Pojam mjere koristimo svakodnevno: zanima nas dnevna temperatura, duljina puta koji trebamo prijeći do određenog mjesta, površina studentskog stana koji želimo iznajmiti, volumen kutije sladoleda koji namjeravamo kupiti itd. a odgovori na sva prethodna pitanja su nenegativni realni brojevi. Potreba za mjerenjem dovela je i do matematičke discipline Teorije mjere} koja izučava pojmove poput duljine, površine i volumena, pod zajedničkim nazivom mjera} [14]. Općenito, objekti mjerenja (preciznije, izmjerivi skupovi) su elementi neke unaprijed zadane familije \mathcal{A} podskupova nepraznog skupa X koju nazivamo {\sigma–algebra}}, a ona sadrži cijeli X te je zatvorena na komplementiranje i formiranje prebrojivih unija. Mjera} je, zatim, svaka funkcija \mu\colon\mathcal{A}\to\mathbb{\overline{R}} koja zadovoljava sljedeća, jednostavna svojstva:

 

[(\mu1)] \mu(\emptyset)=0,

 

[(\mu2)](nenegativnost) \mu(A)\geq0 za svaki A\in\mathcal{A},

 

[(\mu3)](\sigma-aditivnost) za niz disjunktnih skupova (A_{n})_{n\in\mathbb{N}} iz \mathcal{A} vrijedi

\begin{align*} \mu\Big(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\Big)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_{n}). \end{align*}

Svojstvo analogno svojstvu \sigma-aditivnosti, ali s konačno mnogo disjunktnih skupova, nazivamo konačna aditivnost} te je jasno da \sigma–aditivnost povlači konačnu aditivnost dok obrat ne vrijedi.

Bitno je još naglasiti da je uređeni par (X,\mathcal{A}) uobičajeno zvati izmjeriv prostor}, dok uređenu trojku (X,\mathcal{A},\mu) nazivamo prostor mjere}. Kako bi bolje razumjeli ono što slijedi, spomenimo da za skup A\in\mathcal{A} kažemo da je skup konačne mjere ako je \mu(A)\lt \infty, dok za mjeru \mu kažemo da je konačna ako je \mu(X)\lt \infty; nadalje, bitno je istaknuti da je mjera \mu vjerojatnost} ili vjerojatnosna mjera} ako je \mu(X)=1.

Također, na prostoru mjere (X,\mathcal{A},\mu) vrijede sljedeća svojstva:

Prirodno je pitati se možemo li iskoristiti već poznate mjere za generiranje novih mjera. Lako se pokaže da je zbroj dviju ili više mjera opet mjera \cite[str. 36]{DJM}. Na žalost, množenje mjere skalarom ne rezultira uvijek mjerom, jer ako je dani skalar negativan realan broj, tada uvjet nenegativnosti nije ispunjen. Ipak, negativnost našeg skalara ne utječe na preostala dva svojstva mjere što otvara mogućnost za generalizaciju ovog pojma. Također, razlika mjera ne mora ponovno biti mjera –štoviše, može se dogoditi da ta razlika uopće nije definirana \cite[str. 8]{TM}. Dakle, možemo li kao rezultat mjerenja dobiti negativan broj?

Kako bi razriješili prethodno pitanje, u nastavku ćemo se baviti mjerama s predznakom}, što je poopćenje pojma mjere na način da se izostavi svojstvo nenegativnosti. Također, saznat ćemo i što je to realna mjera te ćemo pokazati da je integral integrabilne funkcije (funkcije čiji je integral konačan s obzirom na danu mjeru) na izmjerivom skupu realna mjera. Sve to, nadopunit ćemo bitnim svojstvima. Na posljetku ćemo, kada se dobro upoznamo s pojmovima vezanim uz mjere s predznakom, definirati Hahnovu i Jordanovu dekompoziciju. Naime, austrijski matematičar H. Hahn je 1921. [11] objavio svoj čuveni teorem, koji po njemu nosi i ime (vidi Teorem 18) i daje dekompoziciju skupa X na dva njegova disjunktna podskupa od kojih je jedan pozitivne, a drugi negativne mjere s predznakom. Nadalje, francuski matematičar C. Jordan dao je dokaz rastava realne funkcije omeđene varijacije na razliku dvije nenegativne monotone funkcije. Prirodna posljedica ove tvrdnje je dekompozicija mjere s predznakom, za koju se glavna ideja pripisuje francuskom matematičaru H. L. Lebesgueu, vidi str. 353 iz [21]. Bitno je naglasiti i da je Jordanova dekompozicija jedinstvena i ona nam znatno olakšava rad s mjerama s predznakom.

