osnovni teorem algebre

Gelfand-Mazurov teorem i osnovni teorem algebre

Ilja Gogić, Mateo Tomašević


I. Gogić, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, Bijenička 30, 10000 Zagreb, Hrvatska

ilja@math.hr
 

M. Tomašević, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, Bijenička 30, 10000 Zagreb, Hrvatska

mateo.tomasevic@math.hr

Sažetak
U ovom preglednom radu prezentiramo relativno elementaran dokaz slavnog Gelfand-Mazurovog teorema, koji kaže da je svaka kompleksna normirana algebra s dijeljenjem izomorfna algebri kompleksnih brojeva \mathbb{C}, te pomoću njega dajemo kratak dokaz Osnovnog teorema algebre.



1Uvod

Gelfand–Mazurov teorem (GMT u daljnjem), nazvan prema sovjetskom matematičaru I. Gelfandu i poljskom matematičaru S. Mazuru, je fundamentalni teorem teorije Banachovih algebri koji kaže da je svaka kompleksna normirana algebra s dijeljenjem izomorfna algebri kompleksnih brojeva \mathbb{C}. Taj rezultat je najprije na\-javio S. Mazur 1938. godine u [6], a zatim ga je dokazao I. Gelfand 1941. godine u [3].

GMT se obično iskazuje za Banachove algebre (tj. za potpune normirane algebre) te se standardno dokazuje koristeći Liouvilleov teorem iz kompleksne analize. U ovom preglednom radu ćemo najprije prezentirati relativno elementaran dokaz GMT-a (Teorem 8) kojeg je, uz dodatnu pretpostavku komutativnosti algebre, dao japanski matematičar S. Kametani u [5]. U tom dokazu se od funkcijskih metoda koristi samo koncept neprekidnosti. Kao što ćemo vidjeti, Kametanijev dokaz prolazi i bez pretpostavke komutativnosti algebre, odakle jednostavno slijedi da je svaka konačnodimenzionalna kompleksna algebra s dijeljenjem izomorfna s \mathbb{C} (Korolar 12). Koristeći opservaciju španjolskog matematičara J. Almirae (vidjeti [1]), kao jednostavnu posljedicu te činjenice dobivamo još jedan dokaz Osnovnog teorema algebre (Teorem 14).

2Pregled osnovnih pojmova

Za vektorski prostor A nad poljem \mathbb{F} kažemo da je (asocijativna) algebra, ako je na A zadana operacija množenja, tj. asocijativna binarna operacija

A \times A \to A, \qquad (x,y) \mapsto xy

koja zadovoljava

(\lambda x+ \mu y)z=\lambda(xz)+\mu(yz) \qquad \text{i} \qquad x(\lambda y+ \mu z)=\lambda (xy)+ \mu(xz)

za sve \lambda,\mu \in \mathbb{F} te x,y,z \in A.

Za elemente x,y \in A kažemo da komutiraju ako vrijedi xy=yx. Ako svi elementi u A komutiraju, onda kažemo da je A komutativna algebra.

Za algebru A\neq \lbrace 0\rbrace kažemo da je unitalna (ili algebra s jedinicom) ako A sadrži element 1_{A} sa svojstvom

1_{A}x=x1_{A}=x \qquad \forall x\in A.

U tom slučaju element 1_{A} se zove jedinica u A i ona je jedinstvena.

Ako je A unitalna algebra, tada za element x \in A kažemo da je invertibilan ako postoji element x^{-1}\in A takav da je

x^{-1}x=xx^{-1}=1_{A}.

Element x^{-1}, ako postoji, je jedinstven i zovemo ga inverz od x. Skup svih invertibilnih elemenata algebre A označavamo s A^{\times}. Primijetimo da je A^{\times} grupa s obzirom na operaciju množenja.

Napomena 1. Neka je A unitalna algebra. Ako elementi x,y \in A komutiraju i ako je y \in A^{\times}, onda također komutiraju elementi x i y^{-1}. Naime xy=yx je ekvivalentno s y^{-1}x=xy^{-1}.


