Prije široke dostupnosti računala i ručnih kalkulatora, znanstvenici su se često oslanjali na tzv. logaritamske tablice. Zahvaljujući njima mnogi su se izračuni mogli pojednostaviti ili barem približno provesti. Posebno su bile važne u astronomiji. Tako je, američki astronom Simon Newcomb, još 1881. godine primjetio da su početne stranice u logaritamskim tablicama istrošenije od ostalih stranica. Kako tablice sadrže logaritme decimalnih brojeva poredanih po prvoj značajnoj znamenki, Newcomb je naslutio da prva značajna znamenka stvarnih podataka nije jednoliko distribuirana. Njegova opažanja ga na kraju dovode do pretpostavke da je vjerojatnost pojave znamenke d kao prve znamenke nekog od podataka, jednaka

za sve d \in \lbrace 1,2,\ldots ,9 \rbrace. Taj isti fenomen primjećuje i fizičar Frank Benford 1938. godine. On ga detaljnije istražuje i testira na različitim skupovima podataka, kao što su površine rijeka, veličine stanovništva, fizikalne konstante itd., pa se zbog toga otkrivanje ovog zakona pripisuje upravo Benfordu.

U praksi prikupljene numeričke podatke, mi danas matematički modeliramo slučajnim varijablama. Ako slučajnu varijablu označimo sa X, a njenu prvu značajnu znamenku sa D_{1}(X), ove oznake možemo iskoristiti da iskažemo Benfordov zakon. Benford je jednostavno pretpostavio da će vjerojatnost pojavljivanja značajne znamenke d zadovoljavati

za sve d \in \lbrace 1, 2,\ldots,9\rbrace. Upravo kako je naslutio i Newcomb. Za razdiobe za koje vrijedi ova pretpostavka, kažemo da zadovoljavaju {\em Benfordov zakon za prvu značajnu znamenku}.

Lako se uvjeriti da ovaj zakon ipak ne vrijedi za mnoge teorijske i često korištene razdiobe. Ako X npr. uniformno izaberemo iz intervala (0,1), i prva značajna znamenka imat će jednaku vjerojatnost da poprimi vrijednosti od 1 do 9. Ni za najvažniju razdiobu u statistici Benfordov zakon ne vrijedi. Naime, ako je X normalna (ili Gaussova) slučajna varijabla, može se pokazati da (1) ne vrijedi. Unatoč tome Newcombova i Benfordova slutnja potvrđene su empirijski na mnogim skupovima podataka.

U nastavku ćemo detaljnije prikazati Benfordov zakon, kao i neka teorijska opravdanja za njegovo pojavljivanje koje su matematičari (predvođeni T. Hillom) pronašli u zadnjih nekoliko desetljeća.

Pokazuje se da Benfordov zakon možemo iskazati i preciznije. Takav precizniji zakon određuje razdiobu i za sve ostale značajne znamenke slučajno odabranog broja iz dane razdiobe.

Za svaki realan broj x različit od nule, prvu značajnu znamenku, u oznaci D_{1}(x), formalno definiramo kao jedinstven broj j \in \lbrace 1,2,\ldots,9\rbrace za koji vrijedi

za neki k \in \mathbb{Z}. Jasno je da su brojevi k i j s tim svojstvom jedinstveni. Korisno je definirati i tzv. signifikant (ili mantisu) realnog broja. Za x\not = 0, signifikant je jedinstven broj S(x) iz intervala [1,10) za koji vrijedi \linebreak[4] |x| = 10^{k}S(x) za neki k \in \mathbb{Z}. Funkciju koja svakom realnom broju x pridružuje njegov signifikant

nazivamo signifikantna funkcija. Pri tom za x = 0, definiramo S(0) :=0.

Iako nas prije svega zanima Benfordovo svojstvo za slučajne varijable, isto svojstvo mogu imati i nizovi. Označimo sa \# A kardinalitet proizvoljnog skupa A. Niz realnih brojeva (x_{n}) je Benfordov niz, ako

Benfordovo svojstvo dakle, precizira razdiobu signifikanta takvog niza. Samim tim, uočimo da (2) određuje razdiobu prve, ali i bilo koje druge značajne znamenke u nizu. Posebno npr.

za sve d_{1} \in \lbrace 1, 2,\ldots,9\rbrace. Slično, ako sa D_{2}(x) označimo drugu značajnu znamenku realnog broja x, a niz (x_{n}) je Benfordov, tada

za sve d_{1} \in \lbrace 1,2, \ldots,9\rbrace i d_{2} \in \lbrace 0,1,\ldots,9\rbrace.

Poznato je npr. da je niz potencija 2^{n}, n\in \mathbb{N}, Benfordov. Isto vrijedi i za niz faktorijela ili Fibonaccijev niz. S druge strane niz prirodnih odn. prostih brojeva nema ovo svojstvo.

Ako pak slučajna varijabla X zadovoljava

za sve t \in [1,10), kažemo da X (odn. njena razdioba) posjeduje Benfordovo svojstvo. Za sve ovakve X, kao direktnu posljedicu dobivamo Benfordov zakon za prvu značajnu znamenku. Naime, iz (3) slijedi

za sve d \in \lbrace 1,2,….,9\rbrace, što dokazuje tvrdnju.

Interesantno je da je Benfordovo svojstvo nizova usko povezano sa tzv. svojstvom uniformnosti modulo 1. Ovo potonje svojstvo je vrlo značajno i podrobno proučavano u teoriji brojeva, npr. označimo sa \lbrace x \rbrace tzv. razlomljeni dio realnog broja x. Preciznije, \lbrace x\rbrace = x - \lfloor x \rfloor, gdje je \lfloor x \rfloor oznaka za najveći cijeli broj manji ili jednak x. Tako, npr. \lbrace 2.71\rbrace = 0.71 i \lbrace -2.71\rbrace = 0.29. Za niz (x_{n}) kažemo da je uniformo distribuiran modulo 1, ako vrijedi

Analogno, slučajna varijabla X (odn. njena razdioba) uniformno je distribuirana modulo 1, ako

Vezu između ovih svojstava objašnjava idući teorem, koji odmah daje i jedan recept za praktičnu provjeru Benfordovog svojstva. Dokaz teorema se može pronaći u Hill [1].

Analogni teorem vrijedi i za nizove realnih brojeva. Jasno je da stvarni podaci Benfordovo svojstvo mogu imati tek približno. Ipak, u mnogim primjenama razumno je očekivati da podaci (barem približno) zadrže Benfordovo svojstvo i nakon promjene skale. Ako se npr. radi o novčanim iznosima Benfordovo svojstvo bismo mogli očekivati i nakon promjene valute. Slično, Benfordovo svojstvo za duljine rijeka očekivali bismo da vrijedi neovisno o tome da li te duljine izražavamo u miljama ili kilometrima. Izuzetno je zanimljivo da invarijatnost na množenje skalarom daje alternativnu karakterizaciju Benfordovog svojstva.

Dokaz teorema se može vidjeti u Hill [1].

Na sličan način možemo karakterizirati Benfordovo svojstvo i za realne nizove. Navedimo tek da je signifikantna funkcija niza realnih brojeva (x_{n}) invarijantna na množenje skalarom ako za svaki \alpha \gt 0 i t \in [1,10) vrijedi,

Naglasimo još da postoje i razna druga interesantna svojstva Benfordovih razdioba, koja dijelom nadilaze ambicije ovog pregleda, za detalje pogledajte npr. [1].

Fibonaccijevi brojevi F_{n}, \ n=0,1,2,\ldots, predstavljaju jedan od najzanimljivijih nizova u matematici. Ovaj niz izazivao je fascinaciju još u staroj Indiji, a svojstva mu pročavaju matematičari i danas. Brojevi F_{n} zadovoljavaju jednostavnu rekurziju

za sve brojeve n \geq 2, a pri tom je F_{0}=0 i F_{1}=1. Prisjetimo se inicijalni članovi niza su

Slika 1 donosi usporedbu razdiobe prve značajne znamenke za prvih 1000 članova niza (F_{n}) s Benfordovom razdiobom. Na slici 2 promatramo razdiobu prve značajne znamenke niza (\pi F_{n}). Primjetimo da je i ovdje prisutna vrlo dobra podudarnost s Benfordovim zakonom, baš kako smo mogli očekivati na osnovu razmatranja iz prethodnog odjeljka.

 

Benfordov zakon možemo ilustrirati i na konkretnim podacima. Promatrat ćemo razdiobu prve značajne znamenke na podacima o broju stanovnika naselja u Hrvatskoj. Podaci su preuzeti iz baze podataka za posljednji popis stanovništva iz 2011. godine, Državnog zavoda za statistiku. Promatrani skup ima oko 6700 podataka. Raspon podataka je reda veličine 10^{5}. Naime, prema popisu stanovnistva iz 2011. godine, Zagreb je imao 686568 stanovnika, dok je najmanje naselje u Hrvatskoj – Špigelski Breg, imalo tek jednog stanovnika. Iz grafa na slici 3 vidimo da i ovaj skup podataka vrlo dobro slijedi Benfordov zakon.

