slučajni procesi

Wiener-Hopfova faktorizacija


Marijo Alilović, Miljenko Huzak
U spomen na docenta Antu Mimicu
Sažetak
U ovom radu pomoću dualnih vremena zaustavljanja dokazana je Wiener-Hopfova faktorizacija slučajne šetnje na \mathbb{R} te je primijenjena u dokazu Baxterovih jednakosti.

Uvod

Osnovni matematički objekt koji ćemo proučavati je slučajna šetnja na \mathbb{R}. Neka je \lbrace X_{n} : n \ge 1 \rbrace niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (\Omega,\mathcal{F},P). Tada za slučajni proces \lbrace S_{n} : n \ge 0 \rbrace definiran sa:

S_{0} = 0, \quad S_{n} = X_{1}+...+X_{n} \quad n \ge 1,

kažemo da je slučajna šetnja na \mathbb{R}. Neka je:

N_{1} = \inf\lbrace n \ge 1 : S_{n} \gt 0 \rbrace , \text{ uz dogovor } \inf\emptyset = \infty.

N_{1} je prvi trenutak u kojem je vrijednost slučajne šetnje strogo pozitivna, a S_{N_{1}} je vrijednost slučajne šetnje u trenutku N_{1}. Ako stavimo N_{0} = 0 tada N_{1} možemo promatrati kao prvo vrijeme u kojem je prirast slučajne šetnje strogo pozitivan od trenutka N_{0}, tj:

N_{1} = \inf\lbrace n \gt N_{0} : S_{n}-S_{N_{0}} = X_{N_{0}+1}+ X_{N_{0}+2}+...+ X_{n} \gt 0 \rbrace .

Kao interesantno pitanje vezano za slučajnu šetnju nameće se pitanje distribucije slučajnog vektora (N_{1}-N_{0},S_{N_{1}}-S_{N_{0}}). Nadalje, na izmjerivom prostoru:
 

(\Omega \cap \lbrace N_{1}\lt \infty\rbrace , \mathcal{F} \cap \lbrace N_{1}\lt \infty\rbrace )

možemo definirati:

N_{2} = \inf\lbrace n \gt N_{1} : S_{n} \gt S_{N_{1}} \rbrace , \text{ uz dogovor } \inf\emptyset = \infty.

N_{2} je prvi trenutak od trenutka N_{1} u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a S_{N_{2}} - S_{N_{1}} je prirast slučajne šetnje od trenutka N_{1} do trenutka N_{2}. Ponovno kao interesantno pitanje nameće se poznavanje distribucije slučajnog vektora (N_{2}-N_{1}, S_{N_{2}}-S_{N_{1}}). Potpuno analogno na izmjerivom prostoru:

 

(\Omega \cap \big(\cap_{i=1}^{k-1}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big), \mathcal{F} \cap \big(\cap_{i=1}^{k-1}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big))

možemo definirati N_{k} = \inf\lbrace n \gt N_{k-1} : S_{n} \gt S_{N_{k-1}} \rbrace, uz dogovor \inf\emptyset = \infty, k \ge 1.

N_{k} je prvo vrijeme od trenutka N_{k-1} u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a S_{N_{k}}-S_{N_{k-1}} je prirast slučajne šetnje od trenutka N_{k-1} do trenutka N_{k}. Zanima nas distribucija slučajnog vektora (N_{k}-N_{k-1},S_{N_{k}}-S_{N_{k-1}}). Pokazat ćemo da za n \in \mathbb{N} na vjerojatnosnom prostoru:
 

(\Omega \cap \big(\cap_{i=1}^{n}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big), \mathcal{F} \cap \big(\cap_{i=1}^{n}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big),P\big(\cdot | \lbrace \cap_{i=1}^{n}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big))

vrijedi:

(N_{k}-N_{k-1},S_{N_{k}}-S_{N_{k-1}}) \buildrel \mathcal{D} \over = (N_{1}, S_{N_{1}}), \quad k \le n

pa pitanje distribucije slučajnog vektora (N_{1}, S_{N_{1}}) postaje jedno od najvažnijih pitanja vezanih za slučajnu šetnju. Glavni rezultat koji vodi ka određivanju distribucije slučajnog vektora (N_{1}, S_{N_{1}}) je Baxterov teorem u čijem dokazu ključnu ulogu igra Wiener-Hopfova faktorizacija.

1Konvolucija

Definicija 1. Neka su \mu i \nu\sigma-konačne mjere na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Tada definiramo konvoluciju mjera \mu i \nu na sljedeći način:
(1)
(\mu*\nu)(A) := \int_{x+y \in A} d(\mu \times \nu)(x,y), \quad A \in \mathcal{B}.


Budući da su mjere \sigma-konačne, iz definicije konvolucije primjenom Fubinijevog teorema odmah slijedi:

(2)
(\mu*\nu)(A) = \int_{\mathbb{R}} \mu(A-y)d\nu(y), \quad A \in \mathcal{B}.

Iz (2) koristeći Beppo-Levijev teorem i \sigma-aditivnost mjere \mu pokaže se da je konvolucija \mu*\nu mjera na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Također, \sigma-konačnost, odnosno konačnost mjera \mu i \nu povlači \sigma-konačnost, odnosno konačnost mjere \mu*\nu.


Definirajmo funkciju \Delta:\mathcal{B} \to \mathbb{R} na sljedeći način:

(3)
\Delta(A) := \begin{cases} 1 &,\text{ } 0\in A\\ 0 &,\text{ } 0 \notin A \end{cases} ,\quad A \in \mathcal{B}.

Sa (3) definirana je mjera na \mathcal{B}. Za konačnu mjeru \chi na izmjerivom prostoru (\mathbb{R},\mathcal{B}) definiramo Fourierovu transformaciju od \chi kao kompleksnu funkciju realne varijable:

(4)
\hat{\chi}(\zeta) := \int_{\mathbb{R}} e^{i\zeta x} d\chi(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Teorem 2. Neka su \mu, \nu i \lambda\sigma-konačne te \chi i \psi konačne mjere na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Neka je f Borelova funkcija. Tada vrijedi:

(1) \Delta*\mu=\mu
(2) \mu*\nu=\nu*\mu
(3) (\mu+\nu)*\lambda=\mu*\lambda+ \mu*\lambda
(4) (\mu*\nu)*\lambda = \mu*(\nu*\lambda)
(5) \widehat{\chi*\psi} = \hat{\chi}\hat{\psi}

Definicija 3. Neka su \mu_{1},\mu_{2},\nu_{1},\nu_{2} konačne mjere na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Stavimo, \alpha = \mu_{1}-\nu_{1} i \beta= \mu_{2}-\nu_{2}. Definiramo konvoluciju realnih mjera \alpha i \beta na sljedeći način:
(5)
\alpha*\beta = (\mu_{1}-\nu_{1})*(\mu_{2}-\nu_{2}):= \mu_{1}*\mu_{2}-\mu_{1}*\nu_{2}-\nu_{1}*\mu_{2}+\nu_{1}*\nu_{2}.


 

Konačnost mjera u definiciji je bitna jer izraz \infty - \infty nije definiran.


