|
Marijana Kožul i Rajna Rajić |
Rudarsko-geološko-naftni fakultet, Sveučilište u Zagrebu, Pierottijeva 6, Zagreb
Sažetak
U ovom radu dajemo prikaz osnovnih rezultata o kompleksnim kvadratnim matricama čiji trag je jednak nuli. Također karakteriziramo hermitske matrice traga nula i dajemo ocjene za njihove norme.
1Uvod
Neka je \mathbb{C}^{n} unitaran prostor snabdjeven skalarnim produktom
(x,y)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\overline{y}_{i},
gdje su x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots, y_{n})\in\mathbb{C}^{n}. Euklidska norma vektora x=(x_{1},\dots, x_{n})\in\mathbb{C}^{n} definira se kao
\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}=\Big(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\Big)^{\frac{1}{2}}.
Označimo s \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) algebru svih kompleksnih kvadratnih matrica reda n. Poznato je da se algebra \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), preko standardne ortonormirane baze (e_{1},\dots, e_{n}) prostora \mathbb{C}^{n}, poistovjećuje s algebrom B(\mathbb{C}^{n}) svih linearnih operatora koji djeluju na \mathbb{C}^{n}. Vektore prostora \mathbb{C}^{n} shvaćamo kao jednostupčane matrice.
Trag matrice A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), u oznaci \textsf{tr}(A), definira se kao zbroj njezinih dijagonalnih elemenata
\textsf{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.
Pokazuje se da je trag matrice jednak zbroju njezinih svojstvenih vrijednosti.
Preslikavanje A\mapsto \textsf{tr}(A) je linearan funkcional na prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tj. vrijedi
\textsf{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\textsf{tr}(A)+\beta\textsf{tr}(B)
za sve A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) i sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Također, za kompleksne kvadratne matrice A i B istoga reda vrijedi
\begin{align*} \textsf{tr}({A}{B})&=\textsf{tr}({B}{A}), \\\ \textsf{tr}(A^{T})&=\textsf{tr}(A), \\\ \textsf{tr}(A^{*})&=\overline{\textsf{tr}(A)} \end{align*}
gdje smo s A^{T} označili transponiranu, a s A^{*} adjungiranu matricu matrice A. Prostor \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) je unitaran uz skalarni produkt definiran s
(A|B)=\textsf{tr}(B^{*}A) \quad (A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})).
Ovako definiran skalarni produkt je ekvivalentan euklidskom skalarnom produktu na \mathbb{C}^{n\times n}.
U daljnjem ćemo hermitski dio kvadratne matrice A, tj. matricu \frac{1}{2}(A+A^{*}), po analogiji s kompleksnim brojevima označavati s \textsf{Re}(A). Prema tome, \textsf{Re}(A)=\frac{1}{2}(A+A^{*}). Oznaku \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) koristit ćemo za dijagonalnu matricu reda n s elementima na glavnoj dijagonali \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}. Sa \sigma(A) označavat ćemo spektar kvadratne matrice A.
Pozitivan drugi korijen pozitivno semidefinitne matrice A uvodimo koristeći spektralni račun. Neka je A={U}{D}{U}^{*}, gdje je D=\textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}), spektralni rastav matrice A. Definiramo dijagonalnu matricu
D^{1/2}=\textsf{diag}(\lambda_{1}^{1/2},\dots,\lambda_{n}^{1/2}).
Tada je pozitivno semidefinitna matrica
A^{1/2}={U}{D}^{1/2}{U}^{*}
jedinstveno pozitivno semidefinitno rješenje jednadžbe X^{2}=A, koje nazivamo pozitivan drugi korijen matrice A. Apsolutnom vrijednošću matrice A, u oznaci |A|, nazivamo pozitivan drugi korijen matrice A^{*}A. Dakle, |A|=(A^{*}A)^{1/2}. Pokazuje se da za svaku kompleksnu kvadratnu matricu A reda n postoji unitarna matrica U reda n takva da je A=U|A|. Ovaj se rastav naziva polarni rastav matrice A (v. Teorem 3.7 iz [24]).