Gotovo od samog otkrivanja Benfordovog zakona postojala su nastojanja da ga se iskoristi u razotkrivanju raznih prevara. Istraživanja Marka Nigrinija pokazuje kako se Benfordov zakon može koristiti kao indikator u financijskim prevarama, npr. analizirajući koliko dobro isplate, uplate, iznosi osiguranja itd. slijede Benfordovu distribuciju (vidi Nigrini [2]). Osim za financijske podatke, zakon se pokazuje koristan i u otkrivanju falsificiranja znanstvenih i makroekonomskih podataka. Tako je npr. Rauch [3] na ovoj osnovi doveo u sumnju makroekonomske podatke koje je Grčka slala prije ulaska u Europsku Uniju. Slični razlozi, nedavno su natjerali ANZ (Australia \& New Zealand Banking Group) da posumnja u kineske ekonomske podatke o godišnjoj bruto domaćoj proizvodnji (BDP), o čemu su izvjestili i mnogi svjetski mediji. Naglasimo ipak, ako podaci ne odgovaraju Benfordovom zakonu, to ne mora značiti da se njima manipuliralo. Unatoč tome, Benfordov zakon se u Americi katkad koristi kao službeni dokaz i u sudskoj praksi.

Osim zbog manipulacije podacima, u praksi, podaci neće slijediti Benfordov zakon ako su ograničeni tako da počinju samo određenim značajnim znamenkama, kao npr. podaci o visini, kvocijentu inteligencije, opsegu glave ili rasponu ruku. Primjetimo, ti podaci su tipično približno normalno distribuirani. Nadalje, ako skupovi podataka imaju raspon kroz samo 1 ili 2 reda veličine (npr. podaci su između 1 i 100), Benfordov zakon isto tako tipično neće vrijediti. Slično, zakon nije primjenjiv za podatke na koje je postavljen maksimum ili minimum. Da smo npr. na skupu podataka o broju stanovnika promatrali samo naselja koja imaju izmedu 500 i 3000 stanovnika, podudarnost podataka s Benfordovim zakonom bila bi puno slabija.

 

Statistički model i slučajni uzorak osnovni su pojmovi matematičke statistike. Za slučaj beskonačne populacije slučajni uzorak se najčešće definira kao niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih veličina u odnosu na svaku vjerojatnost iz pretpostavljenog statističkog modela. Budući da je slučajni uzorak model za niz opažanja određene veličine kao funkcije nekog slučajnog eksperimenta, postavlja se pitanje nije li pretpostavka o nezavisnosti i jednakoj distribuiranosti opažanih pokusa prejaka. Ako jest, koja pretpostavka je slabija od te, a da i dalje povlači poželjne rezultate inferencijalne statistike? Pokazuje se da je to pretpostavka izmjenjivosti.

Koncept izmjenjivosti prvi je uveo Bruno De Finetti3 i upravo nam De Finettijev reprezentacijski teorem objašnjava matematičku vezu između nezavisnosti i izmjenjivosti. Pokazuje se da je izmjenjivost ekvivalentuvjetnoj nezavisnosti i jednakoj distribuiranosti, pri ćemu se uvjetuje u odnosu na neki slučajni element. Teorem kaže da je taj element granična vrijednost parcijalnih empirijskih distribucija koja interpretaciju nalazi u bayesovskom pristupu statistici. Dakle, teorem, u nekom smislu, povezuje frekvencionistički i bayesovski pristup.

U ovome radu nećemo dokazivati De Finettijev teorem. Pokušat ćemo na primjeru niza Bernoullijuevih slučajnih varijabli ilustrirati njegov sadržaj i kako se njime povezuju bayesovski i klasični pristup statistici. Dokaz teorema i nešto detaljnija diskusija posljedica De Finettijevog teorem može se naći u diplomskom radu [4] i u knjizi [3].




Definiciju izmjenjivosti uveli smo da bismo na najslabiji mogući način izrekli pretpostavku o simetričnosti slučajnih varijabli. Time samo želimo reći da nam je poredak slučajnih varijabli nebitan, odnosno da se budući uzorci ponašaju kao prijašnji uzorci, a ne postavljamo nikakve uvjete na nezavisnost ili postojanje limesa relativnih frekvencija.

Iz definicije vidimo da je izmjenjivost općenitiji pojam od nezavisnosti i jednake distribuiranosti. To znači da je svaki niz (X_{n})_{n=1}^{\infty} nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli izmjenjiv, ali obrat ne vrijedi (vidjeti Primjer 1.1 u [4]).

Pokaže se da je i svaki niz (X_{n})_{n=1}^{\infty} uvjetno nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli izmjenjiv. Upravo je to jedan od dvaju općenitih oblika izmjenjivosti. Jedini drugi oblik izmjenjivosti je uzorkovanje bez ponavljanja, npr. izvlačenje kuglica iz kutije bez ponavljanja, ali on se odnosi samo na slučaj konačnog niza izmjenjivih slučajnih varijabli (vidjeti 3.2.1 u [4], stranice 29. do 31.).




De Finettijev teorem primijenjen na Bernoullijeve slučajne varijable kaže nam da je izmjenjiv niz Bernoullijevih slučanjih varijabli uvjetno niz nezavnisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli, i to uz danu varijablu koja predstavlja vrijednost vjerojatnosti uspjeha.



Alternativno, uvjetnu distribuciju od \Theta možemo dobiti koristeći se sljedećim rezultatom.



Zanimljivo je da se De Finettijev teorem može poopćiti i na bilo koji niz izmjenjivih slučajnih varijabli. Znači da je proizvoljan niz slučajnih varijabli izmjenjiv ako i samo ako je to niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli, uvjetno na neku slučajnu veličinu. Štoviše, pokazuje se da ova tvrdnja vrijedi i za posebnu vrstu slučajnih elemenata, koji su poopćenje slučajnih varijabli.

Taj opći De Finettijev reprezentacijski teorem govori nam sljedeće:



Razlika u odnosu na Bernoullijev slučaj je ta što za proizvoljan niz (X_{n})_{n=1}^{\infty} izmjenjivih slučajnih elemenata koji poprimaju vrijednosti u Borelovu prostoru postoji neka slučajna vjerojatnosna mjera \textbf{P}, a ne slučajna varijabla, u odnosu na koju su X_{i} uvjetno nezavisni i jednako distribuirani. Tu slučajnu vjerojatnosnu mjeru \textbf{P} dobijemo kao limes empirijskih distribucija \textbf{P}_{n} od X_{1},\ldots,X_{n}. Podsjetimo se, empirijska distribucija od X_{1},\ldots,X_{n} je slučajna vjerojatnosna mjera definirana izrazom5\textbf{P}_{n} (B):=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{B}(X_{i}) za svaki Borelov skup B.

Jedino nam preostaje vidjeti što je zapravo slučajna vjerojatnosna mjera. U Bernoullijevu slučaju vidimo da je to neka slučajna varijabla s vrijednostima u intervalu [0,1]. Za slučajne elemente koji mogu poprimiti samo konačno mnogo vrijednosti slučajne vjerojatnosne mjere su ekvivalentne slučajnim vektorima. Za proizvoljne slučajne elemente slučajne vjerojatnosne mjere su nešto složenije, ali se također definiraju kao jedna vrsta izmjerivih preslikavanja.

U posljednjih nekoliko godina u Hrvatskoj je sve izraženiji problem nesigurnosti na cestama i velikog broja prometnih nesreća. Svakodnevno smo okruženi lošim vijestima s prometnica te pokušajima da se promjenama zakona i akcijama MUP-a takvo stanje promijeni. Ponukani time, odlučile smo detaljnije istražiti neke od aspekata te crne statistike.

Točnije, ciljevi ovog rada su:

\bullet	ispitati ovisnost smrtnosti po dobnim skupinama o spolu, dobu dana i danu u tjednu
\bullet	ispitati ovisnost smrtnosti o stupnju obrazovanja u svim dobnim skupinama
\bullet	odrediti očekivanu dob vozača u trenutku nesreće
\bullet	provjeriti utjecaj promjene Zakona o sigurnosti prometa na cestama na smrtnost u dobnoj skupini 20 - 29

Prije analize podataka, važno je upoznati se s temeljnim pojmovima korištenima u članku, pa slijedi kratak prikaz glavnih definicija koje se spominju u nastavku.

Statistika je skup ideja i metoda koje se upotrebljavaju za prikupljanje i interpretaciju podataka u nekom području istraživanja te za izvođenje zaključaka u situacijama gdje su prisutne nesigurnosti i varijacije.

Statistička populacija je potpun skup mogućih mjerenja ili podataka o nekom svojstvu koji odgovaraju cijeloj familiji jedinki koju se promatra. U našem slučaju populaciju čine vozači/vozačice koji su poginuli u prometnim nesrećama u razdoblju od srpnja 2004. do lipnja 2009. Podaci su dobiveni iz Državnog zavoda za statistiku, a među ostalim sadržavaju informacije o dobnoj, spolnoj i obrazovnoj strukturi poginulih te o mjesecima, odnosno danima kad su se nesreće dogodile.

Svrha procesa prikupljanja podataka je izvođenje zaključaka o populaciji. Budući da nije uvijek moguće prikupiti sve podatke o području istraživanja, zaključci izvedeni statističkom analizom su nesigurni jer se zasnivaju na promatranju samo manjeg dijela populacije, tj. na nepotpunim podacima. Skup mjerenja na tom dijelu populacije proveden tijekom istraživanja nazivamo uzorak. Naš uzorak čini dio vozača iz već navedene populacije odabranih na slučajan način.

