Krivulje drugog reda ili konike (elipsa, hiperbola, parabola) bile su predmet izučavanja i klasificiranja. Ovdje ćemo se baviti sluč ajem necentralnih krivulja drugog reda, tzv. parabolnih krivulja i to nedegeneriranim slučajem, parabolom.

Definicija parabole. Parabola je skup točaka u ravnini koje su jednako udaljene od jednog fiksnog pravca r ( ravnalice ili direktrise parabole ) i od jedne fiksne točke F te ravnine ( žarišta ili fokusa parabole ), pri čemu F\notin r.

Za točke P parabole iz definicije parabole vrijedi d(P,r)=d(P,F). Parabola je zadana njenom ravnalicom r i fokusom F.

Definicija osi parabole. Os o zadane parabole je pravac koji prolazi kroz fokus F parabole i okomit je na ravnalicu r parabole, tj. siječe ravnalicu r pod pravim kutom (90^{\circ }).

Os o parabole je os simetrije \mathcal{S} okomito na pravac o . Os o dijeli parabolu na dva simetrična dijela, pa simetrija \mathcal{S} preslikava parabolu u samu sebe. Os parabole siječe parabolu u samo jednoj jedinoj točki T_{0}, koja se naziva tjeme parabole. Os o parabole je okomita na tangentu t u njezinom tjemenu.

Neka je \vartheta kut što ga os o parabole čini s osi x.  Vektor \cos \vartheta \overrightarrow{i}+\sin \vartheta \overrightarrow{j} je jedinični vektor paralelan s osi o i ujedno jedinični vektor normale na ravnalicu r parabole. Normalna jednadžba ravnalice r parabole (5) zato glasi: gdje je u_{0} je udaljenost ishodišta O od ravnalice r, [1, normalna jednadžba pravca]. Neka je F\left( x_{F}\text{, } y_{F}\right) fokus parabole (5). Po definiciji parabole jednadž ba parabole glasi d(P,F)^{2}=d(P,r)^{2} tj. Nakon kvadriranja i sređ ivanja jednadžbe (2), imamo: gdje je K(x,y) kvadratni dio: U formuli (4) je a=\sin ^{2}\vartheta, b=-\sin \vartheta \cos \vartheta, c=\cos ^{2}\vartheta, i a+c=\sin ^{2}\vartheta +\cos ^{2}\vartheta =1. Izlazi da je parabola, kao i druge konike, u sustavu xOy zadana općom jednadžbom krivulje drugog reda: gdje su a, b, c, d, e, f\ realni parametri takvi da je barem jedan od a, b, c različit od 0 i uz pretpostavku ac-b^{2}=0. Ovdje je K(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2} kvadratni dio jednadžbe (5). U radu krećemo od opće jednadžbe drugog reda (5) s pretpostavkom da nisu svi a, b i c jednaki 0 i da je ac-b^{2}=0. Dokazat ćemo da je tada krivulja drugog reda (5) parabola i izvesti njenu normalnu jednadžbu. Neka su \delta i S definirani sa: i Pretpostavimo da u jednadžbi (5) parabole vrijedi  pretpostavka da nisu svi a,b i c jednaki 0 i pretpostavka za parabolne krivulje da je \delta =0, tj. Pretpostavka (8) povlači da je S\neq 0. Naime, ako je \delta =0, tada je S^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}=a^{2}+2b^{2}+c^{2}\neq 0, jer je barem jedan od brojeva a, c različit od 0. Odatle slijedi da je S\neq 0.I obratno, ako je S\neq 0, tada iz pretpostavke (8) i iz S\neq 0 slijedi da je S^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}=a^{2}+2b^{2}+c^{2}\neq 0, pa nisu svi a,b i c jednaki 0. Zato ćemo u daljnjem kada radimo s jednadžbom (5) pretpostavljati da vrijede pretpostavke (8 ) i S\neq 0. Jednadžba (5) uz pretpostavke (8) i S\neq 0 je opća jednadžba parabolne krivulje (parabole ili para pravaca). Označimo u daljnjem s \widetilde{P} parabolnu krivulju (naj češće parabolu) danu jednadžbom (5) uz pretpostavke ( 8) i S\neq 0.

Pretpostavimo još da je pored (8) i S\neq 0 ispunjeno i a\neq 0. Zbog S\neq 0 uvjet a\neq 0 je ekvivalentan s aS\neq 0. Kako je aS=a^{2}+ac, zbog (8) uvjet a\neq 0 je ekvivalentan s uvjetom a^{2}+b^{2}\neq 0. Prilikom translacije K(x,y) se ne mijenja, pa se veli čine \delta i S ne mijenjaju pri translaciji  koordinatnog sustava xOy kod krivulja  drugog reda, dakle i kod  parabole (vidjeti [1, 7. Krivulje drugog reda ]). U sekciji 2 dokazat ćemo da se veličine \delta i S parabolne krivulje \widetilde{P} ne mijenjaju pri translaciji i rotaciji koordinatnog sustava xOy. Odatle imamo da za parabolu vrijedi  \delta =0.