Ako je A unitalna algebra takva da vrijedi A^{\times}=A\setminus \lbrace 0\rbrace, tj. ako je svaki nenul element u A invertibilan, onda kažemo da je A algebra s dijeljenjem. Primijetimo da ako je A komutativna algebra s dijeljenjem tada je A polje koje sadrži \mathbb{F} kao potpolje (nakon identifikacije \mathbb{F} s \mathbb{F} 1_{A} \subseteq A).
 

 

Neka je A algebra. Za potprostor I od A kažemo da je obostrani ideal (ili samo ideal) u A ako vrijedi

IA=\lbrace xy : \, x \in I, y \in A\rbrace \subseteq I \qquad \text{i} \qquad AI=\lbrace xy : \, x\in A, y \in I\rbrace \subseteq I.

Očito su \lbrace 0} i A ideali u A koje zovemo trivijalni ideali. Ako A nema netrivijalnih ideala onda kažemo da je A prosta.

Napomena 2. Neka je A unitalna algebra. Tada A možemo promatrati kao (unitalni) prsten, tako da zaboravimo na dodatnu strukturu. Ako je I \subseteq A, onda je I ideal algebre A ako i samo ako je I ideal prstena A. Zaista, neka je I ideal prstena A. Tada za \lambda \in \mathbb{F} i x \in I imamo
\lambda x = \lambda (1_{A} x)=(\lambda 1_{A}) x \in I.
Dakle, I je potprostor od A pa stoga ideal algebre A. Obrat je trivijalan.

Napomena 3. Neka je A unitalna algebra i neka je I\neq A ideal u A. Tada vrijedi 1_{A}\not\in I. štoviše, I ne sadrži niti jedan invertibilni element, tj. I \cap A^{\times} = \emptyset. Posebno, ako je A algebra s dijeljenjem, tada je A prosta algebra.


 

Neka je I ideal u algebri A. U kvocijentni vektorski prostor A/I uvodimo operaciju množenja na sljede\' ci način:

(x+I)(y+I):=xy+I \qquad (x,y \in A).

Iz činjenice da je I (obostrani) ideal lako vidimo da ta definicija ima smisla, odnosno da ne ovisi o izboru predstavnika x i y klasa kvocijentnog prostora. S tako definiranim množenjem A/I postaje algebra koja se zove kvocijentna algebra algebre A po idealu I. Ako je 1_{A} jedinica u algebri A, očito je njena klasa 1_{A}+I jedinica u kvocijentnoj algebri A/I.

Napomena 4. Za ideal M\neq A algebre A kažemo da je maksimalan, ako M nije sadržan niti u jednom drugom idealu u A različitom od A. Ako je A unitalna komutativna algebra, tada se lako vidi da je ideal M u A maksimalan ako i samo ako je A/M polje (vidjeti npr. [7, Teorem 6.19]). Posebno, unitalna komutativna algebra A je prosta ako i samo ako je A polje.

Primjer 5. Neka je \mathbb{F} polje.
\bullet [(a)] Promotrimo algebru polinoma \mathbb{F}[X] nad \mathbb{F} u jednoj varijabli X. Tada je \mathbb{F}[X] unitalna komutativna algebra, pri čemu je jedinica u \mathbb{F}[X] konstantni polinom 1. Kao što znamo, \mathbb{F}[X] je kao prsten domena glavnih ideala (npr. vidjeti [7, Teorem 8.9]). Drugim riječima, svaki ideal I prstena \mathbb{F}[X] (pa prema Napomeni 2 i algebre \mathbb{F}[X]) je glavni, odnosno oblika
I=\langle p \rangle =p(X)\mathbb{F}[X]
za neki polinom p \in \mathbb{F}[X]. Nadalje, ideal I=\langle p \rangle je maksimalan ako i samo je polinom p ireducibilan, tj. p se ne može prikazati kao produkt dva nekonstanta polinoma u \mathbb{F}[X] (za detalje vidjeti [4, Sections III.5, III.6]). Prema Napomeni 4 to je ekvivalentno činjenici da je kvocijentna algebra \mathbb{F}[X]/\langle p \rangle polje.
\bullet [(b)] Neka je V konačnodimenzionalni vektorski prostor nad \mathbb{F}. Promotrimo skup \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) svih linearnih operatora s V u V. Tada je \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) unitalna algebra nad \mathbb{F} s obzirom na operacije
(\lambda T)v:=\lambda(T v), \quad (T_{1}+T_{2})(v):=T_{1}v+T_{2}v \quad \text{i} \quad (T_{1}T_{2})(v):=T_{1}(T_{2}v),
gdje su T_{1},T_{2} \in \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V), v \in V te \lambda \in \mathbb{F}. Jedinica u \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) je jedinični operator. Lako se provjeri da je \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) prosta algebra koja je nekomutativna čim je \dim V \gt 1.