Za \alpha = \mu-\nu, gdje su \mu i \nu konačne mjere na (\mathbb{R},\mathcal{B}), definiramo:

(6)
\int_{\mathbb{R}}f d\alpha := \int_{\mathbb{R}}f d\mu - \int_{\mathbb{R}}f d\nu,

gdje je f Borelova funkcija integrabilna u odnosu na \mu i \nu. Iz (4) i (6) slijedi:

(7)
\hat{\alpha}(\zeta) = \hat{\mu}(\zeta) - \hat{\nu}(\zeta), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Lebesgueovom indukcijom pokaže se da je integral u odnosu na zbroj mjera jednak zbroju integrala, tj.:

(8)
\int_{\mathbb{R}} f d(\mu+\nu) = \int_{\mathbb{R}}fd\mu + \int_{\mathbb{R}}fd\nu,

u smislu da ako jedan od integrala postoji, tada postoji i drugi te su jednaki.

Teorem 4. Neka su \mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\nu_{1},\nu_{2},\nu_{3} konačne mjere na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Definiramo \alpha=\mu_{1}-\nu_{1}, \beta=\mu_{2}-\nu_{2} te \gamma=\mu_{3}-\nu_{3}. Tada vrijedi:
a
(1) \alpha*\beta=\beta*\alpha
(2) (\alpha+\beta)*\gamma=\alpha*\gamma+ \alpha*\gamma
(3) (\alpha*\beta)*\gamma = \alpha*(\beta*\gamma)
(4) \widehat{\alpha*\beta} = \hat{\alpha}\hat{\beta}


Ako je funkcija F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} monotono rastuća te neprekidna zdesna tada postoji jedinstvena Lebesgue-Stieltjesova mjera \mu_{F} na \mathcal{B} takva da vrijedi:

(9)
\mu_{F}((a,b]) = F(b) - F(a), \quad a,b \in \mathbb{R}, \quad a\lt b.

Relacija (9) opravdava izraze oblika: F generira mjeru \mu_{F}. Integriranje na prostoru mjere (\mathbb{R},\mathcal{B},\mu_{F}) integrabilne Borelove funkcije f često označujemo \int_{\mathbb{R}} f dF, a oznaku interpretiramo na sljedeći način:

(10)
\int_{\mathbb{R}} f dF := \int_{\mathbb{R}} f d\mu_{F}.

Neka je funkcija F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ograničena, rastuća i neprekidna zdesna. Tada definiramo:

(11)
\hat{F}(\zeta) := \hat{\mu}_{F}(\zeta), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Definicija 5. Neka su funkcije F,G:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ograničene, rastuće i neprekidne zdesna. Tada definiramo konvoluciju od F i G, u oznaci F*G, na sljedeći način:
(12)
(F*G)(x) := (\mu_{F}*\mu_{G})((-\infty,x]) = \int_{\mathbb{R}}F(x-y)dG(y), \quad x\in \mathbb{R},

gdje je mjera \mu_{F} inducirana sa F te mjera \mu_{G} inducirana sa G u smislu relacije (9).


Pokaže se da je funkcija F*G nenegativna, ograničena, rastuća i neprekidna zdesna te stoga generira mjeru \mu_{F*G}, a zbog relacije (12) slijedi \mu_{F*G}=\mu_{F}*\mu_{G}. Također, zbog relacije (12), svojstva konvolucije mjera iz teorema 2 preslikavaju se na svojstva konvolucije rastućih i zdesna neprekidnih funkcija. Ulogu neutralnog elementa ima funkcija koju generira mjera \Delta, a to je funkcija F_{\Delta} = {1}_{[0,\infty)}. Funkciju F_{\Delta} označavamo sa \delta.


Definicija 6. Neka su funkcije F_{1},F_{2},G_{1},G_{2}:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ograničene, rastuće i neprekidne zdesna. Definiramo:
(13)
(F_{1}-G_{1})*(F_{2}-G_{2}):= F_{1}*F_{2}-F_{1}*G_{2}-G_{1}*F_{2}+G_{1}*F_{2}.


Zbog relacije (13), svojstva konvolucije iz teorema 4 preslikavaju se na svojstva operacije definirane sa (13). Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable sa funkcijama distribucije F i G. Iz Fubinijevog teorema i (10) slijedi:

(14)
\begin{split} F_{X+Y}(t) &= P\lbrace X+Y \le t \rbrace = \int_{\Omega} {1}_{\lbrace X+Y \le t\rbrace }dP = \int_{x+y \le t}dP_{(X,Y)}(x,y)\\ &= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} {1}_{\lbrace x+y \le t\rbrace } dP_{X}(x)dP_{Y}(y) = \int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^{t-y} dP_{X}(x)dP_{Y}(y)\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}F(t-y)dG(y) = (F*G)(t), \quad t \in \mathbb{R}. \end{split}

Dakle, konvolucija funkcija distribucije je funkcija distribucije zbroja dviju nezavisnih slučajnih varijabli kojima su faktori konvolucije funkcije distribucije. Induktivno se ta tvrdnja može generalizirati.

Korolar 7. Ako su X_{1},...,X_{n} nezavisne slučajne varijable s funkcijama distribucije F_{1},...,F_{n}, tada je:
(15)
F_{X_{1}+\cdots+X_{n}} = F_{1}*\cdots*F_{n}.


Neka je F funkcija distribucije. Zbog korolara 7 dobro je definirano potenciranje:

(16)
F^{0*} = \delta, \quad F^{n*} = F^{(n-1)*}*F, \quad n \in \mathbb{N}.

Korolar 8. Ako su X_{1},...,X_{n} nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s distribucijom F, tada je:
(17)
F_{X_{1}+\cdots+X_{n}} = F^{n*}.

Propozicija 9. Neka je F funkcija distribucije. Za svaki n \in \mathbb{N} vrijedi:
(18)
\hat{F}(\zeta)^{n} = \widehat{F^{n*}}(\zeta), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Dokaz. Neka su X_{1},...,X_{n} nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s funkcijom distribucije F. Tada je:
\hat{F}(\zeta)^{n} = (\int_{\mathbb{R}} e^{i\zeta x} dF(x))^{n} = \mathbb{E}[e^{i \zeta X_{1}}]^{n}.

Iz korolara 8 slijedi:
\widehat{F^{n*}}(\zeta) = \int_{\mathbb{R}}e^{i\zeta x} dF^{n*}(x) = \mathbb{E}[e^{i \zeta (X_{1}+...+X_{n})}] = \mathbb{E}[e^{i \zeta X_{1}}]^{n}.

\ \blacksquare


Neka je funkcija F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} rastuća i neprekidna zdesna te neka je \mu_{F} pripadna generirana mjera. Neka je q\gt 0. Budući da je \mu_{qF} = q\mu_{F}, Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f vrijedi:

(19)
\int_{\mathbb{R}}fd\mu_{qF} = q\int_{\mathbb{R}}fd\mu_{F},

u smislu da ako jedan od integrala u (19) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki. Jednakost (19) pomoću (10) možemo zapisati na sljedeći način:

(20)
\int_{\mathbb{R}}f d(qF) = q\int_{\mathbb{R}}f dF.

Iz (20) slijedi:

(21)
\widehat{qF}=q\hat{F}.

Propozicija 10. Neka je F funkcija distribucije te q \in (0,1). Tada vrijedi:
(22)
(\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}F^{n*})*(\delta - qF) = \delta.

Dokaz. Vrijedi:
\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}F^{n*} = \delta + \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}F^{n*}.

