Ključne riječi: sustavi glasovanja da-ne, indeksi snage, Shapley-Shubik indeks, Banzhaf indeks, Johnston indeks, Deegan-Packel indeks

Jedan od vrlo važnih pojmova političke znanosti jest snaga. Promotrimo snagu glasovanja u sustavima glasovanja da-ne, gdje glasači (tj. "igrači") imaju određeni utjecaj na donošenje nekih odluka. U smislu formalnog glasovanja, smatra se da je potrebna apsolutna većina za donošenje odluka odnosno određena kvota. Stoga, za prihvaćanje odluka (zakona) treba promatrati pobjedničke koalicije.

Radi kvantitativnog mjerenja snage glasovanja odgovarajućih igrača (primjerice, stranaka u skupštini), predloženi su određeni indeksi glasačke ili političke snage (http://homepages.warwick.ac.uk/~ecaae/links.html, http://powerslave.utu.fi/ ). Neki poznati indeksi snage su Shapley-Shubik indeks, Banzhaf indeks, Johnston indeks, Deegan-Packel indeks (Taylor1995, Cortona1999, Matsui2000, Marosevic2016). Opišimo glavna svojstva ovih indeksa.

Neka je X=\lbrace p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\rbrace skup od n igrača u težinskim sustavima glasovanja da-ne, gdje su dane pripadne težine s_{k} igrača p_{k}, k=1,\ldots,n, tako da je s_{k} broj glasova igrača p_{k}. Koalicija C jest bilo koji podskup skupa X. Također, pretpostavimo da je dana kvota q koja je potrebna da bi koalicija pobijedila. Ako je ispunjena nejednakost \sum_{p_{k}\in C} s_{k} \geq q, onda se koalicija C\subseteq X naziva pobjednička koalicija.

Predložen je 1954. god. ([5]). Tu se gleda uređaje (permutacije) igrača. Za uređaj p_{\sigma_{1}}p_{\sigma_{2}}\ldots p_{\sigma_{n}}, jedan od igrača p_{\sigma_{k}} naziva se pivot (tj. pivotni igrač), ako koalicija koja nije pobjednička, p_{\sigma_{1}}p_{\sigma_{2}}\ldots p_{\sigma_{k-1}}, pripajanjem igrača p_{\sigma_{k}} postaje pobjednička koalicija p_{\sigma_{1}}p_{\sigma_{2}}\ldots p_{\sigma_{k-1}}p_{\sigma_{k}}.

Shapley-Shubik indeks igrača p_{k} jest udio permutacija za koje je p_{k} pivotni igrač ([7]), odnosno definira se na sljedeći način.

Primijetimo da je nazivnik u gornjem izrazu jednak n!. Opišimo izračunavanje indeksa SSI jednim primjerom.

Primjer 2. Neka četiri stranke \lbrace p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\rbrace =\lbrace A,B,C,D\rbrace čine skupštinu, sa sljedećim brojem njima pripadnih zastupnika (tj. težinama glasovanja) redom: s_{A}=40, s_{B}=30, s_{C}=20, s_{D}=10. Neka je kvota q=51, što ovdje predstavlja nadpolovičnu većinu. Stoga, da bi koalicija stranaka bila pobjednička, mora ukupno imati barem 51 glasova ili više.

Stranka A ne može biti pivotni element kada je u permutacijama na prvom mjestu, jer s_{A}=40\lt 51. Također, A ne može biti pivotni element kada je u permutacijama na četvrtom mjestu, jer s_{B}+s_{C}+s_{D}=60\gt 51. No, stranka A je pivotni element na drugom mjestu u permutacijama oblika: B A . . ;  C A . . , kojih ima 2!\cdot 2. Nadalje, stranka A je pivotni element na trećem mjestu u permutacijama oblika: . . A B ;  . . A C ;  . . A D , kojih ima 2!\cdot 3. Stoga, po izrazu (1) dobivamo SSI(A)=\frac{2!\cdot 5}{4!}=\frac{5}{12}.

Za stranku B analogno se zaključuje. Ona također ne može biti pivotni element kada je u permutacijama na prvom mjestu, niti kada je u permutacijama na četvrtom mjestu. B jest pivotni element na drugom mjestu u permutacijama oblika: A B . . , kojih ima 2!\cdot 1, te B jest pivotni element na trećem mjestu u permutacijama oblika: . . B A ;  . . B C , kojih ima 2!\cdot 2. Stoga, SSI(B)=\frac{2!\cdot 3}{4!}=\frac{3}{12}.

