teorija igara

O indeksima snage u sustavima glasovanja da-ne

O indeksima snage u sustavima glasovanja da-ne

 

Tomislav Marošević, Marija Šarić

 
Odjel za matematiku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku,
Trg Lj. Gaja 6, HR-31000 Osijek, Hrvatska

 


Sažetak
U sustavima glasovanja da-ne, "igrači" (primjerice, stranke u parlamentu) imaju određeni utjecaj na donošenje nekih odluka. U tim situacijama glasovanja, kod kojih je potrebna većina glasova za prihvaćanje odluke, može se razmatrati pitanje snage pojedinih stranaka (odnosno "igrača"). Postoji više različitih indeksa snage, od kojih nekoliko poznatih opisujemo u ovom članku, primjerice Shapley-Shubik indeks, Banzhaf indeks, Johnston indeks, Deegan-Packel indeks. Radi ilustracije, promatramo te indekse snage u nekoliko primjera i u slučaju Europskog parlamenta.

Ključne riječi: sustavi glasovanja da-ne, indeksi snage, Shapley-Shubik indeks, Banzhaf indeks, Johnston indeks, Deegan-Packel indeks

1Uvod

Jedan od vrlo važnih pojmova političke znanosti jest snaga. Promotrimo snagu glasovanja u sustavima glasovanja da-ne, gdje glasači (tj. "igrači") imaju određeni utjecaj na donošenje nekih odluka. U smislu formalnog glasovanja, smatra se da je potrebna apsolutna većina za donošenje odluka odnosno određena kvota. Stoga, za prihvaćanje odluka (zakona) treba promatrati pobjedničke koalicije.

Radi kvantitativnog mjerenja snage glasovanja odgovarajućih igrača (primjerice, stranaka u skupštini), predloženi su određeni indeksi glasačke ili političke snage (http://homepages.warwick.ac.uk/~ecaae/links.html, http://powerslave.utu.fi/ ). Neki poznati indeksi snage su Shapley-Shubik indeks, Banzhaf indeks, Johnston indeks, Deegan-Packel indeks (Taylor1995, Cortona1999, Matsui2000, Marosevic2016). Opišimo glavna svojstva ovih indeksa.

Neka je X=\lbrace p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\rbrace skup od n igrača u težinskim sustavima glasovanja da-ne, gdje su dane pripadne težine s_{k} igrača p_{k}, k=1,\ldots,n, tako da je s_{k} broj glasova igrača p_{k}. Koalicija C jest bilo koji podskup skupa X. Također, pretpostavimo da je dana kvota q koja je potrebna da bi koalicija pobijedila. Ako je ispunjena nejednakost \sum_{p_{k}\in C} s_{k} \geq q, onda se koalicija C\subseteq X naziva pobjednička koalicija.

1.1Shapley-Shubik indeks

Predložen je 1954. god. ([5]). Tu se gleda uređaje (permutacije) igrača. Za uređaj p_{\sigma_{1}}p_{\sigma_{2}}\ldots p_{\sigma_{n}}, jedan od igrača p_{\sigma_{k}} naziva se pivot (tj. pivotni igrač), ako koalicija koja nije pobjednička, p_{\sigma_{1}}p_{\sigma_{2}}\ldots p_{\sigma_{k-1}}, pripajanjem igrača p_{\sigma_{k}} postaje pobjednička koalicija p_{\sigma_{1}}p_{\sigma_{2}}\ldots p_{\sigma_{k-1}}p_{\sigma_{k}}.

Shapley-Shubik indeks igrača p_{k} jest udio permutacija za koje je p_{k} pivotni igrač ([7]), odnosno definira se na sljedeći način.

Definicija 1. Neka je p_{k}\in X. Shapley-Shubik indeks (SSI) igrača p_{k} definira se izrazom
(1)
SSI(p_{k})= \frac{\text{broj permutacija od \(X\) za koje je \(p_{k}\) pivotni}}{\text{ukupan broj svih permutacija skupa \(X\)}}\,.

Primijetimo da je nazivnik u gornjem izrazu jednak n!. Opišimo izračunavanje indeksa SSI jednim primjerom.