Cilj statističke analize je na osnovi podataka iz uzorka izvesti određene zaključke o populaciji te ocijeniti nesigurnosti koje su obuhvaćene tim zaključivanjem.

Za grafički prikaz podataka, kao i računanje konkretnih vrijednosti pri provođenju statističkih testova koristili smo se programom R [3].



Opisna statistika je grana statistike koja se bavi predočavanjem i opisivanjem glavnih karakteristika prikupljenih podataka.

Za početak, korisno je podatke prikazati grafički, za što smo se koristili histogramima i strukturnim dijagramima.

Općenito, histogram je definiran kao način prikazivanja podataka raspoređenih u određene kategorije ili grupe. Kategorije, u koje smo grupirali podatke, nalaze se na osi apscisa, a prikupljeni podaci koji pripadaju određenoj kategoriji nalaze se na osi ordinata.

Kod strukturnog dijagrama svaka je kategorija ili grupa prikazana kružnim isječkom čija je površina proporcionalna udjelu te kategorije u uzorku.

Ovim izborom prikaza podataka dobiven je izvrstan pregled raspoređenosti broja nastradalih kroz mjesece u godini, te dobar uvid u spolnu i dobnu strukturu poginulih u promatranom razdoblju (slika 1).

Iz histograma je očito da najviše ljudi pogine u srpnju, što je vjerojatno posljedica činjenice da tada najviše Hrvata kreće na godišnji odmor. Iako je uvriježeno mišljenje da su zimski mjeseci najopasniji za vozače zbog loših vremenskih uvjeta, iznenađujuće je da je najmanja smrtnost u siječnju i veljači.

Iz strukturnih dijagrama (slike 2 i 3 ) slijedi da najviše poginulih ima u dobnoj skupini od 20 do 29. Također možemo primijetiti da se broj poginulih smanjuje po dobnim skupinama, što govori da su stariji vozači oprezniji od onih u srednjim godinama, a oni u dobi od 20 do 29 najrizičnija su skupina.

Iako se za žene govori da su lošiji vozači od muškaraca, sa strukturnog dijagrama po spolu vidimo da pogine gotovo 7 puta više muškaraca nego žena.



Tijekom istraživanja mjeri se neko numeričko ili nenumeričko obilježje koje označavamo s X. Rezultat mjerenja obilježja X označavamo s x. Slučajni uzorak tada možemo prikazati kao \left(X_{1} ,\ldots,X_{n} \right), gdje je n duljina uzorka, a s \left(x_{1} ,\ldots,x_{n} \right) označiti jednu realizaciju tog uzorka.

Opažene frekvencije definiramo kao N_{j} =\sum _{i=1}^{n}{\text{1}}_{\left\lbrace X_{i} =a_{j} \right\rbrace }, j=1,\ldots,k, pri čemu izraz {\text{1}}_{\left\lbrace X_{i} =a_{j} \right\rbrace } poprima vrijednost 1 ako je X_{i} =a_{j}, a inače poprima vrijednost 0, gdje je a{}_{j} jedan od rezultata mjerenja obilježja X u uzorku duljine n.

Broj \frac{N_{j} }{n} zove se relativna frekvencija.

Statistička hipoteza je bilo koja pretpostavka o distribuciji obilježja X, tj. pretpostavka da X ima sljedeću distribuciju:

pri čemu \theta označava parametre o kojima ta distribucija može ovisiti, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k} označavaju rezultate mjerenja, a {p_{1} (\theta )}, {p_{2} (\theta )},\ldots, {p_{k} (\theta )} vjerojatnosti da će se ti rezultati postići.

S H_{0} označavamo hipotezu koju želimo dokazati (to je tzv. nul-hipoteza), a s H_{1} njoj alternativnu hipotezu.

Želimo na osnovi realizacije slučajnog uzorka za obilježje X donijeti odluku hoćemo li odbaciti hipotezu H_{0} ili nećemo. Postupak donošenja odluke o odbacivanju ili neodbacivanju te statističke hipoteze zove se testiranje statističkih hipoteza.

Budući da su sve odluke bazirane na uzorcima koji nisu 100% pouzdani, niti zaključak statističkog testa nije 100% pouzdan. Test će biti potpun ako možemo procijeniti vjerojatnosti mogućih pogrešaka u zaključivanju. U većini slučajeva moguće je za zadanu razinu značajnosti testa \alpha, 0 \lt \alpha \lt 1, među testovima kojima vjerojatnost pogreške prve vrste ne prelazi broj \alpha, naći test s najmanjom vjerojatnosti pogreške druge vrste. Pogrešku prve vrste radimo kad odbacujemo hipotezu H_{0} i ona je istinita, a pogrešku druge vrste radimo kad zadržavamo hipotezu H_{0} i ona je pogrešna (tj. hipoteza H_{1} je istinita).

Kako na temelju dobivenih podataka i uz unaprijed određenu razinu značajnosti zaključiti odbacuje li se hipoteza H_{0} i s kojom vjerojatnošću?

Prvo moramo izračunati vrijednost rezultata statističkog testa (test se odabire prema vrsti hipoteza), a zatim tu vrijednost usporediti s graničnom vrijednošću. Granična vrijednost je vrijednost testa za koju se hipoteza H_{0} odbacuje, a ovisi o vrijednostima iz poznate distribucije vjerojatnosti specifične za odabrani test. Područje vrijednosti za koje se H_{0} ne odbacuje nazivamo kritičnim područjem testa.

Jedan od najčešće korištenih testova u statistici je Pearsonov \chi ^{2}-test koji ćemo ovdje navesti, kako bi nam bio matematička podloga za daljnja istraživanja.

Definirajmo prvo očekivane frekvencije kao n_{j} \left(\theta \right)=np_{j} \left(\theta \right),j=1,\ldots,k.

Neka je D\left(\theta \right)=\sum _{i=1}^{k}\frac{\left(N_{j} -n_{j} \left(\theta \right)\right)}{n_{j} \left(\theta \right)} ^{2}. Mi ćemo promatrati jednostavniji slučaj kada je hipotezom H_{0} zadan parametar \theta _{0}, čime je definirana testna statistika H\equiv D\left(\theta _{0} \right).

Također definiramo broj stupnjeva slobode s df=k-1, a ako X ima \chi ^{2}-razdiobu, umjesto X pišemo \chi^{2}(df). \chi ^{2}-razdioba je jedna od najčešćih razdioba u statistici i vrijednosti koje ona poprima zadane su tablično u tzv. tablici kvantila \chi ^{2}-razdiobe.

Sada smo spremni izreći već spomenuti Pearsonov teorem o \chi ^{2}-testu:

Ako je H_{0} točna hipoteza, onda H\stackrel{D}{\longrightarrow} \chi ^{2} \left(k-1\right), kada n\to \infty.

Za zadanu razinu značajnosti \alpha, hipotezu H_{0} odbacujemo ako je opažena vrijednost h\ge \chi _{\alpha }^{2} \left(k-1\right), gdje vrijednost \chi _{\alpha }^{2} \left(k-1\right) čitamo iz tablice kvantila \chi ^{2}-razdiobe.

S \stackrel{D}{\longrightarrow} označavamo konvergenciju po distribuciji, što jednostavnim rječnikom rečeno znači da se razdioba vrijednosti s lijeve strane približava razdiobi s desne strane kada n\to \infty. Često se koristi i oznaka \sim.

Pearsonov \chi ^{2}-test najčešće se upotrebljava ako je riječ o kvalitativnim podacima ili ako tim podacima distribucija značajno odstupa od normalne. Njegova primjena posebno se ističe u slučajevima kada želimo utvrditi odstupaju li dobivene frekvencije (iz slučajnog uzorka) od frekvencija koje bismo očekivali po hipotezi koju ispitujemo. Ovim testom također možemo ispitati povezanost dviju varijabli te vjerojatnost njihove povezanosti.

Općenito, \chi ^{2}-test najpouzdaniji je u sljedećim slučajevima:

(1)	Kada se ispituju odstupanja frekvencije uzorka od očekivane frekvencije uz zadanu hipotezu.
(2)	Kada se uspoređuju dva ili više nezavisnih uzoraka po nekom svojstvu, pri čemu su nam poznate frekvencije svakog od uzoraka.

Jedno od prvih pitanja koje nam se nametnulo pri proučavanju podataka jest jesu li spol vozača i njihova dob zavisna obilježja, tj. možemo li, s određenom sigurnošću, zaključiti da žene, odnosno muškarci imaju jednaku vjerojatnost pogibije u određenoj dobi. Možda naizgled ovo izgleda kao trivijalno, gotovo nevažno pitanje, no u statistici nas odgovori često mogu iznenaditi te ništa ne treba uzimati "zdravo za gotovo".

S obzirom na to da ovo ispitivanje spada u već navedene primjene \chi ^{2}-testa, odlučili smo se za njegovu varijantu \chi ^{2}-test nezavisnosti:

Promatramo dva različita obilježja X i Y. Neka je:

\bullet	n duljina uzorka,
\bullet	r broj različitih vrijednosti koje poprima obilježje X,
\bullet	c broj različitih vrijednosti koje poprima obilježje Y.

