Russellov paradoks

Russelov paradoks još je jedan primjer koji nam pokazuje da Cantorova teorija skupova sadržava kontradikcije. Izmislio ga je Bertrand Russell (1872. – 1970.), britanski filozof, logičar, matematičar, povjesničar, sociolog, pacifist i društveni kritičar. Do otkrića je došao radeći na svojim Principles of Mathematics, gdje je diskusiji te kontradikcije posvetio cijelo poglavlje. Iako postoje dokazi da su drugi matematičari, među kojima su i Zermelo i Hilbert, bili već svjesni tog paradoksa, Russell je prvi detaljno opisao kontradikciju, pokušao formulirati rješenja i prvi je potpuno cijenio njegovu važnost.

Najpoznatija verzija paradoksa je priča o brijaču koju je sam Russell iskoristio kao ilustraciju problema.

Pretpostavimo da postoji grad i u njemu samo jedan muški brijač; te da su svi muškarci u gradu redovito obrijani. Neki se briju sami, a neki dolaze brijaču. Razumno je zamisliti sljedeće pravilo: Brijač brije sve i isključivo one muškarce koji se ne briju sami. U ovako zadanim uvjetima možemo postaviti pitanje: Brije li brijač sebe?

No, sad vidimo da je zadana situacija nemoguća.

• Ako se brijač ne brije sam, prema pravilu se mora obrijati, jer je on taj koji brije muškarce koji se sami ne briju.
• Ako se brije, prema pravilu, mora prestati, jer ne spada u skup ljudi koje smije brijati.

Iskažimo paradoks u jeziku teorije skupova.

Često se susrećemo sa skupovima koji nisu sami svoji članovi, naprimjer skup svih gradova u Europi, skup svih studenata matematike, skup svih cijelih brojeva. Ali, primjerice, skup svih skupova koji imaju više od jednog člana, sadržava sebe kao element jer je i sam skup s više članova.

Promotrimo sad skup svih skupova koji ne sadržavaju sebe kao element. Pitanje je - sadržava li taj skup sebe kao element?

Ako sadržava, tada nije ispunjen uvjet da sadržava sve skupove koji ne sadržavaju sebe kao element, no, ako ne sadržava, onda ne sadržava sve skupove koji ne sadržavaju sebe kao element jer ne sadržava samog sebe. Došli smo do kontradikcije.

Russell je paradoks otkrio 1901. i sam priznao da je tad pokušavao pronaći pogrešku u Cantorovu dokazu da ne postoji najveći kardinalni broj. Godine 1908. bila su predložena dva rješenja paradoksa - Russellova Teorija tipova i Zermelova Aksiomatska teorija skupova.