Ključne riječi: teorija igara, matrične igre, nekooperativne igre s nenul-sumom, Nashova ravnoteža, Pareto optimalnost.

Pod pojmom igra obično mislimo na društvene, kartaške ili računalne igre. Tijekom 20. stoljeća, potaknuta različitim praktičnim problemima, razvila se teorija igara, grana matematičke znanosti koja detaljnije proučava igre uz primjenu teorije vjerojatnosti, linearnog programiranja, kombinatorike i drugih grana matematike. U teoriji igara, igra predstavlja natjecateljsku situaciju u kojoj sudjeluju barem dva igrača, pri čemu svaki ima određenu kontrolu nad ishodom igre. Svaki igrač ima određeni broj mogućih poteza koje može odabrati, a svakom mogućem ishodu igre pridružene su isplate za svakog igrača. Pretpostavljamo da igrači djeluju razumno i žele profitirati.

Proučavat ćemo igre u kojima sudjeluju dva igrača. Nazivamo ih matričnim igrama i prikazujemo matricom isplata P. Redci matrice P označavaju m poteza koje na raspolaganju ima igrač A, a stupci označavaju n mogućih poteza igrača B. Ako igrač A odigra svoj i-ti potez, a igrač B svoj j-ti potez, tada u matrici isplata

promatramo element (isplatu) p_{ij}. Kod igara s nula-sumom, igrači imaju strogo konfliktne interese, odnosno dobitak jednoga jednak je gubitku drugoga pa promatramo isplate samo za jednog igrača. Ako je u matrici P vrijednost p_{ij}\gt 0, igrač A dobiva iznos p_{ij} od igrača B, odnosno igrač B gubi iznos p_{ij}. Ako je p_{ij}=0, niti jedan igrač ne dobiva niti gubi. Ako je p_{ij}\lt 0, igrač B dobiva iznos p_{ij} od igrača A, odnosno igrač A gubi iznos p_{ij}. Napomenimo da je situacija kod igara s nenul-sumom nešto složenija, jer igrači nemaju strogo konfliktne interese te stoga na poziciji p_{ij} navodimo isplate za oba igrača.

Pravila igre unaprijed su poznata svakom igraču, određuju koje poteze on ima na raspolaganju te koje su posljedice pojedinog poteza. Dobitak na kraju igre ovisi i o potezima suparničkog igrača pa u teoriji igara govorimo o konfliktu ili suradnji. Zbog svega toga, svaki igrač mora imati i primjenjivati određenu strategiju tijekom igre. Sljedeće dvije definicije izričemo iz perspektive prvog igrača u igri (igrača A), a analogno se mogu izreći i iz perspektive drugog igrača.

Postoji beskonačno mnogo mješovitih strategija za svakog igrača, a glavni cilj teorije igara je svakom igraču pronaći optimalnu strategiju. Kod igara s nula-sumom, optimalne strategije su najopreznije strategije, u kojima igrač A želi osigurati najveći mogući minimalni dobitak, dok će istovremeno za igrača B maksimalan gubitak biti najmanji mogući, bez obzira na to koji potez suparnički igrač odabrao. Ako jedan od igrača ima na raspolaganju samo dva poteza, optimalnu strategiju moguće je odrediti grafički. Kod matrica isplata većih dimenzija u tome pomaže linearno programiranje, a ovakvi se problemi rješavaju korištenjem računala. Traženjem optimalnih strategija ovdje se nećemo baviti (pogledati, na primjer, u [4] i [6]).

Za daljnju analizu matričnih igara potrebno je uključiti i teoriju vjerojatnosti.

Analogno možemo izračunati i prosječni dobitak igrača B, samo što u tom slučaju moramo uzeti u obzir dobitke igrača B.

Kod igara s nenul-sumom dobitak jednog igrača ne predstavlja direktni gubitak drugog igrača u svakom od mogućih ishoda igre, odnosno zbroj dobitaka oba igrača nije nužno jednak nuli. Kombiniraju se natjecateljski aspekti s mogućnošću suradnje pa analiza ovakvih igara ovisi o tome jesmo li pretpostavili da igrači komuniciraju tijekom igre ili ne. Razlikujemo kooperativne i nekooperativne igre s nenul-sumom. Mi ćemo pretpostaviti da igrači ne komuniciraju, dakle razmatramo nekooperativne igre. Također, uzet ćemo da istovremeno odabiru svoje strategije i da njihov izbor nije poznat drugom igraču, kao što je to kod igara s nula-sumom. Kod igara s nenul-sumom, elementi matrice isplata su uređeni parovi, pri čemu su prve koordinate vrijednosti isplata za prvog igrača, a druge za drugog.