Primjer 2. Neka četiri stranke \lbrace p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\rbrace =\lbrace A,B,C,D\rbrace čine skupštinu, sa sljedećim brojem njima pripadnih zastupnika (tj. težinama glasovanja) redom: s_{A}=40, s_{B}=30, s_{C}=20, s_{D}=10. Neka je kvota q=51, što ovdje predstavlja nadpolovičnu većinu. Stoga, da bi koalicija stranaka bila pobjednička, mora ukupno imati barem 51 glasova ili više.

Stranka A ne može biti pivotni element kada je u permutacijama na prvom mjestu, jer s_{A}=40\lt 51. Također, A ne može biti pivotni element kada je u permutacijama na četvrtom mjestu, jer s_{B}+s_{C}+s_{D}=60\gt 51. No, stranka A je pivotni element na drugom mjestu u permutacijama oblika: B A . . ;  C A . . , kojih ima 2!\cdot 2. Nadalje, stranka A je pivotni element na trećem mjestu u permutacijama oblika: . . A B ;  . . A C ;  . . A D , kojih ima 2!\cdot 3. Stoga, po izrazu (1) dobivamo SSI(A)=\frac{2!\cdot 5}{4!}=\frac{5}{12}.

Za stranku B analogno se zaključuje. Ona također ne može biti pivotni element kada je u permutacijama na prvom mjestu, niti kada je u permutacijama na četvrtom mjestu. B jest pivotni element na drugom mjestu u permutacijama oblika: A B . . , kojih ima 2!\cdot 1, te B jest pivotni element na trećem mjestu u permutacijama oblika: . . B A ;  . . B C , kojih ima 2!\cdot 2. Stoga, SSI(B)=\frac{2!\cdot 3}{4!}=\frac{3}{12}.

Za stranku C analogno se zaključuje kao za B i dobiva SSI(C)=\frac{2!\cdot 3}{4!}=\frac{3}{12}.

Stranka D je pivotni element jedino na trećem mjestu u permutacijama oblika: . . D A, pa je SSI(D)=\frac{2!\cdot 1}{4!}=\frac{1}{12}.

Dobivene SSI indekse snage stranaka navodimo i u Tablici 1, a ilustriramo na Slici 1. Vidimo da su vrijednosti tih SSI indeksa stranaka različiti od udjela zastupnika stranaka u skupštini.
Slika 1: Grafički prikaz SSI indeksa snage stranaka iz Primjera 1.

 

1.2Banzhaf indeks

Predložen je 1965. god. ([5]). Prvo se definira ukupna Banzhaf snaga igračap_{k}, s oznakom TBP(p_{k}), kao broj koalicija C koje ispunjavaju sljedeće uvjete:

a) p_{k}\in C;  b) C je pobjednička koalicija;  c) C\setminus\lbrace p_{k}\rbrace nije pobjednička koalicija.

U tom slučaju uklanjanje p_{k} dovodi do toga da koalicija C\setminus \lbrace p_{k}\rbrace nije pobjednička, odnosno kaže se da izlazak p_{k} iz koalicije C jest kritičan ([7]). Stoga imamo sljedeću definiciju.

Definicija 3. Neka je p_{k}\in X. Banzhaf indeks (BI) igrača p_{k} dan je izrazom
(2)
BI(p_{k})= \frac{TBP(p_{k})}{\sum_{l=1}^{n}TBP(p_{l})} .


Kod Banzhaf indeksa snage uzimaju se u obzir kritični izlasci iz pobjedničkih koalicija. Opišimo izračunavanje indeksa BI primjerom.

Primjer 4. Neka su dani isti podatci kao u Primjeru 1.: četiri stranke \lbrace A,B,C,D\rbrace, kojima pripada sljedeći broj zastupnika (tj. težine glasovanja): s_{A}=40, s_{B}=30, s_{C}=20, s_{D}=10, te neka je kvota q=51.

Tada su pripadne pobjedničke koalicije: \lbrace A,B\rbrace, \lbrace A,C\rbrace, \lbrace A,B,C\rbrace,
\lbrace A,B,D\rbrace, \lbrace A,C,D\rbrace, \lbrace B,C,D\rbrace i \lbrace A,B,C,D\rbrace.