 

Normirana algebra je algebra A nad poljem \mathbb{F}=\mathbb{R} ili \mathbb{F}=\mathbb{C} na kojoj je zadana submultiplikativna norma, tj. norma \Vert \cdot\Vert takva da vrijedi

\Vert xy\Vert \leq \Vert x\Vert \Vert y\Vert \qquad \forall x,y \in A.


Napomena 6. Neka je A normirana algebra.
\bullet [(a)] Operacija množenja (x,y)\mapsto xy je neprekidna kao funkcija A \times A \to A. To slijedi direktno iz nejednakosti
\begin{eqnarray*} \Vert xy-x'y'\Vert & = & \Vert x(y-y')+(x-x')y'\Vert \leq \Vert x(y-y')\Vert + \Vert (x-x')y'\Vert \\ &\leq& \Vert x\Vert \Vert y-y'\Vert + \Vert x-x'\Vert \Vert y'\Vert , \end{eqnarray*}
gdje su x,x',y,y' \in A.
\bullet [(b)] Ako je A unitalna, tada je \Vert 1_{A}\Vert \geq 1. To slijedi direktno iz nejednakosti
\Vert 1_{A}\Vert =\Vert 1_{A}^{2}\Vert \leq \Vert 1_{A}\Vert ^{2}
i činjenice da je \Vert 1_{A}\Vert \neq 0 (jer je 1_{A} \neq 0).

Primjer 7. Neka je \mathbb{F}=\mathbb{R} ili \mathbb{F}=\mathbb{C}.
\bullet [(a)] Algebra polinoma \mathbb{F}[X] nad \mathbb{F} u jednoj varijabli X (Primjer 5 (a)) postaje normirana algebra s obzirom na sup-normu po jediničnoj kugli u \mathbb{F}:
\Vert p\Vert := \sup\lbrace |p(\lambda)| :\, |\lambda|\leq 1\rbrace .
\bullet [(b)] Neka je V konačnodimenzionalni normiran prostor nad poljem \mathbb{F}. Tada algebra \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V) (Primjer 5 (b)) postaje normirana algebra s obzirom na operatorsku normu
\Vert T\Vert _{o}:=\sup\lbrace \Vert Tx\Vert : \, \Vert x\Vert \leq 1\rbrace \qquad (T \in \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V))
(vidjeti npr. [9, Teorem 2.24]).

3Dokaz Gelfand-Mazurovog teorema

Najprije iskažimo Gelfand-Mazurov teorem.

Teorem 8. [Gelfand-Mazurov teorem] Neka je A kompleksna normirana algebra s dijeljenjem. Tada je
A = \mathbb{C}1_{A} = \lbrace \lambda 1_{A} : \, \lambda \in \mathbb{C}\rbrace .


U dokazu Teorema 8 koristit ćemo dva pomoćna rezultata, Leme 9 i 11. Napomenimo da za x_{0} \in A i r \gt 0 s K(x_{0},r) i \overline{K}(x_{0},r) redom označavamo otvorenu i zatvorenu kuglu oko x_{0} radijusa r, tj.

K(x_{0},r)=\lbrace x \in A : \, \Vert x-x_{0}\Vert \lt r\rbrace \qquad \text{i} \qquad \overline{K}(x_{0},r)=\lbrace x \in A : \, \Vert x-x_{0}\Vert \leq r\rbrace .

Nadalje, za x \in A i polinom p \in \mathbb{C}[z], p(z)=\alpha_{0} +\alpha_{1} z+ \ldots + \alpha_{n} z^{n}, definiramo

p(x):=\alpha_{0} 1_{A} + \alpha_{1} x+ \ldots + \alpha_{n} x^{n} \in A.