U igri iz Primjera 5, na primjer, ako igrač A odabere potez r_{2}, a igrač B potez s_{2}, kao isplatu dobivamo p_{22}=(8,8), kod koje su oba igrača na dobitku.

Kako i u igrama sa sumom nula nije pristuna suradnja, logično je pogledati koji se termini vezani uz igre s nula-sumom mogu proširiti na igre s nenul-sumom. Krenimo s pojmom dominacije.

Očekuje se da će razuman igrač uvijek igrati dominantnu strategiju. Kod igara sa sumom nula takva je strategija uvijek optimalna i nazivamo je ravnotežna strategija. U Primjeru 5, za igrača A strategija r_{1} dominantna je u odnosu na strategiju r_{2} jer je 0\gt -5 i 10\gt 8. Za igrača B dominantna je strategija s_{1} u odnosu na strategiju s_{2}, jer je 0\gt -8 i 8=8. Dominantne strategije igrača su X=Y=(1,0), a isplata dobivena primjenom principa dominacije p_{11}=(0,0). No, isplata p_{22}=(8,8) je povoljnija pa zaključujemo da kod nekooperativnih igara s nenul-sumom korištenje dominantnih strategija ne rezultira uvijek najboljim ishodom za igrače. Osim toga, kako kod igara s nula-sumom, tako i kod igara s nenul-sumom, dominantne strategije ne moraju postojati u igri.

Postavlja se pitanje možemo li odrediti mješovite strategije za oba igrača, takve da odabirom nekih drugih strategija niti jedan od njih neće profitirati. John Forbes Nash Jr. (1928.-2015.) je 1950. godine dokazao da svaka igra za dva igrača ima barem jedan par ravnotežnih strategija, bilo čistih, bilo mješovith (detaljnije opisano u [3]). Nash je bio američki ekonomist i matematičar, koji je dao veliki doprinos teoriji igara. Njemu u čast, ravnotežu u igrama s nenul-sumom nazivamo Nashova ravnoteža. Nashova ravnoteža imala je veliku primjenu kod donošenja poslovnih strategija te je Nash 1994. godine bio nagrađen Nobelovom nagradom za ekonomiju. Njemu u čast, 2001. godine snimljen je film Genijalni um (engl. A Beautiful Mind).

Dakle, ako neki igrač odluči tijekom igre promijeniti svoju strategiju, to mu neće omogućiti veći dobitak, u odnosu na odabir strategije kojom je uspostavljena Nashova ravnoteža, sve dok i drugi igrač ne promijeni svoju strategiju.

Promotrimo li u Primjeru 7 isplate za igrača B kao igru s nula-sumom, kao optimalnu strategiju za igrača A dobit ćemo X_{0}=\big(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\big). Zanimljivo je da, bez obzira na to koju strategiju Y odabere igrač B, očekivani ishod igre (2) za njega je E(X_{0},Y)=\frac{32}{7}. Ako promotrimo isplate igrača A kao igru s nula-sumom, kao optimalnu strategiju za igrača B dobit ćemo Y_{0}=\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big). Bez obzira na to koju strategiju X odabere igrač A, očekivani ishod igre (2) za njega je E(X,Y_{0})=3. Par ravnotežnih strategija (X_{0},Y_{0}) za uspostavu Nashove ravnoteže pronašli smo tako da je svaki igrač promatrao isplate drugog igrača, a ignorirao svoje. Nashova ravnoteža nije baš u svakoj igri najsretnije rješenje za igrače.

Nashova ravnoteža je uspostavljena ravnotežnim strategijama X_{0}=Y_{0}=(0,1). Dobivamo isplatu p_{22}=(0,0), no isplata p_{11}=(6,6) povoljnija je za igrače. Dakle, opet postoji bolja isplata od one u Nashovoj ravnoteži.

Ako igrač A odabere potez r_{1}, za igrača B je bolje odabrati potez s_{1} te igrač A prolazi bolje, s isplatom p_{11}=(5,1). Imamo ravnotežne strategije X_{0}=Y_{0}=(1,0). Ako igrač A odabere potez r_{2}, igrač B odabire potez s_{2} i s isplatom p_{22}=(1,5) on prolazi bolje. Drugi par ravnotežnih strategija je X'_{0}=Y'_{0}=(0,1). Kada bismo igračima dozvolili komunikaciju, mogli bi se dogovoriti da kod višestrukog ponavljanja igre naizmjenično odaberu parove ravnotežnih strategija te tako oba budu na dobitku. No, u nekooperativnim igrama to ne možemo.

