Za podučavanje matematike potrebna je kreativnost, maštovitost, odlučnost, upornost, dosljednost i marljivost. Istim riječima možemo opisati i vizualne dokaze koji su posebno dragi učenicima, studentima, nastavnicima i svima onima koji vole matematiku. Koristeći stara znanja dolazimo do novih ideja i u ovom članku prikazat ćemo neke od vizualnih kratkih i elegantnijih dokaza.
Ovaj članak, kao i prethodni, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljma, profesorima Borisu Pavkoviću ($1931.-2006.$) i akademiku Sibi Mardešiću ($1927.-2016.$).

Eulerova nejednakost koja datira iz $1765.$ godine glasi: opisana kružnica trokuta je barem dvostruko duža od upisane kružnice, odnosno

Slika 1: Upisana i opisana kružnica trokutu $ABC$

Površina trokuta

pri čemu je $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Primjenom aritmetičko-geometrijske nejednakosti

i dvije slične dobivamo zadnju nejednakost. Jednakost u Eulerovoj nejednakosti postiže se ako i samo ako je trokut jednakostraničan.. Napomenimo usput da A-G nejednakost za tri varijable daje

Stoga za površinu trokuta imamo

To je izoperimetrijska nejednakost za trokut s jednakošću ako i samo ako je trokut jednakostraničan. Koristeći A-G nejednakosti, Eulerova nejednakost ima i hiperboličku verziju (za trokute kojima se može opisati kružnica) koja glasi

i slično za sfernu geometriju (v.[8]). Za $n$-dimenzionalni euklidski simpleks Eulerova nejednakost je

Dokaz je neočekivano jednostavan; provodimo ga u dimenziji $n=3$ (iako doslovce isti dokaz ide u svim dimenzijama). Neka je $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }(v{}_0,v{}_1,v{}_2,v{}_3)$ tetraedar i $R=R\left(\mathrm{\Delta }\right)$ radijus opisane mu kugle. Neka je $c{}_i$ težište (tj. radijvektor centroida) strane tetraedra nasuprot vrha (radijvektora) $v{}_i$. Tada je (kao vektor)

itd. Sada je lako provjeriti da su $\mathrm{\Delta }$ i $\mathrm{\Delta }(c{}_0,c{}_1,c{}_2,c{}_3)$ slični tetraedri s koeficijentom sličnosti $3$, pa je udaljenost

za sve $i$, $j$. Iz ove sličnosti slijedi

Kugla kojoj je radijus manji od upisane kugle ne može sjeći sve strane tetraedra, pa je stoga

Odavde slijedi

Jednakost vrijedi ako i samo ako se radi o pravilnom tetraedru.

Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost za dva vektora $x=(a,b)$ i $y=(c,d)$, gdje su $a$, $b$, $c$, $d$ realni brojevi, glasi:

Oslobađanjem zagrada s lijeve i desne strane dobivamo ekvivalentnu nejednakost

što je upravo A-G nejednakost za dvije varijable. CSB nejednakost također slijedi iz Fermatovog teorema o dva kvadrata a kaže da je produkt sume dva kvadrata opet suma dva kvadrata ili formulom

Opća CSB nejednakost

(to je zapravo posljedica jednakosti $\left|\right|uv\left|\right|{}^2=\left|\right|u\left|\right|{}^2\left|\right|v\left|\right|{}^2$, gdje je $u=a+bi$, $v=c+di$), slijedi iz dviju jednostavnih geometrijskih činjenica: skalarni produkt (nenul) vektora $x$, $y\in ℂ{}^n$

i

S druge pak strane, algebarski dokaz CSB nejednakosti slijedi jednostavno iz Lagrangeovog identiteta

Drugi način da se analitički dokaže CSB nejednakost jest nenegativnost realne kvadratne funkcije

U svakom slučaju vidimo da su A-G i CSB nejednakosti dva jednakomoćna (ekvivalentna) načela. Dvije svjetske klasične knjige o nejednakostima koje odišu elegancijom su [9] i [10] (a i mi ih navodimo u [7] i [8]). CSB vrijedi i općenitije u bilo kojem vektorskom prostoru (nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva) sa skalarnim produktom i glasi $\left|\right(u,v\left)\right|\le \left|\right|u\left|\right|\left|\right|v\left|\right|$.