Lema 9. Neka je A normirana algebra s dijeljenjem. Tada je invertiranje x \mapsto x^{-1} neprekidno, kao funkcija A^{\times} \to A^{\times}.

Dokaz. Neka je x \in A^{\times} proizvoljan i neka je
(1)
y \in K\left(x,\frac{1}{2\Vert x^{-1}\Vert }\right).
Primijetimo da je y \in A^{\times}, jer bismo u protivnom imali y=0 pa bi (1) povlačilo
\Vert 1_{A}\Vert =\Vert xx^{-1}\Vert \leq \Vert x\Vert \Vert x^{-1}\Vert \lt \frac{1}{2},
što je kontradikcija s Napomenom 6 (b). Imamo
\Vert y^{-1}\Vert - \Vert x^{-1}\Vert \le \Vert y^{-1}-x^{-1}\Vert = \Vert y^{-1}(x-y)x^{-1}\Vert \le \Vert y^{-1}\Vert \Vert x - y\Vert \Vert x^{-1}\Vert \lt \frac{1}{2} \Vert y^{-1}\Vert
pa je \Vert y^{-1}\Vert \lt 2\Vert x^{-1}\Vert. Gornji račun sada daje
\Vert y^{-1}-x^{-1}\Vert \lt 2 \Vert x^{-1}\Vert ^{2}\Vert x-y\Vert ,
iz čega direktno slijedi neprekidnost invertiranja.
\ \blacksquare

Napomena 10. Kako je \Vert 1_{A}\Vert \geq 1 (Napomena 6 (b)), iz dokaza Leme 9 za x=1_{A} dobivamo da za sve y \in K\left(1_{A},\frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right) vrijedi y \in A^{\times} te \Vert y^{-1}\Vert \lt 2\Vert 1_{A}\Vert.

Lema 11. Neka je f : \mathbb{C} \to \mathbb{R} neprekidna funkcija takva da je
(2)
\lim_{|z| \to +\infty} f(z) = 0.
Tada f postiže maksimum na \mathbb{C}.

Proof. Najprije primijetimo da iz (2) slijedi da je f ograničena na \mathbb{C} i neka je
M := \sup_{z \in \mathbb{C}} f(z).
Također, (2) povlači da postoji R \gt 0 takav da je f(z) \lt \frac{M}{2} za sve z \in \mathbb{C}, |z| \gt R. S druge strane, restrikcija od f na \overline{K}(0,R) je neprekidna na kompaktnom skupu pa postiže maksimum. Očito je taj maksimum ujedno i maksimum funkcije f.
\ \blacksquare

Dokaz Teorema 8. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}. Očito za sve \alpha,\beta \in \mathbb{C}, \alpha \ne 0 imamo \alpha x + \beta 1_{A} \in A\setminus \mathbb{C}1_{A}. Posebno je x - \lambda 1_{A} \ne 0 za sve \lambda \in \mathbb{C} pa je prema Lemi 9 funkcija \varphi : \mathbb{C} \to A zadana s
\varphi(\lambda) := (x-\lambda 1_{A})^{-1}
dobro definirana i neprekidna na \mathbb{C}. Nadalje za sve \lambda \in \mathbb{C}^{\times} imamo
\Vert \varphi(\lambda)\Vert \le |\lambda^{-1}|\Vert (\lambda^{-1}x-1_{A})^{-1}\Vert ,
odakle slijedi
(3)
\lim_{|\lambda|\to +\infty} \Vert \varphi(\lambda)\Vert =0.
Naime, za |\lambda|\gt 2\Vert x\Vert \Vert 1_{A}\Vert imamo 1_{A}- \lambda^{-1}x\in K\left(1_{A},\frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right) pa je prema Napomeni 10
\Vert (\lambda^{-1}x-1_{A})^{-1}\Vert \lt 2 \Vert 1_{A}\Vert .
Stoga prema Lemi 11 postoji \lambda_{0} \in \mathbb{C} takav da je
\Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert = \sup_{\lambda \in \mathbb{C}} \Vert \varphi(\lambda)\Vert .
Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je
(4)
\lambda_{0} = 0 \qquad \text{i} \qquad \Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert = 1.
Naime, u suprotnom element x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A} zamijenimo elementom
y:= (x+\lambda_{0} 1_{A})\Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}.
Iz (4) slijedi da za sve \lambda \in \mathbb{C} imamo
(5)
\Vert (x-\lambda 1_{A})^{-1}\Vert = \Vert \varphi(\lambda)\Vert \le \Vert \varphi(0)\Vert = \Vert x^{-1}\Vert = 1.