Cilj ovog rada je napisati jednadžbu (5) parabole kao normalnu ( kao tjemenu ) jednadžbu parabole Y^{2}=2pX, \ p\neq 0. Slučaj da parabolna krivulja (5) degenerira u par pravaca nećemo razmatrati, a može se naći u [1, Parabolne krivulje, \Delta =0, Par pravaca, str. 244 i 245]. Opiš imo prvo u sustavu xOy tjemenu jednadžbu parabole y^{2}=2px . Ako točka \left( x\text{, }y\right) zadovoljava jednadžbu y^{2}=2px, onda nju zadovoljava i točka \left( x\text{,}-y\right), pa je pravac y=0 ( tj. x os ) os simetrije o parabole y^{2}=2px, a to čka T(0, 0), koja je presjek osi i parabole, je tjeme parabole. Pravac x=0 ( tj. y os ) tjemena tangenta t, točka F(\frac{p}{2}, 0) je fokus parabole, pravac r s jednadžbom x=-\frac{p}{2}, okomit na os o parabole, je ravnalica ili direktrisa parabole, a p je (žari šni) parametar (p je udaljenost F do r). Tetiva parabole koja ide točkom F okomito na os o parabole zove se fokalna tetiva ili latus rectum. Njena duljina 2\left\vert p\right\vert je geometrijska invarijanta, pa se ne mijenja pri proizvoljnim translacijama i rotacijama koordinatnih osi.Dakle se i veličine \left\vert p\right\vert i \left\vert p\right\vert ^{2}=p^{2} ne mijenjaju pri proizvoljnim translacijama i rotacijama koordinatnih osi. Tangente iz točke R\left( - \frac{p}{2}\text{, }0\right), R=r\cap o, međusobno su okomite i svaka zatvara s osi o parabole kut od 45^{\circ }. One diraju parabolu u krajnjim točkama M, N\left( \frac{p}{2}\text{,}\pm p\right) fokalne tetive - latus rectuma. Neka je P\left( x_{0}\text{, }y_{0}\right) proizvoljna točka parabole y^{2}=2px, tj. neka je y_{0}^{2}=2px_{0}. Jednadžba tangente t_{P} parabole u točki P\left( x_{0}\text{, } y_{0}\right) parabole je y_{0}y=p(x+x_{0}), a jednadžba pravca o_{P} paralelnog osi parabole o kroz točku P\left( x_{0}\text{, } y_{0}\right) je y-y_{0}=0. Pravci o_{P} i t_{P} su okomiti onda i samo onda ako je y_{0}=0, što povlači x_{0}=0. Prema tome, pravci o i t su okomiti jedino u tjemenu T(0, 0) parabole y^{2}=2px , pa je tjeme T_{0} parabole jedina točka parabole u kojoj je tangenta t na parabolu okomita na os o parabole. Nadalje \delta _{t}=0\cdot 1-0^{2}=0. Sve ovo vrijedi i u slučaju opće parabole (5).

Uzmimo npr. parabolu y^{2}=8x s p=4. Os o te parabole je pravac y=0 (os x), tjemena tangenta je x=0 ( os y ), ravnalica r je pravac x=-2. Fokus te parabole je F\left( 2\text{, }0\right), a pravac koji sadrži fokalnu tetivu \overline{MN} je x=2. Tangente u krajnjim to čkama M\left( 2\text{, }4\right) i N\left( 2\text{, }-4\right) fokalne tetive ( latus rectuma ) sijeku se u točki R\left( -2\text{, } 0\right), koja je sjecište osi o i ravnalice r parabole. Pogledajte ispod sliku te parabole.


Lema 1. Neka je y^{2}=2px tjemena jednadžba parabole, a r njezina ravnalica. Neka je t_{1} tangenta te parabole s dirališ tem u P_{1}\left( x_{1}\text{, }y_{1}\right), a t_{2} tangenta parabole s diralištem u P_{2}(x_{2}, y_{2}). Neka je Q=t_{1}\cap t_{2}. Tada je t_{1}\perp t_{2} onda i samo onda ako je Q\in r.


Tvrdnja leme vrijedi i za parabolu zadanu općom jednadžbom (5) s (8). Tako npr. po lemi 1 tangente na parabolu iz točke R=r\cap o su okomite, a kako su i simetrične s obzirom na os o parabole \widetilde{P}, izlazi da svaka zatvara kut od 45^{\circ } s osi o parabole. Njihova dirališta točke su točke M i N fokalne tetive \overline{MN} parabole \widetilde{P}.

Neka je:
Sada je L(x, y)=0 jednadžba parabole \widetilde{P} zadane sa (5). Sa T(x_{0}, y_{0}) označavat ćemo tjeme parabole \widetilde{P}, sa F(x_{F}, y_{F}) fokus (žarište) parabole \widetilde{P}, a sa r njenu ravnalicu. Okomica iz F na r je os o parabole. Sa R označit ćemo nožište okomice iz F na ravnalicu r, tj. R=o\cap r. Primjetimo da su točke F i R simetrične s obzirom na tjeme T parabole. Sjetimo se da za parabolu vrijedi: pa je parabola zadana fokusom F i ravnalicom r.

