Uvod

Osnovni matematički objekt koji ćemo proučavati je slučajna šetnja na \mathbb{R}. Neka je \lbrace X_{n} : n \ge 1 \rbrace niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (\Omega,\mathcal{F},P). Tada za slučajni proces \lbrace S_{n} : n \ge 0 \rbrace definiran sa:

kažemo da je slučajna šetnja na \mathbb{R}. Neka je:

N_{1} je prvi trenutak u kojem je vrijednost slučajne šetnje strogo pozitivna, a S_{N_{1}} je vrijednost slučajne šetnje u trenutku N_{1}. Ako stavimo N_{0} = 0 tada N_{1} možemo promatrati kao prvo vrijeme u kojem je prirast slučajne šetnje strogo pozitivan od trenutka N_{0}, tj:

Kao interesantno pitanje vezano za slučajnu šetnju nameće se pitanje distribucije slučajnog vektora (N_{1}-N_{0},S_{N_{1}}-S_{N_{0}}). Nadalje, na izmjerivom prostoru:
 

možemo definirati:

N_{2} je prvi trenutak od trenutka N_{1} u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a S_{N_{2}} - S_{N_{1}} je prirast slučajne šetnje od trenutka N_{1} do trenutka N_{2}. Ponovno kao interesantno pitanje nameće se poznavanje distribucije slučajnog vektora (N_{2}-N_{1}, S_{N_{2}}-S_{N_{1}}). Potpuno analogno na izmjerivom prostoru:

možemo definirati N_{k} = \inf\lbrace n \gt N_{k-1} : S_{n} \gt S_{N_{k-1}} \rbrace, uz dogovor \inf\emptyset = \infty, k \ge 1.

N_{k} je prvo vrijeme od trenutka N_{k-1} u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a S_{N_{k}}-S_{N_{k-1}} je prirast slučajne šetnje od trenutka N_{k-1} do trenutka N_{k}. Zanima nas distribucija slučajnog vektora (N_{k}-N_{k-1},S_{N_{k}}-S_{N_{k-1}}). Pokazat ćemo da za n \in \mathbb{N} na vjerojatnosnom prostoru:
 

vrijedi:

pa pitanje distribucije slučajnog vektora (N_{1}, S_{N_{1}}) postaje jedno od najvažnijih pitanja vezanih za slučajnu šetnju. Glavni rezultat koji vodi ka određivanju distribucije slučajnog vektora (N_{1}, S_{N_{1}}) je Baxterov teorem u čijem dokazu ključnu ulogu igra Wiener-Hopfova faktorizacija.

Budući da su mjere \sigma-konačne, iz definicije konvolucije primjenom Fubinijevog teorema odmah slijedi:

Iz (2) koristeći Beppo-Levijev teorem i \sigma-aditivnost mjere \mu pokaže se da je konvolucija \mu*\nu mjera na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Također, \sigma-konačnost, odnosno konačnost mjera \mu i \nu povlači \sigma-konačnost, odnosno konačnost mjere \mu*\nu.


Definirajmo funkciju \Delta:\mathcal{B} \to \mathbb{R} na sljedeći način:

Sa (3) definirana je mjera na \mathcal{B}. Za konačnu mjeru \chi na izmjerivom prostoru (\mathbb{R},\mathcal{B}) definiramo Fourierovu transformaciju od \chi kao kompleksnu funkciju realne varijable:

Konačnost mjera u definiciji je bitna jer izraz \infty - \infty nije definiran.


Za \alpha = \mu-\nu, gdje su \mu i \nu konačne mjere na (\mathbb{R},\mathcal{B}), definiramo:

gdje je f Borelova funkcija integrabilna u odnosu na \mu i \nu. Iz (4) i (6) slijedi:

Lebesgueovom indukcijom pokaže se da je integral u odnosu na zbroj mjera jednak zbroju integrala, tj.:

u smislu da ako jedan od integrala postoji, tada postoji i drugi te su jednaki.

Ako je funkcija F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} monotono rastuća te neprekidna zdesna tada postoji jedinstvena Lebesgue-Stieltjesova mjera \mu_{F} na \mathcal{B} takva da vrijedi:

Relacija (9) opravdava izraze oblika: F generira mjeru \mu_{F}. Integriranje na prostoru mjere (\mathbb{R},\mathcal{B},\mu_{F}) integrabilne Borelove funkcije f često označujemo \int_{\mathbb{R}} f dF, a oznaku interpretiramo na sljedeći način:

Neka je funkcija F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ograničena, rastuća i neprekidna zdesna. Tada definiramo:

Pokaže se da je funkcija F*G nenegativna, ograničena, rastuća i neprekidna zdesna te stoga generira mjeru \mu_{F*G}, a zbog relacije (12) slijedi \mu_{F*G}=\mu_{F}*\mu_{G}. Također, zbog relacije (12), svojstva konvolucije mjera iz teorema 2 preslikavaju se na svojstva konvolucije rastućih i zdesna neprekidnih funkcija. Ulogu neutralnog elementa ima funkcija koju generira mjera \Delta, a to je funkcija F_{\Delta} = {1}_{[0,\infty)}. Funkciju F_{\Delta} označavamo sa \delta.