Neka je \left(\left(X_{1} ,Y_{1} \right),\ldots,\left(X_{n} ,Y_{n} \right)\right) slučajni uzorak iz dvodimenzionalnog statističkog obilježja \left(X,Y\right), pri čemu X može poprimiti vrijednosti \left\lbrace a_{1} ,\ldots,a_{r} \right\rbrace, a Y vrijednosti \left\lbrace b_{1} ,\ldots,b_{c} \right\rbrace.

\chi ^{2}-test nezavisnosti je statistički test kojim se testiraju hipoteze


Po Pearsonovu teoremu, uz sitne promjene, možemo zaključiti da je testna statistika dana formulom gdje je

\bullet	N_{ij} opažena frekvencija od \left(a_{i} ,b_{j} \right) u dvodimenzionalnom statističkom uzorku \left(X,Y\right),
\bullet	\hat{p}_{i} =\frac{N_{i} }{n}, pri čemu je N_{i} opažena frekvencija od a_{i} u uzorku za X,
\bullet	\hat{q}_{j} =\frac{M_{j} }{n}, pri čemu je M_{j} opažena frekvencija od b_{j} u uzorku za Y.

Područje \left[\chi _{\alpha}^{2}(df) \right. ,\left. +\infty \right\rangle, gdje je df=rc-(r-1)-(c-1)-1, nazivamo kritično područje. Ako je h\in \left[\chi _{\alpha}^{2}(df) \right. ,\left. +\infty \right\rangle, tada odbacujemo hipotezu H_{0}, a ako je h izvan tog intervala, onda je ne odbacujemo. Broj \chi _{\alpha}^{2}(df) čitamo iz tablice kvantila \chi ^{2}-razdiobe.

U našem slučaju obilježje X (= spol) poprima vrijednosti muškarac, žena, a obilježje Y (= dobna skupina) poprima vrijednosti dobnih skupina, tj. 20 - 29, 30 - 39, 40 - 49, 50 - 59.

Podaci su prikazani sljedećom tablicom:



\chi ^{2}-testom nezavisnosti koristimo se za testiranje sljedećih hipoteza:


Test provodimo uz razinu značajnosti \alpha=5%.

Račun provodimo u programu R [3]:

> x<-matrix(c(327,186,161,131,37,28,24,23),nrow=2,byrow=T)
> x
  [     [,1] [,2] [,3] [,4]]
  [[1,]  327  186  161  131]
  [[2,]  37   28   244   23]
> chisq.test(x)
  Pearson's Chi-squared test
  data:  x
  X-squared = 2.7395, df = 3, p-value = 0.4336

Odavde dobivamo da je h = 2.7395 i df = 3.

Promatramo u kojem intervalu se nalazi h. Budući da je h\lt \chi _{0.05}^{2}(3) =7.8147, tj. h nije unutar kritičnog područja, ne odbacujemo hipotezu H_{0} i možemo zaključiti da su obilježlja X i Y nezavisna. Dakle, smrtnost u dobnim skupinama ne ovisi o spolu pa muškarci/žene imaju jednaku vjerojatnost da poginu u bilo kojoj starosnoj dobi.



Jeste li se ikada zapitali pogine li više mladih vikendom ili u tjednu? Upravo nas je to potaknulo da provjerimo tvrdnju, često isticanu u medijima ,da najviše mladih nastrada u prometnim nesrećama tijekom vikenda.

Ponovo se koristimo \chi ^{2}-testom nezavisnosti, pri čemu obilježje X poprima vrijednosti dana u tjednu (ponedjeljak, utorak, srijeda, četvrtak, petak, subota i nedjelja), a obilježje Y poprima vrijednosti dobnih skupina, tj. 20 - 29, 30 - 39, 40 - 49, 50 - 59.

Podaci su prikazani sljedećom tablicom:


Koristimo se \chi ^{2}-testom nezavisnosti (vidi 3.1) za testiranje sljedećih hipoteza:


Test provodimo uz razinu značajnosti \alpha=5%.

Računanjem u R-u [3], kod je vrlo sličan onome iz točke 3.1, dobiveni su sljedeći rezultati: h = 34.527, df = 18.

Budući da je h\gt \chi _{0.05}^{2}(18) =28.8693, odbacujemo hipotezu H_{0} (jer se h nalazi u kritičnom području) i možemo zaključiti da obilježja X i Y nisu nezavisna. Dakle, smrtnost u dobnim skupina ovisi o danu u tjednu.

Budući da X i Y nisu nezavisna obilježja, sljedeće što nas zanima jest koliko jedno obilježnje ovisi o drugom. Konkretno, u našem slučaju, koliko su dobne skupine i dani u tjednu međusobno povezani. U statistici se ta povezanost mjeri stupnjem statističke zavisnosti koji je definiran formulom:


gdje je f^{2} =\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{c}\frac{N_{ij} }{N_{i} M_{j} } -1 (za oznake vidi 3.1).

On je izračunat u R-u [3] i iznosi 1.27% pa je ta zavisnost veoma slaba, svakako slabija nego što bi to bilo za očekivati.



Sljedeće što ispitujemo jest distribucija smrtnosti po dobnim skupinama u određenom dijelu dana. Dijelove dana možemo promatrati kao nezavisne populacije pa se \chi ^{2}-test nameće kao logičan izbor. Ovu vrstu \chi ^{2}-testa u kojem se ispituje distribucija istog obilježja u više različitih uzoraka nazivamo \chi ^{2}-test homogenosti.

Pretpostavimo da nas zanima distribucija istog diskretnog statističkog obilježja X, koje poprima međusobno različite vrijednosti \left\lbrace a_{1} ,\ldots,a_{k} \right\rbrace, u raznim populacijama.

Želimo na osnovi nezavisnih uzoraka uzetih iz tih populacija testirati nul-hipotezu da su razdiobe od X u tim populacijama jednake, tj. homogene.

Neka je m broj populacija. Iz svake populacije nezavisno odaberemo slučajni uzorak koji predstavlja obilježje X u i-toj populaciji i označimo ga s X_{i}, i=1,\ldots,m.

\chi ^{2}-test homogenosti je statistički test kojim se testiraju hipoteze



Po Pearsonovom teoremu slijedi da je testirana statistika dana formulom


gdje je

\bullet	N_{ij} opažena frekvencija od a_{i} u uzorku X_{i},
\bullet	\hat{n}_{ij} =\frac{n_{i} M_{j} }{n}, n_{i} =\sum _{j=1}^{k}N_{ij}, M_{j} =\sum _{i=1}^{m}N_{ij}, n=\sum _{j=1}^{k}M_{j}.

Područje \left[\chi _{\alpha}^{2}(df) \right. ,\left. +\infty \right\rangle, gdje je df=(m-1)(k-1), je kritično područje. Ako je h\in \left[\chi _{\alpha}^{2}(df) \right. ,\left. +\infty \right\rangle, tada odbacujemo hipotezu H_{0}, a ako je izvan tog intervala, onda je ne odbacujemo. Broj \chi _{\alpha}^{2}(df) čitamo iz tablice kvantila \chi ^{2}-razdiobe.

Podaci su dani sljedećom tablicom:


Koristimo se \chi ^{2}-testom homogenosti da bismo testirali hipotezu:


Naš test ćemo provesti uz razinu značajnosti \alpha=5%.

Računanjem u R-u [3] dobiveni su sljedeći rezultati: h = 94.7825, df = 9.

Iz danih podataka vidimo da je h\gt \chi _{0.05}^{2}(9) =16.91898, tj. h je unutar kritičnog područja, odbacujemo hipotezu H_{0} i zaključujemo da smrtnost po dobima dana nije jednako distribuirana.



Proučavanjem podataka, nametnulo nam se pitanje ima li stupanj obrazovanja utjecaj na smrtnost u svim dobnim skupinama, pa smo odlučili provjeriti tu pretpostavku na vozačima sa završenom samo srednjom školom, tj. željeli smo odrediti postotak p takvih vozača u ukupnoj populaciji poginulih.

Za razliku od prijašnjih testova, sada ne uspoređujemo nekoliko populacija, već provjeravamo svoju pretpostavku unutar jedne populacije, pri čemu podatke tumačimo u odnosu na neko zadano obilježje (kod nas: završena samo srednja škola). To, naravno, znači da nam je potrebna drugačija testna statistika koja će nekako "odrediti" očekivani broj poginulih vozača sa završenom samo srednjom školom.

Kao i prije, ideja je pronaći takvu testnu statistiku koja će naše podatke svesti na neku nama poznatu distribuciju iz koje ćemo poslije lako pročitati s kojom vjerojatnošću smo postavili točnu hipotezu. Ovdje smo se poslužili poznavanjem Centralnog graničnog teorema, iz kojeg se odmah nametnula tražena statistika.

Navodimo Centralni granični teorem (CGT), kojim ćemo se poslije nekoliko puta koristiti:

Neka je \left(X_{n} :n\in \mathbb{N}\right) niz nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli s očekivanjem \mu i varijancom \sigma ^{2}, 0\lt \sigma ^{2} \lt +\infty, te neka je T_{n} =\sum _{k=1}^{n}X_{k}. Tada vrijedi \frac{T_{n} -n\mu }{\sigma \sqrt{n} } \stackrel{D}{\longrightarrow} N\left(0,1\right) kad n\to \infty.