Za dokaz jednakosti (22) dovoljno je dokazati:
(23)
\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}F^{n*} = (\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}F^{n*})*qF.

Iz Beppo-Levijevog teorema, relacije (20) te (16) slijedi:
\begin{split} [(\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}F^{n*})*qF](x) &= \int_{\mathbb{R}} \sum_{n=0}^{\infty} q^{n}F^{n*}(x-y)d(qF)(y) = \sum_{n=0}^{\infty}q^{n}\int_{\mathbb{R}}F^{n*}(x-y)d(qF)(y)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}q^{n+1}\int_{\mathbb{R}}F^{n*}(x-y)dF(y) = \sum_{n=0}^{\infty}q^{n+1}F^{(n+1)*}(x)\\ &= (\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}F^{n*})(x), \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
\ \blacksquare


Neka je \lbrace \mu_{n}:n \ge 1\rbrace niz mjera na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Definiramo:

(24)
\mu(A) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}(A), \quad A \in \mathcal{B}.

Može se pokazati da je sa (24) zadana mjera na izmjerivom prostoru (\mathbb{R},\mathcal{B}). Sljedeća propozicija je generalizacija tvrdnje (8).

Propozicija 11. Neka je f Borelova funkcija. Tada vrijedi:
(25)
\int_{\mathbb{R}}fd(\sum_{n=1}^{\infty}\mu_{n}) = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\mathbb{R}}f\mu_{n},
u smislu, da ako jedan integral u (25) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki.


Neka je \lbrace F_{n} : n \ge 1\rbrace niz rastućih funkcija koje su neprekidne zdesna. Neka je \lbrace q_{n}: n \ge 1\rbrace niz nenegativnih realnih brojeva. Za svaki n \in \mathbb{N} sa \mu_{F_{n}} označimo pripadnu generiranu mjeru. Može se pokazati da je funkcija \sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n} rastuća te neprekidna zdesna pa stoga generira pripadnu mjeru \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n}}. Također, može se pokazati:

(26)
\mu_{\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}q_{n}\mu_{F_{n}}.

Iz (20), (25) te (26) slijedi:

(27)
\begin{split} \int_{\mathbb{R}} f d(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n}) &= \int_{\mathbb{R}} f d\mu_{\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n}} = \int_{\mathbb{R}} f d(\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}\mu_{F_{n}}) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} q_{n}\int_{\mathbb{R}} f d\mu_{F_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} q_{n}\int_{\mathbb{R}} f dF_{n}. \end{split}

2Vremena zaustavljanja

2.1Niz iteracija

Definicija 12. Neka je (\Omega,\mathcal{F}) izmjerivi prostor. Familija \mathbb{F} = \lbrace \mathcal{F}_{n} : n\ge 1 \rbrace\sigma - podalgebri od \mathcal{F} takvih da je \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1} za svaki n\ge0 zove se filtracija.

Definicija 13. Neka je (\Omega,\mathcal{F}) izmjerivi prostor s filtracijom \mathbb{F}. Za slučajnu varijablu \alpha:\Omega \to \mathbb{N} \cup \lbrace \infty\rbrace kažemo da je vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju \mathbb{F} ako vrijedi:
(28)
\left\lbrace \alpha = n\right\rbrace \in \mathcal{F}_{n}, \text{ za sve } n \ge 1.


Neka je \lbrace X_{n}: n \ge 1 \rbrace niz slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (\Omega,\mathcal{F},P). Neka je \alpha konačno vrijeme zaustavljanja (P\lbrace \alpha \lt \infty\rbrace =1) obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n}:=\sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1 \rbrace. Budući da je \mathcal{F}_{n} = (X_{1},...,X_{n})^{-1}(\mathcal{B}^{n}), za svaki n \in \mathbb{N} postoji B_{n} \in B^{n} takav da vrijedi:

(29)
\lbrace \alpha = n \rbrace = \lbrace (X_{1},...,X_{n}) \in B_{n} \rbrace .

Definiramo: \alpha(0) = 0, \alpha(1)=\alpha, \beta(1) = \alpha(1). Neka je \alpha(2) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (\Omega, \mathcal{F}) sa svojstvom:

\lbrace \alpha(2) = n \rbrace = \lbrace (X_{\beta(1)+1},...,X_{\beta(1)+n}) \in B_{n} \rbrace , \quad n \ge 1.

Definiramo: \beta(2) := \beta(1) + \alpha(2). Za k \geq 1 i zadano \beta(k): neka je \alpha(k+1) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (\Omega, \mathcal{F}) sa svojstvom:

(30)
\lbrace \alpha(k+1) = n \rbrace = \lbrace (X_{\beta(k)+1},...,X_{\beta(k)+n}) \in B_{n} \rbrace , \quad n,k \ge 1.

Definiramo: \beta(k+1) := \beta(k) + \alpha(k+1). Slijedi: \beta(k) = \alpha(1) + ... + \alpha(k), k \ge 1, uz dogovor \beta(0) = 0.

Definicija 14. Niz slučajnih varijabli \lbrace \beta(n) : n \ge 0\rbrace zovemo niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja \alpha.


U uvodu smo na izmjerivom prostoru (\Omega \cap \big(\cap_{i=1}^{k-1}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big), \mathcal{F} \cap \big(\cap_{i=1}^{k-1}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big)) definirali:

N_{k} = \inf\lbrace n \gt N_{k-1} : S_{n} \gt S_{N_{k-1}} \rbrace ,\; k \ge 1, \text{ uz dogovor } \inf\emptyset = \infty \text{ i } N_{0}:=0,

gdje je:

N_{1}\equiv N:=\inf\lbrace n\gt 0:S_{n}\gt 0\rbrace .

Budući da je:

(31)
\lbrace N=n\rbrace =\lbrace X_{1} \leq 0,...,X_{1}+...+X_{n-1} \leq 0, X_{1}+...+X_{n} \gt 0\rbrace ,

slijedi da je N vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},...,X_{n}),n \in \mathbb{N}\rbrace pa postoji B_{n} \in \mathcal{B}^{n} takav da je:

(32)
\lbrace N=n\rbrace =\lbrace (X_{1},...,X_{n}) \in B_{n}\rbrace , \quad n \in \mathbb{N}.

Iz (31) i (32) slijedi:

(33)
\lbrace X_{1} \leq 0,...,X_{1}+...+X_{n-1} \leq 0, X_{1}+...+X_{n} \gt 0\rbrace = \lbrace (X_{1},...,X_{n}) \in B_{n}\rbrace

za svaki n \in \mathbb{N}. Iz (33) slijedi:

\begin{split} \lbrace N_{k}&-N_{k-1}=n\rbrace =\lbrace N_{k}=N_{k-1}+n\rbrace = \bigcup_{l=0}^{\infty}\lbrace N_{k-1}=l,N_{k}=n+l\rbrace \\ &= \bigcup_{l=0}^{\infty}\lbrace N_{k-1}=l,X_{l+1} \leq 0,...,X_{l+1}+...+X_{l+n-1} \leq 0, X_{l+1}+...+X_{l+n}\gt 0\rbrace \\ &=\bigcup_{l=0}^{\infty}\lbrace N_{k-1}=l,(X_{l+1},...,X_{l+n}) \in B_{n} \rbrace \\ &=\lbrace (X_{N_{k-1}+1},...,X_{N_{k-1}+n}) \in B_{n}\rbrace , \quad n \in \mathbb{N}. \end{split}

Vidimo da slučajna varijabla N_{k}-N_{k-1} zadovoljava jednakost (30) pa stoga slijedi da je niz slučajnih varijabli \lbrace N_{k} : k \ge 0\rbrace niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N. Dakle, dokazali smo sljedeću lemu.

