \mathbb{Z}^{4} \subset \mathbb{Z}^{5} \subset \cdots. U \mathbb{Z}^{4} je to npr. (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). I slično u drugim dimenzijama.
Vratimo se još na sliku 1b i trokut \triangle ABC. Kut kod B također ima racionalni tangens, jer je

Zbog A+B+C=\pi slijedi

pa zbog adicijske formule za tangens slijedi da je i

U geometriji rešetaka (zanimljivi su i u fizici) ima još niz otvorenih problema.

Jedna od središnjih tema u kombinatorici jest ponavljanje istih postupaka odnosno rekurzivni pozivi tj. rekurzija. Rekurzija kaže kako se unaprijed zadana shema ponavlja na isti način sve u beskraj. Slikovito rečeno to je apstraktni pogon za vrtnju kotača koji uzrokuje napredovanje uz ponavljanje istog postupka (vrtnje) ili zumiranje (što daje fraktale itd.). Suhoparna i izlizana fraza kaže da je rekurzija formula kojom se član niza izražava pomoću prethodnih članova niza. Jedna od najjednostavnijih i najpoznatijih rekurzija je ona koja definira Fibonaccijeve brojeve. O njima postoje brojne knjige, članci, časopisi, internetske stranice itd., a na hrvatskom knjige [11] i [17].
Ukratko, za one koji još ne znaju, Fibonaccijev niz je definiran s F_{0} = 0, F_{1} = 1 te F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}. Dakle, niz počinje s 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597, 2584,\cdots. Omjerima susjednih članova \frac{F_{n+1}}{F_{n}} često možemo protumačiti neke pojave u prirodi a limes

se naziva \textit{zlatni omjer (ili zlatni rez)}. On se dobije iz osnovne rekurzije dijeljenjem s F_{n}:

odakle prelaskom na limes slijedi \varphi=1+\frac{1}{\varphi} tj. \varphi^{2}=\varphi +1. Jedna od formula je

a kombinatornih značenja je mnoštvo; primjerice nizova 0 i 1 duljine n ali bez susjednih nula ima F_{n+2}. To je važno npr. u računarstvu.
F_{n+1} je broj načina da se n napiše kao uređeni zbroj brojeva 1 i 2. Ne zna se ima li beskonačno prostih Fibonaccijevih brojeva.

Slika 4: Pođemo od jednakostraničnog \triangle ABC i polovišta P, Q, R. Produžimo \overline{PQ} do \overline{XY}. Tada je \frac{|PQ|}{|QY|}=\varphi; tj. stranica PQ većeg trokuta prema manjem je zlatni omjer.

Slika 5: Najjednostavnija konstrukcija zlatnog reza. Na osi y unesemo točku A, |OA|=1. P je polovište \overline{OA}. |PM|=1, M na osi x. Q je polovište \overline{PM}. |QN|=1, N na osi x. M dijeli \overline{ON} u zlatnom rezu.

Giacomo Candido (1871- 1941) je dokazao identitet (objavljen tek 1951. godine):

Riječima: kvadrat sume kvadrata tri uzastopna Fibonaccijeva broja je dvostruka suma njihovih četvrtih potencija. Iz osnovne rekurzije

slijedi da je trokut čije su duljine stranica ti brojevi degeneriran pa mu je površina 0. Razlika lijeve i desne strane u (1) je prema Heronovoj formuli jednaka nuli. To dokazuje Candidov identitet (1).
Primijetite da iz istih razloga možemo poći od bilo koja dva realna broja a i b i njihovog zbroja a+b i dokazati Candidov identitet (koji vrijedi i u svakom komutativnom prstenu):

Ako Candidov identitet primijenimo na Pitagorin poučak a^{2}+b^{2}=c^{2}, dobivamo:

ili kratko

gdje je p_{n} suma n-tih potencija. Riječima: kvadrat sume četvrtih potencija je dvostruka suma osmih potencija. To je nužan i dovoljan uvjet da je trokut pravokutan.
\underline{\textit{Pascalova formula}} za binomne koeficijente:

Iz Candidovog identiteta dobivamo ”zabadava” potpuno simetričan Pascal :

Još jedan primjer iz kombinatorike je \textit{Padovanov niz}P_{n}:

u kojemu je svaki član (osim prva tri) zbroj drugog i trećeg prethodnog člana; dakle

Iz istih razloga kao kod Fibonaccijevih brojeva i Padovanovi brojevi zadovoljavaju identitet Candidovog tipa.

gdje je p^{3}=p+1. Broj p naziva se \textit{plastični broj}, p\approx 1.3247\ldots , P_{n} je broj načina da se n+2 napiše kao uređeni zbroj od brojeva 2 i 3.
Varijanta Candidovog identiteta također se dobiva iz Heronove formule

gdje su e_{1}=a+b+c, e_{2}=ab+bc+ca, e_{3}=abc elementarne simetrične funkcije od a, b, c. Dakle, ako je trokut degeneriran, recimo c=a+b, onda je površina S=0, pa je

tj. stavimo li e_{1}=2s, u terminima poluopsega s imamo

Uočite da za svaki trokut (običan ili degeneriran) vrijedi

tj.

