Označimo s \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) algebru svih kompleksnih kvadratnih matrica reda n, a s I jediničnu matricu reda n. Trag matrice A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), u oznaci \text{tr}\,A, definira se kao zbroj njezinih dijagonalnih elemenata;

Preslikavanje A\mapsto \text{tr}\,A je linearan funkcional na prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tj. vrijedi

za sve A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) i sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Također, za A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) vrijedi

gdje smo s A^{T} označili transponiranu, a s A^{*} adjungiranu matricu matrice A. Unitarno slične matrice imaju isti trag, tj. za svaku unitarnu matricu U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) vrijedi

Prema teoremu o Schurovoj dekompoziciji (\cite[teorem 3.3]{Z}), za svaku matricu A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) sa svojstvenim vrijednostima \lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n} postoji unitarna matrica U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) takva da je U^{*}AU gornjotrokutasta matrica čiju dijagonalu čine svojstvene vrijednosti od A; pišemo

Uočimo da je trag matrice jednak zbroju njezinih svojstvenih vrijednosti.

Poznato je da je svaka n\times n kompleksna matrica traga nula unitarno slična matrici čija je glavna dijagonala sastavljena od samih nula ([7]). Također, karakterizacija takvih matrica moguća je u terminima komutatora ([1, 12]). Prisjetimo se, A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) je komutator ako postoje matrice B,C\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) takve da je A=BC-CB. Dakle, u općenitom slučaju vrijedi sljedeći rezultat (čiji dokaz se može naći i u [5]).

U ovom radu dajemo nekoliko karakterizacija kompleksnih matrica traga nula koje su svojstvene samo matricama reda 2. Ove su karakterizacije dobivene uz pomoć Hamilton–Cayleyjevog teorema, koji se smatra jednim od najznačajnijih rezultata u linearnoj algebri. O raznim interesantnim primjenama ovog teorema na kvadratne matrice reda 2 (npr. pri rješavanju binomnih matričnih jednadžbi, Pellovih diofantskih jednadžbi, pri određivanju općih članova nizova definiranih pomoću sustava linearnih rekurzivnih re\-la\-ci\-ja, pri računanju potencija matrica reda 2 u terminima njihovih elemenata i svojstvenih vrijednosti i dr.) zainteresirani čitatelj može više pronaći u [10] (v. također [9]).

Karakteristični (svojstveni) polinom matrice A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) definira se kao

gdje smo s \det(\cdot) označili determinantu matrice. Karakteristični polinom k_{A} ima n kompleksnih nultočaka, i to su karakteristične (svojstvene) vrijednosti matrice A. Za kvadratnu matricu

karakteristični polinom glasi

Prema Hamilton–Cayleyjevom teoremu svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom; stoga vrijedi

Odavde direktno slijedi jedna karakterizacija 2\times 2 matrica traga nula:

Za kvadratnu matricu A kažemo da je nilpotentna ako je A^{k}=0 za neki k\in\mathbb{N}. Nilpotentna matrica je singularna. Zaista, ako je A^{k}=0 za neki k\in\mathbb{N}, tada je prema Binet–Cauchyjevom teoremu 0=\det(A^{k})=(\det A)^{k} pa je \det A=0. Sljedeći rezultat pokazuje da su nilpotentne matrice jedine singularne matrice reda 2 koje imaju trag jednak nuli.

Za matricu A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) kažemo da je skalarna ako je A=\lambda I za neki \lambda\in\mathbb{C}. Za neskalarne matrice reda 2 vrijedi i neka vrsta obrata Hamilton–Cayleyjevog teorema.

Sada imamo još jednu karakterizaciju (neskalarnih) 2\times 2 matrica traga nula.

U nastavku dajemo karakterizaciju 2\times 2 kompleksnih matrica traga nula u terminima Robertsove okomitosti. U tu svrhu najprije uvedimo pojmove koji će nam za to trebati.

U kompleksnom unitarnom prostoru (X,(\cdot,\cdot)) uobičajeno je okomitost dvaju vektora x,y\in X definirati pomoću skalarnog produkta: x\perp y ako je (x,y)=0. Ako je \Vert \cdot\Vert norma inducirana tim skalarnim produktom, tj.

onda se okomitost dvaju vektora unitarnog prostora X može na različite načine iskazati u terminima te norme. Jedna mogućnost je

Zaista, kako je

te

to je \Vert x+\lambda y\Vert =\Vert x-\lambda y\Vert za svaki \lambda\in\mathbb{C} ako i samo ako je \text{Re}(\bar{\lambda}(x,y))=0 za svaki \lambda\in\mathbb{C}. Sada je jasno da (x,y)=0 povlači \Vert x+\lambda y\Vert =\Vert x-\lambda y\Vert za svaki \lambda\in\mathbb{C}. Obratno, ako je \Vert x+\lambda y\Vert =\Vert x-\lambda y\Vert za svaki \lambda\in\mathbb{C}, onda se izborom \lambda=1 dobije \text{Re}(x,y)=0 dok \lambda =i daje \text{Re}(\bar{i}(x,y))=0 odnosno \text{Im}(x,y)=0. Prema tome, (x,y)=0.

Stoga je smisleno okomitost u proizvoljnom kompleksnom normiranom prostoru (X,\Vert \cdot\Vert ) definirati na način da su vektori x,y\in X okomiti ako je \Vert x+\lambda y\Vert =\Vert x-\lambda y\Vert za svaki \lambda\in\mathbb{C}. Takvu definiciju okomitosti dvaju vektora uveo je D. B. Roberts 1934. godine u radu [11]. U daljnjem ćemo Robertsovu okomitost dvaju vektora x,y\in X označavati s x\perp_{R}y. Iz definicije Robertsove okomitosti jasno je da je ovaj tip okomitosti:

Međutim, za razliku od okomitosti inducirane skalarnim produktom, Robert\-so\-va okomitost nije aditivna, tj. iz x\perp_{R} y i x\perp_{R} z ne slijedi nužno x\perp_{R} (y+z), te isto tako iz x\perp_{R} y i z\perp_{R} y ne slijedi nužno (x+z)\perp_{R}y. Ovaj tip okomitosti općenito ne zadovoljava svojstvo egzistencije, u smislu da za svaka dva vektora x,y\in X postoji \lambda\in\mathbb{C} sa svojstvom x\perp_{R} (\lambda x+y). Više o tome zainteresirani čitatelj može naći u npr. radu [3].