Uz pretpostavku (8) ili nijedan od koeficijenata a, b, c nije jednak nuli (ili ekvivalentno b\neq 0) ili su točno dva od njih jednaki nuli (što je jedino u slučaju da je b=0). U ovom radu koristimo pretpostavku a\neq 0, pa je problem samo slučaj b=0 , a=0 i c\neq 0. Neka je u jednadžbi (5) b=0, c\neq 0, a=0. Neka je još d\neq 0, tako da jednadžba (5) predstavlja (nedegeneriranu) parabolu. Taj slučaj svodimo dijeljenjem jednadžbe ( 5) s c i potom translacijama osi x i y na kanonski oblik (y-y_{0})^{2}=2p(x-x_{0}). Upotpunjavanjem na kvadrat izlazi da je kanonska jednadžba parabole (5) u tom slučaju: Tu je parametar p=-\frac{d}{c}, jednadžba osi o parabole (11) y-\left( -\frac{e}{c}\right) =0, tj. cy+e=0. Jednadžba tjemene tangente t je x-x_{0}=0, tj. x-\frac{e^{2}-cf}{2cd}=0. Imamo da je tjeme T_{0} parabole (11) T_{0}=\left( x_{0}\text{, }y_{0}\right) tj. T_{0}\left( \frac{e^{2}-cf}{2cd}\text{, }-\frac{e}{c}\right). Jednad žba ravnalice r je x-x_{0}=-\frac{p}{2}, tj. x=\frac{d^{2}+e^{2}-cf }{2cd}, a fokus F te parabole je F\left( x_{0}+\frac{p}{2}\text{, } y_{0}\right), tj. F\left( \frac{e^{2}-d^{2}-cf}{2cd}\text{, }-\frac{e}{c} \right). Jednadžba (11) ima kanonski oblik (y-y_{0})^{2}=2p(x-x_{0}). Stavimo li X=x-x_{0} i Y=y-y_{0} u kanonsku jednadžbu (11) te parabole, dobijemo njenu normalnu jednadžbu Y^{2}=2pX. U daljnjem promatramo samo slučaj kada vrijede pretpostavke ( 8), S\neq 0 i a\neq 0 ili što je isto (8), S\neq 0 i a^{2}+b^{2}\gt 0 (tj. aS\gt 0).

Primjetimo da su, zbog pretpostavke (8), u jednadžbi (5) a i c istog predznaka, pa su a, c i S istog predznaka. U primjerima parabole korisno je L(x, y) iz (9) prvo podijeliti sa S i parabolu (5) zapisati u obliku \frac{L(x,y)}{S}=0. Time imamo ovu jednadžbu parabole\widetilde{\text{ }P}: Očito vrijedi \frac{a}{S}\frac{c}{S}-\left( \frac{b}{S}\right) ^{2}=0 i \frac{a}{S}\geq 0 i \frac{c}{S}\geq 0. Kako je \frac{a}{S}+\frac{c}{S} =1, imamo da je 0\leq \frac{a}{S}\leq 1 i 0\leq \frac{c}{S}\leq 1. Neka je: kvadratni član jednadžbe (5). Zbog pretpostavke (8) vrijede formule: i Tako imamo: Jednadžbu parabole (5) možemo, nakon dijeljenja s S=a+c, pisati ovako: U zapisu (17) jednadžbe parabole (12) je S=1 i \frac{K(x \text{, }y)}{S} je jedan kvadrat linearne funkcije. To razlikuje parabolu od elipse gdje je \frac{K(x\text{, }y)}{S} zbroj dvaju raznih kvadrata linearnih funkcija (slučaj ac-b^{2}\gt 0) i od hiperbole gdje je K(x,y) razlika dvaju raznih kvadrata linearnih funkcija (slučaj ac-b^{2}\lt 0).

U daljnjim formulama parabola, jednom zadana jednadžbom (5), niti rotira, niti translatira, već ostaje na istom mjestu u ravnini, jedino se koordinatni sustav xOy rotira za izabrani kut \vartheta ili translatira za vektor \overrightarrow{t} ili i jedno i drugo.U radu transformiramo jednadžbu (5) parabole na normalnu jednadžbu Y^{2}=2pX, gdje je Y=0 normalna jednadžba pravca - osi o parabole (vidjeti [1, normalna jednadžba pravca]), a X=0 je normalna jednadžba njene tjemene tangente t. Pri tome mora vrijediti Y^{2}-2pX= \frac{L(x\text{, }y)}{S} (vidjeti (9) i (17)).

Primjetimo da ova zamjena parametara i varijabli x i y: ostavlja jednadžbu (5) parabolne krivulje u xOy sustavu istom. Stoga zamjenu (18) možemo koristiti npr. za nalaženje formule za ordinatu y_{F} fokusa F u xOy sustavu, ako smo izveli takvu formulu za apscisu x_{F}. Naime iz izvedene formule za x_{F} u xOy sustavu zamjenom (18) dobivamo formulu za y_{F}. Isto tako dosta je naći samo jednu od formula za x_{0} i y_{0}, a drugu možemo odmah dobiti zamjenom (18). Isto vrijedi za identitete koji sadrže parametre a , b, c, d, e i f. Izvršimo li u takvom identitetu zamjenu (18), dobivamo novi identitet.