U ovom radu dat ćemo pregled osnovnih rezultata o kvadratnim matricama čiji trag je jednak nuli. Pokazat ćemo da je A matrica traga nula ako i samo ako je A komutator dviju matrica. Također, svaka je matrica traga nula unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula. Posebno ćemo proučiti hermitske matrice traga nula; okarakterizirati ih, te dati ocjene za operatorsku normu takvih matrica.
Članak se temelji na diplomskom radu [18], koji se pak temelji na rezultatima koji se mogu naći u [1, 7, 8, 11, 15, 16, 24].
2Karakterizacije matrica traga nula
Budući da je trag linearan funkcional na vektorskom prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), to je skup svih kvadratnih matrica reda n čiji je trag jednak nuli potprostor prostora \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Naime, ako su A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), te ako je \textsf{tr}(A)=\textsf{tr}(B)=0, tada je
\textsf{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\textsf{tr}(A)+\beta\textsf{tr}(B)=0
za sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Izračunat ćemo dimenziju tog potprostora.
Propozicija 1. Vektorski potprostor
V\subseteq \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) svih kompleksnih kvadratnih matrica reda
n čiji je trag jednak nuli ima dimenziju
\textsf{dim}\,V=n^{2}-1.
Dokaz.. Označimo s
E_{ij},i,j=1,\dots,n, matrice reda
n čiji je
(i,j)-ti element jednak jedan, dok su svi ostali elementi nule. Neka je
M_{i}=E_{ii}-E_{nn},i=1,\dots,n-1. Tada su matrice
E_{ij},i,j=1,\dots,n,
i\neq j, i matrice
M_{i},i=1,\dots,n-1, elementi prostora
V. Lako se provjeri da je ovih
(n^{2}-n)+(n-1)=n^{2}-1 matrica linearno nezavisno. Nadalje, svaka se matrica
A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) čiji je trag jednak nuli može prikazati kao
A=\sum_{1\le i\neq j\le n}a_{ij}E_{ij}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}M_{i},
jer je
\textsf{tr}(A)=0 ekvivalentno s
a_{nn}=-\sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}. Zaključujemo da je
\textsf{dim}\,V=n^{2}-1 što se i tvrdilo.
\ \blacksquare
Primjer 2. Nilpotentna matrica, tj. matrica A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) takva da je A^{k}=0 za neki k\in\mathbb{N}, je primjer matrice traga nula, budući da su sve njezine svojstvene vrijednosti jednake nuli.
Primjer 3. Jedina pozitivno semidefinitna matrica traga nula je nul-matrica. Zaista, ako je trag pozitivno semidefinitne matrice jednak nuli, tada su sve njezine svojstvene vrijednosti jednake nuli. Prema tome, takva je matrica unitarno slična nul-matrici, dakle i sama je nul-matrica. Štoviše, ako je
A={B}{C} umnožak dviju pozitivno semidefinitnih matrica
B,C\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), pri čemu je
\textsf{tr}(A)=0, tada je
A=0. Naime, kako je
B=T^{*}T i
C=S^{*}S za neke matrice
T,S\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) (v. Teorem 7.3 iz
[24]), to vrijedi
\begin{align*} \textsf{tr}(A)&=\textsf{tr}({B}{C})\\\ &=\textsf{tr}(T^{*}{T}{S}^{*}S)\\\ &=\textsf{tr}({S}{T}^{*}{T}{S}^{*})\\\ &=\textsf{tr}\big(({T}{S}^{*})^{*}({T}{S}^{*})\big). \end{align*}
Ako je
\textsf{tr}(A)=0, slijedi
({T}{S}^{*})^{*}({T}{S}^{*})=0 jer je matrica
({T}{S}^{*})^{*}({T}{S}^{*}) pozitivno semidefinitna. Stoga je
{T}{S}^{*}=0 odakle pak dobivamo
A={B}{C}=T^{*}{T}{S}^{*}S=0.
Napomenimo da je umnožak dviju hermitskih (odnosno pozitivno semidefinitnih) matrica hermitska (odnosno pozitivno semidefinitna) matrica ako i samo ako te matrice komutiraju (v. Korolar 10 iz
[19]). Inače, proučavanje umnoška hermitske i pozitivno semidefinitne matrice je netrivijalno pitanje (
[14, 21, 23]).