Znamo da je prostor \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) kompleksnih kvadratnih matrica reda n unitaran uz skalarni produkt definiran kao

Matrična norma \Vert A\Vert _{F}=(\text{tr}(A^{*}A))^{1/2} na \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) inducirana tim skalarnim produktom naziva se Frobeniusova norma (odnosno Hilbert–Schmidtova nor\-ma). U tom (unitarnom) prostoru se okomitost dviju kvadratnih matrica iskazuje u terminima traga:

Stoga je i matrice traga nula moguće okarakterizirati u terminima okomitosti inducirane ovim skalarnim produktom. Naime,

Prostor \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) je normiran (ali ne i unitaran) s obzirom na matričnu (ope\-ratorsku) normu induciranu euklidskom normom na prostoru \mathbb{C}^{n}. Naime, na unitarnom prostoru \mathbb{C}^{n} snabdjevenom skalarnim produktom

gdje su x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots, y_{n})\in\mathbb{C}^{n}, euklidska norma vektora x=(x_{1},\dots, x_{n})\in\mathbb{C}^{n} definira se kao

Preko standardne ortonormirane baze prostora \mathbb{C}^{n}, algebra \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) poistovjećuje se s algebrom \mathbb{B}(\mathbb{C}^{n}) svih linearnih ope\-ra\-to\-ra koji djeluju na \mathbb{C}^{n}. Pritom vektore prostora \mathbb{C}^{n} pišemo kao jednostupčane matrice. Na \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) uvodi se matrična (operatorska) norma inducirana euklidskom normom na \mathbb{C}^{n};

Ovako definirana matrična norma je unitarno invarijantna, tj. \Vert UAV\Vert =\Vert A\Vert za sve unitarne matrice U,V\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Ova norma ima svojstvo konzi\-stentnosti (submultiplikativnosti), tj. vrijedi \Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \,\Vert B\Vert za sve A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Osim toga, \Vert A^{*}\Vert =\Vert A\Vert te \Vert A^{*}A\Vert =\Vert A\Vert ^{2} za sve A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).

Označimo sa \sigma(A) spektar matrice A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tj. skup svih njezinih svoj\-stve\-nih vrijednosti, a s \rho(A) spektralni radijus matrice A;

Općenito vrijedi \rho(A)\le \Vert A\Vert. Ako je A normalna matrica (tj. vrijedi A^{*}A=AA^{*}), onda je \rho(A)=\Vert A\Vert .

Kvadratna matrica A je pozitivno semidefinitna ako je A hermitska (tj. A^{*}=A) te ako su sve njezine svojstvene vrijednosti nenegativne. Norma pozitivno semidefinitne matrice jednaka je njezinoj najvećoj svojstvenoj vrijednosti. Ako je A\in\mathbb{M}_{2}(\mathbb{C}), tada su svojstvene vrijednosti matrice A nultočke svojstvenog polinoma

a to su brojevi

Stoga je norma pozitivno semidefinitne matrice A\in\mathbb{M}_{2}(\mathbb{C}) jednaka

Budući da je matrica A^{*}A pozitivno semidefinitna, norma te matrice može se računati pomoću (5). Kako je \Vert A\Vert ^{2}=\Vert A^{*}A\Vert , to se norma proizvoljne kompleksne matrice reda 2 također računa primjenom formule (5), tj. vrijedi

Na normiranom prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) snabdjevenom operatorskom normom, može se promatrati Robertsova okomitost dviju matrica: A\perp_{R} B ako je \Vert A+\lambda B\Vert =\Vert A-\lambda B\Vert za svaki \lambda\in\mathbb{C}. Zanima nas može li se 2\times 2 matrice traga nula i u ovom slučaju, kao što je to u slučaju unitarnog prostora \mathbb{M}_{2}(\mathbb{C}) (v. (4)), okarakterizirati u terminima Robertsove okomitosti. Odgovor je potvrdan, kao što pokazuje sljedeći teorem. Teorem je dokazan u radu [2] (v. također [3]), gdje je proučavana Robertsova okomitost elemenata C^{*}-algebri. (čitatelja upućujemo na [4, 6, 8] kao osnovnu literaturu o C^{*}-algebrama.) Ovdje dajemo alternativni (algebarski) dokaz u jednom posebnom slučaju, tj. za elemente C^{*}-algebre kompleksnih matrica reda 2, a koji se temelji na Hamilton–Cayleyjevom teoremu.

Karakterizacija matrica traga nula opisana u teoremu 5 općenito ne vrijedi za matrice reda većeg od 2, kao što pokazuju sljedeći primjeri.

Na kraju dajemo karakterizaciju 2\times 2 regularnih kompleksnih matrica traga nula u terminima Robertsove okomitosti.

Ako je A\in\mathbb{M}_{2}(\mathbb{C}) regularna matrica, tada iz teorema 8 slijedi

Jasno je da (17) ne vrijedi općenito za matrice reda većeg od 2.

Iz (17) i teorema 5 direktno dobivamo sljedeći rezultat za regularne matrice reda 2.

Ključne riječi: matrice, operacije s matricama, sustavi linearnih jednadžbi, matrični kalkulator



Sažetak

Matrice u visokoškolskoj matematici nezaobilazni su dio sadržaja kojeg studenti moraju savladati. Shvaćanje pojma matrica ne predstavlja velik problem za studente kao ni operacije transponiranja, zbrajanja i oduzimanja. Problemi nastaju kod množenja, traženja inverza i rješavanja sustava linearnih jednadžbi primjenom Gaussove metode transformacija. Matrix Reshish je mrežna stranica koja je prilagođena za korištenje putem mobilnih uređaja, a sadrži matrični kalkulator. Kalkulator je koncipiran tako da daje rješenje postavljenog zadatka korak po korak, što uvelike olakšava studentu uvježbavanje rješavanja zadatka.

U brojnim se slučajevima zbog preglednosti podaci zapisuju u tablicama. Ako se s takvim tablicama mogu izvoditi određene računske operacije, onda se one zovu matricama. Zapisivanje podataka pomoću matrica omogućuje kodiranje različitih oblika njihove povezanosti i potom ispitivanje postoji li među određenim objektima neka od mogućih veza. Matrice se između ostalog koriste za zapisivanje i obradu podataka, za različito modeliranje u ekonomici, u kompjutorskoj grafici itd. [str. 69]- [4].