Primjene mjere s predznakom su mnogobrojne, pogotovo u fizici. Naime, mjeru s predznakom možemo poistovjetiti s raspodjelom električnog naboja; preciznije, mjera s predznakom nekog skupa A predstavlja ukupni naboj sadržan u A. Zbog toga se mjere s predznakom ponekad nazivaju naboji (engl. charges) vidi str. 58, Remark [19]. Također, mjeru često poistovjećujemo s raspodjelom mase na glavnom skupu X, dok konačnu mjeru s predznakom (koju ćemo zvati i realna mjera) možemo interpretirati kao (električnu) raspodjelu naboja na X. Posljedica Jordanove dekompozicije, za konačne mjere s predznakom (iskazana u Korolaru 21) opravdava ovu metaforu pokazujući da kao kod naboja u elektrostatikama, postoje dva disjunktna skupa od koji je jedan pozitivnog, a drugi negativnog naboja, vidi str. 108 iz [3]. Nadalje, kako je vjerojatnost zapravo specijalna mjera, u literaturi također možemo pronaći pojam negativne vjerojatnosti odnosno vjerojatnosti s predznakom (čitatelj može pročitati više u [1, 4]) koja ima primjenu u fizici i financijama [4, 5, 7, 10, 13, 23].

Zainteresirani čitatelj u literaturi može pronaći i Lebesgueovu dekompoziciju [14, 18] koja daje (jedinstven) rastav \sigma-konačne mjere (mjere koja omogućava rastav skupa X na prebrojivu uniju skupova konačne mjere) na zbroj dviju mjera te ima važnu primjenu u teoriji vjerojatnosti pri računanju vjerojatnosti i matematičkog očekivanja miješanih slučajnih varijabli (eng. mixed random variables) o čemu čitatelj može pročitati npr. u [8, 16, 17, 20].

U nastavku najprije navodimo preciznu definiciju mjere s predznakom, najavljenu u uvodnom dijelu.

Iz prethodne definicije je očito da je svaka mjera ujedno i mjera s predznakom te da obrat ne vrijedi. Također, lako je uočiti ako je \mu mjera, tada je \alpha \mu mjera s predznakom za svaki \alpha\in\mathbb{R}.

U literaturi se pri definiranju mjere s predznakom često navodi uvjet da funkcija \mu ne smije istovremeno poprimati vrijednost -\infty i +\infty (vidi npr. [2, 19, 22]). U nastavku ćemo pokazati da se ovaj uvjet ne treba posebno isticati, vidi str. 114 iz [6].

Napomena

Neka je \mu mjera s predznakom na izmjerivom prostoru (X,\mathcal{A}) i A \in \mathcal{A} proizvoljan skup. Skup X možemo prikazati kao uniju skupova A i A^{c}, koji su disjunktni, te prema \sigma-aditivnosti mjere s predznakom slijedi

Iz prethodne jednakosti vidimo da ako je \mu(A)=\infty tada je nužno \mu(X)=\infty, a u tom slučaju \mu(A^{c}) poprima konačnu vrijednost ili je također jednako +\infty, jer u suprotnom desna strana ne bi bila dobro definirana. Analogno zaključujemo u slučaju kada je \mu(A)=-\infty. 

U sljedećoj propoziciji dokazat ćemo da je razlika svake dvije mjere, od kojih je jedna konačna, mjera s predznakom (vidi str. 190 iz [14]).

Dokaz. Bez smanjenja općenitosti, neka je \mu_{1} konačna mjera. Funkcije \mu_{1} i \mu_{2} su mjere, stoga je \mu_{1}(\emptyset)=\mu_{2}(\emptyset)=0 što povlači (\mu_{2}-\mu_{1})(\emptyset)=0. Nadalje, neka je (A_{n})_{n \in \mathbb{N}} niz disjunktnih skupova iz \mathcal{A}. Primjenom \sigma-aditivnosti za mjere dobivamo

Kako razlika dvije mjere općenito nije nenegativan broj, slijedi da je \mu_{2}-\mu_{1} mjera s predznakom. \Box

Primijetimo da se uvjet konačnosti jedne od mjera iz Propozicije 2 ne smije izostaviti, jer se u suprotnom može dogoditi da izraz \mu_{2}-\mu_{1} nije definiran. Potaknuti tim razmišljanjem, u nastavku ćemo definirati realnu mjeru.

