Neka je \mathbb{C}^{n} unitaran prostor snabdjeven skalarnim produktom

gdje su x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots, y_{n})\in\mathbb{C}^{n}. Euklidska norma vektora x=(x_{1},\dots, x_{n})\in\mathbb{C}^{n} definira se kao

Označimo s \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) algebru svih kompleksnih kvadratnih matrica reda n. Poznato je da se algebra \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), preko standardne ortonormirane baze (e_{1},\dots, e_{n}) prostora \mathbb{C}^{n}, poistovjećuje s algebrom B(\mathbb{C}^{n}) svih linearnih operatora koji djeluju na \mathbb{C}^{n}. Vektore prostora \mathbb{C}^{n} shvaćamo kao jednostupčane matrice.

Trag matrice A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), u oznaci \textsf{tr}(A), definira se kao zbroj njezinih dijagonalnih elemenata

Pokazuje se da je trag matrice jednak zbroju njezinih svojstvenih vrijednosti.
Preslikavanje A\mapsto \textsf{tr}(A) je linearan funkcional na prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tj. vrijedi

za sve A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) i sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Također, za kompleksne kvadratne matrice A i B istoga reda vrijedi

gdje smo s A^{T} označili transponiranu, a s A^{*} adjungiranu matricu matrice A. Prostor \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) je unitaran uz skalarni produkt definiran s

Ovako definiran skalarni produkt je ekvivalentan euklidskom skalarnom produktu na \mathbb{C}^{n\times n}.

U daljnjem ćemo hermitski dio kvadratne matrice A, tj. matricu \frac{1}{2}(A+A^{*}), po analogiji s kompleksnim brojevima označavati s \textsf{Re}(A). Prema tome, \textsf{Re}(A)=\frac{1}{2}(A+A^{*}). Oznaku \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) koristit ćemo za dijagonalnu matricu reda n s elementima na glavnoj dijagonali \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}. Sa \sigma(A) označavat ćemo spektar kvadratne matrice A.

Pozitivan drugi korijen pozitivno semidefinitne matrice A uvodimo koristeći spektralni račun. Neka je A={U}{D}{U}^{*}, gdje je D=\textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}), spektralni rastav matrice A. Definiramo dijagonalnu matricu

Tada je pozitivno semidefinitna matrica

jedinstveno pozitivno semidefinitno rješenje jednadžbe X^{2}=A, koje nazivamo pozitivan drugi korijen matrice A. Apsolutnom vrijednošću matrice A, u oznaci |A|, nazivamo pozitivan drugi korijen matrice A^{*}A. Dakle, |A|=(A^{*}A)^{1/2}. Pokazuje se da za svaku kompleksnu kvadratnu matricu A reda n postoji unitarna matrica U reda n takva da je A=U|A|. Ovaj se rastav naziva polarni rastav matrice A (v. Teorem 3.7 iz [24]).

U ovom radu dat ćemo pregled osnovnih rezultata o kvadratnim matricama čiji trag je jednak nuli. Pokazat ćemo da je A matrica traga nula ako i samo ako je A komutator dviju matrica. Također, svaka je matrica traga nula unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula. Posebno ćemo proučiti hermitske matrice traga nula; okarakterizirati ih, te dati ocjene za operatorsku normu takvih matrica.

Članak se temelji na diplomskom radu [18], koji se pak temelji na rezultatima koji se mogu naći u [1, 7, 8, 11, 15, 16, 24].

Budući da je trag linearan funkcional na vektorskom prostoru \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), to je skup svih kvadratnih matrica reda n čiji je trag jednak nuli potprostor prostora \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Naime, ako su A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), te ako je \textsf{tr}(A)=\textsf{tr}(B)=0, tada je

za sve \alpha,\beta\in\mathbb{C}. Izračunat ćemo dimenziju tog potprostora.

Kako je \textsf{tr}({T}{S})=\textsf{tr}({S}{T}), komutatori su primjer matrica čiji je trag jednak nuli. Možemo se zapitati opisuje li to svojstvo u potpunosti komutatore, odnosno je li svaka matrica traga nula komutator dviju matrica. Uočimo najprije da je odgovor potvrdan za dijagonalnu matricu A= \textsf{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}) traga nula, budući da je jedan mogući izbor matrica T i S takvih da je A=[T,S] dan s

gdje su \displaystyle\mu_{i}=\sum_{j=1}^{i}\lambda_{j},i=1,\dots,n-1.

Promotrimo sada matricu A=(a_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) traga nula, takvu da je a_{ii}=0,i=1,\dots,n. Izaberimo zatim matricu T=\textsf{diag} (t_{1},\dots, t_{n}), gdje su t_{1},\dots, t_{n} proizvoljni, ali međusobno različiti kompleksni brojevi. Neka je S=(s_{ij})\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), gdje je

a s_{ii},i=1, \dots,n, su proizvoljni kompleksni brojevi. Lako se provjeri da je (i,j)-ti element matrice {T}{S}-{S}{T} jednak (t_{i}-t_{j})s_{ij}=a_{ij}, pa je prema tome A={T}{S}-{S}{T}. Time smo pokazali da je matrica čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli komutator dviju matrica.