Lema 15. Niz slučajnih varijabli \lbrace N_{k}:k \geq 0\rbrace je niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N.


Sljedeći teorem kaže da se niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli pomoću konačnog vremena zaustavljanja razlaže na nezavisne i jednako distribuirane slučajne elemente. Dokaz teorema može se pronaći u [1].

Teorem 16. Neka je \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (\Omega,\mathcal{F},P). Neka je \alpha konačno vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1\rbrace, a \lbrace \beta(k):k\ge 0\rbrace niz iteracija generiran s \alpha. Tada su slučajni elementi:
\lbrace (\beta(k)-\beta(k-1), X_{\beta(k-1)+1},...,X_{\beta(k)}) : k \ge 1 \rbrace
nezavisni i jednako distribuirani.


U slučaju da \alpha nije gotovo sigurno konačno vrijeme zaustavljanja, tj. P\lbrace \alpha = \infty \rbrace \gt 0, iz teorema 16 slijedi da su:
 

\lbrace (\beta(k)-\beta(k-1),X_{\beta(k-1)+1},...,X_{\beta(k)}) : k \le n\rbrace

nezavisni i jednako distribuirani slučajni elementi na vjerojatnosnom prostoru:

\big(\lbrace \beta(n)\lt \infty\rbrace , \mathcal{F} \cap \lbrace \beta(n)\lt \infty\rbrace , P(\cdot|\lbrace \beta(n)\lt \infty\rbrace )\big)

Posljedice teorema 16 su značajne, a iznosimo ih u sljedeća tri korolara čiji dokazi se mogu pronaći u [1].

Korolar 17. Slučajni 2-dimenzionalni vektori
\lbrace (\beta(k)-\beta(k-1),S_{\beta(k)}-S_{\beta(k-1)}) : k\ge 1\rbrace
su nezavisni i jednako distribuirani.

Korolar 18. Neka je \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} Borelova funkcija. Tada je:
\lbrace Y_{k}:= \sum_{\beta(k-1)+1}^{\beta(k)} \varphi(X_{n}) : k \ge 1\rbrace

niz nezavisnih i jednako distriburianih slučajnih varijabli.

Korolar 19. Vrijede sljedeće tvrdnje:[label={(\roman*)}]
(1) \lbrace \beta(k)-\beta(k-1) : k \ge 1\rbrace je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli.
(2) \lbrace S_{\beta(k)}-S_{\beta(k-1)} = X_{\beta(k-1)+1}+...+X_{\beta(k)} : k \ge 1\rbrace je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli (S_{0} = 0).
(3) \lbrace \beta(k) : k \ge 0\rbrace je proces obnavljanja.



2.2Dualna vremena zaustavljanja




Neka je \mathcal{H} = \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace slučajan proces, gdje je \lbrace X_{n}:n \geq 1\rbrace niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (\mathbb{R}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty},P). Ovdje su:

\begin{split} &P(A) \equiv P\lbrace \mathcal{H} \in A \rbrace , \quad A \in \mathcal{B}^{\infty},\\ &X_{n}(x_{1},x_{2},...) = x_{n}, \quad (x_{1},x_{2},...) \in \mathbb{R}^{\infty},n \in \mathbb{N}. \end{split}

Neka je \alpha vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n} := \sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1\rbrace. Neka je \lbrace \beta(n): n \ge 0\rbrace pripadni niz iteracija. Definiramo:

(34)
M_{\alpha}(\omega) := \lbrace \beta(n)(\omega) : n \ge 0\rbrace , \quad \omega \in \mathbb{R}^{\infty}.

M_{\alpha} zovemo slučajni skup niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja \alpha, a M_{\alpha}(\omega) nije ništa drugo nego vrijednosti niza iteracija \lbrace \beta(n) : n \ge 0\rbrace izračunatih u \omega. Definirajmo preslikavanja r_{n}: \mathbb{R}^{\infty} \to \mathbb{R}^{\infty} za n \in \mathbb{N} na sljedeći način:

(35)
r_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n},x_{n+1},...) = (x_{n},x_{n-1},...,x_{1},x_{n+1},...), \quad (x_{1},x_{2},...) \in \mathbb{R}^{\infty}.

Definicija 20. Neka su \tau i \eta vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n} : n \ge 1 \rbrace. Za vrijeme zaustavljanja \tau kažemo da je dualno za \eta ako za svaki n \in \mathbb{N} vrijedi:
(36)
\lbrace \omega : n \in M_{\tau}(\omega) \rbrace = \lbrace \omega : n \lt \eta \circ r_{n}(\omega) \rbrace .


 

Neka je \omega fiksirana točka. Tada je n vrijednost neke varijable niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja \tau izračunate u točki \omega ako i samo ako gledajući prvih n trenutaka promatranog procesa unatrag (obzirom na točku \omega) ne opažamo fenomen kojeg prati vrijeme zaustavljanja \eta.


Budući da je definicija dualnosti komplicirana, od izuzetne je važnosti naći neku jednostavniju karakterizaciju. U tu svrhu za fiksni n \in \mathbb{N} definiramo:

(37)
L(\tau,n)(\omega) := \max\lbrace i \le n: i \in M_{\tau}(\omega) \rbrace .

Iz korolara 19 slijedi da je niz iteracija proces obnavljanja pa L(\tau,n) možemo promatrati kao vrijeme početka zadnjeg obnavljanja do trenutka n koje nije završilo.


Sljedeći teorem daje jednostavniju karakterizaciju dualnosti i ključan je za daljnja razmatranja. Dokaz teorema moguće je pronaći u [2].

Teorem 21. Neka su \tau i \eta vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n} : n \ge 1\rbrace. Tada je \tau dualno za \eta ako i samo ako vrijedi:
(38)
n-L(\tau,n) = L(\eta,n) \circ r_{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}.


Prva značajna i pomalo neočekivana posljedica teorema 21 kaže da je definicija dualnosti simetrična.

Korolar 22. Ako je \tau dualno vrijeme zaustavljanja za \eta tada je i \eta dualno vrijeme zaustavljanja za \tau.

Dokaz. Iz teorema 21 i r_{n}^{\textbf{}}{-1}=r_{n}, n \in \mathbb{N}, slijedi:
\begin{split} \tau \textit{ je dualno za } \eta &\iff n-L(\tau,n)=L(\eta,n)\circ r_{n}, \quad n \in \mathbb{N} \\ &\iff n-L(\tau,n)\circ r_{n} = L(\eta,n), \quad n \in \mathbb{N}\\ &\iff n-L(\eta,n)=L(\tau,n)\circ r_{n}, \quad n \in \mathbb{N}\\ &\iff \eta \textit{ je dualno za } \tau. \end{split}
\ \blacksquare


Iz nezavisnost i jednake distribuiranosti varijabli \lbrace X_{n}:n \ge 1\rbrace slijedi:

(39)
\mathcal{H} \buildrel \mathcal{D} \over = r_{n} \circ \mathcal{H}, \quad n \in \mathbb{N}.