Definicija 4. Komutator kompleksnih kvadratnih matrica A i B reda n, u oznaci [A,B], je matrica koju definiramo formulom [A,B]:={A}{B}-{B}{A}.
Kako je \textsf{tr}({T}{S})=\textsf{tr}({S}{T}), komutatori su primjer matrica čiji je trag jednak nuli. Možemo se zapitati opisuje li to svojstvo u potpunosti komutatore, odnosno je li svaka matrica traga nula komutator dviju matrica. Uočimo najprije da je odgovor potvrdan za dijagonalnu matricu A= \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) traga nula, budući da je jedan mogući izbor matrica T i S takvih da je A=[T,S] dan s
\begin{align*} T&=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 &\ldots &0 &0 \\\ 0 &0 &1 &\ldots &0 &0\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0 \\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &1\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ \end{bmatrix} \\\ S&=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ \mu_{1} &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ 0 &\mu_{2} &0 &\ldots &0 &0\\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ 0 &0 &0 &\ldots &\mu_{n-1} &0\\\ \end{bmatrix}, \end{align*}
gdje su \displaystyle\mu_{i}=\sum_{j=1}^{i}\lambda_{j},i=1,\dots,n-1.
Promotrimo sada matricu A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) traga nula, takvu da je a_{ii}=0,i=1,\dots,n. Izaberimo zatim matricu T=\textsf{diag} (t_{1},\dots, t_{n}), gdje su t_{1},\dots, t_{n} proizvoljni, ali međusobno različiti kompleksni brojevi. Neka je S=(s_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), gdje je
s_{ij}:=\frac{a_{ij}}{t_{i}-t_{j}}, \quad 1\le i\neq j\le n,
a s_{ii},i=1, \dots,n, su proizvoljni kompleksni brojevi. Lako se provjeri da je (i,j)-ti element matrice {T}{S}-{S}{T} jednak (t_{i}-t_{j})s_{ij}=a_{ij}, pa je prema tome A={T}{S}-{S}{T}. Time smo pokazali da je matrica čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli komutator dviju matrica.
Primijetimo da je svojstvo "biti komutator" invarijanta sličnosti. Naime, ako je A=[T,S] za neke matrice T,S \in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tada je
\begin{align*} R^{-1}{A}{R} &= R^{-1}({T}{S}-{S}{T})R\\\ &= (R^{-1}{T}{R})(R^{-1}{S}{R})-(R^{-1}{S}{R})(R^{-1}{T}{R})\\\ &= [R^{-1}{T}{R},R^{-1}{S}{R}] \end{align*}
za svaku regularnu matricu R\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Odavde slijedi da je i svaka matrica A koja je slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula također komutator dviju matrica.
Kao primjer matrica traga nula naveli smo nilpotentne matrice. Prema teoremu o Schurovoj dekompoziciji (teorem 3.3 iz [24]) svaka je nilptotentna matrica unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula, pa su stoga nilpotentne matrice komutatori dviju matrica. Pokazat ćemo sada da ovaj rezultat vrijedi i općenito, odnosno da je svaka matrica traga nula unitarno slična matrici čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli. Dokaz ove tvrdnje je netrivijalan, a temelji se na svojstvu konveksnosti numeričke slike matrice.
Numerička slika, ili kako se još naziva polje vrijednosti, matrice A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) definira se kao skup
W(A)=\left\lbrace (Ax,x): x\in \mathbb{C}^{n}, \Vert x\Vert =1\right\rbrace .
Skup W(A) je kompaktan, jer je slika neprekidne funkcije x\mapsto (Ax,x) definirane na jediničnoj sferi \lbrace x\in\mathbb{C}^{n}:\, \Vert x\Vert =1\rbrace , koja je kompaktan skup. Također, za svaki \lambda \in \sigma (A) postoji jedinični vektor x \in \mathbb{C}^{n} za koji je Ax = \lambda x, odakle slijedi \lambda = (\lambda x,x) = (Ax,x) \in W(A). Prema tome, numerička slika matrice sadrži njezin spektar. Kao što smo već napomenuli, jedno od osnovnih svojstava numeričke slike matrice, koje je dovelo do mnogih interesantnih posljedica i korisnih primjena, je njezina konveksnost ([13, 22]). Više rezultata o numeričkoj slici matrice zainteresirani čitatelj može naći u [15].
