Neka je $\mathbb{C}^{n}$ unitaran prostor snabdjeven skalarnim produktom

$$(x,y)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\overline{y}_{i},$$

gdje su $x=(x_{1},\dots,x_{n}),$$y=(y_{1},\dots, y_{n})\in\mathbb{C}^{n}.$ Euklidska norma vektora $x=(x_{1},\dots, x_{n})\in\mathbb{C}^{n}$ definira se kao

$$\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}=\Big(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\Big)^{\frac{1}{2}}.$$

Označimo s $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ algebru svih kompleksnih kvadratnih matrica reda $n.$ Poznato je da se algebra $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ preko standardne ortonormirane baze $(e_{1},\dots, e_{n})$ prostora $\mathbb{C}^{n},$ poistovjećuje s algebrom $B(\mathbb{C}^{n})$ svih linearnih operatora koji djeluju na $\mathbb{C}^{n}.$ Vektore prostora $\mathbb{C}^{n}$ shvaćamo kao jednostupčane matrice.

Trag matrice $A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ u oznaci $\textsf{tr}(A),$ definira se kao zbroj njezinih dijagonalnih elemenata

$$\textsf{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.$$

Pokazuje se da je trag matrice jednak zbroju njezinih svojstvenih vrijednosti.
Preslikavanje $A\mapsto \textsf{tr}(A)$ je linearan funkcional na prostoru $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ tj. vrijedi

$$\textsf{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\textsf{tr}(A)+\beta\textsf{tr}(B)$$

za sve $A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ i sve $\alpha,\beta\in\mathbb{C}.$ Također, za kompleksne kvadratne matrice $A$ i $B$ istoga reda vrijedi

$$\begin{align*} \textsf{tr}({A}{B})&=\textsf{tr}({B}{A}), \\\ \textsf{tr}(A^{T})&=\textsf{tr}(A), \\\ \textsf{tr}(A^{*})&=\overline{\textsf{tr}(A)} \end{align*}$$

gdje smo s $A^{T}$ označili transponiranu, a s $A^{*}$ adjungiranu matricu matrice $A$. Prostor $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ je unitaran uz skalarni produkt definiran s

$$(A|B)=\textsf{tr}(B^{*}A) \quad (A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})).$$

Ovako definiran skalarni produkt je ekvivalentan euklidskom skalarnom produktu na $\mathbb{C}^{n\times n}$.

U daljnjem ćemo hermitski dio kvadratne matrice $A,$ tj. matricu $\frac{1}{2}(A+A^{*}),$ po analogiji s kompleksnim brojevima označavati s $\textsf{Re}(A).$ Prema tome, $\textsf{Re}(A)=\frac{1}{2}(A+A^{*}).$ Oznaku $\textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ koristit ćemo za dijagonalnu matricu reda $n$ s elementima na glavnoj dijagonali $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}.$ Sa $\sigma(A)$ označavat ćemo spektar kvadratne matrice $A.$

Pozitivan drugi korijen pozitivno semidefinitne matrice $A$ uvodimo koristeći spektralni račun. Neka je $A={U}{D}{U}^{*},$ gdje je $D=\textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}),$ spektralni rastav matrice $A.$ Definiramo dijagonalnu matricu

$$D^{1/2}=\textsf{diag}(\lambda_{1}^{1/2},\dots,\lambda_{n}^{1/2}).$$

Tada je pozitivno semidefinitna matrica

$$A^{1/2}={U}{D}^{1/2}{U}^{*}$$

jedinstveno pozitivno semidefinitno rješenje jednadžbe $X^{2}=A,$ koje nazivamo pozitivan drugi korijen matrice $A$. Apsolutnom vrijednošću matrice $A$, u oznaci $|A|$, nazivamo pozitivan drugi korijen matrice $A^{*}A$. Dakle, $|A|=(A^{*}A)^{1/2}$. Pokazuje se da za svaku kompleksnu kvadratnu matricu $A$ reda $n$ postoji unitarna matrica $U$ reda $n$ takva da je $A=U|A|$. Ovaj se rastav naziva polarni rastav matrice $A$ (v. Teorem 3.7 iz [24]).

U ovom radu dat ćemo pregled osnovnih rezultata o kvadratnim matricama čiji trag je jednak nuli. Pokazat ćemo da je $A$ matrica traga nula ako i samo ako je $A$ komutator dviju matrica. Također, svaka je matrica traga nula unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula. Posebno ćemo proučiti hermitske matrice traga nula; okarakterizirati ih, te dati ocjene za operatorsku normu takvih matrica.

Članak se temelji na diplomskom radu [18], koji se pak temelji na rezultatima koji se mogu naći u [1, 7, 8, 11, 15, 16, 24].