Dakle,

To je \textit{kubni Candidov identitet}.
Metoda ”volumen-nula” je izvor za raznovrsne geometrijske identitete i formule.

Slika 6: Jednakostraničan trokut \triangle ABC i u njemu točka D

Primjerice, ako je \triangle ABC na slici 6 jednakostraničan, a D točka \triangle ABC onda dobivamo simetrični identitet nalik Candidovom (uzmimo na slici 8 da je U=V=W=a, u=b, v=c, w=d):

Najmanje netrivijalno cjelobrojno rješenje je (3,5,7,8), a još jedno je (57,65,73,112). Opći identitet tog tipa mogli bismo zvati ”3D-Candidov identitet”. O brojevno-teorijskim posljedicama Candidovih identiteta i sličnih problema više u [18].
Trokut s cjelobrojnim duljinama stranica (a,b,c) i cjelobrojnim površinama P naziva se \textit{Heronov trokut}; npr.”egipatski” (3,4,5) pa i svi Pitagorini (vidjeti [2]) jer su oni višekratnici od (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}). Heronov je trokut površine nula i (F_{n-1}, F_{n}, F_{n+1}). Pravi primjeri su i (5,5,6), (5,29,30), (4,13,15), (13,14,15), (5220,900,5400) itd. S Heronovim su se trokutima bavili Brahmagupta u 9. st. i Euler i mnogi drugi (a bila je to i omiljena tema prof. dr. sc. Borisa Pavkovića o čemu smo svojedobno pisali). Napominjemo da s Heronovim trokutima ima još mnogo otvorenih pitanja iz teorije brojeva. A još je složenija priča s \textit{Heronovim tetraedrima} i \textit{Heronovim simpleksima}. Od interesa su ne samo u geometriji i teoriji brojeva, nego i u fizici, kemiji i informatici. Npr. Heronov tetraedar je (vidjeti sliku 8):

Površine svih strana i volumen su mu cijeli brojevi. Nedavno 2014. godine dokazano je da Heronov tetraedar uvijek možemo smjestiti u 3D prostor \mathbb{R}^{3} tako da su mu vrhovi u cjelobrojnoj rešetki \mathbb{Z}^{3}.

Poznatu Fermatovu1 tvrdnju, poznatu kao ”Fermat' s last theorem” (FLT) iz 1637. godine da jednadžba

nema rješenja za prirodne brojeve a, b, c i n\geq 3, dokazana je tek 1995. godine. Dokaz je dao A. Wiles i za to dobio Abelovu nagradu 2016. godine (v. [27]). Taj je dokaz vrlo zamršen i rabi suvremene alate iz teorije eliptičkih krivulja, algebarske geometrije i drugih područja.
Pogledajmo za početak slučaj n=3 tj.

FLT je dovoljno dokazati za neparne proste brojeve n=p i n=4. Dokaz za n=4 je jedini slučaj (kao i za tzv. proste brojeve Shopie Germain) za koje je odavno poznat relativno jednostavan elementarni dokaz [2]. Jedna primjedba kaže i da nema ”elementarnog dokaza” FLT, jer kad bi postojao, onda bi rabeći samo operacije zbrajanja i množenja to vrijedilo i u komutativnom prstenu tzv. p-adskih brojeva, a tamo je poznato da Fermatova jednadžba ima rješenja za svaki n. No, pokažimo barem u kratkim crtama da Fermatova jednadžba za polinome s potencijama n\geq 3 nema (netrivijalnih) rješenja. To je prvi dokazao J. Liuoville oko 1880. godine, ali suvremeniji dokaz je posve drugačiji. Prvo je tu lema Masona iz 1984. godine, a kaže sljedeće: neka su a=a(x), b=b(x) i c= c(x) relativno prosti polinomi s cijelim koeficijentima za koje je a+b=c i koji nisu svi konstante. Tada su stupnjevi deg \ a, deg\ b, deg \ c\lt n_{0}(abc). Pritom za polinom

broj n_{0}(f)=k=deg \ rad(f), gdje je rad (f)=(x-x_{1})\cdots(x-x_{k}). tj. n_{0}(f) je broj različitih korijena (nultočaka) od f. Nadalje, n_{0}(const)=0 ako je const\ne 0, te n_{0}(0)=-\infty=deg (0). Ako f nema višestrukih korijena onda je n_{0}(f)=deg \ f, a inače n_{0}(f)\lt deg \ f. Višestruke derivacije detektiraju višestruke korijene polinoma, pa se gledaju derivacije a'+b'=c'. Da se dokaže ključna nejednakost

u suprotnom bi se dobile kontradikcija tipa ”1\geq 2” ili ”-\infty\geq 0”. Nećemo ulaziti u pojedinosti, ali dokaz nije težak (pokušajte indukcijom po m=deg \ a + \deg \ b \geq 3). Očito da jednadžba

ima rješenja za n=1 i n=2, gdje su f, g, h relativno prosti polinomi.
Pretpostavimo da su f, g i h relativno prosti polinomi nad \mathbb{Z} i bar jedan od njih ne konstantan, tako da je

Tada je n\leq 2. Doista, prema Masonovoj lemi, stupnjevi od f^{n}, g^{n} i h^{n} su najviše

a taj je broj \geq 0. Zbrojimo li tri nejednakosti dobivamo da je

Ovo povlači n\leq 2.
Vrijedi i općenitije. Diofantska polinomska jednadžba

za 2\leq k \leq l \leq m može imati rješenja samo za (k,l, m)=(2,2,m), (2,3,3), (2,3,4) i (2,3,5).
Dokaz nije težak i slijedi iz Masonove leme. Prepuštamo ga čitatelju.