Uočimo da je oznaka |\mu(A)|\lt \infty zapravo kraći oblik zapisa: -\infty\lt \mu(A)\lt \infty
(ili \mu(A) \in \mathbb{R}). Dakle, mjera s predznakom je konačna ako ne poprima vrijednosti \pm\infty. U Propoziciji 7, u nastavku, navest ćemo jedan bitan primjer realne mjere, odnosno dokazat ćemo da je integral integrabilne funkcije na izmjerivom skupu realna mjera.

Kako bi se uvjerili u istinitost dane tvrdnje, u dokazu će nam biti korisno poznavati definiciju karakteristične funkcije \chi_{A}\colon X\to\mathbb{R}, nekog skupa A\subseteq X, danu s

Bitno je istaknuti da je \chi^{}_{A} izmjeriva funkcija ako i samo ako je A izmjeriv skup, vidi str. 97 [14]. Općenito, ako imamo izmjerive prostore (X,\mathcal{A}) i (Y,\mathcal{B}) te skup A\subseteq X, za funkciju f:A\to Y kažemo da je izmjeriva u paru \sigma–algebri \mathcal{A} i \mathcal{B} ili kraće \mathcal{A}-\mathcal{B} izmjeriva ako je f^{-1}(B)\in\mathcal{A}, za svaki B\in\mathcal{B}. Ukoliko je (Y,\mathcal{B})\equiv(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) ili (Y,\mathcal{B})\equiv(\mathbb{\overline{R}},\mathcal{B}(\mathbb{\overline{R}})), gdje je \mathcal{B}(\mathbb{R}) tzv. Borelova \sigma–algebra na \mathbb{R}, odnosno \mathcal{B}(\mathbb{\overline{R}}) Borelova \sigma–algebra na \mathbb{\overline{R}}, za funkciju f kažemo da je \mathcal{A}–izmjeriva, ili kraće izmjeriva.

Također, u nastavku će nam biti potreban i pojam integrala ( po mjeri) izmjerive funkcije, koji, u skladu s literaturom (vidi npr. [6, 14]) uvodimo u tri koraka: naprije se definira integral nenegativne jednostavne funkcije, što je izmjeriva i stepenasta (poprima samo konačno mnogo vrijednosti) funkcija, koji se zatim može proširiti do integrala nenegative izmjerive funkcije te se u trećem koraku pravi proširenje do integrala proizvoljne izmjerive funkcije.

Naime, koristeći činjenicu da se svaka jednostavna funkcija f\colon A\to\mathbb{R}, na izmjerivom prostoru (X,\mathcal{A}), gdje je A\subseteq X, može prikazati u obliku

gdje su \alpha_{1},\dots,\alpha_{n} različiti realni brojevi te A_{1},\dots,A_{n} disjunktni izmjerivi skupovi takvi da je A=\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_{i}, vrijedi sljedeće:

Skup svih nenegativnih jednostavnih funkcija uobičajeno je označavati s \mathcal{F}_{+}.

Nadalje, kako se svaka nenegativna izmjeriva funkcija f:X\to[0,\infty], na prostoru mjere (X,\mathcal{A},\mu), može aproksimirati s nenegativnom jednostavnom funkcijom g\in\mathcal{F}_{+}, g\le f (za više detalja vidi npr. str. 104, Teorem 3.23 iz [14]), dolazimo do sljedećeg proširenja integrala na skup svih nenegativnih izmjerivih funkcija:

Na posljetku, koristeći tvrdnju da za svaku izmjerivu funkciju f:A\to\mathbb{\overline{R}} postoje nenegativne izmjerive funkcije f^{+},f^{-}:A\to [0,\infty], definirane formulama, vidi str. 102 iz [14]

koje zovemo pozitivni i negativni dio funkcije f, redom, te vrijedi

dolazimo do fundamentalne definicije integrala:

Sada smo spremni iskazati sljedeću propoziciju.