Konveksnom kombinacijom elemenata x_{1},\dots,x_{n} nekog vektorskog prostora nazivamo svaki vektor oblika
t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n},
pri čemu je t_{i}\geq 0 za i=1,\dots,n i t_{1}+\dots +t_{n}=1. Konveksan skup sadrži svaku konveksnu kombinaciju svojih elemenata (propozicija 11, str. 37 iz [19]). Kako je W(A) konveksan, te \sigma(A)\subseteq W(A), zaključujemo da skup W(A) sadrži sve konveksne kombinacije svojstvenih vrijednosti matrice A. Upravo na tom svojstvu zasniva se dokaz sljedeće tvrdnje o karakterizaciji matrica traga nula.
Teorem 5. Za
A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) sljedeće tvrdnje su međusobno ekvivalentne
:
|
(a) |
\textsf{tr}(A)=0; |
|
(b) |
A je komutator dviju matrica; |
|
(c) |
postoji unitarna matrica U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) takva da su svi dijagonalni elementi matrice U^{*}{A}{U} jednaki nuli. |
Dokaz.. Tvrdnje (b)
\Rightarrow(a) i (c)
\Rightarrow(a) su očite.
(a)
\Rightarrow(c) Tvrdnju da postoji unitarna matrica
U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), takva da su svi dijagonalni elementi matrice
U^{*}{A}{U} jednaki nuli, dokazujemo indukcijom po redu matrice
n. Jasno je da tvrdnja vrijedi za
n=1.
Prepostavimo sada da tvrdnja vrijedi za sve matrice reda
n-1. Neka je
\sigma(A)= \left\lbrace \lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}\right\rbrace . Prema pretpostavci je
\frac{1}{n}\lambda_{1}+ \dots +\frac{1}{n}\lambda_{n}=\frac{1}{n}\,\textsf{tr}(A)=0,
tj.
0 je konveksna kombinacija svojstvenih vrijednosti matrice
A, pa stoga
0\in W(A). Tada postoji
x\in \mathbb{C}^{n}, \left\Vert x\right\Vert =1, takav da je
(Ax,x)=0. Neka je
W\in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) unitarna matrica čiji je prvi stupac vektor
x; dakle
We_{1}=x. Tada vrijedi
(W^{*}{A}{W}e_{1},e_{1})=({A}{W}e_{1},We_{1})=(Ax,x)=0,
pa je
W^{*}{A}{W} = \begin{bmatrix} 0 &u^{*}\\\ v &B\\\ \end{bmatrix},
gdje su
u,v\in \mathbb{C}^{n-1},B \in\mathbb{M}_{n-1}(\mathbb{C}). Kako je
0=\textsf{tr}(A)=\textsf{tr}(W^{*}{A}{W})=0 + \textsf{tr}(B)= \textsf{tr}(B),
prema pretpostavci indukcije postoji unitarna matrica
V_{1}\in \mathbb{M}_{n-1}(\mathbb{C}) takva da su svi dijagonalni elementi od
V_{1}^{*}BV_{1} jednaki nuli. Definiramo
U={W}{V}, gdje je
V= \begin{bmatrix} 1 &0\\\ 0 &V_{1}\\ \end{bmatrix}\in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})
unitarna matrica. Tada je
\begin{align*} U^{*}{A}{U}&= ({W}{V})^{*}A({W}{V})= V^{*}(W^{*}{A}{W})V\\\ &=\begin{bmatrix} 1 &0\\\ 0&V_{1}^{*} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &u^{*}\\\ v &B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &0\\\ 0 &V_{1} \end{bmatrix}\\\ &=\begin{bmatrix} 0 &u^{*}V_{1}\\\ V_{1}^{*}v &V_{1}^{*}BV_{1} \end{bmatrix} \end{align*}
matrica čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli.