Ono što je trokut u ravnini, to je tetraedar u prostoru. Neka je T=ABCD tetraedar s bazom \triangle ABC i pripadnim stranicama (bridovima) a, b, c i nasuprotnim bridovima a', b' i c' (a' nasuprot a itd.) iz vrha D. Neka su nadalje \hat{a}, \hat{b}, \cdots, \widehat{c^{\backprime}} diedralni kutovi od T, tj. \hat{a} =\widehat{BC}=kut među ravninama BCA i BCD itd. Nadalje, neka je \hat{ab} plošni kut između a i b, tj. \hat{ab}= \angle BCA itd. (vidjeti sliku 7). U geometriji trokuta znamo ako nam je dana baza i dva kuta uz bazu kako izračunati ostale stranice (sinusov i kosinusov poučak). Kako postupiti u analognoj situaciji u tetraedru? Neka nam je zadana baza \triangle ABC od T i diedralni kutovi \hat{a}, \hat{b}, \hat{c} na tu bazu. Izračunajmo c', vidjeti sliku 7 (pretpostavimo da su svi vrhovi različiti).
\underline{\text{Poprečni brid tetraedra pomoću baze i kutova na bazu - ''cot zakon''.}}

pri tom je

Slika 7: Tetraedar ABCD

Neka je V= vol (T) i (ABC)=površina(\triangle ABC), h_{a} visina iz D na \overline{BC} itd., a h visina iz D na ABC. Tada je h_{a}\sin (\hat{a})=h=\frac{3V}{(ABC)}. Iz

slijedi

Odnosno sama tvrdnja. Detalje prepuštamo čitatelju, a ima i drugih izvoda [28]. Ova formula je analogon K-S-K (kut-stranica-kut) pravila, odnosno poučka za trokut.\underline{\text{Diedralni kut pomoću ravninskih kutova (ili pomoću bridova).}} Izračunajmo diedralni kut \widehat{c^{\backprime}} pomoću ravninskih kutova \alpha, \beta, \gamma kod vrha D kao na slici 7.

\underline{\text{Dokaz.}}
Promatramo jediničnu sferu oko D i i primijenimo sferni kosinusov poučak [2]. Ako želimo sve izraziti pomoću bridova, upotrijebimo obične kosinusove zakone.
\underline{\text{Kosinusov poučak za tetraedar (S-K-S pravilo).}}
Neka su zadani a, b, c, a', b' i diedralni kut \hat{c} nasuprot brida c\ '. Riječima, zadano je pet bridova i diedralni kut nasuprot nedostajećem bridu. Tada je nedostajeći brid tetraedra dan s:

gdje je \alpha=\angle BAC, {\alpha }' = \angle DAB (tj. \alpha=\hat{bc}, {\alpha } '=\hat{{a} ' c}) i vrijedi

\underline{\text{Dokaz.}}
Neka su h_{C}=|C{C}'| i h_{D}=|D{D} '| visine iz C i D redom do |AB|. Neka je {C}'' četvrti vrh pravokutnika određenog s D\ 'C\ 'C. Tada je

Uočimo

Iz kosinusovog poučka u \triangle D{D} '{C} '' za stranicu D{C} '' nasuprot kuta \angle D{D} '{C} '' (=\hat{c}, diedralni kut kod c=\overline{AB}) imamo

Iz ovih dviju formula slijedi tvrdnja. \underline{\text{Volumen tetraedra pomoću bridova.}}
Heronova formula (iz prvog stoljeća, a navodno već poznata Arhimedu 300 godina ranije) računa površinu trokuta pomoću stranica. Piero della Francesca2 je u 15. stoljeću poznavao formulu za volumen (obujam) tetraedra pomoću bridova. Ta formula s dokazom se može pronaći u [2]. No mnoge činjenice iz geometrije pronaći ćete također u [26].
Cayley-Mengerova formula računa volumen n-dimenzionalnog simpleksa vol^{2}(\Delta^{n}). Formula glasi

gdje je blok matrica

pri čemu je e stupac od n+1 jedinica, e^{T} transponirana od e, a M=\left[ (a_{ij})^{2} \right], i,j=1,2,3,\cdots, n+1. Pri tome je \Delta^{n}=A_{0}A_{1}\cdots A_{n}n-simpleks, a_{ij}=d(A_{i},A_{j}) duljina brida \overline{A_{i}A_{j}} simpleksa. Dokaz možete naći u[15].
Ako je R radijus opisane kugle tetraedra T, onda je (slika 8)

Eulerova formula (iz 1752. godine) za volumen tetraedra sa slike 8:

Slika 8: Tetraedar T

Zna se da je taj polinom ireducibilan (kao i u dimenzijama \geq 3) pa se ne može očekivati neka formula u vidu produkta kao kod Herona.
Međutim, Kahaneova formula (1985. godina) za volumen tetraedra glasi:

S-tetraedar je tetraedar kojemu su strane sukladni trokuti. Tetraedar T sa slike 8 je S-tetraedar \Longleftrightarrowu=U, v=V, w=W (nasuprotni bridovi jednaki) \Longleftrightarrow sve strane imaju jednake površine \Longleftrightarrow opsezi svih strana jednaki \Longleftrightarrow težište i središte opisane kugle se podudaraju \Longleftrightarrow težište i središte upisane kugle se podudaraju \Longleftrightarrow nasuprotni bridovi imaju jednake diedralne kutove itd.
Evo još malo tema iz geometrije tetraedra (bez dokaza). Prvo postoji sfera koja dodiruje sve bridove tetraedra (T) na slici 8 ako i samo ako su zbrojevi duljina nasuprotnih duljina jednaki (u+U=v+V=w+W na slici 8).
Geometrija simpleksa (trokuti, tetraedri, n-dimenzionalni analogoni) je dakako još složenija (vidjeti [15]) i mnoga pitanja su još nerazjašnjena iako geometrijski dosta jasna. Tako se primjerice niti danas ne zna općenito je li simpleks određen s duljinama nekih bridova (barem jednog) i diedralnim kutovima nasuprot bridova koji ne dostaju ili npr. tek je 2000. godine dokazano da ako n-simpleks za n\geq 4 ima jednake površine svih 2-strana (trokuta) onda je simpleks pravilan. Godine 2014. dokazano je da za n\geq 4 kvadrat volumena n-simpleksa zadovoljava (netrivijalnu) polinomsku relaciju čiji koeficijenti ovise o kvadratima površina njegovih 2-strana (za n=4, min stupanj 32). Zanimljiva je (odavno poznata) formula za volumen n-simpleksa pomoću niže dimenzionalnih volumena njihovih strana i jednog diedralnog kuta

gdje je V_{n} volumen n-simpleksa, V_{n-2}^{(ij)} je volumen strane bez dva vrha i, j, V_{n-1}^{(i)} volumen strane bez vrha i (slično V_{n-1}^{(j)}), a \varphi_{ij} diedralni kut uz brid ij.
Iako je volumen simpleksa teško egzaktno izračunati, postoje oštre nejednakosti. Jedna od njih je

s jednakošću samo za pravilni simpleks. Volumen pravilnog tetraedra tj. pravilne trostrane piramide brida a je V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}, dakle oko 11.8\ \% volumena kocke brida a.

Nakon ove kraće šetnje kroz odabrane matematičke teme, kažimo da je matematika - ”kraljica znanosti” (kako ju je zvao Gauss, a njega su zvali ”princ od matematike ”), danas vrlo ”živa i zdrava” i primjenjiva sve više i više. Brojne su i nagrade za doprinose novim spoznajama, a najprestižnija je već spomenuta \textit{Abelova nagrada} koja se dodjeljuje od 2002. godine. Ona je jednako vrijedna Nobelovoj nagradi u drugim znanostima i umjetnosti. O Abelovoj nagradi više u [16], [19] i [20] te [27] . Vrlo je prestižna i \textit{Fieldsova medalja} koja se dodjeljuje svake četvrte godine prilikom međunarodnih matematičkih kongresa, a dobitnici moraju biti mlađi od 40 godina. Prvi je put dodijeljena 1932. godine.
I hrvatska matematika je živahna što pokazuje i 6. Kongres hrvatskih matematičara, Zagreb, 14.-16. lipnja 2016. Ali hrvatska matematika je bila živahna i u davna doba, što pokazuje i bogati riječnik koji su rabili ”naši stari”. U to se možemo uvjeriti i uvidom u potrazi za nazivima, primjerice u rječniku latinsko-horvatskom iz 1835. godine jezikoslovca Ivana Belostenca. Predloženo je u to doba da se riječ matematika (koja dolazi od starogrčke riječi mathema - saznanje, dakle naprosto znanost) prevede kao oloslovlje prema staroj riječi olina - količina, veličina. Kasniji prijedlog je bio velkoumjenje. No, oba su prijedloga očito propala. Triangolo je preveo kao trojvugel, parni i neparni brojevi su tahi i lihi, kvadrat je četvorina itd. Neki od starijih hrvatskih naziva su još: parabola-hitnica, elipsa-pakružnica, hiperbola-kosatica, eksponent-izložitelj, logaritam-omjerobroj, tetraedar-četverostran, permutacija-premjestica itd. Mnogi su od tih naziva već uključeni u knjigu \textit{Aritmetika Horvatzcka} iz 1758. godine. A neke je od tih pojmova na prijelazu 19. u 20. st. rabio i hrvatski matematičar Vladimir Varićak (1865.-1942.), v. [21], koji je među prvima uočio kako se Einsteinove formule iz teorije relativnosti mogu tumačiti i zapisati u terminima hiperboličke geometrije. S Einsteinom je razmijenio desetke pisama.
I naš dragi prijatelj i koautor Boris Pavković je bio ”sladokusac” starohrvatskih matematičkih naziva. O tome i njegovim postignućima i šarmantnim i duhovitim dosjetkama - drugom prilikom.
Spomenimo i preporučimo na kraju knjigu na hrvatskom jeziku o popularnoj i svagdašnjoj matematici [22] te jednu suvremenu knjigu o ”trojveugelima” [23].
Na kraju navodimo i nedavno izašli pregledni i povijesni prekrasan članak [24] Johna Milnora, dobitnika Abelove nagrade 2011. godine i Fieldsove medalje 1962. godine ([16]). Milnorove smo radove i knjige iz topologije čitali , proučavali i učili iz njih mnogi od nas: Mardešić, Pavković i drugi.
I na samom koncu, svaki naš diplomirani matematičar morao bi pročitati prekrasnu i nadasve zanimljivu knjigu akademika Sibe Mardešića [25]. Iz nje ćete naučiti ne samo o njegovoj matematici, nego i o umjetnosti, mudrostima, prirodnim i društvenim fenomenima i mnogo čemu ostalome.