Dokaz. Očito je \nu(\emptyset)=0. Nadalje, neka je (A_{n})_{n\in\mathbb{N}} niz disjunktnih i izmjerivih skupova. Uz pomoć prethodno opisanog rastava (??), dobivamo

pri čemu smo u trećoj jednakosti koristili da je \displaystyle \chi^{}_{\cup^{}_{n\in\mathbb{N}}A_{n}}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{A_{n}}, za niz (A_{n})_{n\in\mathbb{N}} međusobno disjunktnih skupova, vidi str. 12, Zadatak 1.16. [15], a u četvrtoj jednakosti Levijev teorem za redove (vidi str. 129, Teorem 4.22. [14]), koji vrijedi za nenegativne izmjerive funkcije, što je razlog korištenja rastava dane funkcije f na f^{+} i f^{-}. \Box

Primjer 8. Na danom prostoru mjere ([\pi,2 \pi],\mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda), gdje je \mathcal{B}(\mathbb{R}) Borelova \sigma–algebra, a \lambda Lebesgueova mjera na [\pi, 2 \pi] izračunajmo integral funkcije f(x)=\sin{x} koja je negativna na [\pi,2 \pi] (vidi Sliku 1).

 

Graf funkcije \[y=\sin(x)\]

Koristeći Lebesgueov kriterij za R–integrabilnost (koji omogućava izjednačavanje Riemannovog i Lebesgueovog integrala, u slučaju kada je podintegralna funkcija omeđena i neprekidna skoro svuda, odnosno R–integrabilna na svojoj domeni koja je neki konačan skup, vidi str. 150, Teorem 4.53 [14]) slijedi da je

\int_{[\pi,2 \pi]}\sin{x}\,d\lambda=\int\limits_{\pi}^{2 \pi}\sin{x}\,dx=-2 \lt 0.

Dakle, kao rezultat mjerenja dobili smo negativan broj, a naš rezultat opravdava prethodna propozicija. \blacksquare

U idućem primjeru vidjet ćemo da mjera s predznakom općenito ne zadovoljava svojstvo monotonosti, pri čemu će nam ponovno poslužiti Propozicija 7, s obzirom da podintegralna funkcija f(x)=\cos{x} nije nenegativna na cijeloj svojoj domeni (vidi Sliku 2).

Primjer 9. Neka je dan prostor mjere ([-\pi,\pi],\mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda). Ako je mjera s predznakom \mu (vidi Propoziciju 7) definirana s

\mu(E)=\int\limits_{E} \cos{x}\,d\lambda,\,\,{\text{za svaki }}E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}),

lako je, uz pomoć Lebesgueovog kriterija za R–integrabilnost odrediti vrijednosti

\begin{align*} \mu\left(\left[-\pi,\textstyle\frac{\pi}{2}\right]\right)&=\int_{\left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right]} \cos{x}\,d\lambda=\int\limits_{-\pi}^{\textstyle\frac{\pi}{2}} \cos{x}\,dx=1,\\ \mu([-\pi,\pi])&=\int\limits_{[-\pi,\pi]} \cos{x}\,d\lambda=\int_{-\pi}^{\pi} \cos{x}\,dx=0. \end{align*}

Očito je \left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right]\subset[-\pi,\pi] te \mu\left(\left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right]\right)\gt \mu([-\pi,\pi]) iz čega zaključujemo da mjera s predznakom ne zadovoljava svojstvo monotonosti.

Graf funkcije \[y=\cos(x)\].

\blacksquare

Iako mjera s predznakom nema svojstvo monotonosti, ona djelomično zadovoljava to svojstvo:

Dokaz. Za skupove A i B dane u iskazu propozicije vrijedi jednakost B=A \cup( B \setminus A), pri čemu su A i B \setminus A međusobno disjunktni pa primjenom konačne \sigma-aditivnosti mjere s predznakom dobivamo

\Box

Dokaz, koji je tehnički i oponaša dokaz tvrdnje o neprekidnosti mjere na padajuće i rastuće nizove, može se pronaći u npr. str. 207, Theorem 10.8 [22]. \Box

U Propoziciji 2 pokazali smo da je razlika dviju mjera, od kojih je jedna konačna, mjera s predznakom. U nastavku ćemo pokazati da vrijedi i obrat, to jest da se mjera s predznakom može na jedinstven način prikazati kao razlika dviju mjera. Glavna ideja dokaza je ta da krenemo od pretpostavke da je mjera s predznakom \mu poopćenje neke mjere. Ako je to tako, onda sigurno mora postojati izmjeriv skup A za koji će vrijediti \mu(A)\geq 0 te izmjeriv skup B za koji je \mu(B)\leq 0. Teorem 18 će nam omogućiti maksimalnost i disjunktnost tih skupova. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da su A i B već takvi skupovi. Tada je restrikcija mjere s predznakom \mu na skup A mjera. Vrijedi i da je \mu(B)\leq 0 odnosno -\mu(B)\geq 0. Tada će funkcija -\mu_{|_{B}} također biti mjera. Pritom, moramo paziti da nemamo degeneriranih slučajeva (npr. za C\subseteq A vrijedi da je \mu(C)\lt 0). Idućom definicijom eliminirat ćemo tu mogućnost.