(a)
\Rightarrow(b) Pokazali smo da (a) povlači (c), a iz prijašnjih razmatranja jasno je da tada vrijedi i tvrdnja (b).
\ \blacksquare
Napomena 6. Pokazali smo da za matricu A čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli postoje matrice T i S, pri čemu je T dijagonalna, pa stoga i normalna matrica, takve da je A=[T,S]. Štoviše, za svojstvene vrijednosti matrice T možemo izabrati bilo koje međusobno različite kompleksne brojeve. Prema prethodnom teoremu svaka je matrica A traga nula unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula. Odavde zaključujemo da za svaku matricu A traga nula postoji rastav A=[T,S], gdje za T možemo izabrati normalnu matricu s proizvoljnim međusobno različitim svojstvenim vrijednostima.
Kao očitu posljedicu propozicije 1 i teorema 5 navodimo sljedeći rezultat.
Korolar 7. Skup svih komutatora dviju matrica reda n je vektorski potprostor od \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) dimenzije n^{2}-1.
3Karakterizacije hermitskih matrica traga nula
Važnu klasu unutar komutatora čine samokomutatori, tj. hermitske matrice oblika [T^{*},T], gdje je T\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).
Ako je A=[T^{*},T] samokomutator i U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) unitarna matrica, onda je
\begin{align} U^{*}{A}{U}&=U^{*}(T^{*}T-{T}{T}^{*})U\\\ &=(U^{*}T^{*}U)(U^{*}{T}{U})-(U^{*}{T}{U})(U^{*}T^{*}U)\\\ &=(U^{*}{T}{U})^{*}(U^{*}{T}{U})-(U^{*}{T}{U})(U^{*}{T}{U})^{*}\\\ &= [(U^{*}{T}{U})^{*},U^{*}{T}{U}], \end{align}
pa je U^{*}{A}{U} također samokomutator. Dakle, “biti samokomutator” je invarijanta unitarne sličnosti.
Ako je A samokomutator, onda je \textsf{tr}(A)=0. Pokazat ćemo da je svaka hermitska matrica, čiji je trag jednak nuli, samokomutator.
Teorem 8. Za hermitsku matricu
A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) sljedeće tvrdnje su međusobno ekvivalentne
:
|
(a) |
\textsf{tr}(A)=0; |
|
(b) |
A je samokomutator. |
Dokaz.. Tvrdnja (b)
\Rightarrow(a) je očita.
(a)
\Rightarrow(b) Kako je
A hermitska matrica, to postoji unitarna matrica
U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) tako da je
D=U^{*}{A}{U}=\textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}), gdje su
\lambda_{i}\in \sigma(A), te
\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}. Stavimo
\mu_{i}=\sum_{j=1}^{i}\lambda_{j},i=1,\dots,n-1. Budući da je
\textsf{tr}(A)=0, vrijedi
\mu_{i} \geq0 za
i=1,\dots,n-1. Neka je
T=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ \sqrt{\mu_{1}}&0 &0 &\ldots &0 &0\\\ 0 &\sqrt{\mu_{2}}&0 &\ldots &0 &0\\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\\ 0 &0 &0 &\ldots &0 &0\\\ 0 &0 &0 &\ldots &\sqrt{\mu_{n-1}} &0 \end{bmatrix} \in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).
Tada je
\begin{align*} T^{*}T-{T}{T}^{*}&=\textsf{diag}(\mu_{1},\mu_{2}-\mu_{1},\mu_{3}-\mu_{2},\dots,\mu_{n-1}-\mu_{n-2},- \mu_{n-1})\\\ &=\textsf{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\dots,\lambda_{n-1},\lambda_{n})\\\ &=D, \end{align*}
tj.
D je samokomutator. Stoga je i
A=U{D}{U}^{*} također samokomutator.
\ \blacksquare
U nastavku ćemo dati još neke interesantne karakterizacije hermitskih matrica traga nula.