Navest ćemo jednu lijepu primjenu A-G nejednakosti u algebri. Na 2. svjetskom matematičkom kongresu u Parizu 1900. godine D. Hilbert je postavio čuvena 23 problema (od kojih ni danas neki nisu riješeni, npr. RH - Riemannova hipoteza). Među njima bio je 17. problem koji glasi: je li nenegativni realni polinom zbroj kvadrata racionalnih funkcija? Godine 1927. E. Artin potvrdno je odgovorio na Hilbertov 17. problem, ali je sve do 1967. godine ostalo otvoreno pitanje je li realni nenegativni polinom suma kvadrata realnih polinoma? Tada je E. Motzkin uočio polinom

(zbog A-G nejednakosti), a nije suma kvadrata realnih polinoma. Zaista, pretpostavimo suprotno da je

za neke $f{}_i\in ℝ\left[X,Y\right]$, $i=1,2,3,\cdots ,n$. Očito svaki $f{}_i$ ima stupanj $\le 3$, i stoga je svaki $f{}_i$ linearna kombinacija monoma $1$, $X$, $Y$, $X{}^2$, $XY$, $Y{}^2$, $X{}^3$, $X{}^{2}Y$, $XY{}^2$, $Y{}^3$. No, $X{}^3$ se ne može pojaviti ni u kojem $f{}_i$, jer bi se inače $X{}^6$ pojavio u $f$ s pozitivnim koeficijentom. Slično se ne može pojaviti ni $Y{}^3$ pa ni $X{}^2$, ni $Y{}^2$, ni $X$, ni $Y$. Preostaje jedino da je $f{}_i$ oblika

No tada je

što je kontradikcija.

Vratimo se malo matematičkom čarobnjaku L. Euleru ($1707.-1783.$). Iako je od $1760$-ih gotovo oslijepio, zapravo je tada postajao sve produktivniji. Euler je matematičar s više od $1500$ objavljenih radova, što ozbiljnih rasprava, što knjiga. Približio mu se jedino Paul Erd\H os ($1913.-1996.$) s oko $1500$ radova (s preko $500$ koautora), više o njemu saznat ćemo u sljedećoj točki. Iako je teško uspoređivati vrijeme Eulera i Erd\H osa, ipak možemo reći da se radi o dva genijalna matematičara koji su živjeli u razmaku od oko $200$ godina.
Za tzv.$\mathit{problem\; sedam\; mostova\; u\; Königsbergu}$ čuo je Euler $1736$. godine, ali iako ga je odmah riješio, to je postalo opće poznato mnogo kasnije. Problem ”$7$ mostova” glasi: može li se, krenuvši od kuće obići $7$ mostova, proći svaki most točno jednom i vratiti se kući (vidjeti Sliku 2).)

Slika 2: Slika sedam mostova u Königsbergu i pripadni model u teoriji grafova

$\mathit{Stupanj\; vrha}$ u grafu je broj bridova koji ulaze (ili izlaze) u vrh. Zbroj stupnjeva svih vrhova (konačnog) grafa je dvostruki broj svih bridova. Na slici 2 vidimo da su stupnjevi svih vrhova pridruženog grafa neparni, a takva (Eulerova) zatvorena šetnja je moguća ako i samo ako je stupanj svakog vrha paran broj (dokaz vidjeti u [11]). Neformalno: koliko ulaza, toliko izlaza u svaki vrh, ukupno paran broj. Ovo se smatra začetkom teorije grafova, a Eulerova formula za poliedre $v-b+s=2$ (v- broj vrhova, b- broj bridova i s- broj strana konveksnog poliedra) začetkom algebarske topologije.
Kad smo već kod genijalnih matematičara Eulera i Erd\H osa evo i njihova dva manje poznata otvorena problema.
Euler (oko $1770.$ godine): Postoji li savršen Eulerov kvadar, tj. kvadar (cigla) čiji svi bridovi i sve dijagonale imaju cjelobrojne duljine?
Erd\H os (oko $1970.$ godine): Ako niz $a{}_n\in \mathbb{N}$ ima svojstvo da red $\sum \frac{1}{a{}_n}$ divergira, sadrži li po volji dugački aritmetički niz? Ako se radi o nizu prostih brojeva, onda je odgovor potvrdan (Green-Tao, 2010.).