Za podučavanje matematike potrebna je kreativnost, maštovitost, odlučnost, upornost, dosljednost i marljivost. Istim riječima možemo opisati i vizualne dokaze koji su posebno dragi učenicima, studentima, nastavnicima i svima onima koji vole matematiku. Koristeći stara znanja dolazimo do novih ideja i u ovom članku prikazat ćemo neke od vizualnih kratkih i elegantnijih dokaza.
Ovaj članak, kao i prethodni, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljma, profesorima Borisu Pavkoviću ($1931.-2006.$) i akademiku Sibi Mardešiću ($1927.-2016.$).

Eulerova nejednakost koja datira iz $1765.$ godine glasi: opisana kružnica trokuta je barem dvostruko duža od upisane kružnice, odnosno

Slika 1: Upisana i opisana kružnica trokutu $ABC$

Površina trokuta

pri čemu je $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Primjenom aritmetičko-geometrijske nejednakosti

i dvije slične dobivamo zadnju nejednakost. Jednakost u Eulerovoj nejednakosti postiže se ako i samo ako je trokut jednakostraničan.. Napomenimo usput da A-G nejednakost za tri varijable daje

Stoga za površinu trokuta imamo

To je izoperimetrijska nejednakost za trokut s jednakošću ako i samo ako je trokut jednakostraničan. Koristeći A-G nejednakosti, Eulerova nejednakost ima i hiperboličku verziju (za trokute kojima se može opisati kružnica) koja glasi

i slično za sfernu geometriju (v.[8]). Za $n$-dimenzionalni euklidski simpleks Eulerova nejednakost je

Dokaz je neočekivano jednostavan; provodimo ga u dimenziji $n=3$ (iako doslovce isti dokaz ide u svim dimenzijama). Neka je $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }(v{}_0,v{}_1,v{}_2,v{}_3)$ tetraedar i $R=R\left(\mathrm{\Delta }\right)$ radijus opisane mu kugle. Neka je $c{}_i$ težište (tj. radijvektor centroida) strane tetraedra nasuprot vrha (radijvektora) $v{}_i$. Tada je (kao vektor)

itd. Sada je lako provjeriti da su $\mathrm{\Delta }$ i $\mathrm{\Delta }(c{}_0,c{}_1,c{}_2,c{}_3)$ slični tetraedri s koeficijentom sličnosti $3$, pa je udaljenost

za sve $i$, $j$. Iz ove sličnosti slijedi

Kugla kojoj je radijus manji od upisane kugle ne može sjeći sve strane tetraedra, pa je stoga

Odavde slijedi

Jednakost vrijedi ako i samo ako se radi o pravilnom tetraedru.

Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost za dva vektora $x=(a,b)$ i $y=(c,d)$, gdje su $a$, $b$, $c$, $d$ realni brojevi, glasi:

Oslobađanjem zagrada s lijeve i desne strane dobivamo ekvivalentnu nejednakost

što je upravo A-G nejednakost za dvije varijable. CSB nejednakost također slijedi iz Fermatovog teorema o dva kvadrata a kaže da je produkt sume dva kvadrata opet suma dva kvadrata ili formulom

Opća CSB nejednakost

(to je zapravo posljedica jednakosti $\left|\right|uv\left|\right|{}^2=\left|\right|u\left|\right|{}^2\left|\right|v\left|\right|{}^2$, gdje je $u=a+bi$, $v=c+di$), slijedi iz dviju jednostavnih geometrijskih činjenica: skalarni produkt (nenul) vektora $x$, $y\in ℂ{}^n$

i

S druge pak strane, algebarski dokaz CSB nejednakosti slijedi jednostavno iz Lagrangeovog identiteta

Drugi način da se analitički dokaže CSB nejednakost jest nenegativnost realne kvadratne funkcije

U svakom slučaju vidimo da su A-G i CSB nejednakosti dva jednakomoćna (ekvivalentna) načela. Dvije svjetske klasične knjige o nejednakostima koje odišu elegancijom su [9] i [10] (a i mi ih navodimo u [7] i [8]). CSB vrijedi i općenitije u bilo kojem vektorskom prostoru (nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva) sa skalarnim produktom i glasi $\left|\right(u,v\left)\right|\le \left|\right|u\left|\right|\left|\right|v\left|\right|$.