Uzmimo da smo desni sustav xOy zarotirali oko ishodišta O(0, 0) za kut \theta u smjeru suprotnom kazaljke na satu. Neka je dana točka P koja ne mijenja svoj položaj u ravnini i koja ima koordinate P(x,y) u sustavu xOy i P(x^{,},y^{,}) u sustavu x^{,}Oy^{,}. Tada vrijede ove transformacione formule rotacije i inverzne rotacije (vidi [2, str. 73, formule (3)]): i


Rotacijom svodimo jednadžbu parabole prvo na kanonsku jednadžbu parabole (y^{,}-y_{0}^{,})^{2}=2p(x^{,}-x_{0}^{,}). U kvadratni dio K(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2} opće konike uvrstimo formule (20). Nakon sređivanja, dobijemo da je K(x^{,}, y^{,}) jednako: gdje je: Tu je \delta _{r}=a_{r}c_{r}-b_{r}^{2}=\left( \frac{S}{2}\right) ^{2}-\left[ \left( \frac{a-c}{2}\cos 2\theta +b\sin 2\theta \right) ^{2}+\left( b\cos 2\theta +\frac{c-a}{2}\sin 2\theta \right) ^{2}\right] tj. \delta _{r}=\left( \frac{S}{2}\right) ^{2}-\left( \left( \frac{a-c}{2}\right) ^{2}+b^{2}\right) =ac-b^{2}=\delta i S_{r}=a_{r}+c_{r}=S. Dokazali smo da su \delta i S invarijante konike (pa i parabole) pri rotacijama (i translacijama) sustava xOy. Kod parabole je prilikom rotacija i translacija xOy sustava \delta _{r}=\delta. Jednadžba (P) zadaje parabolu jedino u slučaju \delta =0. Naime, ako krivulju drugog reda ( 5) možemo rotacijom i translacijom svesti na normalnu jednadž bu parabole Y^{2}=2pX kod koje je \delta _{n}=0, tada je zbog \delta =\delta _{n} ispunjeno \delta =0. U ovom radu ćemo dokazati da jednad žbu (5) krivulja drugog reda kod koje je \delta =0 možemo svesti na normalnu jednadbu Y^{2}=2pX, pa slučaj \delta =0 nastupa jedino u slučaju parabolnih krivulja.

Prvo ćemo rotacijom poništiti mješoviti član x^{,}y^{,}, tj. rotirati za takav kut \theta da je b_{r}=0. Iz formule (21) i po ([2, str. 76, formula (12) i str. 80]) vrijedi: ctg2\theta = \frac{a-c}{2b} . U slučaju parabole je tg2\theta =\frac{2b}{a-c}, tj. zbog (8) je tg2\theta =\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}. No tg2\theta =\frac{2tg\text{ }\theta }{1-tg^{2}\theta }, pa dobivamo uvjet: tj. imamo kvadratnu jednadžbu u tg\theta: Rješenja te jednadžbe, zbog (8), su tg\theta _{1}=-\frac{a }{b} i tg\theta _{2}=\frac{c}{b}=\frac{b}{a}. Za kut rotacije uzet ćemo kut \vartheta za koji je jednak koeficijentu smjera osi o od \widetilde{P}. Time će os x^{,} ( pravac y^{,}=0 ) biti paralelna s osi o parabole, a dobivena normalna jednadžba parabole \widetilde{P} će biti Y^{2}=2pX. Drugi nepovoljan izbor za \theta, tj. tg\theta =\frac{b}{a} učinio bi x^{,}\parallel t, pa bi jednadžbu (5) sveli na normalnu jednad žbu X^{2}=\mp 2pY, koju bi trebali još rotirati za \pm 90^{\circ } da dobijemo Y^{2}=2pX. Ako je tg\vartheta =-\frac{a}{b}, tada je \cos \vartheta =\pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} i \sin \vartheta =\mp \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. Po [1, Transformacija jednadžbi krivulja drugog reda na normalan oblik] predznak od \sin \vartheta uzimamo suprotan predznaku od a, pa ćemo rotirati sustav xOy za kut \vartheta takav da je: Takva rotacija jednoznačno određuje p, X i Y. Kut \vartheta dan s formulama (23) je ujedno kut što ga os x^{,}, tj os parabole o, čini s osi x.