Sve je broj, tumačio je Pitagora svojim sljedbenicima oko $500$ g. pr. Kr. S brojevima su bili očarani mnogi ljudi, a naročito matematičari. $\mathit{The\; Man\; Who\; Loved\; Only\; Numbers}$ naslov je knjige P. Hoffmana o Paulu Erd\H osu. Kao dijete od $5$-$6$ godina mali bi Paul ljudima računao koliko su sekundi upravo doživjeli ($100$ godina je $3$ milijarde, $153$ milijuna i $600$ tisuća sekundi) ili koliko bi vlakom trajalo (brzinom od $100$ km/h) putovanje od Zemlje do Sunca i sl. Erd\H os i drugi matematički genijalci, primjerice Gauss, Euler, Poincaré i Ramanujan su strjelovito brzo računali. No, isto tako mnogi su umjetnici bili opčinjeni brojevima i njihovim čarolijama. Tako su slikari Albrecht Dürer ($1471.-1528.$) i njegov suvremenik Leonardo da Vinci ($1452.-1519.$) bili očarani čarobnim četvorinama (iliti magičnim kvadratima). U tim je tablicama zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali isti (više o njima u članku [12] i knjizi [14]).

Slika 3:

  

Slika 3:

 

 

 

Slika 3:

  

Slika 3:

Slika 3: Dürerovi magični kvadrati

Slika 8: Magični kvadrat zrcaljenje znamenki

 

Slika 9: Magični kvadrat s prostim brojevima

  

Slika 9: Indijska čarobna četvorina reda 8

Slika 9: Magični kvadrati

Slika 12: Starolatinski slovčani magični kvadrat

Na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#7">12</a></span></nobr>$ je starolatinski slovčani ”magični kvadrat” koji se jednako čita slijeva, zdesna, odozgo, odozdo, a znači: orač Arepo (ime) s mukom njive ore. Pokušajte zamjenom slova dobiti i po koju hrvatsku čarobinu s nekim značenjem.


Obično se pod $\mathit{magičnim\; kvadratom}$ reda $n\ge 3$ smatra tablica $n\times n$ svih brojeva $1,2,3,\cdots ,n{}^2$ s istim zbrojem svakog retka, stupca i obiju dijagonala; taj je zbroj

Postoji samo jedan magični kvadrat reda $3$, svi ostali su dobiveni zrcaljenjem i rotacijom jedan iz drugog. Magičnih kvadrata reda $4$ ima točno $880$, a reda $5$ ima $275305224$, a reda $6$ približno $1.7745\cdot 10{}^{19}$. Dalje se ne zna, ali se zna da postoje magični kvadrati svakog reda $n\ge 3$ pa tako, primjerice, reda $n=\mathrm{googol}=10{}^{100}$ pa i reda $n=\mathrm{googolplex}=10{}^{googol}$, itd. ali i $n=\mathrm{googol}\#\mathrm{googol}\#\cdots \#\mathrm{googol}$, gdje je $a \# b=a{}^b$. Možete li zamisliti tako veliki ali ipak ”samo” konačan broj pri čemu ima barem googol simbola $\#$ (od googol potječe i riječ ”google”)? Postoje i magični pravokutnici, čarobne (magične) kocke pa i magične $4$D-kocke zvane ”tesseract”, itd. U rekreativnoj (ili zabavnoj) matematici razmatraju se i magični trokuti, a umjesto zbroja razmatra se umnožak, itd. Magični kvadrati su u srednjem vijeku nošeni u procesijama kako bi svojom magijom otjerali đavla. Evo na kraju i čarobne šesterokrake zvijezde (vidjeti sliku $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#8">3</a></span></nobr>$). U svakom njenom vrhu postavljen je neki broj od $1$ do $12$ tako da su zbrojevi duž svih stranica jednaki $26$. Ima i raznih drugih ”magičnih likova”. Poopćenje $6$-zvijezde je $n$-zvijezda i na svakoj crti broj između $1$ i $2n$ s magičnim zbrojem $4n+2$.