Izlazak stranke A je kritičan iz svih pobjedničkih koalicija kojima ona pripada osim iz koalicije \lbrace A,B,C,D\rbrace, pa je TBP(A)=5.

Izlazak stranke B je kritičan iz pobjedničkih koalicija \lbrace A,B\rbrace, \lbrace A,B,D\rbrace i \lbrace B,C,D\rbrace, pa je TBP(B)=3.

Za stranku C analogno se dobiva da je TBP(C)=3. Izlazak stranke D je kritičan samo iz pobjedničke koalicije \lbrace B,C,D\rbrace, pa je TBP(D)=1.

Stoga, po izrazu (2) dobiva se Banzhaf indekse snage stranaka: BI(A)=\frac{5}{12}, BI(B)=\frac{3}{12}, BI(C)=\frac{3}{12} i BI(D)=\frac{1}{12}, koje su navedene i u Tablici 1.
 

1.3Johnston indeks

Kod pobjedničkih koalicija može se promatrati ukupan broj igrača čiji izlazak iz dane koalicije je kritičan. Uzimajući to u obzir, Johnston indeks snage definira se ovako ([7]).

Pretpostavimo da su C_{1}, \ldots,C_{m} one pobjedničke koalicije kod kojih je igrač p_{k} kritičan. Neka je n_{1} broj onih igrača čiji izlazak iz C_{1} je kritičan, n_{2} je broj onih igrača čiji izlazak iz C_{2} je kritičan, i tako dalje, n_{m} je broj onih igrača čiji izlazak iz C_{m} je kritičan, Tada se definira ukupna Johnston snaga igračap_{k}} ovako:

(3)
{} TJP(p_{k})=\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}+\ldots+\frac{1}{n_{m}}.

Definicija 5. Johnston indeks (JI) igrača p_{k} definira se izrazom
(4)
JI(p_{k})= \frac{TJP(p_{k})}{\sum_{l=1}^{n}TJP(p_{l})}\, .


Prikažimo izračunavanje indeksa JI primjerom.

Primjer 6. Neka su dani isti podatci kao u Primjeru 1., četiri stranke kojima pripada sljedeći broj zastupnika: s_{A}=40, s_{B}=30, s_{C}=20, s_{D}=10. Kvota je q=51, pa su pobjedničke koalicije: \lbrace A,B\rbrace, \lbrace A,C\rbrace, \lbrace A,B,C\rbrace, \lbrace A,B,D\rbrace, \lbrace A,C,D\rbrace, \lbrace B,C,D\rbrace i \lbrace A,B,C,D\rbrace.

Za stranku A promatramo pet pobjedničkih koalicija u kojima je njezin izlazak kritičan, pa gledamo za koje je još stranke izlazak iz pojedine koalicije kritičan. U skladu s (3) dobiva se TJP(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=3.

Izlazak stranke B kritičan je iz pobjedničkih koalicija \lbrace A,B\rbrace, \lbrace A,B,D\rbrace i \lbrace B,C,D\rbrace, pa je TJP(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Za stranku C analogno se dobiva da je TJP(C)=\frac{4}{3}, dok je za stranku D TJP(D)=\frac{1}{3}.

Stoga, po izrazu (4) dobiva se Johnston indekse snage stranaka: JI(A)=\frac{3}{6}, JI(B)=\frac{2}{9}, JI(C)=\frac{2}{9} i JI(D)=\frac{1}{18}, koje navodimo i u Tablici 1.
 

1.4Deegan-Packel indeks

Godine 1978. Deegan and Packel ([5, 7]) uveli su indeks snage vrlo sličan kao Johnston indeks, ali zasnovan na minimalnim pobjedničkim koalicijama. (Minimalna pobjednička koalicija jest ona pobjednička koalicija koja neće više biti pobjednička koalicija, ako bilo koji njezin član izađe iz nje). Stoga, Deegan-Packel indeks snage definira se na sljedeći način.