Neka je \vartheta kut takav da vrijede formule (23). Zbog (8 ) je tada \cos 2\vartheta =\cos ^{2}\vartheta -\sin ^{2}\vartheta =\frac{ b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{c-a}{S} i \sin 2\vartheta =2\sin \vartheta \cos \vartheta =-\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}=-\frac{2b}{S}, \ tg2\vartheta = \frac{\sin 2\vartheta }{\cos 2\vartheta }=\frac{2b}{a-c} i ctg2\vartheta = \frac{\cos 2\vartheta }{\sin 2\vartheta }=\frac{a-c}{2b}. Uvrštavanjem \cos 2\vartheta =\frac{c-a}{S} i \sin 2\vartheta =-\frac{2b}{S} u formulu (21), zbog (8), izlazi Sada kvadratni dio K(x,y) parabole, zbog (24), glasi: Uvrstimo li u jednadžbu (5) formule (20) za \theta =\vartheta, imamo koristeći (25): Normalni oblik jednadžbe parabole dobivamo dijeljenjem (27) s S : Upotpunjavanjem na kvadrat imamo da je jednadžba (28) ekvivalentna jednadžbi: gdje je p parametar parabole. Iz (29) i (28) izlazi da je p dano formulom:
Iz jednadžbi (29) i (28) izlazi da parabolna krivulja (5) degenerira u par pravaca ( paralelnih, podudarnih ili imaginarnih ) ako i samo ako je p=0. Ovo je ekvivalentno tvrdnji da je parabolna krivulja (5) nedegenerirana parabola jedino u slučaju p\neq 0 . Na kraju slijedeće sekcije, u lemi 10, dokazat ćemo jo š jednom ovu tvrdnju o nedegeneriranoj paraboli. Nadalje je \ y^{,}+ \frac{ad+be}{S\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=0, tj. jednadžba osi o parabole (32). Jednadžbu osi (31) mo žemo zbog formula (23) pisati:   Uz pretpostavku a\neq 0 i po formuli (30), p\neq 0 povlači ae-bd\neq 0. Iz formule (29) vidimo da je: Poznat je Eulerov identitet za dva kvadrata: Iz formula (33), (30) i (34) izlazi formula: Neka je Q_{0}^{,} definiran s: vidjeti formulu (33). Tada jednadžbu (29) možemo pisati u kanonskom obliku: gdje je y_{0}^{,} dano formulom (33), a x_{0}^{,} je dano formulom: Iz (38), (36) i (30) zbog p\neq 0 imamo formulu:

Translacijom sustava x^{,}Oy^{,} formulama X=x^{,}-x_{0}^{,} i Y=y^{,}-y_{0}^{,}, jednadžba parabole (37) postaje normalna jednad žba parabole: Pravac Y=0, tj. pravac y^{,}-y_{0}^{,}=0 os o parabole, a okomiti na njega pravac X=0, tj. pravac x^{,}-x_{0}^{,}=0 tjemena tangenta t parabole. Pri tom je (vidi formule (19)): gdje su \cos \vartheta i \sin \vartheta dani s (23), a y_{0}^{,} i x_{0}^{,} formulama (33) i (39). Točka T=o\cap t, dakle točka T^{,}\left( x_{0}^{,}\text{, }y_{0}^{,}\right) je tjeme parabole \widetilde{P} u sustavu x^{,}Oy^{,}. Koordinate tjemena T(x_{0}, y_{0}) u sustavu xOy dobijemo formulama rotacije (26) sustava x^{,}Oy^{,} u sustav xOy: Normalna jednadžba osi o parabole je y^{,}-y_{0}^{,}=0, tj. po (41) Y=0. Normalna jednadžba tjemene tangente t je x^{,}-x_{0}^{,}=0, tj. po (41) X=0.

Zadatak 2. Pokažite da je 2dx+2ey+f=0 jednadžba tjemene tangente t parabole (5) onda  samo onda ako vrijedi ad+be=0 i bd+ce=0. Pokažite da je točka \left( 0\text{, }0\right) tjeme T_{0} parabole (5) tada  samo tada ako u (5) vrijedi ad+be=0 , bd+ce=0 i f=0.

Primjedba 3. Tjeme T_{0}\left( x_{0}\text{, }y_{0}\right) parabole (5) možemo također odrediti iz jednadžbe osi o parabole i iz jedne linearne jednadžbe, [1, Parabola, str. 245, 1)] . Kako x=x_{0} i y=y_{0} zadovoljavaju jednadžbu L\left( x\text{, } y\right) =0 parabole (5) i jednadžbu O\left( x\text{, }y\right) =0 osi parabole (32), to x=x_{0} i y=y_{0} zadovoljavaju i jednad žbu: [3, str. 251]. Iz tog razloga neki autori prvo računaju tjeme T_{0}\left( x_{0}\text{, }y_{0}\right) parabole (5) kao jedinstveno rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (32) i (43). Potom translatiraju sustav xOy u izračunato tjeme T_{0}, nakon čega translatirani sustav x_{1}Oy_{1} rotiraju oko tjemena T_{0} za kut \vartheta takav da vrijede formule (23). To je metoda translacije i rotacije, koju u ovom radu ne koristimo, a može se naći u [1, Parabolne krivulje \delta =0, \Delta \neq 0, Parabola, str. 245, 1), 2)] i [3, Konike - 4. slučaj, str. 256 - 257].

U y_{0}^{,2} (vidjeti formulu (33)) imamo, zbog (8), izraz \frac{\left( ad+be\right) ^{2}}{a}=ad^{2}+2bde+ce^{2}. Definirajmo velič inu \Pi: Po definiciji od \Pi vrijedi: Iz formula (45) vidimo da za y_{0}^{,2} (formula (33)) vrijedi: Također je, po formuli (39) i (46): gdje parametar p računamo po formuli (30). Zbog (8) iz formule (45) izlazi pa iz (45) i (48) imamo:
Veličina \Pi =0 onda i samo onda ako je ad+be=0 i bd+ce=0 (vidi zadatak 2.). Veličina \Pi =0 jedino u slučaju da os o parabole (5) prolazi ishodištem O.