Za stranku C analogno se zaključuje kao za B i dobiva SSI(C)=\frac{2!\cdot 3}{4!}=\frac{3}{12}.

Stranka D je pivotni element jedino na trećem mjestu u permutacijama oblika: . . D A, pa je SSI(D)=\frac{2!\cdot 1}{4!}=\frac{1}{12}.

Dobivene SSI indekse snage stranaka navodimo i u Tablici 1, a ilustriramo na Slici 1. Vidimo da su vrijednosti tih SSI indeksa stranaka različiti od udjela zastupnika stranaka u skupštini.

Slika 1: Grafički prikaz SSI indeksa snage stranaka iz Primjera 1.

 

Predložen je 1965. god. ([5]). Prvo se definira ukupna Banzhaf snaga igračap_{k}, s oznakom TBP(p_{k}), kao broj koalicija C koje ispunjavaju sljedeće uvjete:

a) p_{k}\in C;  b) C je pobjednička koalicija;  c) C\setminus\lbrace p_{k}\rbrace nije pobjednička koalicija.

U tom slučaju uklanjanje p_{k} dovodi do toga da koalicija C\setminus \lbrace p_{k}\rbrace nije pobjednička, odnosno kaže se da izlazak p_{k} iz koalicije C jest kritičan ([7]). Stoga imamo sljedeću definiciju.

Kod Banzhaf indeksa snage uzimaju se u obzir kritični izlasci iz pobjedničkih koalicija. Opišimo izračunavanje indeksa BI primjerom.

Kod pobjedničkih koalicija može se promatrati ukupan broj igrača čiji izlazak iz dane koalicije je kritičan. Uzimajući to u obzir, Johnston indeks snage definira se ovako ([7]).

Pretpostavimo da su C_{1}, \ldots,C_{m} one pobjedničke koalicije kod kojih je igrač p_{k} kritičan. Neka je n_{1} broj onih igrača čiji izlazak iz C_{1} je kritičan, n_{2} je broj onih igrača čiji izlazak iz C_{2} je kritičan, i tako dalje, n_{m} je broj onih igrača čiji izlazak iz C_{m} je kritičan, Tada se definira ukupna Johnston snaga igračap_{k}} ovako:

Prikažimo izračunavanje indeksa JI primjerom.

Godine 1978. Deegan and Packel ([5, 7]) uveli su indeks snage vrlo sličan kao Johnston indeks, ali zasnovan na minimalnim pobjedničkim koalicijama. (Minimalna pobjednička koalicija jest ona pobjednička koalicija koja neće više biti pobjednička koalicija, ako bilo koji njezin član izađe iz nje). Stoga, Deegan-Packel indeks snage definira se na sljedeći način.

Neka su C_{1}, \ldots,C_{j} minimalne pobjedničke koalicije kojima pripada igrač p_{k}. Neka je |C_{1}| broj članova C_{1}, |C_{2}| broj članova C_{2}, \ldots ,|C_{j}| broj članova C_{j}. Tada se definira ukupna Deegan-Packel snaga igračap_{k} ovako:

Prikažimo izračunavanje indeksa DPI primjerom.

Iz prethodnih definicija očito jest da indeksi snage imaju vrijednosti između 0 i 1. Te indekse može se izraziti i u postotcima.

Na slici 2 ilustriramo navedene indekse snage u slučaju četiri stranke iz prethodnih Primjera 1 - 4.

Slika 2: Grafički prikaz indeksa političke snage iz Primjera 1 - 4.

Izračunavanje indeksa snage u složenijim slučajevima je komplicirano, što ovdje nećemo razmatrati. Postoje brojne metode za izračunavanje pojedinih indeksa snage, pomoću algoritama prebrojavanja ([2, 5]). Također, na internetskim stranicama može se naći "online" kalkulator raznih indeksa snage (primjerice, [6, 3], http://powerslave.utu.fi/calculate.html, http://homepages.warwick.ac.uk...).

U drugom dijelu opisujemo indekse snage još na nekim primjerima i u slučaju Europskog parlamenta.

Slika 3: Grafički prikaz indeksa snage stranaka A, B i C u Primjeru 5.

Na slici 4 prikazani su navedeni indeksi snage u slučaju tri stranke iz Primjera 6.

Slika 4: Grafički prikaz indeksa snage stranaka A, B i C u Primjeru 6.

Napomena. Spomenuti indeksi snage stranaka ovise o kvoti q. Primjerice, ako se za podatke iz Primjera 6. definira da je kvota q=67 (to je dvotrećinska većina), dobit će se drugačije vrijednosti indeksa snage, koje navodimo u Tablici 3a.