Linearna algebra pomoću matrica omogućuje:

Matrice se mogu množiti samo ako prva od njih ima toliko stupaca koliko druga ima redaka, pri čemu se kao rezultat dobije matrica koja ima redaka kao i prva, a stupaca kao druga matrica. Dakle, matrica C_{(m,p)} koja je umnožak dviju matrica može se dobiti samo ako te dvije matrice imaju oblik A_{\left(m,n\right)} i B_{(n,p)}, to jest

Osnovno pravilo množenja matrica je da na mjesto (i, j) u umnošku matrica dolazi umnožak i-tog retka prve matrice i j-tog stupca druge matrice. Taj umnožak se računa po elementima tako da se pomnoži prvi element i-tog retka s prvim elementom j-tog stupca, drugi element i-tog retka s drugim elementom j-tog stupca itd. Na kraju se vrijednost elementa (i, j) dobije tako da sve te umnoške zbrojimo. To možemo prikazati na sljedeći način:

c_{ij} =\sum _{k=1}^{n}a_{ik} b_{kj} ,i\in \left\lbrace 1,2,3,...,m\right\rbrace ;j\in \left\lbrace 1,2,3,...,n\right\rbrace [str. 199]- [5].

Studenti s lakoćom znaju prepoznati koje matrice mogu množiti, a koje ne. Najčešća greška koju rade kod množenja matrica je da krenu s množenjem i-tog retka prve matrice i j-tog stupca druge matrice za prva dva retka matrice, a zatim nastave množenje tako da stupac množe retkom. Isto tako, često pogriješi kod samog množenja i predznaka umnoška. Kod kvadriranja matrice studenti najčešće svaki element matrice kvadriraju i ne koriste pravilo za umnožak dviju matrica, odnosno

Kod traženja inverza matrice najčešće će se koristiti determinantama, a rijetko kada svođenjem na reducirani oblik pomoću elementarnih transformacija:

koje se koriste u Gaussovom postupku. Elementarnim transformacijama dolazi se do jedinične matrice s lijeve strane proširene matrice. To zahtijeva kreativnost i predviđanje bar dva koraka unaprijed što će se dogoditi s matricom, a studenti najčešće ne znaju ni kako započeti rješavanje zadatka pogotovo ako su svi elementi u prvom stupcu različiti od jedan.

Kalkulatori koje studenti najčešće imaju omogućavaju rješavanje osnovnih računskih operacija s matricama do reda 3\times 3. I oni daju rješenje postavljenog problema bez postupka kojim se došlo do tog rješenja. Upravo zbog toga studenti kalkulatorima i kontrolom rješenja u zbirkama zadataka mogu pronaći samo točno rješenje, ali ako su pogriješili ne mogu pronaći grešku i najčešće odustaju od potrage za rješenjem. Kako bi studenti savladali ishode učenja o matricama i sustavima linearnih jednadžbi, a time i položili predmet kojeg su slušali, može im pomoći matrični kalkulator na Internet stranici http://matrix.reshish.com/ i http://matrix.reshish.com/.

Matrix Reshish [9] je mrežna stranica s besplatnim online matričnim kalkulatorom. Algoritam kojeg koristi Matrix Reshish temelji se na Binet-Cauchyevom teoremu1 i LU rastavu2. Zbog toga je numerički stabilan, a složenost mu je \mathcal{O}=n^{3}. Reshish Matrix kalkulator omogućava izračunavanje svih osnovnih matričnih operacija i metoda koje se koriste za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (tablica 1).

\eject Tablica 1. Popis metoda i operacija nad matricama koje omogućava Reshish Matrix kalkulator
 

Izvor: autori

Matrix Reshish omogućava ne samo rješenje postavljenog problema, nego i detaljan proces rješavanja, korak po korak, u nizu jednostavnih tablica. Ovaj način prikaza rješenja omogućava korištenje ovog alata za učenje i poučavanje. Za svaku metodu i operaciju koja se koristi dano je objašnjenje. Postoji mobilna verzija mrežne stranice, odnosno stranica je prilagođena korištenju na mobilnim uređajima. Sve mogućnosti kalkulatora moguće je koristiti ukoliko postoji Internet veza. Svaka od ovih opcija koje nudi matrični kalkulator vrlo je jednostavan i intuitivan za korištenje kako će se i vidjeti u daljnjem tekstu na primjeru Cramerovog pravila, traženja inverza matrice i množenja matrica.

Zbog lakšeg praćenja načina rješavanja tijekom objašnjavanja korištenja Kalkulatora za Cramerovo pravilo rješavat će se sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice

čija su rješenja x_{1} =2,x_{2} =0 i x_{3} =-1.

Klikom na Cramer's Rule u padajućem izborniku na mrežnoj stranici može se izračunati rješenje sustava linearnih jednadžbi pomoću Cramerovog pravila (slika 1).

Slika 1. Izgled Cramer's Rule Calculator


 

Izvor: autori

Otvaranjem Cramer's Rule Calculator prvo treba odabrati red kvadratne matrice (Matrix dimension). Kalkulator izračunava rješenja sustava do 100 jednadžbi s 100 nepoznanica (slika 2).

Slika 2. Odabir dimenzije sustava




 

Izvor: autori

Klikom na Set matrix pojavljuje se novi prozor u kojem možemo vratiti sustav koji smo prethodno računali klikom na Restore Matrix. Ukoliko rješava sustav koji ima koeficijente kompleksne brojeve potrebno je kliknuti na Complex numbers. U padajućem izborniku Fractional postoji mogućnost odabira zapisa rješenja koje može biti u obliku razlomka ili decimalnog broja. U tablici svaki redak \left(1,2,3\right) predstavlja jednadžbu, a stupac nepoznanice jednadžbi \left(X_{1} ,X_{2} ,X_{3} \right). U ćeliji koja je presjek stupca X_{1} i retka 1 upisuje se koeficijent prve jednadžbe koji se nalazi uz prvu nepoznanicu x_{1}, u ćeliji koja je presjek stupca X_{2} i retka 1 upisuje se koeficijent prve jednadžbe koji se nalazi uz drugu nepoznanicu x_{2}, u ćeliji koja je presjek stupca X_{3}i retka 1 upisuje se koeficijent prve jednadžbe koji se nalazi uz treću nepoznanicu x_{3}i u presjek 1. retka i stupca bupisuje se slobodan član prve jednadžbe. Na isti način se popunjavaju ostali redovi (slika 3).

Slika 3. Upis koeficijenata zadanog sustava jednadžbi




 

Izvor: autori

Reset omogućava brisanje svih podataka koji su unijeti. Fill empty cells with zero omogućava popunjavanje praznih ćelija s nulama, odnosno potrebno je u tablicu unijeti samo koeficijente različite od nule. Klikom na Solve dobiva se rješenje sustava.