Kvadriranjem formule (30), zbog (8) i time zbog a^{2}+b^{2}=aS , imamo: U slučaju parabole, zbog (8), vrijedi formula: i Iz invarijantnosti od K(x, y), S i i p^{2} na translacije ( vidjeti ( 16), (50) i (52) ) izlazi da se a , b, c, S, p^{2}, \left( ae-bd\right) ^{2} i \left( cd-be\right) ^{2}  ne mijenjaju pri translaciji sustava xOy. Uo čimo da vrijedi: d(be-cd)-e(ae-bd)+f(ac-b^{2})=-\left( ae^{2}-2bde+cd^{2}\right) zbog (8) Na lijevoj strani jednakosti je Laplaceov razvoj po trećem retku determinante \Delta, pa je lijeva strana jednaka determinanti \Delta, Veličina \Delta, definirana sa (53), je determinanta 3\times 3 matrice poopćene kvadratne forme L(x, y) iz (9). Dokazali smo da je (vidjeti [1, 7. Krivulje drugog reda]). Formule (51) povlači: Analogno imamo: Zbrajanjem formula (55) i (56), imamo: Iz formula (52) izlazi formula: Formule (58) i (57) povlače da je: Iz formule (58) vidimo da je parabola (5) sa (8) nedegenerirana onda i samo onda ako vrijedi \Delta \neq 0. Iz formule (59) vidimo da je parabola (5) sa (8) nedegenerirana onda i samo onda ako vrijedi \left( ae-bd\right) ^{2}+\left( cd-be\right) ^{2}\neq 0, tj ona je nedegenerirana ako i samo ako vrijedi ae-bd\neq 0 ili cd-be\neq 0. Kako se S i p^{2} ne mijenjaju pri translacijama i rotacijama u slučaju parabolnih krivulja, iz formula (58) izlazi da se u slučaju parabolnih krivulja veličina \Delta ne mijenja pri translacijama i rotacijama sustava xOy, [1, 7. Krivulje drugog reda] . Dakle \Delta je invarijanta parabolnih krivulja, a već znamo da su to i \delta (vidjeti (6)) i S (vidjeti (7)). Iz formule (57) izlazi da je kod parabole S\Delta \lt 0.

Iz formula (45), (54) i (34) imamo:
Navedimo nužne i dovoljne uvjete za nedegeneriranost parabole (5).

Lema 4. Neka za parabolnu krivulju (5) uz pretpostavku (8) vrijedi još i ae-bd\neq 0. Tada je a\neq 0 i parabolna krivulja (5) je parabola. Neka za parabolnu krivulju (5) uz pretpostavku (8) vrijedi još i cd-be\neq 0. Tada je c\neq 0 i parabolna krivulja (5) je parabola.


Lema 5. Neka za parabolnu krivulju (5) uz pretpostavku (8) vrijedi a\neq 0. Tada je ta krivulja nedegenerirana parabola ako i samo ako je ae-bd\neq 0. Neka za parabolnu krivulju (5) za koju vrijede pretpostavke (8) vrijedi c\neq 0. Tada je ta krivulja nedegenerirana parabola ako i samo ako je cd-be\neq 0.


Lema 6. Neka je jednadžbom (5) uz pretpostavku (8) dana parabolna krivulja. Tada je ta krivulja nedegenerirana parabola ako i samo ako je \left( ae-bd\right) ^{2}+\left( cd-be\right) ^{2}\neq 0.


Korolar 7 Parabolna krivulja (5) za koju vrijede pretpostavke (8) degenerira u par pravaca onda i samo onda ako je (ae-bd=0 i cd-be=0).


Primjedba 8. Parabolna krivulja (5) uz pretpostavke (8) je po lemi 4 i po lemi 5 nedegenerirana parabola u slučajevima 1a) ae-bd\neq 0 ili 1b) cd-be\neq 0. Neka je b\neq 0 i zbog (8) tada a\neq 0 i c\neq 0. Ako tada vrijedi 1a), tada zbog cd-be=-\frac{b}{a} \left( ae-bd\right) vrijedi i 1b), a ako vrijedi 1b), tada vrijedi i 1a). Neka je b=0. Tada su obje veličine ae-bd i cd-be ili \neq 0 i krivulja je parabola, ili su te obje veličine jednake 0 i tada je po korolaru 7 krivulja par pravaca.

U slučaju b=0, treba računati i ae-bd i cd-be. Ako je b=c=0 i a\neq 0, tada je ae-bd=ae i cd-be=0. Analogno ako je b=a=0 i c\neq 0 tada je ae-bd=0 i cd-be=cd. Po tome i po lemi 5 parabola (5) za b=0 je nedegenerirana ako i samo ako je točno jedna od veli čina ae i cd različita od 0. Parabola (5) za b=0 po korolaru 7 degenerira u par pravaca onda i samo onda ako je ae=0 i cd=0. Ako je b=0, par pravaca imamo za a\neq 0, b=c=0, e=0 ili za c\neq 0 , a=b=0, d=0.