Iako smo CGT naveli u općenitom slučaju, nas zanima nešto jednostavnija situacija. Slučajni uzorak poginulih vozača možemo promatrati kao niz nezavisnih jednako distribuiranih Bernoullijevih slučajnih varijabli koje poprimaju vrijednost 0 ili 1 u ovisnosti o nekom zadanom svojstvu, i to s vjerojatnošću p, odnosno 1-p.

Konkretno, mi ćemo svakog poginulog vozača koji ima završenu najviše srednju školu reprezentirati jedinicom u uzorku, dok će ostali biti reprezentirani nulom. Ovako promatran niz varijabli ima nešto jednostavnije formule varijance \left(\sigma ^{2} =p(1-p)\right) i očekvivanja \left(\mu =p\right), pa je i testna statistika nešto jednostavnija nego u općenitom Centralnom graničnom teoremu. Također, sada je jasno da zapravo tražimo vjerojatnost p, tj. vjerojatnost da je poginuli vozač u uzorku imao završenu samo srednju školu.

Test ovoga oblika, u kojem računamo očekivanje za populaciju reprezentiranu Bernoullijevim varijablama, nazivamo Z-test i definiramo testnu statistiku (s opravdanjem u CGT-u i jer je n\bar{X}_{n} =T_{n}) formulom:


Ovo je najjači test za računanje očekivanja uz razinu značajnosti \alpha , gdje je

\bullet	n duljina uzorka
\bullet	\bar{X}_{n} relativna frekvencija vozača sa završenom samo srednjom školom u uzorku.

Promatrajući svoje podatke, uočili smo da najveći broj poginulih vozača ima završenu samo srednju školu pa smo opisanim Z-testom odlučili provjeriti svoje očekivanje da takvih vozača ima otprilike 70%.

Ovdje je važno napomenuti da je statističko istraživanje često puno pretpostavki dobivenih tzv. "metodom pokušaja i pogrešaka", te često nije moguće iz prve pogoditi koja je hipoteza optimalna.

Dakle, testirat ćemo sljedeće hipoteze:


Test ćemo provesti uz razinu značajnosti \alpha=5%.

Za podatke dobivamo \bar{X}_{n} =0.7388.

Uvrštavanjem konkretnih vrijednosti iz uzorka duljine n = 781 dobivamo sljedeće:


gdje broj z_{0.05} čitamo iz tablice standardne normalne distribucije (z_{0.05} =\Phi (1-0.05)).

Promatramo u kojem intervalu se nalazi z. Ako je z\in \left[z_{0.05} \right. ,\left. +\infty \right\rangle, tada odbacujemo hipotezu H_{0}, u protivnom je ne odbacujemo.

Dobiveni rezultat je iz intervala \left[z_{0.05} \right. ,\left. +\infty \right\rangle pa odbacujemo hipotezu H_{0} u korist hipoteze H_{1} i možemo zaključiti da više od 70% poginulih ima završenu samo srednju školu.



Pitanje koje se prirodno nameće je očekivana dob u trenutku nesreće. Točnije, zanima nas možemo li pronaći neki interval godina vozača u kojem je vjerojatnost nesreće najveća. U statistici takav interval nazivamo aproksimativni pouzdani interval.

Prema CGT teoremu znamo da je Z=\frac{\bar{X}_{n} -\mu }{\sigma } \sqrt{n} \sim N(0,1) za velike n.

Po formuli za vjerojatnost vrijedi: \mathbb{P}\left(|Z|\le z_{\frac{\alpha }{2} } \right)=1-\alpha,

što je ekvivaletno s \mathbb{P}\left(z_{\frac{\alpha }{2} } \le \frac{\bar{X}_{n} -\mu }{S_{n} } \sqrt{n} \le z_{\frac{\alpha }{2} } \right)=1-\alpha,

što je ekvivaletno s \mathbb{P}\left(\bar{X}_{n} -z_{\frac{\alpha }{2} } \frac{S_{n} }{\sqrt{n} } \le \mu \le \bar{X}_{n} +z_{\frac{\alpha }{2} } \frac{S_{n} }{\sqrt{n} } \right)=1-\alpha.

Dakle, interval je dan formulom


gdje je

\bullet	n duljina uzorka,
\bullet	x_{i} godine života i-te osobe u trenutku nesreće,
\bullet	\bar{X}_{n} =\frac{\sum _{i=1}^{n}x_{i} }{n},
\bullet	S_{n}^{2} =\frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n}(x_{i} -\bar{X}_{n} )^{2} procjenitelj za varijancu,

a broj z_{\frac{\alpha }{2} } čitamo iz tablice standardne normalne distribucije.

Iz uzorka duljine n=917 dobivamo \bar{X}_{n} =35.46 i S_{n} =11.72. Dakle, aproksimativni 95% pouzdani interval za očekivanu dob u trenutku pogibije je \left[34.7,36.22\right] pa zaključujemo da je očekivana dob između 34 i 37 godina.



Iz strukturnog dijagrama o udjelu pojedinih dobnih skupini u ukupnom broju poginulih, vidjeli smo da je najugroženija skupina u dobi od 20 do 29 godina. S obzirom na to da se i Zakon o sigurnosti prometa na cestama u 2008. bazirao upravo na toj dobnoj skupini, odnosno mladim vozačima, želimo utvrditi je li on uistinu utjecao na smanjenje smrtnosti.

Promatramo podatke o poginulima u toj dobnoj skupini u razdoblju od godine dana nakon donošenja prvog zakona u 2004. godini (prvo razdoblje) te od godinu dana nakon donošenja novog zakona u 2008. godini (peto razdoblje).

Pretpostavljamo da novi zakon ima manji utjecaj na smrtnost u dobnoj skupini od 20 do 29 od starog pa želimo naći neki test kojim bismo mogli usporediti "uspješnost" ovih dvaju zakona. Za početak, tu "uspješnost" zakona definiramo kao udio poginulih vozača u dobi od 20 do 29 godina u cjelokupnom broju poginulih. Sada je još potrebno naći najbolji način da usporedimo omjere prvog i petog razdoblja.

Odabrali smo test omjera proporcija koji se koristi upravo u situacijama kada uspoređujemo "uspješnost" nekog obilježja u nezavisnim populacijama.

Test omjera proporcija provodi se na dvije nezavisne populacije s nekim obilježjem X.

Označimo s X_{1} slučajnu varijablu koja predstavlja obilježje X u prvoj populaciji, a s X_{2} slučajnu varijablu koja predstavlja X u drugoj populaciji.

Neka su p_{1} i p_{2} njihove vjerojatnosti uspjeha u svakoj od populacija.

U osnovnoj nul-hipotezi pretpostavljamo da su vjerojatnosti uspjeha jednake, a druga hipoteza je njena alternativa koja ovisi o zadatku.

Test omjera proporcija definiran je formulom: gdje su n_{1} i n_{2} dovoljno velike populacije (zbog CGT-a), \hat{p}_{1} procjenitelj za p_{1} (tj. \hat{p}_{1}=p_{1}), \hat{p}_{2} procjenitelj za p_{2} (tj. \hat{p}_{2}=p_{2}) i \hat{p}=\frac{n_{1} \hat{p}_{1} +n_{2} \hat{p}_{2} }{n_{1} +n_{2} } procjenitelj zajedničke vjerojatnosti.

U našem slučaju promatrano obilježje je smrtnost, a populacije su poginuli u prvom i petom razdoblju. Označimo vjerojatnosti s
p_{1} = omjer poginulih u dobi od 20 do 29 u prvom razdoblju,
p_{5} = omjer poginulih u dobi od 20 do 29 u petom razdoblju.

Testiramo sljedeće hipoteze uz razinu značajnosti \alpha=5%:


Koristeći se navedenim formulama, za svoje podatke dobivamo ove rezultate:

\bullet	n_{1} =157
\bullet	n_{5} =195
\bullet	\hat{p}_{1} =\frac{56}{157} =0.3567
\bullet	\hat{p}_{5} =\frac{74}{195} =0.3795
\bullet	\hat{p}=0.3693
\bullet	Z=0.4406\lt z_{0.05} =1.64,

gdje broj z_{0.05} čitamo iz tablice standardne normalne distribucije.

Promatramo u kojem intervalu se nalazi z. Ako je z\in \left[z_{0.05} \right. ,\left. +\infty \right\rangle, tada odbacujemo hipotezu H_{0}, u protivnom je ne odbacujemo. Budući da z nije iz tog intervala, ne možemo odbaciti hipotezu H_{0}, odnosno novi i stari zakon imaju jednak utjecaj na smrtnost u dobnoj skupini od 20 do 29.


Istaknimo na kraju najzanimljivije rezultate rada:

\bullet	unatoč uvriježenoj pretpostavci, žene nisu lošiji vozači od muškaraca, štoviše, gotovo sedam puta manje žena pogine u prometnim nesrećama
\bullet	smrtnost mladih ovisi o danu u tjednu
\bullet	više od 70% poginulih ima završenu samo srednju školu
\bullet	očekivana dob u trenutku pogibije je između 34 i 37 godina
\bullet	promjena Zakona o sigurnosti prometa na cestama nije utjecala na smanjenje smrtnosti mladih.