Slika 13: Šesterokraka zvijezda

  

Slika 13: Davidova zvijezda

Slika 13: Zvijezde

Mogu li se trokuti u prostoru (Davidova zvijezda) kao na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#9">3</a></span></nobr>$ razdvojiti (podebljani su nadvožnjaci) ? Pokušajte si dočarati i nacrtati tri međusobno ukliještena trokuta (ili kružnice). To su tzv. $\mathit{Borromeo\; prstenovi}$ i to je i povijesno i matematičko-topološki zanimljiva priča. O tome i drugim matematičko-povijesnim zanimljivostima možete pročitati u [14]. Niz je otvorenih problema u kombinatorici s magičnim likovima.

Pođimo od jednakostraničnog trokuta i podijelimo mu svaku stranicu na tri jednaka dijela. Ponavljaj: izbaci srednju trećinu i zamijeni je prema van s ostale dvije stranice trokuta (vidjeti sliku 16). Ono što na limesu preostane se naziva $\mathit{Kochova\; pahuljica}$. To je primjer svuda neprekidne, a nigdje diferencijabilne krivulje. Njezin je opseg beskonačan, a površine $8/5$ prvotnog trokuta. To je jedan od najjednostavnijih primjera fraktalnog skupa ili kraće $\mathit{fraktala}$.

Slika 16: Kochova pahuljica

Slični primjer fraktala je $\mathit{rupičasti\; trokut\; Sierpińskog}$, koji se dobiva ovako. Ponavljaj: izbaci središnji trokut s time da se pođe od jednakostraničnog trokuta. Na limesu preostaje rupičasti trokut Sierpińskog.

Slika 17: Rupičasti trokut Sierpińskog

Slično se dobiva i rupičasti tepih Sierpińskog tako da se iz kvadrata $3\times 3$ izbaci središnji i one koji s njim dijele crtu i nastavi se tako (dakle, izbacujemo središnji križ od $5$ kvadratića). Analogon u 3D je $\mathit{Mengerova\; spužva}$, a dobije da se iz kocke $3\times 3\times 3$ izbacuje središnja i s njom dodirnih $6$ kocaka i nastavlja tako u beskonačnost.

Slika 18: Rupičasti tepih Sierpińskog

Fraktalni objekti (tj. samoslični objekti) objekti igraju važnu ulogu u suvremenoj teoriji kompleksnih funkcija, topologiji, dinamičkim sustavima, teorijskoj fizici i drugdje.

$\mathit{Morleyevo\; čudo}$ ili $\mathit{Morleyev\; teorem\; o\; trisekciji\; kutova}$ datira iz $1899$. godine i kaže sljedeće. Susjedni parovi trisektrisa kutova trokuta čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Trisektrisa (ili trodjelnica) dijeli kut na tri jednaka dijela. Prisjetimo se da se bisektrise ili simetrale (polovice) kutova trokuta sijeku u središtu upisane kružnice. Vrlo jednostavni dokaz te činjenice rabi samo sukladnost trokuta.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 1.\; Morleyevog\; teorema}}$.