Lema 9. Neka je jednadžbom (5) dana parabolna krivulja uz pretpostavke (8) i S\neq 0. Tada je parabolna krivulja (nedegenerirana) parabola ako i samo ako je \Delta \neq 0.


Lema 10. Neka je jednadžbom (5) dana parabolna krivulja i neka vrijede pretpostavke (8) i S\neq 0. Tada je parabolna krivulja (nedegenerirana) parabola ako i samo ako je p\neq 0.



Nađimo koordinate fokusa F(x_{F}, y_{F}) parabole (5) u xOy sustavu. Kako fokus F u sustavu x^{,}Oy^{,} ima koordinate F^{,}(x_{0}^{,}+\frac{p}{2}, y_{0}^{,}), to po formulama (20), ( 42) imamo: tj. i analogno: tj. Dobili smo ove formule za fokus F(x_{F}, y_{F}) parabole (5) : gdje su \cos \theta i \sin \theta dani formulama (23). Vrijedi formula: (vidjeti (30)). Analogno imamo: \frac{p}{2}\sin \vartheta =\frac{ ae-bd}{2S\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\frac{-a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=-\frac{ae-bd}{ 2S^{2}}. Time imamo: Kako je točka R\left( x_{R},y_{R}\right) simetrična fokusu F s obzirom na tjeme T, imamo: Nađimo u slučaju b\neq 0 fokus F parabole (5) i tjeme T na još jedan način. Neka je \vartheta kut koji zadovoljava formule (23). Iz formule (3) imamo tri jednadžbe sa tri nepoznanice u_{0}, x_{F} i y_{F} : i Po formulama (66) i (67), imamo: i Uvrstimo x_{F} i y_{F} iz formula (69) i (70) u formulu (68). Koristimo li pri tome formulu (23) i formulu p=-\left( \frac{d }{S}\cos \vartheta +\frac{e}{S}\sin \vartheta \right) koja izlazi iz formule (30), imamo: Time (68) postaje: i iz (71) slijedi da je: Zbog formula (69), (70) i (23), imamo x_{F}=\frac{ Sf-\left( d^{2}+e^{2}\right) }{2pS^{2}}\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}-\frac{d}{ S}, tj. po formuli (30) x_{F}=\frac{b\left[ Sf-\left( d^{2}+e^{2}\right) \right] }{2S(ae-bd)}-\frac{d}{S} i konačno x_{F}= \frac{c\left[ d^{2}+e^{2}-Sf\right] }{2S(cd-be)}-\frac{d}{S}, jer je \frac{ b}{ae-bd}=-\frac{c}{cd-be} zbog (8). Analogno bi izveli y_{F}=\frac{ a\left[ d^{2}+e^{2}-Sf\right] }{2S(ae-bd)}-\frac{e}{S}. Time smo dobili ove formule za fokus F\left( x_{F}\text{, }y_{F}\right) parabole (5): i Iz formule (73) slijedi: i Analogno (75) bi imali: Nađimo i tjeme T(x_{0}, y_{0}) parabole (5). Iz formula (64) imamo: Iz formula (75) i (76) za fokus F dobivamo ove formule za tjeme T parabole: i Može se pokazati se da se formule (78) i (79) podudaraju s formulama (42). Za točku R ravnalice r vrijedi:

Jednažba tjemene tangente t data je s x^{,}-x_{0}^{,}=0. Zbog (19), (38) i (36), t ima normalnu jednadžbu x^{,}-x_{0}^{,}=0, tj. normalnu jednadžbu: gdje \cos \vartheta i \sin \vartheta zadovoljavaju formule (23 ). Sada jednadžbu (81) tjemene tangente t, zbog (39), (33) pišemo: Formulu tg\vartheta =-\frac{a}{b} i formule (23) možemo, zbog (8), pisati: \sin \vartheta =-\frac{\sqrt{aS}}{S}, tj. \sin \vartheta =-\frac{pS\sqrt{aS}}{pS^{2}} i zbog (30) je \sin \vartheta =\frac{bd-ae}{pS^{2}}. Iz tg\vartheta =-\frac{a}{b} imamo \cos \vartheta =-\frac{b}{a}\sin \vartheta, a zbog (8) je \cos \vartheta =\frac{be-cd}{pS^{2}}. Dobili smo formule ekvivalentne formulama ( 23): Prema tome, formulu (82) možemo pisati:
Izvedimo jednadžbu ravnalice r parabole (5). Jednažba ravnalice r u sustavu x^{,}Oy^{,} parabole je x^{,}-(x_{0}^{,}-\frac{p}{2})=0. Koristeći prvu formulu u (19) i formulu (84), iz x^{,}-(x_{0}^{,}-\frac{p}{2})=0 dobijemo ovu normalnu jednadžbu ravnalice r parabole:
Zbog formula (33) i (30), identitet (34) povlači formulu:
Uvrstimo li (86) u (85), imamo normalnu jednadžbu ravnalice r parabole:
Množenjem (87) s pS^{2} dobijemo ovu jednadžbu ravnalice r parabole: Dijeljenjem formule (88) s pS^{2} dobijemo opet normalnu jednadž bu ravnalice (87). Nađimo i koordinate krajnjih točaka M i N fokalne tetive (latus rectuma) \overline{MN}, gdje su M i N točke parabole (5). U x^{,}Oy^{,} sustavu vrijedi: M^{,}(x_{0}^{,}+\frac{p }{2}, y_{0}^{,}-p) i N^{,}(x_{0}^{,}+\frac{p}{2}, y_{0}^{,}+p) i F^{,}\left( x_{0}^{,}+\frac{p}{2}\text{, }y_{0}^{,}\right) Primjenimo li na točku M^{,} formule (26) i (23), imamo: tj. Analogno bi dobili: tj.