Recimo da nam treba prosječna visina svih ljudi na Zemlji. Sasvim je jasno da bi pojedinačnim prikupljanjem podataka taj posao zaista dugo trajao. Zato nećemo mjeriti visinu svih ljudi, već ćemo odabrati neki broj ljudi i s pomoću njihovih visina procijeniti visinu svih. Upravo na taj način počinje svaka statistička analiza – ispitivanjem uzorka procjenjujemo svojstvo cijele populacije.


Naravno, nema smisla mjeriti visinu svih osnovnoškolaca jedne škole na svijetu ili košarkaške reprezentacije i na temelju toga procijenjivati visinu svih ljudi na Zemlji! Uzorak mora biti slučajno odabran. Ljudi ne smiju biti birani npr. prema spolu, boji kose, političkoj opredijeljenosti itd.


Početak svakog istraživanja je formiranje hipoteza, pretpostavki koje želimo dokazati (ili opovrgnuti). Obradu podataka započinjemo njihovim vizualnim prikazom. Najčešće histogramima i box-plotovima. Na taj način odmah možemo uočiti u kojim granicama se podaci nalaze, kako su raspoređeni te u kojem smjeru uostalom naši zaključci idu. Međutim, vizualna reprezentacija podataka nije dovoljna da bismo neku hipotezu smatrali dokazanom ili opovrgnutom. Tek primjenom različitih statističkih testova možemo s određenom, unaprijed pretpostavljenom vjerojatnošću smatrati da je istraživanje završeno.

\bullet	prosjek ocjena ne ovisi o spolu
\bullet	prosjek ocjena ne ovisi o godini upisa na fakultet
\bullet	prolaznost na 1. godini studija ovisi o mjestu na rang listi prijamnog ispita
\bullet	rang i prosjek linearno ovise i moguće je na temelju ranga procijeniti prosjek

Podatke smo prikupljali od studenata s PMF– Matematičkog odjela, prediplomski studij matematike, koji su fakultet upisali 2007. i 2008. godine, a polagali su prijamni ispit. To smo ostvarili s pomoću anonimne ankete u kojoj smo tražili da napišu koje godine su upisali fakultet, kojeg su spola, njihov rang (mjesto) na prijamnom ispitu (uz uvjet da nisu imali izravan upis) te njihove ocjene iz svih kolegija na prvoj godini. Zanima nas njihova prva godina studiranja, pa smo zamolili da napišu i ako su neki predmet pali, s čime ćemo poslije baratati kao s ocjenom 1. Na taj način zaista uočavamo kakav je uspjeh student ostvario godinu dana nakon što se upisao na fakultet i registriramo razliku između studenata koji su neki kolegij položili u roku i onih koji su pali, ali možda položili sljedeće godine s boljom ocjenom.

Ukupna populacija studenata upisanih 2007. i 2008. godine je 500, a mi smo prikupili uzorak od 94, procijenivši da će to biti dovoljno za statističku analizu. Nakon prikupljenih podataka izračunali smo prosjek ocjena svakog studenta (računajući i ocjene 1), te posebno označili je li student prvu godinu prošao ili pao. Zbog anonimnosti, nismo tražili studente da napišu točno mjesto na prijamnom ispitu, nego u razredima od 10. Dakle, ako je netko ostvario npr. 103. mjesto, zapisao je da mu je rang 101– 110. Na taj način anonimnost je sačuvana, a razredi su dovoljno mali da bismo mogli dovoljno dobro provjeriti svoje hipoteze.


Promatrano statističko obilježje (spol, prosjek, ...) u idućim analizama označavat ćemo s \textbf{X}, \textbf{Y}, \textbf{Z}, \ldots. Kroz n mjerenja dobivamo niz (tj. uzorak) x_{1},x_{2},\ldots, x_{n} kojim ćemo procijeniti statističko obilježje. U najjednostavnijem slučaju, ako obilježje \textbf{X} poprima samo vrijednost iz nekog diskretnog (konačnog ili prebrojivog) skupa A, onda se kaže da je \textbf{X} diskretno obilježje. U uzorku možemo uočiti ponavljanje nekih veličina. Neka u uzorku x_{1}\ldots,x_{n} ima k ({ k\leq n}) različitih izmjerenih veličina x'_{1},\ldots,x'_{k}. S f_{i} označavamo broj ponavljanja veličine x'_{i} u uzorku, i\in {1,\ldots,k}. Taj broj f_{i} zovemo frekvencija veličine x'_{i}. Još jedna korisna veličina usko vezana uz frekvenciju je relativna frekvencija veličine x'_{i}, koja se jednostavno definira kao p_{i}:=\frac{f_{i}}{n}, i=1,\ldots,k.

Dobivene podatke jednostavnije prikazujemo tablično.

U slučaju da obilježje \textbf{X} ne poprima diskretne vrijednosti, već iz nekog intervala iz \mathbb{R} ne možemo prebrojiti ponavljanja, pa vrijednosti svrstavamo u razrede. Razredi su disjunktni, jednake širine i prekrivaju cijeli interval (biramo ih proizvoljno ovisno o praktičnim potrebama).

Prilikom grupiranja u razrede sve vrijednosti i-tog razreda aproksimiraju se sredinom tog razreda, čime se gubi određeni dio informacija, ali se mogu razlučiti bitna svojstva promatranog kontinuiranog obilježja \textbf{X}.

U ovom slučaju broj veličina unutar nekog razreda predstavlja frekvenciju razreda.

\bullet

Tablica prosjeka ocjena prikupljenog slučajnog uzorka: i prosjek f_{i} p_{i} F_{i} 0 [1.0,2.0\rangle 30 0.31914887 0.31914887 1 [2.0, 3.0\rangle 30 0.31914887 0.63829774 2 [3.0, 4.0\rangle 27 0.28723404 0.92553178 3 [4.0, 5.0] 7 0.07446822 1 Podsjetimo, prosjek smo računali tako da smo za pad kolegija uzimali ocjenu nedovoljan (1). Zato interval[1.0,2.0\rangle ima smisla.} Napomena 1. Pri tome su F_{i} kumulativne relativne frekvencije definirane rekurzivno, tj: F_{0} = p_{0} F_{i} = F_{i-1} + p_{i}, i = 1,2,\ldots, n.

\bullet

Histogram prosjeka ocjena slučajnog uzorka:

Spomenimo još neke korisne veličine kojima se koristimo u opisnoj statistici. Prije svega poredajmo slučajni uzorak po veličini, tj.:

\bullet	Raspon slučajnog uzorka: d=x_{(n)} - x_{(1)}
\bullet	Medijan slučajnog uzorka je vrijednost koja ima svojstvo da je 50% podataka veće, a 50% manje od nje, tj. uzimamo za medijan: m = \begin{cases} \frac{1}{2}(x_{ (\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}) , & \text{ako je }n\text{ paran} \\ x_{(\frac{n+1}{2})}, & \text{ako je }n\text{ neparan} \end{cases}
\bullet	Donji kvartil je vrijednost koja ima svojstvo da je 25% podataka manje od nje, tj. uzimamo: q_{l} = x_{(\frac{n+1}{4})}
\bullet	Gornji kvartil je vrijednost koja ima svojstvo da je 25% podataka veće od nje, tj. uzimamo: q_{u}=x_{(\frac{3(n+1)}{4})}
\bullet	Interkvartil: \textbf{IQR} = q_{u} - q_{r}

Karakteristična petorka uzorka : (x_{(1)}, q_{l}, m, q_{u}, x_{(n)} ).

S pomoću karakteristične petorke uzorka formiramo box–plot (eng. box and whisker plot).



Box-plot prosjeka ocjena slučajnog uzorka:





"Box" predstavlja podatke koji se po vrijednosti nalaze u rasponu 25\% - 75\% ukupne veličine (tj. donja linija pravokutnika određena je donjim kvartilom, a gornja gornjim). Medijan je u pravokutniku posebno naznačen debljom linijom. Najmanja i najveća vrijednost koje nisu outlieri na grafu su označeni linijom i s pravokutnikom spojeni izlomljenom linijom (zato se i zovu brkovi). Primijetimo da na ovom box-plotu nema outliera (općenito, ako ih ima, posebno se naznače npr. kružićem).







Nakon formiranja hipoteze, moramo osmisliti način na koji ćemo je provjeriti, odnosno postupak donošenja odluke o njenom prihvaćanju ili odbacivanju. Taj postupak zove se testiranje. Općenito se problem testiranja sastoji od definiranja područja C \in \mathbb{R}^{n}, koje zovemo kritično područje hipoteze H. Ako se izmjereni uzorak shvati kao (x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} može vrijediti (x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{n}) \in C ili (x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{n}) \notin C. Ako vrijedi prvo, hipoteza se odbacuje, a u suprotnom se prihvaća. Ovako definirani postupak zove se statistički test.

U statističkom testu ključnu ulogu ima kritično područje. Njega treba odrediti tako da sadržava one točke (x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{n}) \in C u kojima dolazi do značajnog odstupanja od hipoteze koju testiramo. Naravno, javlja se problem određivanja što je značajno, a što tolerantno odstupanje.

Neka je {H_{0}} hipoteza koju testiramo. Vidimo da je zapravo riječ o dvije hipoteze, {H_{0}} i {H_{1}} , tj. odbacivanjem hipoteze H_{0} prihvaćamo hipotezu H_{1}, a prihvaćanjem H_{0} odbacujemo H_{1}. H_{0} zove se nul–hipoteza , a H_{1} alternativna hipoteza.