Budući da je trag linearan funkcional na vektorskom prostoru $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ to je skup svih kvadratnih matrica reda $n$ čiji je trag jednak nuli potprostor prostora $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).$ Naime, ako su $A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ te ako je $\textsf{tr}(A)=\textsf{tr}(B)=0,$ tada je

$$\textsf{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\textsf{tr}(A)+\beta\textsf{tr}(B)=0$$

za sve $\alpha,\beta\in\mathbb{C}.$ Izračunat ćemo dimenziju tog potprostora.

Kako je $\textsf{tr}({T}{S})=\textsf{tr}({S}{T}),$ komutatori su primjer matrica čiji je trag jednak nuli. Možemo se zapitati opisuje li to svojstvo u potpunosti komutatore, odnosno je li svaka matrica traga nula komutator dviju matrica. Uočimo najprije da je odgovor potvrdan za dijagonalnu matricu $A= \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ traga nula, budući da je jedan mogući izbor matrica $T$ i $S$ takvih da je $A=[T,S]$ dan s

$$\begin{align*} T&=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 &\ldots &0 &0 \\\ 0 &0 &1 &\ldots &0 &0\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0 \\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &1\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ \end{bmatrix} \\\ S&=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ \mu_{1} &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ 0 &\mu_{2} &0 &\ldots &0 &0\\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ 0 &0 &0 &\ldots &\mu_{n-1} &0\\\ \end{bmatrix}, \end{align*}$$

gdje su $\displaystyle\mu_{i}=\sum_{j=1}^{i}\lambda_{j},$$i=1,\dots,n-1.$

Promotrimo sada matricu $A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ traga nula, takvu da je $a_{ii}=0,$$i=1,\dots,n.$ Izaberimo zatim matricu $T=\textsf{diag} (t_{1},\dots, t_{n}),$ gdje su $t_{1},\dots, t_{n}$ proizvoljni, ali međusobno različiti kompleksni brojevi. Neka je $S=(s_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ gdje je

$$s_{ij}:=\frac{a_{ij}}{t_{i}-t_{j}}, \quad 1\le i\neq j\le n,$$

a $s_{ii},$$i=1, \dots,n,$ su proizvoljni kompleksni brojevi. Lako se provjeri da je $(i,j)$-ti element matrice ${T}{S}-{S}{T}$ jednak $(t_{i}-t_{j})s_{ij}=a_{ij},$ pa je prema tome $A={T}{S}-{S}{T}.$ Time smo pokazali da je matrica čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli komutator dviju matrica.

Primijetimo da je svojstvo "biti komutator" invarijanta sličnosti. Naime, ako je $A=[T,S]$ za neke matrice $T,S \in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ tada je

$$\begin{align*} R^{-1}{A}{R} &= R^{-1}({T}{S}-{S}{T})R\\\ &= (R^{-1}{T}{R})(R^{-1}{S}{R})-(R^{-1}{S}{R})(R^{-1}{T}{R})\\\ &= [R^{-1}{T}{R},R^{-1}{S}{R}] \end{align*}$$

za svaku regularnu matricu $R\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).$ Odavde slijedi da je i svaka matrica $A$ koja je slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula također komutator dviju matrica.

Kao primjer matrica traga nula naveli smo nilpotentne matrice. Prema teoremu o Schurovoj dekompoziciji (teorem 3.3 iz [24]) svaka je nilptotentna matrica unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula, pa su stoga nilpotentne matrice komutatori dviju matrica. Pokazat ćemo sada da ovaj rezultat vrijedi i općenito, odnosno da je svaka matrica traga nula unitarno slična matrici čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli. Dokaz ove tvrdnje je netrivijalan, a temelji se na svojstvu konveksnosti numeričke slike matrice.

Numerička slika, ili kako se još naziva polje vrijednosti, matrice $A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ definira se kao skup

$$W(A)=\left\lbrace (Ax,x): x\in \mathbb{C}^{n}, \Vert x\Vert =1\right\rbrace .$$

Skup $W(A)$ je kompaktan, jer je slika neprekidne funkcije $x\mapsto (Ax,x)$ definirane na jediničnoj sferi $\lbrace x\in\mathbb{C}^{n}:\, \Vert x\Vert =1\rbrace ,$ koja je kompaktan skup. Također, za svaki $\lambda \in \sigma (A)$ postoji jedinični vektor $x \in \mathbb{C}^{n}$ za koji je $Ax = \lambda x,$ odakle slijedi $\lambda = (\lambda x,x) = (Ax,x) \in W(A).$ Prema tome, numerička slika matrice sadrži njezin spektar. Kao što smo već napomenuli, jedno od osnovnih svojstava numeričke slike matrice, koje je dovelo do mnogih interesantnih posljedica i korisnih primjena, je njezina konveksnost ([13, 22]). Više rezultata o numeričkoj slici matrice zainteresirani čitatelj može naći u [15].