Navest ćemo jednu lijepu primjenu A-G nejednakosti u algebri. Na 2. svjetskom matematičkom kongresu u Parizu 1900. godine D. Hilbert je postavio čuvena 23 problema (od kojih ni danas neki nisu riješeni, npr. RH - Riemannova hipoteza). Među njima bio je 17. problem koji glasi: je li nenegativni realni polinom zbroj kvadrata racionalnih funkcija? Godine 1927. E. Artin potvrdno je odgovorio na Hilbertov 17. problem, ali je sve do 1967. godine ostalo otvoreno pitanje je li realni nenegativni polinom suma kvadrata realnih polinoma? Tada je E. Motzkin uočio polinom

(zbog A-G nejednakosti), a nije suma kvadrata realnih polinoma. Zaista, pretpostavimo suprotno da je

za neke $f{}_i\in ℝ\left[X,Y\right]$, $i=1,2,3,\cdots ,n$. Očito svaki $f{}_i$ ima stupanj $\le 3$, i stoga je svaki $f{}_i$ linearna kombinacija monoma $1$, $X$, $Y$, $X{}^2$, $XY$, $Y{}^2$, $X{}^3$, $X{}^{2}Y$, $XY{}^2$, $Y{}^3$. No, $X{}^3$ se ne može pojaviti ni u kojem $f{}_i$, jer bi se inače $X{}^6$ pojavio u $f$ s pozitivnim koeficijentom. Slično se ne može pojaviti ni $Y{}^3$ pa ni $X{}^2$, ni $Y{}^2$, ni $X$, ni $Y$. Preostaje jedino da je $f{}_i$ oblika

No tada je

što je kontradikcija.

Vratimo se malo matematičkom čarobnjaku L. Euleru ($1707.-1783.$). Iako je od $1760$-ih gotovo oslijepio, zapravo je tada postajao sve produktivniji. Euler je matematičar s više od $1500$ objavljenih radova, što ozbiljnih rasprava, što knjiga. Približio mu se jedino Paul Erd\H os ($1913.-1996.$) s oko $1500$ radova (s preko $500$ koautora), više o njemu saznat ćemo u sljedećoj točki. Iako je teško uspoređivati vrijeme Eulera i Erd\H osa, ipak možemo reći da se radi o dva genijalna matematičara koji su živjeli u razmaku od oko $200$ godina.
Za tzv.$\mathit{problem\; sedam\; mostova\; u\; Königsbergu}$ čuo je Euler $1736$. godine, ali iako ga je odmah riješio, to je postalo opće poznato mnogo kasnije. Problem ”$7$ mostova” glasi: može li se, krenuvši od kuće obići $7$ mostova, proći svaki most točno jednom i vratiti se kući (vidjeti Sliku 2).)

Slika 2: Slika sedam mostova u Königsbergu i pripadni model u teoriji grafova

$\mathit{Stupanj\; vrha}$ u grafu je broj bridova koji ulaze (ili izlaze) u vrh. Zbroj stupnjeva svih vrhova (konačnog) grafa je dvostruki broj svih bridova. Na slici 2 vidimo da su stupnjevi svih vrhova pridruženog grafa neparni, a takva (Eulerova) zatvorena šetnja je moguća ako i samo ako je stupanj svakog vrha paran broj (dokaz vidjeti u [11]). Neformalno: koliko ulaza, toliko izlaza u svaki vrh, ukupno paran broj. Ovo se smatra začetkom teorije grafova, a Eulerova formula za poliedre $v-b+s=2$ (v- broj vrhova, b- broj bridova i s- broj strana konveksnog poliedra) začetkom algebarske topologije.
Kad smo već kod genijalnih matematičara Eulera i Erd\H osa evo i njihova dva manje poznata otvorena problema.
Euler (oko $1770.$ godine): Postoji li savršen Eulerov kvadar, tj. kvadar (cigla) čiji svi bridovi i sve dijagonale imaju cjelobrojne duljine?
Erd\H os (oko $1970.$ godine): Ako niz $a{}_n\in \mathbb{N}$ ima svojstvo da red $\sum \frac{1}{a{}_n}$ divergira, sadrži li po volji dugački aritmetički niz? Ako se radi o nizu prostih brojeva, onda je odgovor potvrdan (Green-Tao, 2010.).

Sve je broj, tumačio je Pitagora svojim sljedbenicima oko $500$ g. pr. Kr. S brojevima su bili očarani mnogi ljudi, a naročito matematičari. $\mathit{The\; Man\; Who\; Loved\; Only\; Numbers}$ naslov je knjige P. Hoffmana o Paulu Erd\H osu. Kao dijete od $5$-$6$ godina mali bi Paul ljudima računao koliko su sekundi upravo doživjeli ($100$ godina je $3$ milijarde, $153$ milijuna i $600$ tisuća sekundi) ili koliko bi vlakom trajalo (brzinom od $100$ km/h) putovanje od Zemlje do Sunca i sl. Erd\H os i drugi matematički genijalci, primjerice Gauss, Euler, Poincaré i Ramanujan su strjelovito brzo računali. No, isto tako mnogi su umjetnici bili opčinjeni brojevima i njihovim čarolijama. Tako su slikari Albrecht Dürer ($1471.-1528.$) i njegov suvremenik Leonardo da Vinci ($1452.-1519.$) bili očarani čarobnim četvorinama (iliti magičnim kvadratima). U tim je tablicama zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali isti (više o njima u članku [12] i knjizi [14]).