Neka su C_{1}, \ldots,C_{j} minimalne pobjedničke koalicije kojima pripada igrač p_{k}. Neka je |C_{1}| broj članova C_{1}, |C_{2}| broj članova C_{2}, \ldots ,|C_{j}| broj članova C_{j}. Tada se definira ukupna Deegan-Packel snaga igračap_{k} ovako:

(5)
TDPP(p_{k})=\frac{1}{|C_{1}|}+\frac{1}{|C_{2}|}+\ldots+\frac{1}{|C_{j}|}.

Definicija 7. Deegan-Packel indeks (DPI) igrača p_{k} definira se izrazom
(6)
DPI(p_{k})= \frac{TDPP(p_{k})}{\sum_{l=1}^{n}TDPP(p_{l})}\, .


Prikažimo izračunavanje indeksa DPI primjerom.

Primjer 8. Neka su dani isti podatci kao u Primjeru 1., četiri stranke kojima pripada sljedeći broj zastupnika: s_{A}=40, s_{B}=30, s_{C}=20, s_{D}=10. Kvota je q=51, pa su minimalne pobjedničke koalicije: \lbrace A,B\rbrace, \lbrace A,C\rbrace i \lbrace B,C,D\rbrace.

Za stranku A promatramo minimalne pobjedničke koalicije kojima pripada, \lbrace A,B\rbrace i \lbrace A,C\rbrace, pa se dobiva TDPP(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.

Za stranku B gledamo minimalne pobjedničke koalicije kojima pripada, \lbrace A,B\rbrace i \lbrace B,C,D\rbrace, pa je TDPP(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.

Za stranku C analogno se dobiva da je TDPP(C)=\frac{5}{6}. Za stranku D je TDPP(D)=\frac{1}{3}.

Stoga, po izrazu (6) dobiva se Deegan-Packel indekse snage stranaka: DPI(A)=\frac{1}{3}, DPI(B)=\frac{5}{18}, DPI(C)=\frac{5}{18} i DPI(D)=\frac{2}{18}, koje navodimo i u Tablici 1.

Tablica 1. Indeksi snage stranaka iz Primjera 1-4.

 


stranka A B C D
s_{k} 40 30 20 10
SSI 0.4167 0.25 0.25 0.0833
BI 0.4167 0.25 0.25 0.0833
JI 0.50 0.2222 0.2222 0.0555
DPI 0.3333 0.2777 0.2777 0.1111

Iz prethodnih definicija očito jest da indeksi snage imaju vrijednosti između 0 i 1. Te indekse može se izraziti i u postotcima.

Na slici 2 ilustriramo navedene indekse snage u slučaju četiri stranke iz prethodnih Primjera 1 - 4.

Slika 2: Grafički prikaz indeksa političke snage iz Primjera 1 - 4.


Izračunavanje indeksa snage u složenijim slučajevima je komplicirano, što ovdje nećemo razmatrati. Postoje brojne metode za izračunavanje pojedinih indeksa snage, pomoću algoritama prebrojavanja ([2, 5]). Također, na internetskim stranicama može se naći "online" kalkulator raznih indeksa snage (primjerice, [6, 3], http://powerslave.utu.fi/calculate.html, http://homepages.warwick.ac.uk...).

U drugom dijelu opisujemo indekse snage još na nekim primjerima i u slučaju Europskog parlamenta.

2Primjeri

Primjer 9.  Neka tri stranke A, B i C imaju redom sljedeći broj glasova: prva s_{A}=50 glasova, druga s_{B}=49, a treća s_{C}=1. Neka je za prihvaćanje odluke potrebna kvota q=51 glasova (kao nadpolovična većina). Primijetimo da su ovdje pobjedničke koalicije tri skupa: \lbrace A, B\rbrace, \lbrace A, C\rbrace i \lbrace A, B, C\rbrace.

Za ovaj slučaj, u Tablici 2 navedene su pripadne vrijednosti indeksa snage (u postotcima); stranka C (s 1 zastupnikom) ima jednake indekse snage kao stranka B (s 49 zastupnika). Te vrijednosti pokazuju da stranka s vrlo malim brojem zastupnika može imati puno veću političku snagu. Na slici 3 prikazani su navedeni indeksi snage u ovom primjeru.