Primijetimo da je svojstvo "biti komutator" invarijanta sličnosti. Naime, ako je A=[T,S] za neke matrice T,S \in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), tada je

za svaku regularnu matricu R\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Odavde slijedi da je i svaka matrica A koja je slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula također komutator dviju matrica.

Kao primjer matrica traga nula naveli smo nilpotentne matrice. Prema teoremu o Schurovoj dekompoziciji (teorem 3.3 iz [24]) svaka je nilptotentna matrica unitarno slična matrici čija se dijagonala sastoji od samih nula, pa su stoga nilpotentne matrice komutatori dviju matrica. Pokazat ćemo sada da ovaj rezultat vrijedi i općenito, odnosno da je svaka matrica traga nula unitarno slična matrici čiji su svi dijagonalni elementi jednaki nuli. Dokaz ove tvrdnje je netrivijalan, a temelji se na svojstvu konveksnosti numeričke slike matrice.

Numerička slika, ili kako se još naziva polje vrijednosti, matrice A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) definira se kao skup

Skup W(A) je kompaktan, jer je slika neprekidne funkcije x\mapsto (Ax,x) definirane na jediničnoj sferi \lbrace x\in\mathbb{C}^{n}:\, \Vert x\Vert =1\rbrace , koja je kompaktan skup. Također, za svaki \lambda \in \sigma (A) postoji jedinični vektor x \in \mathbb{C}^{n} za koji je Ax = \lambda x, odakle slijedi \lambda = (\lambda x,x) = (Ax,x) \in W(A). Prema tome, numerička slika matrice sadrži njezin spektar. Kao što smo već napomenuli, jedno od osnovnih svojstava numeričke slike matrice, koje je dovelo do mnogih interesantnih posljedica i korisnih primjena, je njezina konveksnost ([13, 22]). Više rezultata o numeričkoj slici matrice zainteresirani čitatelj može naći u [15].

Konveksnom kombinacijom elemenata x_{1},\dots,x_{n} nekog vektorskog prostora nazivamo svaki vektor oblika

pri čemu je t_{i}\geq 0 za i=1,\dots,n i t_{1}+\dots +t_{n}=1. Konveksan skup sadrži svaku konveksnu kombinaciju svojih elemenata (propozicija 11, str. 37 iz [19]). Kako je W(A) konveksan, te \sigma(A)\subseteq W(A), zaključujemo da skup W(A) sadrži sve konveksne kombinacije svojstvenih vrijednosti matrice A. Upravo na tom svojstvu zasniva se dokaz sljedeće tvrdnje o karakterizaciji matrica traga nula.

Kao očitu posljedicu propozicije 1 i teorema 5 navodimo sljedeći rezultat.

Važnu klasu unutar komutatora čine samokomutatori, tj. hermitske matrice oblika [T^{*},T], gdje je T\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}).

Ako je A=[T^{*},T] samokomutator i U\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) unitarna matrica, onda je

pa je U^{*}{A}{U} također samokomutator. Dakle, “biti samokomutator” je invarijanta unitarne sličnosti.

Ako je A samokomutator, onda je \textsf{tr}(A)=0. Pokazat ćemo da je svaka hermitska matrica, čiji je trag jednak nuli, samokomutator.

U nastavku ćemo dati još neke interesantne karakterizacije hermitskih matrica traga nula.

Na \mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}) uvodi se matrična (operatorska) norma inducirana euklidskom normom na \mathbb{C}^{n};

Ovako definirana matrična norma je submultiplikativna, tj.

te unitarno invarijantna, tj.

za sve unitarne matrice U,V\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}). Također vrijedi

Ako je matrica A normalna, onda je

U ovoj točki dat ćemo gornju i donju ocjenu za matrične norme samokomutatora. Uočimo, za samokomutator A=[T^{*},T] vrijedi ocjena

Međutim, ovaj pristup ne daje nam dobru gornju ocjenu. Fong [8] je dokazao da se konstanta 2 u gornjoj ocjeni može zamijeniti konstantom 1.

Za donju ocjenu norme samokomutatora koristit ćemo nejednakost

koja vrijedi za svake dvije pozitivno semidefinitne matrice A,B\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), a čiji se dokaz može pronaći u [17].

Pojam traga ne može se općenito definirati za operatore koji djeluju na beskonačno-dimenzionalnim prostorima. Ipak, prirodno se zapitati mogu li se rezultati o karakterizaciji komutatora i samokomutatora generalizirati i za takve operatore. Puno je zanimljivih radova napisano na tu temu (v. [2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 20]). Jedna od značajnih karakterizacija komutatora može se naći u [4, 12], gdje je pokazano da je ograničen linearan operator A koji djeluje na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H komutator dvaju operatora ako i samo ako A nije kompaktna perturbacija (različitog od nule) skalarnog operatora, tj. ako A nije oblika K+\lambda I, gdje je \lambda\in\mathbb{C}\setminus\lbrace 0\rbrace ,K kompaktan operator na H, a I jedinični operator na H. (Ograničen linearan operator K na Hilbertovom prostoru H je kompaktan ako i samo ako za svaki ograničen niz (x_{n}) u H, niz (Kx_{n}) u H ima konvergentan podniz.) Također su važne karakterizacije komutatora na beskonačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru dobivene u terminima njegove esencijalne numeričke slike, odnosno nul-dijagonalnih operatora ([2, 5, 6, 20]).