Teorem 9. Za hermitsku matricu
A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) sljedeće tvrdnje su međusobno ekvivalentne
:
|
(a) |
\textsf{tr}(A)=0; |
|
(b) |
A=P-{U}{P}{U}^{*}, gdje je P\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) pozitivno semidefinitna matrica i U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) unitarna matrica; |
|
(c) |
A=\textsf{Re}(N), gdje je N\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) nilpotentna matrica. |
Dokaz.. Tvrdnja (b)
\Rightarrow(a) je očita.
(a)
\Rightarrow(b) Prema teoremu
8 postoji
T\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) tako da je
A=T^{*}T-{T}{T}^{*}. Neka je
T=U|T| polarni rastav matrice
T. Tada je
{T}{T}^{*}=U|T|^{2}{U}^{*}, pa je
A=|T|^{2}-{U}|T|^{2}U^{*}, gdje je
P=|T|^{2} pozitivno semidefinitna matrica.
(c)
\Rightarrow(a) Kako je
\textsf{tr}(N)=0, vrijedi
\textsf{tr}(A)=\textsf{tr}(\textsf{Re}(N))=\frac{1}{2}\big(\textsf{tr}(N)+\textsf{tr}(N^{*})\big)= \frac{1}{2}\big(\textsf{tr}(N)+\overline{\textsf{tr}(N)}\big)=0.
(a)
\Rightarrow(c) Kako je
\textsf{tr}(A)=0 to je, prema teoremu
5,
A=U^{*}{B}{U} gdje je
U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) unitarna matrica, a
B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) (hermitska) matrica s nulama na glavnoj dijagonali. Matrica
B može se zapisati kao zbroj
B=\frac{1}{2}(M+M^{*}), pri čemu je
M gornja trokutasta matrica s nulama na glavnoj dijagonali, pa je prema tome
M nilpotenta matrica. Tada je
N=U^{*}{M}{U} nilpotentna matrica, te vrijedi
A=U^{*}{B}{U}=\frac{1}{2}(N+N^{*})=\textsf{Re}(N).
\ \blacksquare
4Ocjene za norme samokomutatora
Na \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) uvodi se matrična (operatorska) norma inducirana euklidskom normom na \mathbb{C}^{n};
\left\Vert A\right\Vert = \displaystyle\max_{\left\Vert x\right\Vert =1} \left\Vert Ax\right\Vert \quad (A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})).
Ovako definirana matrična norma je submultiplikativna, tj.
\Vert {A}{B}\Vert \le \Vert A\Vert \,\Vert B\Vert \quad (A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})),
te unitarno invarijantna, tj.
\Vert {U}{A}{V}\Vert =\Vert A\Vert
za sve unitarne matrice U,V\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Također vrijedi
\Vert A^{*}\Vert =\Vert A\Vert , \quad \Vert A^{*}A\Vert =\Vert A\Vert ^{2}.
Ako je matrica A normalna, onda je
\Vert A\Vert =\max\lbrace |\lambda|:\,\lambda\in\sigma(A)\rbrace .
U ovoj točki dat ćemo gornju i donju ocjenu za matrične norme samokomutatora. Uočimo, za samokomutator A=[T^{*},T] vrijedi ocjena
\left\Vert A\right\Vert =\Vert T^{*}T-{T}{T}^{*}\Vert \leq \left\Vert T^{*}T\right\Vert + \left\Vert {T}{T}^{*}\right\Vert =2\left\Vert T\right\Vert ^{2}.
Međutim, ovaj pristup ne daje nam dobru gornju ocjenu. Fong [8] je dokazao da se konstanta 2 u gornjoj ocjeni može zamijeniti konstantom 1.
Teorem 10. Ako je
A=[T^{*},T], onda je
\Vert A\Vert \leq \Vert T\Vert ^{2}.