 

Primjer 11.

Promotrimo osmi saziv Europskog parlamenta, koji se sastoji od 751 članova. Stoga, kvota q=376 predstavlja nadpolovični broj glasova. U ovom primjeru pogledajmo podjelu zastupnika po državama koje predstavljaju, odnosno na n=28 europskih držžava iz kojih dolaze ([8]). Odgovarajući brojevi zastupničkih mjesta s_{k} u Europskom parlamentu koje pripadaju pojedinim državama-članicama (k=1,\ldots,n=28) dani su u Tablici 4 (s pripadajućim postotcima).

Nadalje, u Tablici 4 navedeni su i pripadni indeksi snage tih država, izračunati pomoću [6] (bez Johnston indeksa). To su formalni indeksi snage država-članica, jer zastupnici u Europskom parlamentu pripadaju pojedinim političkim skupinama ovisno o svjetonazoru (npr. pučani, socijalisti, liberali, slobodnjaci, ...), a ne ovisno o državama.

Tablica 4. Sastav 8. saziva Europskog parlamenta po državama-članicama u 2015. god., te pripadni indeksi snage.

 

država	broj zastupnika (\%)	indeks SSI	indeks BI	indeks DPI
1 Njemačka	96 (12.78\%)	0.13724	0.13656	0.03873
2 Francuska	74 (9.85\%)	0.10183	0.10017	0.03748
3: Italija	73 (9.72\%)	0.10031	0.09868	0.03746
Velika Britanija	73 (9.72\%)	0.10031	0.09868	0.03746
4 Španjolska	54 (7.19\%)	0.07211	0.07132	0.03673
5 Poljska	51 (6.79\%)	0.06782	0.06709	0.03659
6 Rumunjska	32 (4.26\%)	0.04147	0.04171	0.03607
7 Nizozemska	26 (3.46\%)	0.03343	0.03377	0.03593
8: Belgija	21 (2.80\%)	0.02683	0.02721	0.03568
Češka	21 (2.80\%)	0.02683	0.02721	0.03568
Grčka	21 (2.80\%)	0.02683	0.02721	0.03568
Mađarska	21 (2.80\%)	0.02683	0.02721	0.03568
Portugal	21 (2.80\%)	0.02683	0.02721	0.03568
9 Švedska	20 (2.66\%)	0.02553	0.02592	0.03567
10 Austrija	18 (2.40\%)	0.02293	0.02331	0.03559
11 Bugarska	17 (2.26\%)	0.02162	0.02200	0.03553
12: Finska	13 (1.73\%)	0.01645	0.01681	0.03542
Danska	13 (1.73\%)	0.01645	0.01681	0.03542
Slovačka	13 (1.73\%)	0.01645	0.01681	0.03542
13: Irska	11 (1.465\%)	0.01389	0.01422	0.03533
Hrvatska	11 (1.465\%)	0.01389	0.01422	0.03533
Litva	11 (1.465\%)	0.01389	0.01422	0.03533
14: Latvija	8 (1.065\%)	0.01006	0.01033	0.03491
Slovenija	8 (1.065\%)	0.01006	0.01033	0.03491
15: Cipar	6 (0.80\%)	0.00752	0.00775	0.03406
Estonija	6 (0.80\%)	0.00752	0.00775	0.03406
Luksemburg	6 (0.80\%)	0.00752	0.00775	0.03406
Malta	6 (0.80\%)	0.00752	0.00775	0.03406

Na slici 5 prikazana su tri indeksa snage za slučaj 28 država članica u Europskom parlamentu razdijeljenih u 15 skupina po broju svojih zastupnika, iz Primjera 7.

Slika 5: Grafički prikaz indeksa političke snage u Primjeru 7.

 

Iz navedenih primjera može se zamijetiti da su Shapley-Shubik indeks (SSI), Banzhaf indeks (BI) i Johnston indeks (JI) monotone funkcije ovisne o broju mjesta (glasova) koje pojedina stranka ima, no nisu linearne funkcije. Napomenimo da Deegan-Packel indeks (DPI) općenito ne mora biti monotona funkcija od broja mjesta, jer kod DPI indeksa uzimaju se u obzir jedino minimalne pobjedničke koalicije.

Spomenimo da se indeksi snage stranaka mogu modificirati, tako da se ne uzimaju u obzir sve pobjedničke koalicije, već samo suženi skup politički mogućih pobjedničkih koalicija ([1]). Kod takvih modifikacija indeksa snage gledaju se samo pobjedničke koalicije sastavljene od onih stranaka koje nisu politički i svjetonazorski udaljene.{10}