Djelomično rješenje problema u kojima postoje povoljnije isplate od onih dobivenih Nashovom ravnotežom, nudi Vilfredo Federico Pareto (1848.-1923.), talijanski sociolog, ekonomist i filozof.

Paretov se princip temelji na grupnoj racionalnosti, a princip dominacije na individualnoj. Igre mogu imati više Pareto optimalnih isplata, a riječ optimalna znači da nije lošija od neke druge isplate. Paretov princip glasi: Da bi isplata bila prihvatljiva kao rješenje igre, ona mora biti Pareto optimalna.

Radi lakšeg razmatranja, problem prikazujemo u koordinatnoj ravnini, s vrijednostima dobitaka za igrača A na osi apscisa te vrijednostima dobitaka za igrača B na osi ordinata. Točke u koordinatnoj ravnini predstavljaju isplate u matrici isplata, a povezane dužinama tvore mnogokut koji se naziva mnogokut isplata. Križić predstavlja isplatu dobivenu uspostavom Nashove ravnoteže, a isprekidane linije povezuju Pareto optimalne isplate.

Slika 1: Mnogokut isplata za igru iz Primjera 9

U Primjeru 9, isplata p_{22}=(0,0) nije Pareto optimalna, jer isplata p_{11}=(6,6) omogućuje bolje dobitke za oba igrača. Tri preostale isplate su Pareto optimalne.

Slika 2: Mnogokut isplata za igru iz Primjera 7

U Primjeru 7, Nashova ravnoteža ne daje dobru isplatu za igrače. Odabirom isplate p_{11}=(4,8), prikazane vrhom A, oba igrača bi se našla u boljoj situaciji.

Ishodi igara dobiveni uspostavom Nashove ravnoteže su poželjni, jer su stabilni i postoje u svakoj igri, ali često dobivene isplate nisu Pareto optimalne. Zato se javlja potreba za drugim idejama. U igrama sa sumom nula optimalne su strategije najopreznije strategije.

Odabirom vrijednosti maximin igrač A nastoji sebi osigurati najveći minimalni dobitak, a igrač B želi sebi osigurati najmanji maksimalni gubitak odabirom ishoda minimax. Ako postoji sedlo, u igri s nula-sumom za oba je igrača najbolje igrati sedlo.

Pogledajmo ponašanje ovakvih strategija u kontekstu igara s nenul-sumom. Za igru iz Primjera 7, potražimo povoljniji ishod od onog dobivenog uspostavom Nashove ravnoteže. Uzmimo da igrač A želi maksimizirati minimalni dobitak. Gledajući njegove isplate, vidimo da je najmanji element u prvom retku 2, a u drugom 0. Kako je 2\gt 0, igrač A će potezom r_{1} osigurati dobitak vrijednosti najmanje 2.

Dakle, odabirom razborite strategije, igrač A osigurava najmanje onaj dobitak koliko iznosi njegov sigurnosni nivo. U Primjeru 7 razborita strategija igrača A je X=(1,0), a sigurnosni nivo je 2. To je ujedno i sedlo za igru igrača A.

U igri igrača B ne postoji sedlo. Razborita stategija Y=(\frac{4}{7},\frac{3}{7}) za igrača B dobiva se rješavanjem matrične igre s nula-sumom. Njegov sigurnosni nivo iznosi \frac{32}{7}. Ako igrači odigraju svoje razborite strategije, ishod igre (2) je E(X,Y)=\frac{4}{7}(4,8)+\frac{3}{7}(2,0)=(\frac{22}{7},\frac{32}{7}). Taj ishod nije Pareto optimalan, niti dobiven uspostavom Nashove ravnoteže. Isplata p_{11}=(4,8) je bolja za oba igrača. Ukoliko očekuje da će igrač A odigrati svoju razboritu strategiju, igrač B bi odabirom strategije Y=(1,0) sebi osigurao dobit vrijednosti 8. Analogno, ako očekuje da će igrač B odabrati svoju razboritu stretegiju, igrač A odabirom poteza r_{1} dobiva \frac{4}{7}\cdot 4+\frac{3}{7}\cdot 2=\frac{22}{7}, a odabirom poteza r_{2} dobiva \frac{4}{7}\cdot 6+\frac{3}{7}\cdot 0=\frac{24}{7}. Svaki igrač trebao bi potražiti najbolji odgovor na razboritu strategiju drugog igrača.