Slika 4. Prikaz rješenja sustava

Izvor: autori

Rješenje se prikazuje u standardnom obliku za svaku nepoznanicu. U donjem desnom uglu prikazat će se vrijeme potrebno za traženje rješenja zadanog sustava linearnih jednadžbi, a klikom na Show solution prikazat će se korak po korak koji je računat kako bi se došlo do rješenja (slika 4).



Slika 5. Prikaz detaljnog rješenja




 

Izvor: autori

U detaljnom rješenju prikazane su sve matrice čije se determinante određuju i kvocijent određenih determinanti kako bi se dobilo rješenje (slika 5). Iza svakog zapisa matrice i pripadne determinante postoji opcija Very detailed solution. Klikom na Calculate apart prikazat će se u novom prozoru izračun odabrane determinante.

Slika 6. Prikaz izračuna determinante
 

Izvor: Autori

Izračun determinante provodi se svođenjem matrice na gornjotrokutastu matricu pomoću elementarnih transformacija i primjene svojstva da je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali (slika 6).

Ukoliko je za uneseni sustav linearnih jednadžbi determinanta glavne matrice, odnosno matrice koja se sastoji od koeficijenata uz nepoznanice sustava linearnih jednadžbi, jednaka nuli, program upućuje na Gauss-Jordanove eliminacije kako bi se dobilo rješenje sustava ukoliko ih ima beskonačno (slika 7).

Slika 7. Rješenje se ne može dobiti primjenom Cramer's Rule Calculator


 

Izvor: autori

Klikom na Show soulution prikazat će se izračun determinante čija je vrijednost nula.

Zbog lakšeg praćenja načina rješavanja tijekom objašnjavanja korištenja Kalkulatora za inverz matrica tražit će se inverz matrice

Klikom na Inverse Matrix u padajućem izborniku na mrežnoj stranici možete izračunati inverz matrice (slika 8).


Slika 8. Izgled Inverse Matrix kalkulatora




 

Izvor: Autori

Otvaranjem Inverse Matrix Calculator prvo morate odabrati red kvadratne matrice (Matrix dimension). Kalkulator izračunava invez matrice do 100-tog reda. Klikom na Set matrix pojavljuje se novi prozor u kom se upisuju elementi matrice.



Slika 9. Upis matrice


 

Izvor: Autori

Novi prozor za upis elemenata matrice ima sve opcije (Restore matrix, Complex numbers, Reset, Fill empty cells with zero, Calculate) koje su opisane kod Cramer's Rule Calculatora. Novost je opcija Very detailed solution koja ispisuje korak po korak u traženju inverza elementarnim transformacijama (slika 9).

Slika 10. Prikaz rješenja




 

Izvor: autori

Prikaz rješenja je u matričnom obliku (slika 10). U donjem desnom uglu prikazat će se vrijeme potrebno za izračunavanje inverza, a klikom na Show solution prikazat će se korak po korak koji je računat kako bi se došlo do rješenja (slika 11).



Slika 11. Detaljan prikaz rješenja


 

Izvor: autori

U detaljnom prikazu rješenja svaka matrica popraćena je s riječima opisanom radnjom u tom koraku. Prvo je izračunata determinanta zadane matrice i provjereno je li ona različita od nule. Odabirom opcije Very detailed solution, odnosno klikom na Calculate apart prikazat će se u novom prozoru. Determinanta se izračunava svođenjem matrice na gornjotrokutastu matricu pomoću elementarnih transformacija i primjene svojstva da je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Zbog lakšeg praćenja u primjeru traži se umnožak matrica

A=\left[\begin{array}{cc} {\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}} & {\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \\ {1} \end{array}} \end{array}\right] i B=\left[\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {-1} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {4} \end{array}} \end{array}\right].

Klikom na Matrix Multiplication u padajućem izborniku na mrežnoj stranici možete izračunati umnožak matrica (slika 12).
Slika 12. Izgled Matrix Multiplication kalkulatora




 

Izvor: autori

Otvaranjem Matrix Multiplication Calculator prvo morate odabrati tip matrica (Matrix dimension) koje se množe. Kalkulator izračunava umnožak matrica do tipa 100\times 100. Ukoliko korisnik unese tip matrice koji se ne može množiti, odnosno prva matrica nema onoliko stupaca koliko druga ima redaka, sama aplikacija će automatski promijeniti broj redaka druge matrice ili broj stupaca prve matrice ovisno o tome koju ste dimenziju prvu unijeli. Klikom na Set matrix pojavljuje se novi prozor u kojem se upisuju elementi matrice.

Slika 13. Upis elemenata matrica A i B


 

Izvor: autori

Elementi matrice A unose se u prvi prozor, a elementi druge matrice u prozor do njega (slika 13). Novi prozor za upis elemenata matrice ima sve opcije (Restore matrix, Complex numbers, Reset, Fill empty cells with zero, Calculate) koje su opisane kod prethodna dva opisana primjera. Klikom na Calculate izračunat će se umnožak matrica.

Slika 14. Prikaz umnoška matrica A i B




 

Izvor: autori

Prikaz rješenja je u matričnom obliku (slika 14). U donjem desnom uglu prikazat će se vrijeme potrebno za izračunavanje umnoška, a klikom na Show solution prikazat će se korak po korak koji je računat kako bi se došlo do rješenja (slika 15).

Slika 15. Detaljan prikaz rješenja


 

Izvor: autori

Prikaz detaljnog rješenja se temelji na prikazu matrice u kojem je naznačen element koji se računa, a iznad matrice je zbroj umnožaka koji daje taj element. Element c_{11} nalazi se u prvom retku i prvom stupcu matrice umnoška zadanih matrica. Njegovu vrijednost dobije se zbrajanjem umnožaka prvog retka matrice A i prvog stupca matrice B

Matrični kalkulator Reshish Matrix besplatan je alat dostupan na računalima i mobilnim uređajima bez dodatnih instalacija. Jedan od nedostataka ovog alata je što se može koristiti samo uz dostupnost internetske veze. Najveća prednost ovog alata je što omogućava 10 različitih operacija s matricama uz detaljan opis svakog koraka računanja rješenja i to matričnog zapisa i opisa riječima.