Iz relacije (39) dobivamo:

(40)
P = P \circ r_{n}^{-1}, n \in \mathbb{N}.

Direktna posljedica teorema 21 i jednakosti (40) je sljedeći korolar.

Korolar 23. Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Za svaki n \in \mathbb{N} vrijedi:
(41)
L(\eta,n) \buildrel \mathcal{D} \over = n - L(\tau,n).

Lema 24. Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Za svaki n \in \mathbb{N} vrijedi:
(42)
\sum_{i=1}^{L(\tau,n)} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=L(\eta,n)+1}^{n} X_{i}.

Dokaz. Neka je n \in \mathbb{N} fiksan. Iz relacije (40) i teorema 21 slijedi:
(43)
\sum_{i=1}^{L(\tau,n)} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = (\sum_{i=1}^{L(\tau,n)} X_{i}) \circ r_{n} = \sum_{i=1}^{L(\tau,n) \circ r_{n}} X_{i} \circ r_{n}=\sum_{i=1}^{n-L(\eta,n)} X_{i} \circ r_{n}.

Budući da za i=1,...,n vrijedi X_{i} \circ r_{n} = X_{n-i+1}, iz (43) slijedi:
(44)
\sum_{i=1}^{n-L(\eta,n)} X_{i} \circ r_{n} = \sum_{i=1}^{n-L(\eta,n)} X_{n-i+1}=\sum_{i=L(\eta,n)+1}^{n} X_{i}.

Iz (43) i (44) slijedi tvrdnja leme.
\ \blacksquare

Propozicija 25. Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Tada za u \in (0,1) vrijedi:
(45)
\sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \tau \gt n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}[u^{\eta}]^{n},

odnosno:
(46)
\frac{1-\mathbb{E}[u^{\tau}]}{1-u} = \frac{1}{1-\mathbb{E}[u^{\eta}]}.

Dokaz.

Iz relacije (40) slijedi:
(47)
\sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \tau \gt n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace r_{n}^{-1}\big(\tau^{-1}((n,\infty))\big)\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \tau \circ r_{n} \gt n \rbrace

Iz (36) te korolara 22 slijedi:
(48)
\sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \tau \circ r_{n} \gt n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n} P\lbrace n \in M_{\eta} \rbrace .

Budući da je u \in (0,1), za proizvoljno vrijeme zaustavljanja \kappa vrijedi:
(49)
\mathbb{E}[u^{\kappa}] = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \kappa = n \rbrace + u^{\infty}P\lbrace \kappa = \infty\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \kappa = n \rbrace .

Definirajmo funkcije f_{n} na \mathbb{N}_{0} na sljedeći način:
f_{n}(k) := u^{n}P\lbrace \eta_{k} = n \rbrace , \quad k,n \in \mathbb{N}_{0},

gdje je \lbrace \eta_{k} : k \in \mathbb{N}_{0}\rbrace proces iteracija generiran vremenom zaustavljanja \eta. Neka je \nu brojeća mjera na (\mathbb{N}_{0}, \mathcal{P}(\mathbb{N}_{0})). Koristeći Beppo-Levijev teorem, definicijsko svojstvo niza iteracija primijenjeno na \lbrace \eta_{n}:n \geq 0\rbrace, korolar 19 (da su \alpha_{n} := \eta_{n}-\eta_{n-1}, n\geq 1, nezavisne i jednako distribuirane) te relaciju (49) raspišimo (48):
(50)
\begin{split} \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \tau \circ r_{n} \gt n \rbrace &= \sum_{n=0}^{\infty} u^{n} P\lbrace n \in M_{\eta} \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P( \bigcup_{k=0}^{\infty} \lbrace \eta_{k} = n \rbrace )\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} u^{n} \sum_{k=0}^{\infty} P\lbrace \eta_{k} = n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\mathbb{N}_{0}}f_{n} d\nu \\ &= \int_{\mathbb{N}_{0}} \sum_{n=0}^{\infty}f_{n} d\nu = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(k)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb{E}[u^{\eta_{k}}] = \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb{E}[u^{\alpha_{1}+...+\alpha_{k}}] = \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb{E}[u^{\eta}]^{k}. \end{split}

Iz (17) i (20) slijedi tvrdnja (45). Budući da je u \in (0,1) slijedi 1-u^{\eta} \gt 0. Dakle, vrijedi \mathbb{E}[u^{\eta}] \in (0,1). Slijedi:
(51)
\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}[u^{\eta}]^{n} = \frac{1}{1-\mathbb{E}[u^{\eta}]}.

Stavimo: p_{k} = P\lbrace \tau = k \rbrace, k \in N_{0}. Definirajmo nove funkcije f_{n} na \mathbb{N}_{0} na sljedeći način:
f_{n}(k) := \begin{cases} u^{n}p_{k} &, k \le n \\ 0 &, k \gt n \end{cases} \quad k \in \mathbb{N}_{0}.

Tada iz Beppo-Levijevog teorema i (49) slijedi:
(52)
\begin{split} \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}P\lbrace \tau \gt n \rbrace &= \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} u^{n}p_{k} = \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\mathbb{N}_{0}} f_{n} d\nu \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} - \int_{\mathbb{N}_{0}}\sum_{n=0}^{\infty} f_{n} d\nu = \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} - \sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{n=0}^{\infty} f_{n})(k)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} - \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} u^{n}p_{k} = \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} - \sum_{k=0}^{\infty} u^{k}p_{k} \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}\\ &= \frac{1}{1-u} - (\sum_{k=0}^{\infty} u^{k}p_{k})\frac{1}{1-u} = \frac{1}{1-u}(1 - \mathbb{E}[u^{\tau}]). \end{split}

Iz (45), (51) i (52) slijedi (46).

\ \blacksquare

3Slučajna šetnja

Neka je \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Prisjetimo se da je sa S_{0}=0, S_{n} = X_{1}+...+X_{n}, n \in \mathbb{N}, definiran slučajni proces kojeg zovemo slučajna šetnja. Slučajne varijable \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace nazivamo koracima slučajne šetnje. Funkciju distribucije slučajne varijable X_{1} zovemo distribucijom koraka.

Definicija 26. Neka je \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Definiramo:
(53)
\begin{split} &N :=\inf\lbrace n \ge 1 : S_{n} \gt 0 \rbrace \\ &\bar{N}:= \inf\lbrace n \ge 1: S_{n} \le 0\rbrace . \end{split}

N zovemo prvo striktno uzlazno vrijeme, a \bar{N} prvo silazno vrijeme slučajne šetnje \lbrace S_{n} : n \ge 0 \rbrace.


Sa (53) definirana su vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n} := \sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1 \rbrace.


Slično kao što smo u lemi 15 pokazali da je niz slučajnih varijabli \lbrace N_{k}:k\geq 0\rbrace niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N, može se pokazati i analogna tvrdnja za vrijeme zaustavljanja \bar{N}.