Pokazat ćemo da (5) povlači
(6)
\Vert (x-2^{-1}1_{A})^{-1}\Vert =\Vert \varphi(2^{-1})\Vert =1.
Jednom kada pokažemo (6), bit će moguće element x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A} zamijeniti elementom x - 2^{-1}1_{A} \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}, odakle će induktivno slijediti
\Vert (x-(2^{-1}n)1_{A})^{-1}\Vert =1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}.
Ovo je kontradikcija, jer je prema (3)
\lim_{n\to\infty} \Vert \varphi(2^{-1}n)\Vert = \lim_{n\to\infty}\Vert (x-(2^{-1}n)1_{A})^{-1}\Vert = 0.
Preostaje dokazati jednakost (6). Prema (5) znamo da je \Vert \varphi(2^{-1})\Vert \le 1 pa pretpostavimo da je
\Vert \varphi(2^{-1})\Vert \lt 1.
Neka je 0\lt \delta \lt 2^{-1} takav da je \Vert \varphi(2^{-1})\Vert = 1-2\delta. Iz neprekidnosti funkcije \varphi u 2^{-1} slijedi da postoji \eta \gt 0 sa svojstvom
(7)
|\lambda - 2^{-1}| \le \eta \implies \Vert \varphi(\lambda)\Vert \lt 1-\delta.

Za n \in \mathbb{N} označimo s \xi_{0}, \ldots, \xi_{n-1} sve n-te korijene iz jedinice. Promotrimo polinom p \in \mathbb{C}[z] definiran s
p(z):= z^{n}-2^{-n} = \prod_{j=0}^{n-1}(z-2^{-1}\xi_{j}).
Imamo
nz^{n-1} = p'(z) = \sum_{j=0}^{n-1} \prod_{\stackrel{k=0}{k \ne j}}^{n-1} (z-2^{-1}\xi_{k})
pa je prema Napomeni 1
\begin{align*} p(x)\left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) &= (x^{n}-2^{-n}1_{A})\left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) \\ &= \left(\prod_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})\right) \left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} \prod_{\stackrel{k=0}{k \ne j}}^{n-1} (x-2^{-1}\xi_{k} 1_{A}) \\ &= p'(x) \\ &= nx^{n-1}. \end{align*}
Iz prethodnog računa (i Napomene 1) slijedi
\begin{align*} \sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1} &= nx^{n-1}(x^{n}-2^{-n}1_{A})^{-1}\\ &= nx^{n-1}x^{-n}(1_{A}-(2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}((1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})+ (2^{-1}x^{-1})^{n})(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}(1_{A} + (2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}), \end{align*}
odnosno
(8)
\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}\varphi(2^{-1}\xi_{j}) = x^{-1}+x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}.
Iz (8) i (5) dobivamo
(9)
\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}\Vert \varphi(2^{-1}\xi_{j})\Vert &\ge \frac{1}{n} \left\Vert \sum_{j=0}^{n-1} \varphi(2^{-1}\xi_{j})\right\Vert \\ &= \left\Vert x^{-1}+x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\right\Vert \\ &\ge \Vert x^{-1}\Vert -\Vert x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag\\ &\ge \Vert x^{-1}\Vert -\Vert x^{-1}\Vert \Vert 2^{-1}x^{-1}\Vert ^{n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag\\ &= 1 - 2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag. \end{align}
Definirajmo funkciju f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace s
\begin{eqnarray*} f(n)&:=& \text{card}\lbrace 0 \le j \le n-1 : \, |2^{-1}\xi_{j} - 2^{-1}| \le \eta\rbrace \\ &=& \text{card}\lbrace 0 \le j \le n-1 : \, |\xi_{j} - 1| \le 2\eta\rbrace . \end{eqnarray*}
Tada iz (9), (7) i (5) dobivamo
(10)
\frac{f(n)(1-\delta)+(n-f(n))}{n} \gt 1-2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert .
Kako je \Vert x^{-1}\Vert =1, za dovoljno velike n \in \mathbb{N} imamo 1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n} \in K\left(1_{A}, \frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right), pa je prema Napomeni 10
\lim_{n\to\infty} (1-2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert ) = 1.
S druge strane, neka je \ell duljina luka kružnice |z| = 1 određenog s |z-1| \le 2\eta. Tada za sve n \in \mathbb{N} imamo
\frac{n}{2\pi} \ell - 1 \leq f(n)\leq \frac{n}{2\pi} \ell + 1,
pa je prema teoremu o sendviču
\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n}=\frac{\ell}{2\pi}.
Prelaskom na limes u relaciji (10) dobivamo
1 - \frac{\ell}{2\pi}\delta \ge 1,
što je kontradikcija. Time je dokaz teorema završen.
\ \blacksquare