Tablica 2. Prednosti i nedostaci Reshish Matix alata


 

Izvor: autori

Izračun determinante matrice u svakoj ponuđenoj operaciji, u kojoj ju je potrebno računati, računa se pomoću svođenja matrice na trokutastu matricu i računanje pomoću elemenata na glavnoj dijagonali. Nijedna operacija ne pruža mogućnost izračuna determinanti pomoću Laplaceovog razvoja. Laplaceov razvoj je kombinatorni algoritam koji ima složenost \mathcal{O}=n! i numerički je nestabilan. Kombinatorni alati kao Laplaceov razvoj koriste se za simboličku algebru, tj. Computer Algebra Systems (CAS)[6]. Jedan od alata koji daje takvu kombinatornu pomoć je Matrix calculator [7]. Matrix Reshish je numerički alat i ne treba očekivati čisto algebarsko kombinatorni algoritam. Upravo zbog ovoga Cramerovo pravilo je mnogo točnije u aritmetici pomičnog zareza nego isti algoritam temeljen na Laplaceovom razvoju. Za složeniji matrični račun u aritmetici pomičnog zareza može se koristiti Octave Online [8].
Isto tako kalkulator omogućava rješavanje osnovnih računskih operacija, ali ne i traženje rješenja složenijih zadataka s više računskih operacija i primjenom pravila o slijedu računskih operacija, npr. ukoliko su zadane matrice

A=\left[\begin{array}{cc} {\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}} & {\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \\ {0} \end{array}} \end{array}\right] i B=\left[\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {-1} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {4} \end{array}} \end{array}\right]

i potrebno je izračunati \left(A\cdot B\right)^{T} +3B-2I u matričnom kalkulatoru posebno se računa umnožak matrica, zatim transponirana matrica umnoška i potom zbroj matrica \left(A\cdot B\right)^{T} +3B, a zatim se dobivenom rezultatu može oduzeti 2I. Množenje matrice skalarom isto tako nije dostupno.

Reshish Matrix kalkulator je numerički alat koji omogućava izračunavanje osnovnih matričnih operacija i metoda koje se koriste za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Algoritam po kom' radi temelji se na Binet-Caushyevom teoremu i LU rastavu zbog čega je stabilan, a Cramerovo prvilo temeljeno na ovakvom računanju determinante je mnogo točnije u aritmetici pomičnog zareza. Prednosti ovog alata je dostupnost na mobilnim uređajima, te se lako može koristiti u nastavi kao jedan od načina oplemenjivanja nastave. Svaki korak koji je detaljno opisan prilikom rješavanja postavljenog problema uvelike može pomoći studentu prilikom vježbanja i pripremanja ispita.

U prostranstvu cjelobrojnih nizova Fibonaccijev niz ne gubi svoj sjaj već više od osam stoljeća, točnije od kad se pojavio u knjizi Liber Abaci talijanskog matematičara Leonarda Bonaccija1 poznatog i kao Leonardo Pisano, a najpoznatijeg kao Fibonacci. Bez pretjerivanja, riječ je o jednom od najpoznatijih nizova koji privlači i fascinira kako profesionalce tako i potpune amatere. Nadalje, neprestano iznenađuje sa svojom prisutnošću u očekivanim, ali i potpuno neočekivanim situacijama. O Fibonaccijevim brojevima postoji vrlo velika količina informacija, mnoštvo publikacija, knjiga, te internetskih sadržaja. U ovom radu pokazat ćemo i dokazati neke zanimljive identitete vezane uz Fibonaccijeve brojeve koristeći jednostavnu algebru matrica i determinanti. Između ostalog, pokazujemo i poznati Cassinijev2 identitet koji se se može povezati s problemom popločavanja. Zbog mlađeg čitateljstva navest ćemo osnovna svojstva Fibonaccijevog niza, te osnovne pojmove iz linearne algebre.

Fibonaccijev niz je niz brojeva

Niz bi s lakoćom nastavili članom 89 koji je zbroj prethodna dva. Iskažimo njegovu matematičku definiciju.

Napomenimo da se ponekad za početne vrijednosti niza uzimaju vrijednosti F_{0}=0 i F_{1}=1.

U već spomenutoj knjizi Liber Abaci taj niz predstavlja rješenje problema o razmnožavanju zečeva. Pretpostavimo da 1. siječnja raspolažemo s jednim parom zečeva. Taj par dobiva po jedan par mladih zečeva svakog prvog dana u mjesecu, počevši od 1. ožujka. Svaki novi par dobiva po jedan par zečeva svakog prvog dana u mjesecu, ali tek nakon navršena dva mjeseca života. Problem je koliko će parova zečeva biti nakon n mjeseci. Odgovor je upravo n-ti Fibonaccijev broj F_{n}.

Slika 1: Razmnožavanje zečeva (crveni zeko označava par novorođenih, a zeleni par star bar jedan mjesec)

Eksplicitno, Fibonaccijeve brojeve možemo izračunati pomoću formule

pri čemu su \alpha i \beta korijeni takozvane zlatne jednadžbe

to jest

Konstanta \alpha poznatija je pod nazivom zlatni rez.

Uz Fibonaccijev niz često se veže i Lucasov3 niz (L_{n}) koji je definiran istom rekurzijom (1).

Predodžbe radi, prvih nekoliko članova Lucasova niza su

Eksplicitno ih računamo pomoću formule

Fibonaccijevi i Lucasovi brojevi zadovoljavaju različite algebarske identitete. Budući da su generirani rekurzivnim relacijama (1) i (2), prirodno je takve identitete dokazivati pomoću principa matematičke indukcije. Prisjetimo ga se. Ako je neka tvrdnja točna za broj 1 i ako iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za prirodni broj n slijedi da je ispravna i za sljedeći broj n+1, tada ona vrijedi za svaki prirodni broj n.

Kao primjer navodimo osnovnu relaciju koja povezuje Fibonaccijeve i Lucasove brojevi, to jest

za n\geq 1. Jednakost pokazujemo pomoću principa matematičke indukcije. Za n=1 jednakost vrijedi jer je

Pretpostavimo sada da jednakost vrijedi za n=k, odnosno L_{k}=F_{k-1}+F_{k+1}. Za n=k+1 imamo

što je i trebalo pokazati.
U onom što slijedi pokazat ćemo kako možemo dokazati i izvesti još identiteta s Fibonaccijevim i Lucasovim brojevima koristeći elementarna svojstva matrica.