Lema 15 i korolar 17 opravdavaju sljedeću tvrdnju iz uvoda:

Teorem 27. Na vjerojatnosnom prostoru:

(\Omega \cap \big(\cap_{i=1}^{n}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big), \mathcal{F} \cap \big(\cap_{i=1}^{n}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big),P\big(\cdot | \lbrace \cap_{i=1}^{n}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big))

vrijedi:
(54)
(N_{k}-N_{k-1},S_{N_{k}}-S_{N_{k-1}}) \buildrel \mathcal{D} \over = (N_{1}, S_{N_{1}}), \quad k \le n, \quad n \in \mathbb{N}.

Lema 28. N je dualno vrijeme zaustavljanja za \bar{N}.

Dokaz.

Neka je n fiksan prirodni broj te \omega_{0} \in \lbrace \omega : n \in M_{N}(\omega) \rbrace, slijedi:
\begin{split} n \in M_{N}(\omega_{0}) &\iff \exists k \in \mathbb{N}, \text{ } n = N_{k}(\omega_{0}) \\ &\iff S_{n}(\omega_{0}) \gt S_{j}(\omega_{0}), \quad j = 0,1,...,n-1\\ &\iff S_{n-j}(r_{n}\omega_{0}) \gt 0, \quad \text{ } j = 0,1,...,n-1\\ &\iff S_{j}(r_{n}\omega_{0}) \gt 0, \quad \quad \text{ } j = 1,2,...,n \\ &\iff n \lt \bar{N} \circ r_{n}(\omega_{0})\\ &\iff \omega_{0} \in \lbrace \omega: n \lt \bar{N} \circ r_{n}(\omega) \rbrace \end{split}

\ \blacksquare

4Wiener-Hopfova faktorizacija

Neka je (\mathbb{R}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty},P^{'}) vjerojastnosni prostor na kojemu je niz koordinatnih slučajnih varijabli \lbrace X_{n}^{'} : n \ge 1\rbrace nezavisan i jednako distribuiran. Neka je (\Omega^{''}, \mathcal{F}^{''}, P^{''}) vjerojatnosni prostor induciran geometrijskom slučajnom varijablom T^{''} s parametrom p \in (0,1) tako da vrijedi : P\lbrace T \ge n \rbrace = q^{n}, q=1-p. Definiramo:

\begin{split} &(\Omega, \mathcal{F},P) := (\Omega^{'} \times \Omega{''}, \mathcal{F}^{'} \times \mathcal{F}^{''}, P^{'} \times P^{''}), \\ & X_{n}(\omega) = X_{n}(\omega^{'}, \omega^{''}) := X_{n}^{'}(\omega^{'}), \quad \omega \in \Omega, n \in \mathbb{N}, \\ & T(\omega) = T(\omega^{'}, \omega^{''}):= T^{''}(\omega^{''}), \quad \omega \in \Omega. \end{split}

Sljedeća lema je tehničkog karaktera, a njen dokaz može se pronaći u [1].

Lema 29. Neka su Y_{1},...,Y_{n} nezavisne, jednako distribuirane, nenegativne cjelobrojne slučajne varijable nezavisne s geometrijskom slučajnom varijablom Y. Tada vrijedi:
(55)
P\lbrace Y \ge Y_{1}+...+Y_{n}\rbrace = P\lbrace Y \ge Y_{1}\rbrace ^{n}.


Sljedeća lema je svojevrsno poopćenje leme 24.

Lema 30. Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Vrijedi:
(56)
\sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=1}^{L(\eta,T)} X_{i}.

Dokaz. Iz korolara 24 slijedi:
(57)
\sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=L(\tau,n)+1}^{n} X_{i}, \quad n \in \mathbb{N}_{0}.

Budući da su slučajne varijable L(\tau,n) i L(\eta,n)\mathcal{F}_{n}-izmjerive za n \in \mathbb{N} slijedi da su nezavisne sa slučajnom varijablom T. Iz (57) slijedi:
\begin{split} P\lbrace \sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T} X_{i} \le x \rbrace &= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} P\lbrace \sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \le x, T=n, L(\tau,n) = k \rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} P\lbrace \sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \le x, L(\tau,n) = k \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=L(\tau,n)+1}^{n} X_{i} \le x \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \le x \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \le x, T=n\rbrace = P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,T)} X_{i} \le x \rbrace , \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
\ \blacksquare


Za vrijeme zaustavljanja \gamma definiramo:

(58)
H_{\gamma,q}(x) := P\lbrace S_{\gamma} \le x, \gamma \le T \rbrace , \quad x \in \mathbb{R}.

Sljedeća lema nam je potrebna kako bi dokazali lemu 32, a njen dokaz može se pronaći u [1].

Lema 31. Neka je \lbrace \gamma(i) : i \ge 0\rbrace proces iteracija generiran vremenom zaustavljanja \gamma. Za x_{i} \in \mathbb{R}, i=1,...k, k \in \mathbb{N} vrijedi:
P(\bigcap_{i=1}^{k} \lbrace S_{\gamma(i)} - S_{\gamma(i-1)} \le x_{i} \rbrace , \gamma(k) \le T) = \prod_{i=1}^{k} H_{\gamma,q}(x_{i}).

Lema 32. Neka je \gamma vrijeme zaustavljanja. Vrijedi:
(59)
P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}X_{i} \le x\rbrace = \sum_{k=0}^{\infty}H_{\gamma,q}^{k*}(x)(1-P\lbrace \gamma \le T\rbrace ), \quad x \in \mathbb{R}.


Dokaz. Iz leme 31 koristeći korolar 19 i lemu 30 dobivamo:
(60)
P(\bigcap_{i=1}^{k}\lbrace S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)} \le x_{i} \rbrace | \gamma(k) \le T) = \prod_{i=1}^{k}\frac{H_{\gamma,q}(x_{i})}{P\lbrace \gamma \le T\rbrace }, \quad k \in \mathbb{N}.

Iz korolara 19 slijedi da su slučajne varijable S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)}, i=1,...,k nezavisne i jednako distribuirane na vjerojatnosnom prostoru:
(\lbrace \gamma(k) \le T\rbrace , \mathcal{F} \cap \lbrace \gamma(k) \le T\rbrace , P\lbrace \cdot | \gamma(k) \le T \rbrace ), \quad k \in \mathbb{N}.

Dakle, iz (60) slijedi da je distribucija slučajne varijable S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)} dana sa:
(61)
G(x)=\frac{H_{\gamma,q}(x)}{P\lbrace \gamma \le T\rbrace },\quad x \in \mathbb{R}.

Budući da je S_{\gamma(k)}=\sum_{i=1}^{k}(S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)}), iz relacija (17) i (61) slijedi:
\begin{split} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}&X_{i} \le x\rbrace = \sum_{k=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{\gamma(k)}X_{i} \le x, \gamma(k) \le T \lt \gamma(k+1) \rbrace \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\big( P\lbrace S_{\gamma(k)} \le x, \gamma(k) \le T\rbrace - P\lbrace S_{\gamma(k)} \le x, \gamma(k+1) \le T\rbrace \big)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\big( H_{\gamma,q}^{k*}(x) - H_{\gamma,q}^{k*}(x)P\lbrace \gamma \le T\rbrace \big)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}H_{\gamma,q}^{k*}(x)(1-P\lbrace \gamma \le T\rbrace ). \end{split}
\ \blacksquare


Dokaz sljedeće leme može se pronaći u [1].

Lema 33. Neka je \gamma vrijeme zaustavljanja. Tada su slučajne varijable:
\sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}X_{i},\quad \sum_{i=L(\gamma,T)+1}^{T}X_{i}
nezavisne.