Konveksnom kombinacijom elemenata $x_{1},\dots,x_{n}$ nekog vektorskog prostora nazivamo svaki vektor oblika

$$t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n},$$

pri čemu je $t_{i}\geq 0$ za $i=1,\dots,n$ i $t_{1}+\dots +t_{n}=1.$ Konveksan skup sadrži svaku konveksnu kombinaciju svojih elemenata (propozicija 11, str. 37 iz [19]). Kako je $W(A)$ konveksan, te $\sigma(A)\subseteq W(A),$ zaključujemo da skup $W(A)$ sadrži sve konveksne kombinacije svojstvenih vrijednosti matrice $A.$ Upravo na tom svojstvu zasniva se dokaz sljedeće tvrdnje o karakterizaciji matrica traga nula.

Kao očitu posljedicu propozicije 1 i teorema 5 navodimo sljedeći rezultat.

Važnu klasu unutar komutatora čine samokomutatori, tj. hermitske matrice oblika $[T^{*},T],$ gdje je $T\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).$

Ako je $A=[T^{*},T]$ samokomutator i $U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ unitarna matrica, onda je

$$\begin{align} U^{*}{A}{U}&=U^{*}(T^{*}T-{T}{T}^{*})U\\\ &=(U^{*}T^{*}U)(U^{*}{T}{U})-(U^{*}{T}{U})(U^{*}T^{*}U)\\\ &=(U^{*}{T}{U})^{*}(U^{*}{T}{U})-(U^{*}{T}{U})(U^{*}{T}{U})^{*}\\\ &= [(U^{*}{T}{U})^{*},U^{*}{T}{U}], \end{align}$$

pa je $U^{*}{A}{U}$ također samokomutator. Dakle, “biti samokomutator” je invarijanta unitarne sličnosti.

Ako je $A$ samokomutator, onda je $\textsf{tr}(A)=0.$ Pokazat ćemo da je svaka hermitska matrica, čiji je trag jednak nuli, samokomutator.

U nastavku ćemo dati još neke interesantne karakterizacije hermitskih matrica traga nula.

Na $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ uvodi se matrična (operatorska) norma inducirana euklidskom normom na $\mathbb{C}^{n};$

$$\left\Vert A\right\Vert = \displaystyle\max_{\left\Vert x\right\Vert =1} \left\Vert Ax\right\Vert \quad (A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})).$$

Ovako definirana matrična norma je submultiplikativna, tj.

$$\Vert {A}{B}\Vert \le \Vert A\Vert \,\Vert B\Vert \quad (A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})),$$

te unitarno invarijantna, tj.

$$\Vert {U}{A}{V}\Vert =\Vert A\Vert$$

za sve unitarne matrice $U,V\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).$ Također vrijedi

$$\Vert A^{*}\Vert =\Vert A\Vert , \quad \Vert A^{*}A\Vert =\Vert A\Vert ^{2}.$$

Ako je matrica $A$ normalna, onda je

$$\Vert A\Vert =\max\lbrace |\lambda|:\,\lambda\in\sigma(A)\rbrace .$$

U ovoj točki dat ćemo gornju i donju ocjenu za matrične norme samokomutatora. Uočimo, za samokomutator $A=[T^{*},T]$ vrijedi ocjena

$$\left\Vert A\right\Vert =\Vert T^{*}T-{T}{T}^{*}\Vert \leq \left\Vert T^{*}T\right\Vert + \left\Vert {T}{T}^{*}\right\Vert =2\left\Vert T\right\Vert ^{2}.$$

Međutim, ovaj pristup ne daje nam dobru gornju ocjenu. Fong [8] je dokazao da se konstanta $2$ u gornjoj ocjeni može zamijeniti konstantom $1.$

Za donju ocjenu norme samokomutatora koristit ćemo nejednakost

koja vrijedi za svake dvije pozitivno semidefinitne matrice $A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}),$ a čiji se dokaz može pronaći u [17].

Pojam traga ne može se općenito definirati za operatore koji djeluju na beskonačno-dimenzionalnim prostorima. Ipak, prirodno se zapitati mogu li se rezultati o karakterizaciji komutatora i samokomutatora generalizirati i za takve operatore. Puno je zanimljivih radova napisano na tu temu (v. [2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 20]). Jedna od značajnih karakterizacija komutatora može se naći u [4, 12], gdje je pokazano da je ograničen linearan operator $A$ koji djeluje na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru $H$ komutator dvaju operatora ako i samo ako $A$ nije kompaktna perturbacija (različitog od nule) skalarnog operatora, tj. ako $A$ nije oblika $K+\lambda I,$ gdje je $\lambda\in\mathbb{C}\setminus\lbrace 0\rbrace ,$$K$ kompaktan operator na $H,$ a $I$ jedinični operator na $H.$ (Ograničen linearan operator $K$ na Hilbertovom prostoru $H$ je kompaktan ako i samo ako za svaki ograničen niz $(x_{n})$ u $H,$ niz $(Kx_{n})$ u $H$ ima konvergentan podniz.) Također su važne karakterizacije komutatora na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru dobivene u terminima njegove esencijalne numeričke slike, odnosno nul-dijagonalnih operatora ([2, 5, 6, 20]).