Budući da na temelju uzorka procjenjujemo svojstvo cijele populacije, odbacivanjem hipoteze H_{0} uvijek postoji određeni rizik da je hipoteza odbačena kada je zapravo trebala biti prihvaćena. Taj rizik označava se brojem \alpha\ (0\leq \alpha\leq 1) i kaže se da test ima razinu značajnosti \alpha. Naravno, želimo da \alpha bude što manji, najčešće se uzima 0,05(5\% ). Problem nalaženja najboljeg testa svodi se na određivanje kritičnog područja C tako da razina značajnosti iznosi zadani broj \alpha, te da vjerojatnost prihvaćanja nul–hipoteze kada je stvarno neistinita (pogreška druge vrste) bude minimalna.


Istodobno promatramo više veličina i želimo ustanoviti njihovu ovisnost. Primjerice, promatramo dva statistička obilježja, \textbf{X} i \textbf{Y}. Višestrukim ponavljanjem mjerenja dobiva se niz uređenih parova: U tom slučaju kažemo da promatramo dvodimenzionalno statističko obilježje(\textbf{X}, \textbf{Y})}.

Neka obilježje \textbf{X} poprima vrijednosti iz nekog diskretnog skupa \textbf{A}=\lbrace a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}\rbrace, a obilježje \textbf{Y} iz skupa \textbf{B}=\lbrace b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{c}\rbrace. Analogno jednodimenzionalnom slučaju, za svaki par (a_{i}, b_{j}), i=1, \ldots, r,\ j=1, \ldots, c, možemo uočiti njegovu frekvenciju u (1), označimo je s f_{ij}. Frekvenije nam omogućuju da formiramo sljedeću tablicu, koja se zove kontingencijska tablica frekvencija:


Uz ovisnost dvodimenzionalnih statističkih obilježja usko je vezan tzv. Pearsonov koeficijent korelacije, koji pokazuje stupanj afine povezanosti među podacima u uzorku, a definira se kao: gdje su



Neka je (\textbf{X}, \textbf{Y}) dvodimenzionalno statističko obilježje, te neka je (1) prikupljeni slučajni uzorak. Prirodno se postavlja pitanje što možemo reći o (ne)zavisnosti obilježja \textbf{X} i \textbf{Y} na temelju prikupljenog uzorka. Dakle, moramo konstruirati najbolji statistički test za testiranje hipoteze H_{0} : \textbf{X} i \textbf{Y} su nezavisna obilježja, u odnosu na alternativu H_{1} : \textbf{X} i \textbf{Y} su zavisna statistička obilježja.

Prvo moramo definirati veličinu koja će nam predstavljati "udaljenost" od nezavisnosti obilježja na temelju n-članog niza mjerenja, tako da ta "udaljenost" predstavlja značajno odstupanje od hipoteze H_{0}. U tu svrhu definiramo sljedeću veličinu (uz iste oznake kao u Tablici 4): gdje su \hat{p_{i}}=\frac{f_{i}}{n}, \hat{q_{j}}=\frac{g_{j}}{n}. Može se pokazati da je upravo H_{n} veličina kojom najbolje procjenjujemo ono što intuitivno shvaćamo kao "značajnu udaljenost od nezavisnosti".

Također, moramo odrediti kritično područje C, tako da razina značajnosti testa iznosi zadani broj \alpha\in\langle0, 1\rangle. Od sada nadalje, \alpha=0.05=5%. Za C mora vrijediti da ako H_{n} \in C, hipotezu H_{0} odbacujemo u korist H_{1} (s rizikom od 5%). Za rješenje ovog problema koristan je sljedeći teorem:



Sada možemo izračunati kritično područje [x_{0}, +\infty\rangle, tj. tražimo točku x_{0}\in\mathbb{R} za koju vrijedi: \mathbb{P}(H_{n}\lt x_{0})\geq0.95, tj. \mathbb{P}(H_{n}\geq x_{0})\leq0.05. Budući da znamo distribuciju H_{n}, vrijednost točke x_{0} iščitavamo iz tablice, a budući da ovisi o \alpha, r i c, označava se s \chi^{2}_{\alpha}((r-1)(c-1)).

Sada lako možemo testirati nezavisnost obilježja \textbf{X} i \textbf{Y}. S pomoću vrijednosti u kontingencijskoj tablici izračunamo H_{n} i ako vrijedi H_{n}\geq\chi^{2}_{\alpha}((r-1)(c-1)), odbacujemo H_{0} u korist H_{1} uz rizik od 5\%. U suprotnom, prihvaćamo H_{0}.


Unaprijed ne očekujemo razliku prosjeka na prvoj godini studiranja između žena i muškaraca. Za početak pogledajmo opisni prikaz odnosa prosjeka slučajnog uzorka obaju spolova.

Primijetimo, najveći broj žena iz uzorka ima prosjek između 2.00 i 3.00, dok najveći dio muškaraca iz uzorka ima prosjek između 3.00 i 4.00. Međutim, gotovo dva puta više žena ima prosjek 4.00 do 5.00. Prirodno se pitamo što od toga može utjecati na nezavisnost danih obilježja i na koji način.

Promotrimo box-plot slučajnog uzorka obaju spolova:

Za razliku od histograma, na box-plotu se ne mogu vidjeti značajne razlike između spolova.

Provedimo Pearsonov \chi^{2}-test o nezavisnosti:

Neka obilježje \textbf{X} poprima vrijednosti u razredima: [1.0, 2.0\rangle, [2.0, 3.0\rangle, [3.0, 4.0\rangle, [4.0, 5.0], a obilježje \textbf{Y} neka poprima vrijednosti: muško, žensko. Testiramo:



Iz tablice i (4) računamo: H_{94} = 14.003328. Broj stupnjeva slobode je (2-1)(4-1)=3, pa je kritično područje [\chi_{0.05}^{2}(3), +\infty\rangle. Još je samo preostalo odrediti \chi_{0.05}^{2}(3), a to čitamo iz tablice. Dakle, kritično područje je [7.8147, +\infty\rangle, a budući da je 14.003328\gt 7.8147, odbacujemo hipotezu H_{0} u korist alternativne hipoteze H_{1}.

Iako posve neočekivano, provedenim testom zaključujemo da prosjek ocjena na prvoj godini studija ovisi o spolu, na nivou značajnosti od 5%, tj. rizik da je naš zaključak pogrešan je 5%.



Primijetimo, najveći postotak uzorka upisanog 2007. godine ima prosjek od 1.00 do 2.00, za razliku od uzorka upisanog 2008. godine, gdje se taj prosjek kreće od 2.00 do 3.00. Međutim, relativna frekvencija prosjeka 4.00-5.00 čak je četiri puta veća u korist upisanih 2007. godine. Provedimo \chi^{2}-test o nezavisnosti.

Neka obilježje \textbf{X} poprima vrijednosti u razredima: [1.0, 2.0\rangle, [2.0, 3.0\rangle, [3.0, 4.0\rangle, [4.0, 5.0], a obilježje \textbf{Y} neka poprima vrijednosti godine upisa: 2007., 2008. Testiramo:



Iz kontingencijske tablice i (4) računamo: H_{94}=3.935598. Broj stupnjeva slobode je kao i u prethodnom, (4-1)(2-1)=3, pa je na isti način kritično područje [7.8147, +\infty\rangle. Budući da je H_{94}=3.935598\lt 7.8147, ne odbacujemo hipotezu H_{0}.

Dakle, \chi^{2}-test potvrdio je naša očekivanja na nivou značajnosti od 5%. Odnosno, zaključujemo da prosjek ocjena na prvoj godini fakulteta na ovisi o godini upisa.



U prethodnim box-plotovima možemo uočiti niz zanimljivih činjenica. Promatrajući studente iz uzorka koji su prošli prvu godinu, uočavamo da nitko nije bio niže od 200. mjesta na rang listi, dok ih je čak 75% bilo rangirano iznad 100. mjesta, te 50% iznad 50. mjesta na prijamnom ispitu. Za razliku od njih, 75% studenata iz uzorka koji su pali prvu godinu bili su rangirani ispod 50. mjesta i čak 25% ispod 170. mjesta na prijamnom ispitu.

Ako studente koji su prošli prvu godinu označimo s 1, a one koji su pali s 0, iz (2) dobivamo da su obilježja prolaznost i rang na prijamnom ispitu negativno korelirana (Pearsonov koeficijent korelacije iznosi -0.4356049).

Dakle, sve upućuje na zavisnost prolaznosti i ranga na prijamnom ispitu. Provedimo \chi^{2}-test o nezavisnosti:

Neka obilježje \textbf{X} poprima vrijednosti ranga na prijamnom ispitu u razredima: 1-10, 11-20, 21-30,\ldots, 241-250, a obilježje \textbf{Y} neka poprima vrijednosti: prolaz, pad. Testiramo:



Broj stupnjeva slobode je (25-1)(2-1)=24, dakle za kritično područje trebamo odrediti \chi_{0.05}^{2}(24), a tu vrijednost čitamo iz tablice. Dakle, kritično područje je [36.415, +\infty\rangle. Iz kontingencijske tablice (Tablica 14) i (4) računamo H_{94}=36.724, a budući da je 36.724\gt 36.415, odbacujemo hipotezu H_{0} u korist alternative H_{1} na nivou značajnosti od 5%.