Lema 33 posljednji je rezultat koji nam je potreban kako bi dokazali Wiener-Hopfovu faktorizaciju te ujedno i prvi korak u dokazu. Budući da smo dokazali sve potrebne rezultate, dokaz Wiener-Hopfove faktorizacije ići će poprilično glatko.

Teorem 34. [Wiener-Hopf] Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Funkciju koraka slučajne šetnje F možemo faktorizirati na sljedeći način:
(62)
\delta-qF = (\delta - H_{\tau,q})*(\delta-H_{\eta,q}).

Dokaz.

Vrijedi:
(63)
S_{T} = \sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i} + \sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T}X_{i}.

Iz (63), koristeći lemu 33 i relaciju (14) dobivamo:
(64)
F_{S_{T}} = F_{\sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i}} * F_{\sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T}X_{i}}.

Iz (64) koristeći lemu 30 dobivamo:
(65)
F_{S_{T}} = F_{\sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i}} * F_{\sum_{i=1}^{L(\eta,T)}X_{i}}.

Iz (65) primjenjujući lemu 32 dobivamo:
(66)
\begin{split} F_{S_{T}} = \big(\sum_{n=0}^{\infty}H_{\tau,q}^{n*}(1-P\lbrace \tau \le T\rbrace )\big) * \big(\sum_{n=0}^{\infty}H_{\eta,q}^{n*}(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace )\big). \end{split}

Uvedimo oznake:
\begin{split} &C_{\tau}(x) := P\lbrace S_{\tau} \le x | \tau \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \quad q_{\tau} := P\lbrace \tau \le T\rbrace = 1 - p_{\tau}, \\ &C_{\eta}(x) := P\lbrace S_{\eta} \le x | \eta \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \quad q_{\eta} := P\lbrace \eta \le T\rbrace = 1 - p_{\eta}. \end{split}

Iz činjenice da vrijedi:
q_{\tau}C_{\tau} = H_{\tau,q}, \quad q_{\eta}C_{\eta} = H_{\eta,q},

iz (14) slijedi:
(67)
\begin{split} &\sum_{n=0}^{\infty}H_{\tau,q}^{n*}(1-P\lbrace \tau \le T\rbrace ) = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*}, \\ & \sum_{n=0}^{\infty}H_{\eta,q}^{n*}(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace ) = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}. \end{split}

Iz (66) i (67) slijedi:
(68)
F_{S_{T}} = (\sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*}) * ( \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}).

S druge strane, iz korolara 8 i nezavisnosti slučajne varijable T sa slučajnom šetnjom slijedi:
(69)
\begin{split} F_{S_{T}}(x) &= P\lbrace S_{T} \le x\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace S_{n} \le x, T=n \rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace S_{n} \le x\rbrace P\lbrace T=n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} pq^{n}F^{n*}(x), \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (68) i (69) slijedi:
(70)
\sum_{n=0}^{\infty} pq^{n}F^{n*} = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*} * \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}.

Izraz (70) konvoluiramo sa \delta - qF. Iz asocijativnosti konvolucije i propozicije 10 slijedi:
(71)
p\delta = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*} * \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*} * (\delta - qF).

Izraz (71) konvoluiramo redom sa \delta-q_{\tau}C_{\tau} i \delta-q_{\eta}C_{\eta}. Iz komutativnosti i asocijativnosti konvolucije te propozicije 10 slijedi:
(72)
p(\delta-q_{\tau}C_{\tau})*(\delta-q_{\eta}C_{\eta}) = p_{\tau}p_{\eta}(\delta - qF).

Budući da su \tau i T nezavisne slučajne varijable, a q \in(0,1), slijedi:
(73)
\begin{split} P\lbrace \tau \le T\rbrace &= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n,n \le T\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace P\lbrace n \le T\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace q^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace q^{n} + q^{\infty}P\lbrace \tau = \infty\rbrace \\ &= \mathbb{E}[q^{\tau}]. \end{split}

Ista tvrdnja vrijedi i za \eta. Iz (73) i propozicije 25 slijedi:
(74)
p_{\tau}p_{\eta} = (1-P\lbrace \tau \le T\rbrace )(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace ) = (1-\mathbb{E}[q^{\tau}])(1-\mathbb{E}[q^{\eta}]) = 1-q=p.

Iz (72) i (74) slijedi tvrdnja teorema.

\ \blacksquare

5Baxterove jednakosti

U ovom poglavlju primjenom Wiener-Hopfove faktorizacije na dualna vremena zaustavljanja N i \bar{N} dokazujemo Baxterove jednakosti. Prije nego li iskažemo Baxterov teorem potrebno je dokazati nekoliko lema. Označimo:

\begin{split} &H_{q}(x) := P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \\ &\bar{H}_{q}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x, \bar{N} \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz nezavisnosti slučajne varijable T sa slučajnim varijablama \lbrace X_{n}:n\ge 1\rbrace slijedi:

(75)
\begin{split} H_{q}(x) = P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace &= \sum_{n=1}^{\infty} P\lbrace S_{n} \le x, n \le T, N=n\rbrace \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} P\lbrace S_{n} \le x, N=n\rbrace q^{n}, \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (75) primjenom relacije (27) slijedi:

(76)
\begin{split} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dH_{q}(x) &= \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} d(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}P\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace )(x) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f i proizvoljan n \in \mathbb{N} vrijedi:

(77)
\int_{\lbrace n\rbrace \times (0,\infty)} f(x) dF_{(N,S_{N})}(y,x) = \int_{(0,\infty)}f(x) dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x).

u smislu da ako jedan od integral u (77) postoji da tada postoji i drugi i da su jednaki. Koristeći (77) i teorem o dominiranoj konvergenciji kao i činjenicu da je na skupu \lbrace N=n\rbrace, S_{n} \gt 0, n \in \mathbb{N}, slijedi:

(78)
\begin{split} \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] &= \mathbb{E}[\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }] = \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\mathbb{E}[ e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{\Omega} e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }dP\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{\lbrace n\rbrace \times (0,\infty)} e^{i \zeta x} dF_{(N,S_{N})}(y,x) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x}dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (76) i (78) slijedi:

(79)
\begin{split} &\mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dH_{q}(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}, \\ & \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}] = \int_{(-\infty,0]} e^{i \zeta x} d\bar{H}_{q}(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Druga jednakost u (79) pokazuje se analogno kao prva.