Tablica 2. Indeksi snage stranaka iz Primjera 5.

stranka A B C
s_{k} (\%) 50 49 1
SSI (\%) 66.67 16.66 16.67
BI (\%) 60.00 20.00 20.00
JI (\%) 66.67 16.66 16.67
DPI (\%) 50.00 25.00 25.00
Slika 3: Grafički prikaz indeksa snage stranaka A, B i C u Primjeru 5.

Primjer 10. {} Neka tri stranke A, B i C imaju redom sljedeći broj glasova: s_{A}=49 glasova, s_{B}=32, s_{C}=19\,. Neka je kvota q=51\,. Ovdje su pobjedničke koalicije skupovi: \lbrace A, B\rbrace, \lbrace A, C\rbrace, \lbrace B, C\rbrace i \lbrace A, B, C\rbrace. U Tablici 3 dane su vrijednosti pojedinih indeksa snage, koje u ovom slučaju pokazuju da stranke s vrlo različitim brojem zastupnika mogu imati jednaku snagu.
Tablica 3. Indeksi snage stranaka iz Primjera 6.

 

stranka A B C
s_{k} (\%) 49 32 19
SSI 1/3 1/3 1/3
BI 1/3 1/3 1/3
JI 1/3 1/3 1/3
DPI 1/3 1/3 1/3

Na slici 4 prikazani su navedeni indeksi snage u slučaju tri stranke iz Primjera 6.

Slika 4: Grafički prikaz indeksa snage stranaka A, B i C u Primjeru 6.


Napomena. Spomenuti indeksi snage stranaka ovise o kvoti q. Primjerice, ako se za podatke iz Primjera 6. definira da je kvota q=67 (to je dvotrećinska većina), dobit će se drugačije vrijednosti indeksa snage, koje navodimo u Tablici 3a.


 

Tablica 3a. Indeksi snage stranaka za kvotu q=67.

 


stranka A B C
s_{k} (\%) 49 32 19
SSI 2/3 1/6 1/6
BI 3/5 1/5 1/5
JI 2/3 1/6 1/6
DPI 1/2 1/4 1/4

Primjer 11.

Promotrimo osmi saziv Europskog parlamenta, koji se sastoji od 751 članova. Stoga, kvota q=376 predstavlja nadpolovični broj glasova. U ovom primjeru pogledajmo podjelu zastupnika po državama koje predstavljaju, odnosno na n=28 europskih držžava iz kojih dolaze ([8]). Odgovarajući brojevi zastupničkih mjesta s_{k} u Europskom parlamentu koje pripadaju pojedinim državama-članicama (k=1,\ldots,n=28) dani su u Tablici 4 (s pripadajućim postotcima).

Nadalje, u Tablici 4 navedeni su i pripadni indeksi snage tih država, izračunati pomoću [6] (bez Johnston indeksa). To su formalni indeksi snage država-članica, jer zastupnici u Europskom parlamentu pripadaju pojedinim političkim skupinama ovisno o svjetonazoru (npr. pučani, socijalisti, liberali, slobodnjaci, ...), a ne ovisno o državama.


Tablica 4. Sastav 8. saziva Europskog parlamenta po državama-članicama u 2015. god., te pripadni indeksi snage.

 