Slika 3:

  

Slika 3:

 

 

 

Slika 3:

  

Slika 3:

Slika 3: Dürerovi magični kvadrati

Slika 8: Magični kvadrat zrcaljenje znamenki

 

Slika 9: Magični kvadrat s prostim brojevima

  

Slika 9: Indijska čarobna četvorina reda 8

Slika 9: Magični kvadrati

Slika 12: Starolatinski slovčani magični kvadrat

Na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#7">12</a></span></nobr>$ je starolatinski slovčani ”magični kvadrat” koji se jednako čita slijeva, zdesna, odozgo, odozdo, a znači: orač Arepo (ime) s mukom njive ore. Pokušajte zamjenom slova dobiti i po koju hrvatsku čarobinu s nekim značenjem.


Obično se pod $\mathit{magičnim\; kvadratom}$ reda $n\ge 3$ smatra tablica $n\times n$ svih brojeva $1,2,3,\cdots ,n{}^2$ s istim zbrojem svakog retka, stupca i obiju dijagonala; taj je zbroj

Postoji samo jedan magični kvadrat reda $3$, svi ostali su dobiveni zrcaljenjem i rotacijom jedan iz drugog. Magičnih kvadrata reda $4$ ima točno $880$, a reda $5$ ima $275305224$, a reda $6$ približno $1.7745\cdot 10{}^{19}$. Dalje se ne zna, ali se zna da postoje magični kvadrati svakog reda $n\ge 3$ pa tako, primjerice, reda $n=\mathrm{googol}=10{}^{100}$ pa i reda $n=\mathrm{googolplex}=10{}^{googol}$, itd. ali i $n=\mathrm{googol}\#\mathrm{googol}\#\cdots \#\mathrm{googol}$, gdje je $a \# b=a{}^b$. Možete li zamisliti tako veliki ali ipak ”samo” konačan broj pri čemu ima barem googol simbola $\#$ (od googol potječe i riječ ”google”)? Postoje i magični pravokutnici, čarobne (magične) kocke pa i magične $4$D-kocke zvane ”tesseract”, itd. U rekreativnoj (ili zabavnoj) matematici razmatraju se i magični trokuti, a umjesto zbroja razmatra se umnožak, itd. Magični kvadrati su u srednjem vijeku nošeni u procesijama kako bi svojom magijom otjerali đavla. Evo na kraju i čarobne šesterokrake zvijezde (vidjeti sliku $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#8">3</a></span></nobr>$). U svakom njenom vrhu postavljen je neki broj od $1$ do $12$ tako da su zbrojevi duž svih stranica jednaki $26$. Ima i raznih drugih ”magičnih likova”. Poopćenje $6$-zvijezde je $n$-zvijezda i na svakoj crti broj između $1$ i $2n$ s magičnim zbrojem $4n+2$.

Slika 13: Šesterokraka zvijezda

  

Slika 13: Davidova zvijezda

Slika 13: Zvijezde

Mogu li se trokuti u prostoru (Davidova zvijezda) kao na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#9">3</a></span></nobr>$ razdvojiti (podebljani su nadvožnjaci) ? Pokušajte si dočarati i nacrtati tri međusobno ukliještena trokuta (ili kružnice). To su tzv. $\mathit{Borromeo\; prstenovi}$ i to je i povijesno i matematičko-topološki zanimljiva priča. O tome i drugim matematičko-povijesnim zanimljivostima možete pročitati u [14]. Niz je otvorenih problema u kombinatorici s magičnim likovima.

Pođimo od jednakostraničnog trokuta i podijelimo mu svaku stranicu na tri jednaka dijela. Ponavljaj: izbaci srednju trećinu i zamijeni je prema van s ostale dvije stranice trokuta (vidjeti sliku 16). Ono što na limesu preostane se naziva $\mathit{Kochova\; pahuljica}$. To je primjer svuda neprekidne, a nigdje diferencijabilne krivulje. Njezin je opseg beskonačan, a površine $8/5$ prvotnog trokuta. To je jedan od najjednostavnijih primjera fraktalnog skupa ili kraće $\mathit{fraktala}$.

Slika 16: Kochova pahuljica

Slični primjer fraktala je $\mathit{rupičasti\; trokut\; Sierpińskog}$, koji se dobiva ovako. Ponavljaj: izbaci središnji trokut s time da se pođe od jednakostraničnog trokuta. Na limesu preostaje rupičasti trokut Sierpińskog.

Slika 17: Rupičasti trokut Sierpińskog

Slično se dobiva i rupičasti tepih Sierpińskog tako da se iz kvadrata $3\times 3$ izbaci središnji i one koji s njim dijele crtu i nastavi se tako (dakle, izbacujemo središnji križ od $5$ kvadratića). Analogon u 3D je $\mathit{Mengerova\; spužva}$, a dobije da se iz kocke $3\times 3\times 3$ izbacuje središnja i s njom dodirnih $6$ kocaka i nastavlja tako u beskonačnost.