Zbog relacije (13), svojstva konvolucije iz teorema 4 preslikavaju se na svojstva operacije definirane sa (13). Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable sa funkcijama distribucije F i G. Iz Fubinijevog teorema i (10) slijedi:

Dakle, konvolucija funkcija distribucije je funkcija distribucije zbroja dviju nezavisnih slučajnih varijabli kojima su faktori konvolucije funkcije distribucije. Induktivno se ta tvrdnja može generalizirati.

Neka je F funkcija distribucije. Zbog korolara 7 dobro je definirano potenciranje:

Neka je funkcija F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} rastuća i neprekidna zdesna te neka je \mu_{F} pripadna generirana mjera. Neka je q\gt 0. Budući da je \mu_{qF} = q\mu_{F}, Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f vrijedi:

u smislu da ako jedan od integrala u (19) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki. Jednakost (19) pomoću (10) možemo zapisati na sljedeći način:

Iz (20) slijedi:

Neka je \lbrace \mu_{n}:n \ge 1\rbrace niz mjera na (\mathbb{R},\mathcal{B}). Definiramo:

Može se pokazati da je sa (24) zadana mjera na izmjerivom prostoru (\mathbb{R},\mathcal{B}). Sljedeća propozicija je generalizacija tvrdnje (8).

Neka je \lbrace F_{n} : n \ge 1\rbrace niz rastućih funkcija koje su neprekidne zdesna. Neka je \lbrace q_{n}: n \ge 1\rbrace niz nenegativnih realnih brojeva. Za svaki n \in \mathbb{N} sa \mu_{F_{n}} označimo pripadnu generiranu mjeru. Može se pokazati da je funkcija \sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n} rastuća te neprekidna zdesna pa stoga generira pripadnu mjeru \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}q_{n}F_{n}}. Također, može se pokazati:

Iz (20), (25) te (26) slijedi:

Neka je \lbrace X_{n}: n \ge 1 \rbrace niz slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (\Omega,\mathcal{F},P). Neka je \alpha konačno vrijeme zaustavljanja (P\lbrace \alpha \lt \infty\rbrace =1) obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n}:=\sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1 \rbrace. Budući da je \mathcal{F}_{n} = (X_{1},...,X_{n})^{-1}(\mathcal{B}^{n}), za svaki n \in \mathbb{N} postoji B_{n} \in B^{n} takav da vrijedi:

Definiramo: \alpha(0) = 0, \alpha(1)=\alpha, \beta(1) = \alpha(1). Neka je \alpha(2) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (\Omega, \mathcal{F}) sa svojstvom:

Definiramo: \beta(2) := \beta(1) + \alpha(2). Za k \geq 1 i zadano \beta(k): neka je \alpha(k+1) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (\Omega, \mathcal{F}) sa svojstvom:

Definiramo: \beta(k+1) := \beta(k) + \alpha(k+1). Slijedi: \beta(k) = \alpha(1) + ... + \alpha(k), k \ge 1, uz dogovor \beta(0) = 0.

U uvodu smo na izmjerivom prostoru (\Omega \cap \big(\cap_{i=1}^{k-1}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big), \mathcal{F} \cap \big(\cap_{i=1}^{k-1}\lbrace N_{i} \lt \infty \rbrace \big)) definirali:

gdje je:

Budući da je:

slijedi da je N vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},...,X_{n}),n \in \mathbb{N}\rbrace pa postoji B_{n} \in \mathcal{B}^{n} takav da je:

Iz (31) i (32) slijedi:

za svaki n \in \mathbb{N}. Iz (33) slijedi:

Vidimo da slučajna varijabla N_{k}-N_{k-1} zadovoljava jednakost (30) pa stoga slijedi da je niz slučajnih varijabli \lbrace N_{k} : k \ge 0\rbrace niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N. Dakle, dokazali smo sljedeću lemu.

Sljedeći teorem kaže da se niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli pomoću konačnog vremena zaustavljanja razlaže na nezavisne i jednako distribuirane slučajne elemente. Dokaz teorema može se pronaći u [1].

U slučaju da \alpha nije gotovo sigurno konačno vrijeme zaustavljanja, tj. P\lbrace \alpha = \infty \rbrace \gt 0, iz teorema 16 slijedi da su:
 

nezavisni i jednako distribuirani slučajni elementi na vjerojatnosnom prostoru:

Posljedice teorema 16 su značajne, a iznosimo ih u sljedeća tri korolara čiji dokazi se mogu pronaći u [1].