Lema 35. Vrijedi:
(80)
\begin{split} &\hat{H}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \quad \zeta \in \mathbb{R},\\ &\hat{\bar{H}}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}], \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Dokaz. Budući da je H_{q}(x) = 0 za x \le 0 iz relacije (9) slijedi da je mjera generirana sa H_{q} koncentrirana na (0,\infty) pa je \int_{(-\infty,0]} e^{i\zeta x} dH_{q}(x)=0. Iz relacije (79) slijedi:
\hat{H_{q}}(\zeta) = \int_{\mathbb{R}} e^{i\zeta x} dH_{q}(x) = \int_{(0,\infty)} e^{i\zeta x} dH_{q}(x) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Druga jednakost u (79) pokaže se analogno koristeći činjenicu da je mjera generirana sa \bar{H_{q}} koncentrirana na (-\infty,0].
\ \blacksquare

Lema 36. Neka je G funkcija distribucije te neka je q \in (0,1), p=1-q. Vrijedi:
(81)
\log \frac{p}{1-q\hat{G}(\zeta)} = \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}G^{n*})(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Dokaz. Budući da je |\hat{G}(\zeta)| \le 1, \zeta \in \mathbb{R}, te |q| \lt 1 slijedi |\hat{G}(\zeta)q| \lt 1. Razvojem u Taylorov red dobivamo:
(82)
\begin{split} \log \frac{p}{1-q\hat{G}(\zeta)} &= \log(1-q) - \log(1-q\hat{G}(\zeta)) \\ &= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\hat{G}^{n}(\zeta). \end{split}

Budući da iz korolara 8 slijedi da je G^{n*} funkcija distribucije za n \in \mathbb{N}, iz propozicije 9 i relacije (27) slijedi:
(83)
\begin{split} -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\hat{G}^{n}(\zeta) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \int_{\mathbb{R}}(-1)dG^{n*}(x) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \int_{\mathbb{R}} e^{i \zeta x}dG^{n*}(x) \\ &= \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}G^{n*})(x). \end{split}

Iz (82) i (83) slijedi tvrdnja leme.
\ \blacksquare


Baxterove jednakosti izražavaju \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] u terminima funkcija distribucije F^{n*}, n \in \mathbb{N}, te predstavljaju značajan korak pri određivanju distribucije slučajnog vektora (N,S_{N}).

Teorem 37.[Baxter] Za 0 \lt q \lt 1, \zeta \in \mathbb{R} vrijedi:
(84)
\begin{split} & 1 - \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace , \\ & 1 - \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(-\infty,0]} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace . \end{split}

Dokaz.

Uvedimo oznake:
\begin{split} &H_{q}(x) := P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace , q_{+} := P\lbrace N \le T\rbrace , p_{+} := 1-q_{+}, \\ &\bar{H}_{q}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x, \bar{N} \le T\rbrace , q_{-} := P\lbrace \bar{N} \le T\rbrace , p_{-} := 1-q_{-}, \\ & C_{+}(x) := P\lbrace S_{N} \le x | N \le T\rbrace = H_{q}(x)/q_{+}, \\ & C_{-}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x | \bar{N} \le T\rbrace = \bar{H}_{q}(x)/q_{-}. \end{split}

Budući da iz leme 28 slijedi da su N i \bar{N} dualna vremena zaustavljanja, iz teorema 34 slijedi:
(85)
\delta-qF = (\delta - H_{q})*(\delta-\bar{H}_{q}).

Također, budući da je 0\lt q,q_{+},q_{-} \lt 1, analogno kao (74) pokaže se:
(86)
p=p_{+}p_{-}

Iz relacija (7), (21) i (85), teorema 4 te definicije 1.6 slijedi:
(87)
1-q\hat{F}(\zeta) = (1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta))(1-q_{-}\hat{C}_{-}(\zeta)), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Budući da su F,C_{+},C_{-} funkcije distribucije i 0\lt q,q_{+},q_{-} \lt 1, iz relacija (87) i (86) slijedi:
(88)
\frac{p}{1-q\hat{F}(\zeta)} = \bigg( \frac{p_{+}}{1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)} \bigg)\bigg( \frac{p_{-}}{1-q_{-}\hat{C}_{-}(\zeta)} \bigg), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Logaritmiranjem relacije (88) i primjenom leme 36 slijedi:
(89)
\begin{split} &\int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) = \\ &=\int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*})(x) + \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x) \\ &= \int_{\mathbb{R}}(e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x),\quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz korolara 8, relacija (26) i (86) slijedi:
(90)
\begin{split} \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}(\mathbb{R}) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\mu_{F^{n*}}(\mathbb{R}) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \\ &= -\log(1-q) =-\log(p) = -\log(p_{+}p_{-}) \\ &= -\log(p_{+}) - \log(p_{-}) = -\log(1-q_{+}) - \log(1-q_{-})\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}\mu_{C_{+}^{n*}}(\mathbb{R})+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}\mu_{C_{-}^{n*}}(\mathbb{R}) \\ &= (\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}\mu_{C_{+}^{n*}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}\mu_{C_{-}^{n*}})(\mathbb{R}). \end{split}

Budući da je \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}(\mathbb{R}) = -\log(1-q) \lt \infty, iz relacija (89) i (90) slijedi:
(91)
\int_{\mathbb{R}} e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) = \int_{\mathbb{R}}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Iz (91) i teorema jedinstvenosti karakterističnih funkcija slijedi:
(92)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*}.

Budući da je C_{+}(x)=0 za x \le 0, iz relacije (9) slijedi da je mjera generirana s funkcijom distribucije C_{+} koncentrirana na (0,\infty). Stoga iz korolara 8 slijedi da je i mjera generirana funkcijom distribucije C_{+}^{n*} (n \ge 2) koncentrirana na (0,\infty) pa je i mjera generirana sa \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*} koncentrirana na (0,\infty). Slično se pokaže da je mjera generirana sa \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*}koncentrirana na (-\infty,0]. Iz relacija (26) i (92) slijedi:
(93)
\begin{split} \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}\big((0,\infty)\big) &= \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}}\big((0,\infty)\big) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} \mu_{C_{+}^{n*}}\big((0,\infty)\big) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} = -\log(1-q_{+}) = -\log p_{+}. \end{split}

Iz leme 36 i relacije (93) slijedi:
(94)
\begin{split} \log\frac{p_{+}}{1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)} &= \int_{(0,\infty)} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*})(x) \\ &=\int_{(0,\infty)} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x)\\ &=\int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) - \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}\big((0,\infty)\big) \\ &= \int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) + \log p_{+},\quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (94) slijedi:
(95)
-\log(1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)) = \int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x),\quad \zeta \in \mathbb{R}.

Budući da iz relacije (21) slijedi \hat{H}_{q}(\zeta)=q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta), \zeta \in \mathbb{R}, a iz leme 35 slijedi \hat{H}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \zeta \in \mathbb{R}, primjenom eksponencijalne funkcije na relaciju (95) te koristeći relaciju (27) dobivamo:
1 - \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace , \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Druga jednakost dobiva se slično kao prva polazeći od relacije (92).

\ \blacksquare


Bibliografija
[1] Marijo Alilović, Slučajne šetnje i Wiener-Hopfova faktorizacija, diplomski rad, PMF Matematički odsjek Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2017.
[2] Priscilla Greenwood, Moshe Shaked , Dual pairs of stopping times for random walk, Annals of Probability, 1978., Vol. 6, No. 4, 644.-650.
[3] Sidney I. Resnick, Adventures in Stohastic Processes, Birkhaeuser, Boston, 1992.
 

 

Broj 35

Poštovani,

broj35. časopisa math.e je u postupku objavljivanja. U ovom broju donosimo:

  1. Vizualni i kratki dokazi-prilog kreativnoj  nastavi matematike (3.dio) autora Ivane Marušić i Darka Veljana
  2. O zlatnom rombu. Autori Bojan Kovačić i Mirela Katić Žlepalo
  3. Wiener-Hopfova faktorizacija, autora Marija Alilovića i Miljenka Huzaka

Želim vam ugodno čitanje.

 

Luka Grubišić