Napomena.

Trivijalne posljedice Definicije 12 su:

U nastavku navodimo primjere koji ilustriraju prethodne tvrdnje.

Uz pomoć sljedećih propozicija, koje tvrde da je svaki podskup pozitivnog [\,negativnog, nul–\,] skupa, opet pozitivan [\,negativan, nul–\,] skup (Propozicija 15) te da je familija svih pozitivnih [\,negativnih, nul–\,] skupova zatvorena s obzirom na prebrojivu uniju njezinih članova (Propoziciji 17) dobit ćemo koristan alat za stvaranje novih pozitivnih [\,negativnih, nul–\,] skupova.

Dokaz. Neka je A \in \mathcal{A} negativan skup s obzirom na \mu i neka je B \in \mathcal{A},\; B \subseteq A. Tada, po Definiciji 12 i tranzitivnosti relacije \subseteq, za svaki C \in \mathcal{A},\; C \subseteq B vrijedi \mu(C) \leq 0. \Box

Napomena

Iz Napomene i) te Propozicije 15 možemo zaključiti da ako je A \in \mathcal{A} pozitivan skup s obzirom na \mu i B \in \mathcal{A} negativan skup s obzirom na \mu, tada je A \cap B nul–skup s obzirom na \mu. 

Sljedeći teorem daje karakterizaciju pozitivnih, negativnih i nul–skupova s obzirom na \mu i može se pronaći u literaturi (vidi npr. [12, 14]) kao definicija pozitivnog [\,negativnog, nul-\,] skupa.

Dokaz ćemo provesti u slučaju ii), dok se ostali slučajevi dokazuju analogno.
Ukoliko pretpostavimo da je A \in \mathcal{A} negativan skup s obzirom na \mu i F \in \mathcal{A} proizvoljan, tada je skup A \cap F izmjeriv podskup od A te prema Propoziciji 15 vrijedi \mu(A \cap F) \leq 0.
Obratno, neka su A, E \in \mathcal{A} takvi da je je E \subseteq A te neka vrijedi \mu(A \cap F) \leq 0, za svaki F\in\mathcal{A}. Specijalno, za F=E dobivamo \mu(E)=\mu(A \cap E) \leq 0 iz čega slijedi da je A negativan skup s obzirom na \mu. \Box

Dokaz. Tvrdnju ćemo najprije dokazati u slučaju kada je dan prebrojiv niz (A_{n})_{n \in \mathbb{N}} negativnih skupova za \mu. U tu svrhu, neka je B izmjeriv podskup od \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}A_{n} te bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je B=\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}B_{n}, gdje je (B_{n})_{n \in \mathbb{N}} niz disjunktnih skupova iz \mathcal{A} takvih da je B_{n} \subseteq A_{n}, za svaki n \in \mathbb{N}. Tada po Propoziciji 15 i \sigma-aditivnosti mjere s predznakom slijedi \mu(B)=\sum\limits_{n \in \mathbb{N}}\mu(B_{n}) \leq 0.
Specijalno, u slučaju kada imamo konačan niz A_{1},...,A_{n} negativnih skupova za \mu, možemo ga dopuniti do prebrojivog postavljanjem A_{m}=\emptyset, za svaki prirodni broj m\geq n+1. Ukoliko na takav nadopunjeni niz primjenimo prethodni dokaz, tvrdnja slijedi. \Box

Kao što smo najavili, Teorem 18 nam daje dekompoziciju skupa.