Matrica reda 2 je kvadratna shema koja se sastoji od 4 elementa posložena u 2 retka i 2 stupca. Simbolički ju zapisujemo kao

Elementi matrice a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} su najčešće realni brojevi, pa takvu matricu nazivamo realnom. Elementi matrice su indeksirani tako da nas upućuju na kojoj se poziciji u matrici nalaze. Tako se element a_{21} nalazi na presjeku drugog retka i prvog stupce. Na skupu svih matrica reda 2 jednostavno uvodimo dvije operacije, zbrajanje matrica i množenje matrica skalarom (realnim brojem). Te se operacije izvršavaju prirodno, 'po elementima'. Dakle,

Na primjer,

Množenje matrica ne ćemo definirati po analogiji i to je prilično neočekivano. Umnožak ili produkt dviju matrica definiramo na sljedeći način

Na primjer,

Zbog ovakve 'neobične' definicije i množenje matrica imat će neka 'neobična' svojstva. Na primjer, općenito ne će vrijediti svojstvo komutativnosti.

Uz matricu reda 2 često vežemo i pojam determinante. To je broj koji pridružujemo matrici, a definiramo ga kao

Zahvaljući 'neobično' definiranom množenju matrica vrijedit će sljedeće važno svojstvo, u matematici poznatije kao Binet-Cauchyjev teorem,

Provjerimo to na gornjem primjeru,

Matricu Q definirat ćemo kao

Primijetimo da je determinanta matrice Q jednaka |Q| =-1. Nadalje, vrijedi

Uočimo da se u matricama Q^{2}, Q^{3}, Q^{4} pojavljuju Fibonaccijevi brojevi. Nije teško pretpostaviti kako će izgledati matrica Q^{n}.

Pomoću Teorema 3 dokazujemo poznatu Cassinijevu formulu za Fibonaccijeve brojeve.

Kombinatorni dokaz i interpretaciju jednakosti (5) dat ćemo u sljedećem poglavlju. Nadalje, kao posljedicu Teorema 3 imamo i sljedeće četiri jednakosti:

Neka je m=n. Tada jednakost (6) daje formulu za računanje Fibonaccijevih brojeva s neparnim indeksom

a jednakost (6) formulu za računanje Fibonaccijevih brojeva s parnim indeksom

odnosno

Korolar 9. Vrijedi

F_{m+1}L_{n}+F_{m}L_{n-1}=L_{m+n}

za m\geq0, n\geq1. \end {cor}

Dokaz 10. Zbrajanjem jednakosti (6) i jednakosti F_{m+n-1} = F_{m+1}F_{n-1} + F_{m}F_{n-2} koju smo dobili zamjenom n s n-1 u (6), dobivamo

F_{m+1}(F_{n+1} + F_{n-1}) + F_{m}(F_{n} + F_{n-2}) = F_{m+n+1} + F_{m+n-1}.

Primjenom jednakosti (3) slijedi

F_{m+1}L_{n} + F_{m}L_{n-1} = L_{m+m},

što je i trebalo dokazati.

Evo još jedne jednakosti koji povezuje Fibonaccijeve i Lucasove brojeve.

Korolar 11. Vrijedi

(7)

2F_{m+n}=F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}

za m,\,n\geq0. \end {cor}

Dokaz 12. Zbrajanjem jednakosti (6) i (6) dobivamo

2F_{m+n}=F_{m}(F_{n-1}+ F_{n+1}) + F_{n} ( F_{m+1}+F_{m-1})=F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m} .

Teorem 13. Vrijedi

Q^{n}\left( \begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 2 &-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ll} L_{n+1} &L_{n} \\\ L_{n} &L_{n-1} \end{array} \right).

Dokaz 14.

Q^{n}\left( \begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 2 &-1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ll} F_{n+1} &F_{n} \\\ F_{n} &F_{n-1} \end{array} \right)\left( \begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 2 &-1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{rr} F_{n+1}+2F_{n} &2F_{n+1}-F_{n} \\\ F_{n}+2F_{n-1} &2F_{n}-F_{n-1} \end{array} \right).

Primjenom jednakosti (3) dobivamo traženu jednakost. Na primjer,

F_{n+1}+2F_{n}=F_{n+1}+F_{n}+F_{n}=F_{n+2}+F_{n}=L_{n+1}.

Korolar 15. Vrijedi

(8)

L_{n-1}L_{n+1}-L_{n}^{2}=5(-1)^{n+1}.

Dokaz 16. Prema Teoremu 13 i Binet-Cauchyjevom teoremu slijedi

\left| \begin{array}{rr} F_{n+1} &F_{n} \\\ F_{n} &F_{n-1} \end{array} \right|\left| \begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 2 &-1 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{rr} L_{n+1} &L_{n} \\\ L_{n} &L_{n-1} \end{array} \right|.

Dakle

(F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2})(-5)=L_{n+1}L_{n-1}-L_{n}^{2},

pa primjenom Cassinijeve formule (5) dobivamo traženi identitet.

4Cassinijeva formula i domino

Na kraju dajemo još jednu zanimljivu interpretaciju Fibonaccijevih brojeva pomoću koje se može pokazati Cassinijeva formula (5). Radi se o popločavanju ploče dimenzije 2\times n pomoću domino pločica dimenzije 1\times 2 koje možemo postaviti vertikalno (crvena pločica) ili horizontalno (bijela pločica). Označimo s T_{n} broj načina na koji se može izvesti.

Slika 2: Popločavanje može započeti na točno ova dva načina (uokvireno plavo)

Budući da popločavanje možemo započeti ili s jednom vertikalno postavljenom pločicom ili s dvije horizontalno postavljene (vidi Sliku 2) slijedi da je

T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}.

Kako je T_{1}=1 i T_{2}=2, zaključujemo da je T_{n}=F_{n-1} jer imamo istu rekurziju kao za Fibonaccijeve brojeve, samo su početni (pa onda i svi ostali) članovi niza pomaknuti za jedno mjesto. Sada ćemo proučiti popločavanje dviju ploča istih dimenzija. Broj načina na koji možemo popločati te dvije ploče je T_{n}^{2}. Zbog jednostavnosti umjesto ploče dimenzije 2\times n koju popločavamo pločicama dimenzije 1\times 2 možemo promatrati ploču dimenzije 1\times n koju popločavamo pločicama dimenzije 1\times 1 i 1\times 2 (Slika 3). Uočimo da dva popločavanja na Slici 3 upravo odgovaraju dvama popločavanjima na Slici 2.