država broj zastupnika (\%) indeks SSI indeks BI indeks DPI
1 Njemačka 96 (12.78\%) 0.13724 0.13656 0.03873
2 Francuska 74 (9.85\%) 0.10183 0.10017 0.03748
3: Italija 73 (9.72\%) 0.10031 0.09868 0.03746
 Velika Britanija 73 (9.72\%) 0.10031 0.09868 0.03746
4 Španjolska 54 (7.19\%) 0.07211 0.07132 0.03673
5 Poljska 51 (6.79\%) 0.06782 0.06709 0.03659
6 Rumunjska 32 (4.26\%) 0.04147 0.04171 0.03607
7 Nizozemska 26 (3.46\%) 0.03343 0.03377 0.03593
8: Belgija 21 (2.80\%) 0.02683 0.02721 0.03568
 Češka 21 (2.80\%) 0.02683 0.02721 0.03568
 Grčka 21 (2.80\%) 0.02683 0.02721 0.03568
 Mađarska 21 (2.80\%) 0.02683 0.02721 0.03568
 Portugal 21 (2.80\%) 0.02683 0.02721 0.03568
9 Švedska 20 (2.66\%) 0.02553 0.02592 0.03567
10 Austrija 18 (2.40\%) 0.02293 0.02331 0.03559
11 Bugarska 17 (2.26\%) 0.02162 0.02200 0.03553
12: Finska 13 (1.73\%) 0.01645 0.01681 0.03542
 Danska 13 (1.73\%) 0.01645 0.01681 0.03542
 Slovačka 13 (1.73\%) 0.01645 0.01681 0.03542
13: Irska 11 (1.465\%) 0.01389 0.01422 0.03533
 Hrvatska 11 (1.465\%) 0.01389 0.01422 0.03533
 Litva 11 (1.465\%) 0.01389 0.01422 0.03533
14: Latvija 8 (1.065\%) 0.01006 0.01033 0.03491
 Slovenija 8 (1.065\%) 0.01006 0.01033 0.03491
15: Cipar 6 (0.80\%) 0.00752 0.00775 0.03406
 Estonija 6 (0.80\%) 0.00752 0.00775 0.03406
 Luksemburg 6 (0.80\%) 0.00752 0.00775 0.03406
 Malta 6 (0.80\%) 0.00752 0.00775 0.03406


Na slici 5 prikazana su tri indeksa snage za slučaj 28 država članica u Europskom parlamentu razdijeljenih u 15 skupina po broju svojih zastupnika, iz Primjera 7.
Slika 5: Grafički prikaz indeksa političke snage u Primjeru 7.

 



Zaključak


Iz navedenih primjera može se zamijetiti da su Shapley-Shubik indeks (SSI), Banzhaf indeks (BI) i Johnston indeks (JI) monotone funkcije ovisne o broju mjesta (glasova) koje pojedina stranka ima, no nisu linearne funkcije. Napomenimo da Deegan-Packel indeks (DPI) općenito ne mora biti monotona funkcija od broja mjesta, jer kod DPI indeksa uzimaju se u obzir jedino minimalne pobjedničke koalicije.

Spomenimo da se indeksi snage stranaka mogu modificirati, tako da se ne uzimaju u obzir sve pobjedničke koalicije, već samo suženi skup politički mogućih pobjedničkih koalicija ([1]). Kod takvih modifikacija indeksa snage gledaju se samo pobjedničke koalicije sastavljene od onih stranaka koje nisu politički i svjetonazorski udaljene.{10}

Bibliografija
[1] P. G. Cortona, C. Manzi, A. Pennisi, F. Ricca, B. Simeone, Evaluation and optimization of electoral systems, SIAM, Philadelphia, 1999.
[2] D. Leech, Computation of power indices, Department of Economics, University of Warwick, UK, 2002.
[3] D. Leech, R. Leech, Computer algorithms for voting power analysis, http://homepages.warwick.ac.uk/~ecaae/  (ožujak 2019.)
[4] T. Marošević, I. Soldo, Neki kvantitativni (brojčani) pokazatelji političke snage u sustavu glasovanja da-ne, Sveučilišni glasnik, 2016. http://www.glas-slavonije.hr/sglasnik/sveucilisni-glasnik-18.pdf (ožujak 2019.)
[5] T. Matsui, Y. Matsui, A survey of algorithms for calculating power indices of weighted majority games, Journal of the Operations Research Society of Japan 43(2000), No.1, 71–86.
[6] Pajala, A., Meskanen, T. and T. Kause (2002): Powerslave Power Index Calculator: A Voting Body Analyser in the Voting Power and Power Index Website. [online]. Published 22.4.2002. Updated 21.4.2016. University of Turku.  http://powerslave.utu.fi/  (ožujak 2019.)
[7] A. D. Taylor, A. M. Pacelli, Mathematics and Politics, Springer, New York, 2008.
[8] A short guide to European Parliament, EN_EP brochure.pdf (completed in January 2015), http://www.europarl.europa.eu/aboutparliament/en  (ožujak 2019.)