Dokaz ovog teorema je tehnički zahtjevniji, a svodi se na konstrukciju niza negativnih skupova koji vode do izmjerivnog negativnog skupa N te niza disjunktnih izmjerivih skupova koji, uz pomoć kontradikcije, vode do pozitivnog skupa P (vidi str. 124 iz [6], str. 25–27 iz [9]).
\Box

Napomena

Nije teško pokazati da Hahnova dekompozicija mjere s predznakom nije jedinstvena. Naime, ako su dane dvije Hahnove dekompozicije (P_{1},N_{1}) i (P_{2},N_{2}) mjere s predznakom \mu, na izmjerivom prostoru (X,\mathcal{A}), onda su prema Napomeni 15 skupovi N_{1}\cap P_{2} i N_{2}\cap P_{1} nul-skupovi za \mu. Iz jednakosti N_{1}\cap P_{2}=N_{1}\setminus N_{2} i N_{2}\cap P_{1}=N_{2}\setminus N_{1}, prema Propoziciji 17 slijedi da je

nul–skup s obzirom na \mu. Analogno se pokaže i da je P_{1}\triangle P _{2} nul–skup s obzirom na \mu. 

Primjer 19. Neka je (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda) prostor mjere, gdje je \lambda Lebesgueova mjera. Odredimo jednu Hahnovu dekompoziciju mjere s predznakom \mu, zadane formulom

\begin{align*} \mu(E):=\int\limits_{E} x^{3} e^{-2 x^{4}}d\lambda,\hspace{5ex}E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}). \end{align*}

Najprije uočimo da za danu funkciju f(x)=x^{3} e^{-2 x^{4}} vrijedi f(x) \geq 0 za x \in [0, \infty \rangle i f(x) \lt 0 za x \in \langle -\infty, 0 \rangle (vidi Sliku 3). Prema Primjeru 14 znamo da je P=\lbrace x \in \mathbb{R}:f(x) \geq 0\rbrace pozitivan skup s obzirom na \mu te da je N=\lbrace \,x \in \mathbb{R}:f(x) \leq 0\,\rbrace negativan skup s obzirom na \mu. Skup N'=\lbrace x \in \mathbb{R}:f(x) \lt 0\rbrace je podskup od N pa je i on negativan skup, prema Propoziciji 15.

 

Graf funkcije \[f(x):=x^3 e^{-2 x^4}\].

Dakle, skupovi P=[0, \infty \rangle i N'=\langle -\infty, 0 \rangle su disjunktni i u uniji daju cijeli \mathbb{R} pa je (P,N') jedna Hahnova dekompozicija. \blacksquare

Kao što smo i najavili, idući teorem, odnosno Jordanova dekompozicija, dat će nam alat pomoću kojeg ćemo zapisati mjeru s predznakom kao razliku dviju mjera. Pokazat će se, također, da je Jordanova dekompozicija mjere s predznakom jedinstvena.

Dokaz. Neka je s (P,N) dana Hahnova dekompozicija mjere s predznakom \mu te neka su funkcije \mu^{+}, \mu^{-}\colon \mathcal{A} \to [0, \infty] definirane za svaki E\in\mathcal{A} s

Očito je da su \mu^{+} i \mu^{-} mjere s predznakom. Kako bismo dokazali da su \mu^{+} i \mu^{-} mjere, treba još provjeriti njihovu nenegativnost. Iz Teorema 16 zaključujemo

Mjere \mu^{+} i \mu^{-} su definirane preko mjere s predznakom \mu koja ne poprima istovremeno vrijednosti -\infty i +\infty, stoga je barem jedna od njih konačna.
Neka je E\in\mathcal{A}. Kako su P i N disjunktni te X=P \cup N, vrijedi

što je i trebalo pokazati. U nastavku preostaje dokazati jedinstvenost.
Neka su (P_{1},N_{1}) i (P_{2},N_{2}) dvije Hahnove dekompozicije mjere s predznakom \mu na izmjerivom prostoru (X,\mathcal{A}) te neka su mjere \mu_{1}^{+},\mu_{1}^{-},\mu_{2}^{+},\mu_{2}^{-}\colon\mathcal{A}\to[0,\infty] zadane s

Skupovi P_{1}\setminus P_{2} i P_{2}\setminus P_{1} su, prema Napomeni 15, nul–skupovi za \mu. Tada za svaki E\in\mathcal{A} vrijedi

Analogno se pokaže da je \mu_{1}^{-}=\mu_{2}^{-}. \Box

Dakle, reprezentacija \mu=\mu^{+}-\mu^{-} mjere s predznakom \mu naziva se Jordanova dekompozicija mjere s predznakom \mu te također možemo uočiti da je \mu=\mu^{+} i \mu^{-}=0 u slučaju kada je \mu mjera, vidi str. 353 iz [21].

Dokaz je analogan dokazu Jordanove dekompozicije, vidi str. 109 iz [3]. \Box