Slika 3: Popločavanje pločicama dimenzije 1\times 1 i 1\times 2

Slika 4: Pomaknute ploče dimenzije 1\times n s istaknutim crtama loma

Sada donju ploču pomaknimo za jedno mjesto udesno i pogledajmo na koliko mjesta možemo 'prelomiti' i gornju i donju ploču istovremeno, a da pritom ne lomimo domino pločice. Na primjeru sa Slike 4 to se može učiniti na točno 3 mjesta. Reći ćemo da u ovom slučaju imamo 3 crte loma. Posljednju crtu loma označili smo plavom bojom. Sada zamijenimo dijelove ploče ('repove') koje se nalaze s desnih strana plave crte (Slika 5). Na taj način se gornja ploča povećala za točno jedno mjesto, a donja smanjila za jedno. Uočimo da se broj crta loma se nije promijenio. Općenito možemo zaključiti da postoji bijekcija između skupa svih mogućih popločavanja dviju ploča iste dimenzije 1\times n i skupa svih mogućih popločavanja dviju ploča dimenzija 1\times (n+1) i 1\times (n-1) uz pretpostavku da su to popločavanja s barem jednom crtom loma.

Slika 5: Ploče dimenzije 1\times (n+1) i 1\times (n-1) nastale nakon zamjene 'repova'

Sada nam preostaje prebrojati načine popločavanja u kojima se ne pojavljuje prijelom. Ukoliko je n paran pojavit će se točno jedno takvo popločavanje dviju ploča iste dimenzije 1\times n, dok svako popločavanje dviju ploča dimenzija 1\times (n+1) i 1\times (n-1) uvijek ima crtu loma jer je broj polja na pločama neparan (pa u popločavanje moramo uključiti pločicu dimenzije 1\times 1). Točno obratno se dešava ako je n neparan (Slika 6, 7). Stoga smo opravdali formulu

T_{n}^{2}-T_{n-1}\cdot T_{n+1}=(-1)^{n},

što uz T_{n}=F_{n-1} upravo predstavlja Cassinijevu formulu (5).

Slika 6: Popločavanje ploča dimenzije 1\times n, n paran, koje nema crte loma

Slika 7: Popločavanje ploča dimenzije 1\times (n+1) i 1\times (n-1), n neparan, koje nema crte loma

Bibliografija

[1]	B. Bakula, Fibonaccijeve matrice i determinante, diplomski rad, PMF - Matemački odsjek, Sveučilište u Zagrebu, 2013.
[2]	A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.
[3]	T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley \& Sons, 2001.
[4]	Cassini's Identity, dostupno na http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/CassinisIdentity.shtml
[5]	Fibonacci Tilings, dostupno na http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/combinatorics/FibonacciTilings.sh...

---

 

1najtalentiraniji europski matematičar srednjeg vijeka (1170.-1250.)

2Giovanni Domenico Cassini, talijanski matematičar, astronom, inženjer (1625.-1712.)

3François Édouard Anatole Lucas, francuski matematičar (1842.-1891.)

Neka je \mathbb{C}^{n} unitaran prostor snabdjeven skalarnim produktom

gdje su x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots, y_{n})\in\mathbb{C}^{n}. Euklidska norma vektora x=(x_{1},\dots, x_{n})\in\mathbb{C}^{n} definira se kao

Označimo s \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) algebru svih kompleksnih kvadratnih matrica reda n. Poznato je da se algebra \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), preko standardne ortonormirane baze (e_{1},\dots, e_{n}) prostora \mathbb{C}^{n}, poistovjećuje s algebrom B(\mathbb{C}^{n}) svih linearnih operatora koji djeluju na \mathbb{C}^{n}. Vektore prostora \mathbb{C}^{n} shvaćamo kao jednostupčane matrice.

Trag matrice A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), u oznaci \textsf{tr}(A), definira se kao zbroj njezinih dijagonalnih elemenata

Pokazuje se da je trag matrice jednak zbroju njezinih svojstvenih vrijednosti.
Preslikavanje A\mapsto \textsf{tr}(A) je linearan funkcional na prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tj. vrijedi

za sve A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) i sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Također, za kompleksne kvadratne matrice A i B istoga reda vrijedi

gdje smo s A^{T} označili transponiranu, a s A^{*} adjungiranu matricu matrice A. Prostor \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) je unitaran uz skalarni produkt definiran s

Ovako definiran skalarni produkt je ekvivalentan euklidskom skalarnom produktu na \mathbb{C}^{n\times n}.

U daljnjem ćemo hermitski dio kvadratne matrice A, tj. matricu \frac{1}{2}(A+A^{*}), po analogiji s kompleksnim brojevima označavati s \textsf{Re}(A). Prema tome, \textsf{Re}(A)=\frac{1}{2}(A+A^{*}). Oznaku \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) koristit ćemo za dijagonalnu matricu reda n s elementima na glavnoj dijagonali \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}. Sa \sigma(A) označavat ćemo spektar kvadratne matrice A.

Pozitivan drugi korijen pozitivno semidefinitne matrice A uvodimo koristeći spektralni račun. Neka je A={U}{D}{U}^{*}, gdje je D=\textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}), spektralni rastav matrice A. Definiramo dijagonalnu matricu

Tada je pozitivno semidefinitna matrica

jedinstveno pozitivno semidefinitno rješenje jednadžbe X^{2}=A, koje nazivamo pozitivan drugi korijen matrice A. Apsolutnom vrijednošću matrice A, u oznaci |A|, nazivamo pozitivan drugi korijen matrice A^{*}A. Dakle, |A|=(A^{*}A)^{1/2}. Pokazuje se da za svaku kompleksnu kvadratnu matricu A reda n postoji unitarna matrica U reda n takva da je A=U|A|. Ovaj se rastav naziva polarni rastav matrice A (v. Teorem 3.7 iz [24]).

U ovom radu dat ćemo pregled osnovnih rezultata o kvadratnim matricama čiji trag je jednak nuli. Pokazat ćemo da je A matrica traga nula ako i samo ako je A komutator dviju matrica. Također, svaka je matrica traga nula unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula. Posebno ćemo proučiti hermitske matrice traga nula; okarakterizirati ih, te dati ocjene za operatorsku normu takvih matrica.

Članak se temelji na diplomskom radu [18], koji se pak temelji na rezultatima koji se mogu naći u [1, 7, 8, 11, 15, 16, 24].

Budući da je trag linearan funkcional na vektorskom prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), to je skup svih kvadratnih matrica reda n čiji je trag jednak nuli potprostor prostora \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Naime, ako su A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), te ako je \textsf{tr}(A)=\textsf{tr}(B)=0, tada je

za sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Izračunat ćemo dimenziju tog potprostora.