Dokaz.. Kako je matrica
A hermitska, to prema teorem 8.8 iz
[24] postoji jedinični vektor
x takav da
(Ax,x)=\left\Vert A\right\Vert , ili postoji jedinični vektor
y takav da
(Ay,y)=-\left\Vert A\right\Vert . U prvom slučaju imamo
\left\Vert T\right\Vert ^{2}\geq\left\Vert Tx\right\Vert ^{2}=(Tx,Tx)=(T^{*}Tx,x) =({T}{T}^{*}x,x)+(Ax,x)\geq \left\Vert A\right\Vert ,
dok je u drugom slučaju
\begin{array}{rcl} \left\Vert T\right\Vert ^{2}&=&\left\Vert T^{*}\right\Vert ^{2}\geq \left\Vert T^{*}y\right\Vert ^{2}=(T^{*}y,T^{*}y)=({T}{T}^{*}y,y)\\ &=&(T^{*}Ty,y)-(Ay,y)\geq \left\Vert A\right\Vert . \end{array}
Time je teorem dokazan.
\ \blacksquare
Za donju ocjenu norme samokomutatora koristit ćemo nejednakost
(1)
\Vert A+B\Vert \leq \max\lbrace \Vert A\Vert ,\Vert B\Vert \rbrace +\Vert A^{1/2}B^{1/2}\Vert
koja vrijedi za svake dvije pozitivno semidefinitne matrice A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), a čiji se dokaz može pronaći u [17].
Teorem 11. Ako je
A=[T^{*},T], onda je
\left\Vert A\right\Vert \geq \left\Vert T\right\Vert ^{2}-\left\Vert T^{2}\right\Vert \geq 0.
Dokaz.. Neka je
T=U|T| polarni rastav matrice
T. Budući da su matrice
|T| i
U|T|U^{*} pozitivno semidefinitne, prema
(1) vrijedi
\begin{align*} \left\Vert T^{*}T+{T}{T}^{*}\right\Vert &=\left\Vert \,|T|^{2}+ U|T|^{2}U^{*}\right\Vert \\\ &= \left\Vert \,|T|^{2}+ (U|T|U^{*})^{2}\right\Vert \\\ &\leq \max\left\lbrace \left\Vert \,|T|^{2}\right\Vert , \left\Vert (U|T|U^{*})^{2}\right\Vert \right\rbrace + \left\Vert \,|T|U|T|U^{*}\right\Vert \\\ &= \left\Vert \,|T|^{2}\right\Vert + \left\Vert U|T|U|T|U^{*}U\right\Vert \\\ &= \left\Vert T^{*}T\right\Vert +\left\Vert U|T|U|T|\right\Vert \\\ &= \left\Vert T\right\Vert ^{2}+\left\Vert T^{2}\right\Vert . \end{align*}
Odavde slijedi
\begin{align*} \left\Vert A\right\Vert &=\left\Vert T^{*}T-{T}{T}^{*}\right\Vert \\\ &=\left\Vert T^{*}T + {T}{T}^{*}- 2{T}{T}^{*}\right\Vert \\\ &\geq 2\left\Vert {T}{T}^{*}\right\Vert -\left\Vert T^{*}T + {T}{T}^{*}\right\Vert \\\ &\geq 2\left\Vert T\right\Vert ^{2}-\big(\left\Vert T\right\Vert ^{2}+\left\Vert T^{2}\right\Vert \big)\\\ &= \left\Vert T\right\Vert ^{2}- \left\Vert T^{2}\right\Vert , \end{align*}
što se i tvrdilo.
\ \blacksquare
Napomena 12. (a) Primijetimo da za normalnu matricu
T imamo
A=[T^{*},T]=T^{*}T-{T}{T}^{*}=0, pa teorem
11 kaže da vrijedi
\Vert T\Vert ^{2}=\Vert T^{2}\Vert , što je dobro poznata činjenica (v. vidi str. 178 iz
[11]).
(b) Ocjene dane teoremima
10 i
11 su oštre. Zaista, za nilpotentnu matricu
T čiji je indeks nilpotentnosti dva, postižu se jednakosti
\Vert T\Vert ^{2}-\Vert T^{2}\Vert =\Vert T^{*}T-{T}{T}^{*}\Vert =\Vert T\Vert ^{2}.