Slika 19: Jednakostraničan trokut $△PQR$

Neka se trisektrise kutova trokuta $△ABC$ sijeku u točkama $P$, $Q$ i $R$ kao na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#11">17</a></span></nobr>$ i neka je $△PQR$ Morleyev trokut polaznog trokuta $△ABC$. Tvrdimo da je $△PQR$ jednokostraničan. U dokazu ćemo rabiti samo sinusov poučak i formulu za trostruki kut (koji se lako dokaže iz adicijske formule):

gdje je $x\text{'}=x+\frac{\pi }{3}$, $x\text{'}\text{'}=(x\text{'})\text{'}=x+\frac{2\pi }{3}$.
Neka su kutovi trokuta $A=3\alpha$, $B=3\beta$, $C=3\gamma$ ; stoga

Neka je $R$ radijus opisane kružnice $△ABC$ (razlikujte taj $R$ i vrh $R$$△PQR$). Tada je $\frac{a}{\sin A}=2R$, itd. Iz sinusovog poučka za $△ABR$ i $△CPQ$ i ”trostruke formule” dobivamo

Slijedi

Promotrimo trokut s jednom stranicom $CQ$ i kutovima $\alpha \text{'}$, $\beta \text{'}$ i $\gamma$. Iz sinusovog poučka slijedi da je taj trokut sukladan s $△CPQ$. Stoga je

Zbog simetričnosti ovog izraza slijedi

pa je $△PQR$ jednakostraničan.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 2\; (\text{'}\text{'}lov\; na\; kutove\text{'}\text{'})}}$.
Taj je dokaz sličan Dokazu 1; rabi sinusov poučak i trostruku formulu i pokazuje da su kutovi trokuta $PQR$ svi jednaki $\frac{\pi }{3}$ . Prepuštamo ga čitatelju.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 3\; (planimetrijski).}}$.
Zamislimo prvo da je trokut $△PQR$ jednakostraničan i produžimo $AQ$ i $BP$ do $W$, $BR$ i $CQ$ do $U$, te $AR$ i $CP$ do $V$. Tada je lako provijeriti da su $△URQ$, $△VRP$ i $△WPQ$ jednakokračni i da su im kutovi uz baze jednaki $\frac{A}{3}-\frac{\pi }{3}$ itd.
Dakle, da bismo dokazali Morleyjev (ili Morleyev) poučak, pođemo od jednakostraničnog $△PQR$, konstruiramo prema van točke $U$, $V$, $W$ s odgovarajućim kutovima uz baze $PQ$, $QR$ i $RP$ i neka je $A$ sjecište od $VR$ i $WQ$ itd. Tada nije teško provjeriti da je $△ABC$ sličan polaznom trokutu, tj. da ima kutove $A$, $B$ i $C$.
Zanimljivo je da se za analogni problem za trodjelnice stranica trokuta umjesto kutova ne zna podrobniji opis figure dobivene analogno Morleyjevim teoremu. $△ABC$ je afina slika pravilnog, pa kako afinitet čuva paralelnost, slijedi da je $PQ$ paralelno s $AB$ itd., pa je $△PQR$ sličan s $△ABC$, a šesterokut $PWQURV$ afino regularan. Ali možemo li reći i nešto više od od toga? Primjerice, koji je koeficijent sličnosti i ima li taj šesterokut neka dodatna svojstva?
Također je otvoreno pitanje ima li nekih simetrija (skladnosti) Morleyev tetraedar dobiven trisekcijama diedralnih kutova danog tetraedra (v.[28]).

Koliko su vizualni i kratki dokazi važni potvrdio je i hrvatski znanstvenik i izumitelj Nikola Tesla ($1856.$-$1943.$) riječima: "Mogu zahvaliti vizualizaciji za sve što sam stvorio. Događaji iz mog života i moja otkrića pred mojim očima su stvarni, vidljivi kao i svaka pojava i predmet. U mladosti sam se toga plašio neznajući što je to zapravo, ali kasnije sam tu moć primio kao dar i bogatstvo. Njegovao sam ga i ljubomorno čuvao. Vizualizacijom sam na većini izuma vršio i ispravke, a onda ih, tako završene, pravio. Njome rješavam i komplicirane matematičke jednadžbe, a da ne ispisujem brojeve."