Korolar 12. Neka je A konačnodimenzionalna kompleksna algebra s dijeljenjem. Tada je A=\mathbb{C}1_{A}.

Dokaz. Prema Gelfand-Mazurovom teoremu, dovoljno je dokazati da je A moguće opskrbiti sa submultiplikativnom normom, tj. da postoji norma \Vert \cdot\Vert _{*} na A s obzirom na koju je (A, \Vert \cdot\Vert _{*}) normirana algebra.

U tu svrhu naprije izaberimo proizvoljnu normu \Vert \cdot\Vert na A. Npr., kako je n:=\dim A \lt \infty, postoji baza \lbrace e_{1}, \ldots, e_{n}\rbrace za A. Tada za svaki x \in A postoje jedinstveni skalari \alpha_{1}(x), \ldots , \alpha_{n}(x) takvi da je
x=\alpha_{1}(x)e_{1} + \ldots + \alpha_{n}(x)e_{n},
pa možemo definirati
\Vert x\Vert :=\max\lbrace |\alpha_{1}(x)|, \ldots , |\alpha_{n}(x)|\rbrace .
Promotrimo algebru \text{End}_{\mathbb{}}{C}(A) svih linearnih operatora na A, opskrbljenu s operatorskom normom \Vert \cdot\Vert _{o} (Primjer 7 (b)). Za svako a \in A neka je L_{a} \in \text{End}_{\mathbb{}}{C}(A) pripadni operator lijevog množenja s a, tj. L_{a}(x):=ax (x \in A). Definirajmo
\Vert a\Vert _{*}:=\Vert L_{a}\Vert _{o}=\sup\lbrace \Vert ax\Vert : \, \Vert x\Vert \leq 1\rbrace \qquad (a \in A).
Očito je \Vert \cdot\Vert _{*} norma na A. Kako je operatorska norma submultiplikativna, za sve a,b \in A imamo
\Vert ab\Vert _{*}=\Vert L_{ab}\Vert _{o}=\Vert L_{a} L_{b}\Vert _{o}\leq\Vert L_{a}\Vert _{o}\Vert L_{b}\Vert _{o}=\Vert a\Vert _{*}\Vert b\Vert _{*}.
Dakle, (A, \Vert \cdot\Vert _{*}) je normirana algebra.
\ \blacksquare

Napomena 13. čitatelj bi se mogao zapitati vrijedi li tvrdnja Korolara 12 i bez pretpostavke da je A konačne dimenzije. Odgovor je negativan. Naime, algebra \mathbb{C}((X)) formalnih Laurentovih redova nad \mathbb{C} u jednoj varijabli X (vidjeti npr. [2, Example 1.41]) je primjer beskonačnodimenzionalne kompleksne algebre s dijeljenjem. Posebno, iz GMT-a slijedi da na algebri \mathbb{C}((X)) nije moguće definirati normu uz koju bi ona postala normirana algebra. Argument iz dokaza Korolara 12 ne prolazi, jer zbog beskonačnodimenzionalnosti od \mathbb{C}((X)) operatori lijevog množenja na \mathbb{C}((X)), s obzirom na proizvoljnu normu na \mathbb{C}((X)), nisu nužno ograničeni.