Dakle, zaključujemo da su prolaznost na prvoj godini studiranja i mjesto na rang listi prijamnog ispita zavisna obilježja na nivou značajnosti od 5%, kao što smo i očekivali.


Podsjetimo se, jedna od početnih hipoteza bila je da su prosjek ocjena na prvoj godini i rang na prijamnom ispitu u linearnoj vezi. Zadatak ovog poglavlja je tu hipotezu potvrditi ili opovrgnuti. Provest ćemo vrlo česti statistički model, koji se zove linearni regresijski model.

Na temelju podataka koje smo prikupili, ovaj model provodimo za obilježja koja ćemo označiti na sljedeći način: \textbf{X} predstavlja mjesto na rang listi prijamnog ispita, dok \textbf{Y} predstavlja prosjek ocjena na prvoj godini studiranja.


Prikupljene podatke, (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \ldots, (x_{n}, y_{n}), prvo prikazujemo u koordinatnoj ravnini. Taj prikaz omogućuje nam da zapazimo moguću funkcijsku ovisnost između podataka.

Metoda najmanjih kvadrata unaprijed pretpostavlja linearnu funkcijsku ovisnost te pronalazi pravac y=\hat{a}x+\hat{b} koji najbolje aproksimira vezu između prikupljenih podataka. Procjene \hat{a} i \hat{b} treba odrediti tako da vrijedi: Pokazuje se da ta jednadžba ima jedinstveno rješenje: gdje su S_{\textbf{}}{XY}, S_{\textbf{}}{XX}, \bar{x} i \bar{y} kao u (3).

Sada kada znamo koji pravac najbolje aproksimira prikupljene podatke, pogledajmo kako izgleda na prikupljenom uzorku. Za početak, pogledajmo kako originalni podaci izgledaju u koordinatnom sustavu:


Sa slike možemo uočiti funkcijsku zavisnost ranga na prijamnom ispitu i prosjeka ocjena na prvoj godini. Metodom najmanjih kvadrata odredimo koji pravac najbolje opisuje primijećenu zavisnost. Potrebno je: Dakle, dobivamo \hat{a}=-0.0076121712, \hat{b}=3.382066, tj. traženi pravac je Prikažimo dobiveni pravac i grafički:



Metodom najmanjih kvadrata odredili smo pravac koji najbolje aproksimira vezu prikupljenih podataka o prosjeku i uspjehu na prijamnom ispitu. Međutim, mi ne želimo odrediti vezu tih 94 parova podataka, već cijele populacije. Tražimo pravac y=ax+b koji najbolje aproksimira vezu ranga na prijamnom ispitu i prosjeka ocjena na prvoj godini cijele populacije. Budući da s pomoću uzorka aproksimiramo populaciju, pravac dobiven metodom najmanjih kvadrata poslužit će nam kao dobra osnova za procjenu parametara a i b. Konstruirat ćemo tzv. pouzdane intervale, tj. s vjerojatnošću od 95\% procijeniti ćemo u kojem se intervalu nalaze vrijednosti paramatara a i b.

Formalno, (1-\alpha)\cdot 100\% pouzdani interval za a je interval [L, D] za koji vrijedi: Kao i do sada, uzimamo \alpha=0.05. Potpuno analogno definira se i 95\% pouzdani interval za b.

Pri konstrukciji pouzdanih intervala za a i b od iznimne su važnosti sljedeći teoremi:





Sada lako pronađemo 95\% pouzdane intervale za a i b. Na sljedećoj slici prikazana je Studentova t-distribucija.


Napomenimo da su vrijednosti t_{\alpha/2}(n-2) tabelirane i u našem slučaju je t_{0.05/2}(92)=1.951. Sada iz (7) uočavamo: te iz (8) Iz tih jednadžbi sad jednostavnim manipulacijama dobivamo 95\% pouzdane intervale za a i b.



Iz prethodnih zaključivanja i vrijednosti SSE i \hat{\sigma} dobivamo da je 95\% pouzdani interval za b[3.06435966, 3.699772334] i za a[-0.010252096, -0.004972246].



Prisjetimose, ono što nas je također zanimalo bilo je može li student na temelju svog uspjeha na prijamnom ispitu unaprijed znati koliki je njegov očekivani prosjek na prvoj godini studiranja, pri čemu se pad računa kao ocjena 1. Formalno, želimo procijeniti \mathbb{E}[\textbf{Y}|\textbf{X}=x_{0}].

Budući da smo u prethodnim poglavljima već pretpostavili da je veza obilježja \textbf{X} i \textbf{Y} linearna te procijenili pravac y=ax+b koji tu vezu najbolje aproksimira i pravac y=\hat{a}x+\hat{b} koji najbolje aproksimira vezu podataka iz uzorka, na taj način postupit ćemo i ovdje. Dakle, \mathbb{E}[\textbf{Y}|\textbf{X}=x_{0}]=ax_{0}+b procjenjujemo s \hat{\textbf{Y}}=\hat{a}x_{0}+\hat{b}.



Iz (9) slijedi: odnosno procjena 95\% pouzdanog intervala za \mathbb{E}[\textbf{Y}| \textbf{X}=x_{0}]=ax_{0}+b je: Pogledajmo koliko to iznosi za konkretne x_{0}. Dobivene rezultate prikazujemo tablicom (Tablica 15).

Primijetimo, u slučaju a=0 dobivamo y=b=const., što nam govori da među promatranim obilježjima nema linearne ovisnosti. Dakle, naša je pretpostavka bila pogrešna. Zato ćemo provjeriti može li se dogoditi ova situacija. Formiramo sljedeće hipoteze:


Testiranje ovih hipoteza zove se test značajnosti linearnog regresijskog modela. Test značajnosti provodimo uz nivo značajnosti \alpha=0.05. Budući da je procjena 95\% pouzdanog intervala za a jednaka [-0.010252096, -0.004972246], a 0\notin[-0.010252096, -0.004972246], odbacujemo H_{0} u korist H_{1} na nivou značajnosti od 0.05, tj. model je značajan.

Dakle, možemo biti 95\% sigurni da je pretpostavka o linearnoj ovisnosti dobra, tj. da su naši rezultati valjani.


Rezimirajmo dobivene rezultate. Istraživanje smo započeli formiranjem sljedećih hipoteza:

\bullet	prosjek ocjena prve godine studiranja ne ovisi o spolu
\bullet	prosjek ocjena prve godine studiranja ne ovisi o godini upisa na fakultet
\bullet	prolaznost na prvoj godini studiranja ovisi o mjestu na rang listi prijamnog ispita
\bullet	prosjek ocjena na prvoj godini studiranja i rang na prijamnom ispitu u linearnoj su vezi i na temelju uspjeha na prijamnom ispitu možemo procijeniti prosjek prve godine studiranja

Da bismo ove hipoteze potvrdili ili opovrgnuli, prikupili smo potrebne podatke od 94 studenta iz populacije studenata PMF–MO koji su upisali 1. godinu studija akademske godine 2007./2008., 2008./2009. Na temelju toga, uz nivo značajnosti od 5%, dobili smo sljedeće rezultate:

\bullet	pomalo neočekivano, prosjek ocjena na 1. godini studiranja ovisi o spolu
\bullet	prosjek ocjena ne ovisi o godini upisa na fakultet, tj. ne postoji značajna razlika u prosjeku ocjena generacija upisanih 2007. i 2008. godine
\bullet	prolaznost na 1. godini studiranja ovisi o mjestu na rang listi prijamnog ispita, takav rezultat posve je očekivan
\bullet	potvrdili smo značajnost provedenog linearnog regresijskog modela, što nam dokazuje da su statistička obilježja rang na prijamnom ispitu i prosjek ocjena na 1. godini u linearnoj vezi y=ax+b, pri čemu je a\in [-0.010252096,-0,004972246] i b\in [3,06435966,3,699772334].

Možda je jedan od najzanimljivijih rezultata bilo kreiranje tablice (Tablica 15) iz koje se na temelju mjesta na rang listi može isčitati 95% pouzdani interval o prosjeku na 1. godini studiranja. Provođenjem dvaju testova (\chi^{2}–test o nezavisnosti i linearni regresijski model) dotakli smo mali dio onoga što nam zapravo statistika kao takva omogućuje. Glavni zadatak ovog članka je objasniti široj populaciji da statistika nije samo crtanje dijagrama, već da iza svake tvrdnje stoji matematički alat koji i nije uvijek tako jednostavan. Također, svaki dobiveni rezultat temelji se na malom dijelu ukupne populacije, i kao takav vrijedi tek s određenom vjerojatnošću. Dakle, ne možemo reći "prosjek ocjena ovisi o spolu", nego tek kad napomenemo da to vrijedi s 95% vjerojatnosti, dobivamo valjani zaključak. Glavni problem danas je predstavljanje statističkih zaključaka sa 100% vjerojatnošću kako se to široj populaciji predstavlja. Usprkos svemu, odabirom dobre teme i analizom kvalitetnih hipoteza mogu se dobiti vrlo zanimljivi i ponekad neočekivani rezultati.