Slika 18: Rupičasti tepih Sierpińskog

Fraktalni objekti (tj. samoslični objekti) objekti igraju važnu ulogu u suvremenoj teoriji kompleksnih funkcija, topologiji, dinamičkim sustavima, teorijskoj fizici i drugdje.

$\mathit{Morleyevo\; čudo}$ ili $\mathit{Morleyev\; teorem\; o\; trisekciji\; kutova}$ datira iz $1899$. godine i kaže sljedeće. Susjedni parovi trisektrisa kutova trokuta čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Trisektrisa (ili trodjelnica) dijeli kut na tri jednaka dijela. Prisjetimo se da se bisektrise ili simetrale (polovice) kutova trokuta sijeku u središtu upisane kružnice. Vrlo jednostavni dokaz te činjenice rabi samo sukladnost trokuta.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 1.\; Morleyevog\; teorema}}$.

Slika 19: Jednakostraničan trokut $△PQR$

Neka se trisektrise kutova trokuta $△ABC$ sijeku u točkama $P$, $Q$ i $R$ kao na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#11">17</a></span></nobr>$ i neka je $△PQR$ Morleyev trokut polaznog trokuta $△ABC$. Tvrdimo da je $△PQR$ jednokostraničan. U dokazu ćemo rabiti samo sinusov poučak i formulu za trostruki kut (koji se lako dokaže iz adicijske formule):

gdje je $x\text{'}=x+\frac{\pi }{3}$, $x\text{'}\text{'}=(x\text{'})\text{'}=x+\frac{2\pi }{3}$.
Neka su kutovi trokuta $A=3\alpha$, $B=3\beta$, $C=3\gamma$ ; stoga

Neka je $R$ radijus opisane kružnice $△ABC$ (razlikujte taj $R$ i vrh $R$$△PQR$). Tada je $\frac{a}{\sin A}=2R$, itd. Iz sinusovog poučka za $△ABR$ i $△CPQ$ i ”trostruke formule” dobivamo

Slijedi

Promotrimo trokut s jednom stranicom $CQ$ i kutovima $\alpha \text{'}$, $\beta \text{'}$ i $\gamma$. Iz sinusovog poučka slijedi da je taj trokut sukladan s $△CPQ$. Stoga je

Zbog simetričnosti ovog izraza slijedi

pa je $△PQR$ jednakostraničan.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 2\; (\text{'}\text{'}lov\; na\; kutove\text{'}\text{'})}}$.
Taj je dokaz sličan Dokazu 1; rabi sinusov poučak i trostruku formulu i pokazuje da su kutovi trokuta $PQR$ svi jednaki $\frac{\pi }{3}$ . Prepuštamo ga čitatelju.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 3\; (planimetrijski).}}$.
Zamislimo prvo da je trokut $△PQR$ jednakostraničan i produžimo $AQ$ i $BP$ do $W$, $BR$ i $CQ$ do $U$, te $AR$ i $CP$ do $V$. Tada je lako provijeriti da su $△URQ$, $△VRP$ i $△WPQ$ jednakokračni i da su im kutovi uz baze jednaki $\frac{A}{3}-\frac{\pi }{3}$ itd.
Dakle, da bismo dokazali Morleyjev (ili Morleyev) poučak, pođemo od jednakostraničnog $△PQR$, konstruiramo prema van točke $U$, $V$, $W$ s odgovarajućim kutovima uz baze $PQ$, $QR$ i $RP$ i neka je $A$ sjecište od $VR$ i $WQ$ itd. Tada nije teško provjeriti da je $△ABC$ sličan polaznom trokutu, tj. da ima kutove $A$, $B$ i $C$.
Zanimljivo je da se za analogni problem za trodjelnice stranica trokuta umjesto kutova ne zna podrobniji opis figure dobivene analogno Morleyjevim teoremu. $△ABC$ je afina slika pravilnog, pa kako afinitet čuva paralelnost, slijedi da je $PQ$ paralelno s $AB$ itd., pa je $△PQR$ sličan s $△ABC$, a šesterokut $PWQURV$ afino regularan. Ali možemo li reći i nešto više od od toga? Primjerice, koji je koeficijent sličnosti i ima li taj šesterokut neka dodatna svojstva?
Također je otvoreno pitanje ima li nekih simetrija (skladnosti) Morleyev tetraedar dobiven trisekcijama diedralnih kutova danog tetraedra (v.[28]).

Koliko su vizualni i kratki dokazi važni potvrdio je i hrvatski znanstvenik i izumitelj Nikola Tesla ($1856.$-$1943.$) riječima: "Mogu zahvaliti vizualizaciji za sve što sam stvorio. Događaji iz mog života i moja otkrića pred mojim očima su stvarni, vidljivi kao i svaka pojava i predmet. U mladosti sam se toga plašio neznajući što je to zapravo, ali kasnije sam tu moć primio kao dar i bogatstvo. Njegovao sam ga i ljubomorno čuvao. Vizualizacijom sam na većini izuma vršio i ispravke, a onda ih, tako završene, pravio. Njome rješavam i komplicirane matematičke jednadžbe, a da ne ispisujem brojeve."