5Generalizacije
Pojam traga ne može se općenito definirati za operatore koji djeluju na beskonačno-dimenzionalnim prostorima. Ipak, prirodno se zapitati mogu li se rezultati o karakterizaciji komutatora i samokomutatora generalizirati i za takve operatore. Puno je zanimljivih radova napisano na tu temu (v. [2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 20]). Jedna od značajnih karakterizacija komutatora može se naći u [4, 12], gdje je pokazano da je ograničen linearan operator A koji djeluje na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H komutator dvaju operatora ako i samo ako A nije kompaktna perturbacija (različitog od nule) skalarnog operatora, tj. ako A nije oblika K+\lambda I, gdje je \lambda\in\mathbb{C}\setminus\lbrace 0\rbrace ,K kompaktan operator na H, a I jedinični operator na H. (Ograničen linearan operator K na Hilbertovom prostoru H je kompaktan ako i samo ako za svaki ograničen niz (x_{n}) u H, niz (Kx_{n}) u H ima konvergentan podniz.) Također su važne karakterizacije komutatora na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru dobivene u terminima njegove esencijalne numeričke slike, odnosno nul-dijagonalnih operatora ([2, 5, 6, 20]).
Bibliografija
|
[1] |
A. A. Albert, B. Muckenhoupt, On matrices of trace zero, Michigan Math. J. 4 (1957), 1–3. |
|
[2] |
J. H. Anderson, Derivations, commutators, and the essential numerical range, Thesis, Indiana University, 1971. |
|
[3] |
J. H. Anderson, J. G. Stampfli, Commutators and compressions, Israel J. Math. 10 (1971), 433–441. |
|
[4] |
A. Brown, C. Pearcy, Structure of commutators of operators, Ann. of Math. 82 (1965), 112–127. |
|
[5] |
P. Fan, On the diagonal of an operator, Trans. Amer. Math. Soc. 283 (1) (1984), 239–251. |
|
[6] |
P. Fan, C.-K. Fong, Which operators are the self-commutators of compact operators?, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1) (1980), 58–60. |
|
[7] |
P. A. Fillmore, C. K. Fong, A. R. Sourour, Real parts of quasi-nilpotent operators, Proc. Edinb. Math. Soc. 22 (1979), 263–269. |
|
[8] |
C. K. Fong, Norm estimates related to self-commutators, Linear Algebra Appl. 74 (1986), 151–156. |
|
[9] |
P. R. Halmos, Commutators of operators, Amer. J. Math. 74 (1952), 237–240. |
|
[10] |
P. R. Halmos, Commutators of operators II, Amer. J. Math. 76 (1954), 191–198. |
|
[11] |
P. R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, New York, 1974. |
|
[12] |
P. R. Halmos, A glimpse into Hilbert space, Lectures on Modern Mathematics, Vol. I, Wiley, New York, 1963. |
|
[13] |
F. Hausdorff, Das Wertvorrat einer Bilinearform, Math. Zeit. 3 (1919), 314–316. |
|
[14] |
Y. Hong, R. A. Horn, The Jordan canonical form of a product of a Hermitian and a positive semidefinite matrix, Linear Algebra Appl. 147 (1991), 373–386. |
|
[15] |
R. A. Horn, C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1991. |
|
[16] |
F. Kittaneh, Commutator inequalities associated with the polar decomposition, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (5) (2001), 1279–1283. |
|
[17] |
F. Kittaneh, Norm inequalities for certain operator sums, J. Funct. Anal. 143 (1997), 337–348. |
|
[18] |
M. Kožul, Hermitske matrice, diplomski rad, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, 2013. |
|
[19] |
S. Kurepa, Funkcionalna analiza. Elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. |
|
[20] |
H. Radjavi, Structure of A^{*}A-{A}{A}^{*}, J. Math. Mech. 16 (1) (1966), 19–26. |
|
[21] |
W. Rehder, On the product of self-adjoint operators, Internat. J. Math. & Math. Sci. 5 (4) (1982), 813–816. |
|
[22] |
O. Toeplitz, Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejér, Math. Zeit. 2 (1918), 187–197. |
|
[23] |
P. Y. Wu, Products of positive semidefinite matrices, Linear Algebra Appl. 111 (1988), 53–61. |
|
[24] |
F. Zhang, Mathrix Theory. Basic Results and Techniques, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 2011.
|