Neka je \mathcal{H} = \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace slučajan proces, gdje je \lbrace X_{n}:n \geq 1\rbrace niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (\mathbb{R}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty},P). Ovdje su:

Neka je \alpha vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n} := \sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1\rbrace. Neka je \lbrace \beta(n): n \ge 0\rbrace pripadni niz iteracija. Definiramo:

M_{\alpha} zovemo slučajni skup niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja \alpha, a M_{\alpha}(\omega) nije ništa drugo nego vrijednosti niza iteracija \lbrace \beta(n) : n \ge 0\rbrace izračunatih u \omega. Definirajmo preslikavanja r_{n}: \mathbb{R}^{\infty} \to \mathbb{R}^{\infty} za n \in \mathbb{N} na sljedeći način:

Neka je \omega fiksirana točka. Tada je n vrijednost neke varijable niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja \tau izračunate u točki \omega ako i samo ako gledajući prvih n trenutaka promatranog procesa unatrag (obzirom na točku \omega) ne opažamo fenomen kojeg prati vrijeme zaustavljanja \eta.


Budući da je definicija dualnosti komplicirana, od izuzetne je važnosti naći neku jednostavniju karakterizaciju. U tu svrhu za fiksni n \in \mathbb{N} definiramo:

Iz korolara 19 slijedi da je niz iteracija proces obnavljanja pa L(\tau,n) možemo promatrati kao vrijeme početka zadnjeg obnavljanja do trenutka n koje nije završilo.


Sljedeći teorem daje jednostavniju karakterizaciju dualnosti i ključan je za daljnja razmatranja. Dokaz teorema moguće je pronaći u [2].

Prva značajna i pomalo neočekivana posljedica teorema 21 kaže da je definicija dualnosti simetrična.

Iz nezavisnost i jednake distribuiranosti varijabli \lbrace X_{n}:n \ge 1\rbrace slijedi:

Iz relacije (39) dobivamo:

Direktna posljedica teorema 21 i jednakosti (40) je sljedeći korolar.

Neka je \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Prisjetimo se da je sa S_{0}=0, S_{n} = X_{1}+...+X_{n}, n \in \mathbb{N}, definiran slučajni proces kojeg zovemo slučajna šetnja. Slučajne varijable \lbrace X_{n} : n \ge 1\rbrace nazivamo koracima slučajne šetnje. Funkciju distribucije slučajne varijable X_{1} zovemo distribucijom koraka.

Sa (53) definirana su vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju \lbrace \mathcal{F}_{n} := \sigma(X_{1},...,X_{n}) : n \ge 1 \rbrace.


Slično kao što smo u lemi 15 pokazali da je niz slučajnih varijabli \lbrace N_{k}:k\geq 0\rbrace niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N, može se pokazati i analogna tvrdnja za vrijeme zaustavljanja \bar{N}.


Lema 15 i korolar 17 opravdavaju sljedeću tvrdnju iz uvoda:

Neka je (\mathbb{R}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty},P^{'}) vjerojastnosni prostor na kojemu je niz koordinatnih slučajnih varijabli \lbrace X_{n}^{'} : n \ge 1\rbrace nezavisan i jednako distribuiran. Neka je (\Omega^{''}, \mathcal{F}^{''}, P^{''}) vjerojatnosni prostor induciran geometrijskom slučajnom varijablom T^{''} s parametrom p \in (0,1) tako da vrijedi : P\lbrace T \ge n \rbrace = q^{n}, q=1-p. Definiramo:

Sljedeća lema je tehničkog karaktera, a njen dokaz može se pronaći u [1].

Sljedeća lema je svojevrsno poopćenje leme 24.

Za vrijeme zaustavljanja \gamma definiramo:

Sljedeća lema nam je potrebna kako bi dokazali lemu 32, a njen dokaz može se pronaći u [1].

Dokaz sljedeće leme može se pronaći u [1].

Lema 33 posljednji je rezultat koji nam je potreban kako bi dokazali Wiener-Hopfovu faktorizaciju te ujedno i prvi korak u dokazu. Budući da smo dokazali sve potrebne rezultate, dokaz Wiener-Hopfove faktorizacije ići će poprilično glatko.

U ovom poglavlju primjenom Wiener-Hopfove faktorizacije na dualna vremena zaustavljanja N i \bar{N} dokazujemo Baxterove jednakosti. Prije nego li iskažemo Baxterov teorem potrebno je dokazati nekoliko lema. Označimo:

Iz nezavisnosti slučajne varijable T sa slučajnim varijablama \lbrace X_{n}:n\ge 1\rbrace slijedi:

Iz (75) primjenom relacije (27) slijedi:

Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f i proizvoljan n \in \mathbb{N} vrijedi:

u smislu da ako jedan od integral u (77) postoji da tada postoji i drugi i da su jednaki. Koristeći (77) i teorem o dominiranoj konvergenciji kao i činjenicu da je na skupu \lbrace N=n\rbrace, S_{n} \gt 0, n \in \mathbb{N}, slijedi:

Iz (76) i (78) slijedi:

Druga jednakost u (79) pokazuje se analogno kao prva.

Baxterove jednakosti izražavaju \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] u terminima funkcija distribucije F^{n*}, n \in \mathbb{N}, te predstavljaju značajan korak pri određivanju distribucije slučajnog vektora (N,S_{N}).