4Dokaz osnovnog teorema algebre preko Gelfand-Mazurovog teorema

Teorem 14. [Osnovni teorem algebre] Polje kompleksnih brojeva \mathbb{C} je algebarski zatvoreno. Drugim riječima, svaki nekonstantni polinom p \in \mathbb{C}[z] ima korijen u \mathbb{C}.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da ako je p \in \mathbb{C}[z] ireducibilan polinom, tada je p nužno stupnja 1.

Neka je stoga
p(z)=\alpha_{0} + \ldots + \alpha_{n} z^{n} \in \mathbb{C}[z]
ireducibilan polinom, gdje je n\in \mathbb{N} i \alpha_{n} \neq 0. Trebamo pokazati da je n=1. Neka je \langle p \rangle=p(z)\mathbb{C}[z] glavni ideal u \mathbb{C}[z] generiran s p. Prema Primjeru 5 (a) ireducibilnost od p je ekvivalentna činjenici da je kvocijentna algebra A:=\mathbb{C}[z]/\langle p \rangle algebra s dijeljenjem. Budući da je p stupnja n, A je n-dimenzionalna s bazom
\lbrace 1+\langle p\rangle, \ldots, z^{n-1}+\langle p\rangle\rbrace .
Iz Korolara 12 slijedi n=\dim A=1, čime je dokaz teorema završen.
\ \blacksquare

5Zaključak

Gelfand-Mazurov teorem (GMT) je jedan on najfundamentalnijih teorema teorije normiranih algebri. Osim njegovog teorijskog značaja, on ima i mnogobrojne primjene u raznim područjima matematike. U ovom preglednom radu smo demonstrirali relativno elementaran dokaz GMT-a te smo pokazali kako iz njega na jednostavan način možemo izvesti Osnovni teorem algebre.

Jedna od direktnih posljedica GMT-a je da je centar svake unitalne proste kompleksne normirane algebre izomorfan s \mathbb{C}. Između ostalih, ta činjenica se esencijalno koristi u diplomskom radu drugog autora [8], u kojem se daje karakterizacija unitalnih C^{*}-algebri koje imaju tzv. CQ-svojstvo (eng. centre-quotient property).

Bibliografija
[1] J. M. Almira, An application of the Gelfand-Mazur theorem: the fundamental theorem of algebra revisited, Divulgaciones Matem\' aticas, 13 (2) (2005), 123–125.
[2] M. Brešar, Introduction to Noncommutative Algebra, Universitext, Springer, 2014.
[3] I.  Gelfand, Normierte Ringe, Mat. Sbornik N. S. 9 (51) (1941), 3–24.
[4] T. W. Hungerford, Algebra (2nd ed.), Springer-Verlag 1980.
[5] S. Kametani, An elementary proof of the fundamental theorem of normed fields, J. Math. Soc. Japan 4 (1) (1952), 96–99.
[6] S. Mazur, Sur les anneaux lin\'eaires, C. R. Acad. Sci. Paris 207 (1938), 1025–1027.
[7] B. širola, Algebarske strukture, skripta, PMF-MO, Zagreb.
dostupno na https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/predavanja/ASpred.pdf .
[8] M. Tomašević, O epimorfnoj slici centraC^{*}-algebre, diplomski rad, 2019, PMF-MO, Zagreb.
[9] Š. Ungar, Matematička analiza u \mathbb{R}^{n}, Tehnička knjiga, Zagreb, 2005.

 

Broj 37

Poštovani,

u broju 37. časopisa math.e vam donosimo pregled rezultata iz linearne algebre, teorije brojeva i analize.  

  1. Razne karakterizacije 2x2 matrca traga nula. M. Perković i R. Rajić
  2. Birch i Swinnerton-Dyerova slutnja. Damira Mikoća
  3. Gelfand-Mazurov teorem i osnovni teorem algebre.  Ilja Gogić, Mateo Tomašević

Želim vam ugodno čitanje.

Luka Grubišić