Kako je \textsf{tr}({T}{S})=\textsf{tr}({S}{T}), komutatori su primjer matrica čiji je trag jednak nuli. Možemo se zapitati opisuje li to svojstvo u potpunosti komutatore, odnosno je li svaka matrica traga nula komutator dviju matrica. Uočimo najprije da je odgovor potvrdan za dijagonalnu matricu A= \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) traga nula, budući da je jedan mogući izbor matrica T i S takvih da je A=[T,S] dan s

gdje su \displaystyle\mu_{i}=\sum_{j=1}^{i}\lambda_{j},i=1,\dots,n-1.

Promotrimo sada matricu A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) traga nula, takvu da je a_{ii}=0,i=1,\dots,n. Izaberimo zatim matricu T=\textsf{diag} (t_{1},\dots, t_{n}), gdje su t_{1},\dots, t_{n} proizvoljni, ali međusobno različiti kompleksni brojevi. Neka je S=(s_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), gdje je

a s_{ii},i=1, \dots,n, su proizvoljni kompleksni brojevi. Lako se provjeri da je (i,j)-ti element matrice {T}{S}-{S}{T} jednak (t_{i}-t_{j})s_{ij}=a_{ij}, pa je prema tome A={T}{S}-{S}{T}. Time smo pokazali da je matrica čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli komutator dviju matrica.

Primijetimo da je svojstvo "biti komutator" invarijanta sličnosti. Naime, ako je A=[T,S] za neke matrice T,S \in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tada je

za svaku regularnu matricu R\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Odavde slijedi da je i svaka matrica A koja je slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula također komutator dviju matrica.

Kao primjer matrica traga nula naveli smo nilpotentne matrice. Prema teoremu o Schurovoj dekompoziciji (teorem 3.3 iz [24]) svaka je nilptotentna matrica unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula, pa su stoga nilpotentne matrice komutatori dviju matrica. Pokazat ćemo sada da ovaj rezultat vrijedi i općenito, odnosno da je svaka matrica traga nula unitarno slična matrici čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli. Dokaz ove tvrdnje je netrivijalan, a temelji se na svojstvu konveksnosti numeričke slike matrice.

Numerička slika, ili kako se još naziva polje vrijednosti, matrice A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) definira se kao skup

Skup W(A) je kompaktan, jer je slika neprekidne funkcije x\mapsto (Ax,x) definirane na jediničnoj sferi \lbrace x\in\mathbb{C}^{n}:\, \Vert x\Vert =1\rbrace , koja je kompaktan skup. Također, za svaki \lambda \in \sigma (A) postoji jedinični vektor x \in \mathbb{C}^{n} za koji je Ax = \lambda x, odakle slijedi \lambda = (\lambda x,x) = (Ax,x) \in W(A). Prema tome, numerička slika matrice sadrži njezin spektar. Kao što smo već napomenuli, jedno od osnovnih svojstava numeričke slike matrice, koje je dovelo do mnogih interesantnih posljedica i korisnih primjena, je njezina konveksnost ([13, 22]). Više rezultata o numeričkoj slici matrice zainteresirani čitatelj može naći u [15].

Konveksnom kombinacijom elemenata x_{1},\dots,x_{n} nekog vektorskog prostora nazivamo svaki vektor oblika

pri čemu je t_{i}\geq 0 za i=1,\dots,n i t_{1}+\dots +t_{n}=1. Konveksan skup sadrži svaku konveksnu kombinaciju svojih elemenata (propozicija 11, str. 37 iz [19]). Kako je W(A) konveksan, te \sigma(A)\subseteq W(A), zaključujemo da skup W(A) sadrži sve konveksne kombinacije svojstvenih vrijednosti matrice A. Upravo na tom svojstvu zasniva se dokaz sljedeće tvrdnje o karakterizaciji matrica traga nula.

Kao očitu posljedicu propozicije 1 i teorema 5 navodimo sljedeći rezultat.

Važnu klasu unutar komutatora čine samokomutatori, tj. hermitske matrice oblika [T^{*},T], gdje je T\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).

Ako je A=[T^{*},T] samokomutator i U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) unitarna matrica, onda je

pa je U^{*}{A}{U} također samokomutator. Dakle, “biti samokomutator” je invarijanta unitarne sličnosti.

Ako je A samokomutator, onda je \textsf{tr}(A)=0. Pokazat ćemo da je svaka hermitska matrica, čiji je trag jednak nuli, samokomutator.

U nastavku ćemo dati još neke interesantne karakterizacije hermitskih matrica traga nula.

Na \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) uvodi se matrična (operatorska) norma inducirana euklidskom normom na \mathbb{C}^{n};

Ovako definirana matrična norma je submultiplikativna, tj.

te unitarno invarijantna, tj.

za sve unitarne matrice U,V\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Također vrijedi

Ako je matrica A normalna, onda je

U ovoj točki dat ćemo gornju i donju ocjenu za matrične norme samokomutatora. Uočimo, za samokomutator A=[T^{*},T] vrijedi ocjena

Međutim, ovaj pristup ne daje nam dobru gornju ocjenu. Fong [8] je dokazao da se konstanta 2 u gornjoj ocjeni može zamijeniti konstantom 1.

Za donju ocjenu norme samokomutatora koristit ćemo nejednakost

koja vrijedi za svake dvije pozitivno semidefinitne matrice A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), a čiji se dokaz može pronaći u [17].

Pojam traga ne može se općenito definirati za operatore koji djeluju na beskonačno-dimenzionalnim prostorima. Ipak, prirodno se zapitati mogu li se rezultati o karakterizaciji komutatora i samokomutatora generalizirati i za takve operatore. Puno je zanimljivih radova napisano na tu temu (v. [2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 20]). Jedna od značajnih karakterizacija komutatora može se naći u [4, 12], gdje je pokazano da je ograničen linearan operator A koji djeluje na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H komutator dvaju operatora ako i samo ako A nije kompaktna perturbacija (različitog od nule) skalarnog operatora, tj. ako A nije oblika K+\lambda I, gdje je \lambda\in\mathbb{C}\setminus\lbrace 0\rbrace ,K kompaktan operator na H, a I jedinični operator na H. (Ograničen linearan operator K na Hilbertovom prostoru H je kompaktan ako i samo ako za svaki ograničen niz (x_{n}) u H, niz (Kx_{n}) u H ima konvergentan podniz.) Također su važne karakterizacije komutatora na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru dobivene u terminima njegove esencijalne numeričke slike, odnosno nul-dijagonalnih operatora ([2, 5, 6, 20]).