Neka za opću implicitnu jednadžbu (5) parabole vrijedi b\neq 0. Neka vrijedi bd-ae\neq 0, pa tada i be-cd\neq 0. Napišimo implicitnu jednadžbu (5) u obliku: i riješimo je kao kvadratnu jednadžbu po y. Neka je D diskriminanta jednadžbe (98) po varijabli y. Vrijedi: Iz kvadratne jednadžbe (98) po y imamo jednadžbu (5) parabole u eksplicitnom obliku y=\varphi (x) kao dvije funkcije: i Domena funkcije y=\varphi _{1}(x) i y=\varphi _{2}(x) je isti skup: Za x\in Dom(\varphi ) možemo po formulama (99) i (100) na ći \varphi _{1}(x) i \varphi _{2}(x) i dobiti dvije točke parabole (5). Ako je izraz pod korijenom u (99) ili u (100) jednak nuli, imamo jedinstvenu točku V parabole, u kojoj je pravac x=x_{V} vertikalna tangenta parabole. Iz 2(be-cd)x+e^{2}-cf=0 izlazi: Na sličan način, rješavanjem kvadratne jednadžbe po varijabli x, dobivamo dvije funkcije x=\psi _{1}(y) i x=\psi _{1}(y) sa istom domenom Dom(\psi ) : Ovdje imamo jedinstvenu točku H parabole s horizontalnom tangentom y=y_{H}, pri čemu je: Iz (99) imamo da točka V leži na pravcu bx+cy+e=0, koji je paralelan s osi o parabole. Odatle je y_{V}=-\frac{b}{c}x_{V}-\frac{e}{c} tj. Analogno izlazi da točka H leži na pravcu ax+by+d=0, koji je paralelan s osi o parabole. Odatle je: Tangente x=x_{V} i y=y_{H} sijeku se u točki U(x_{U}, y_{U})=U(x_{V}, y_{H}): Točka H je H\left( x_{H}\text{, }\frac{d^{2}-af}{2(ae-bd)}\right), a točka V\left( \frac{e^{2}-cf}{2(cd-be)}\text{, }y_{V}\right), pri čemu po formulama (106) i (105) imamo: Iz formule (107) izlazi da je d^{2}-af=0 nužno i dovoljno da je x os tangenta h parabole (5), a e^{2}-cf=0 je nužno i dovoljno da je y os tangenta v parabole (5). Kako su tangente x=x_{V} i y=y_{H} okomite, po lemi 1, imamo da njihovo sjecište U\inr ( r je ravnalica parabole (5) ) Točka U i dvije tangente x=x_{V} i y=y_{H} dijele ravninu u četiri "pomaknuta" kvadranta sa središtem u U. Odredimo li domene funkcija \varphi (x) i \psi (y) ili nađemo točke H i V po formulama (108) i ( 107), vidimo u kojem pomaknutom kvadrantu leži cijela parabola (5). Iz formula (108) vidimo da to ovisi o predznaku veličina cd-be i ae-bd.

Primjedba 11. Koristeći formulu (107), vidimo da u sustavu x_{1}Uy_{1} formule (117) za fokus F kao i formule (78) i (79) za tjeme T parabole pišemo: i Formule (110) ekvivalentne su formulama (78) i (79).Toč ku R računamo pomoću formula (80).

Zadatak 12. Pokažite da je d(U,R)=\left\vert p\cdot \frac{a-c}{ 2b}\right\vert. Uputa. d(U,R)=d(U,o), a d(U,o) izračunajte pomo ću (107) i jednadžbe (32) osi parabole (5).


Lema 13. Neka je dana parabola (5) sa (8), S\neq 0 i b\neq 0 i koja dira osi x i y. Tada vrijedi: ae+bd=0, be+cd=0, ae^{2}=cd^{2}, d^{2}-af=0, e^{2}-cf=0, d^{2}+e^{2}-Sf=0, bf+de=0, de\neq 0 i f\neq 0. Jednadžbu parabole možemo tada zapisati pomo ću tri parametra a, b i d: ili množenjem s a kao: Diralište parabole s osi x je točka T_{1}\left( -\frac{d}{a}\text{ , }0\right) =T_{1}\left( \frac{e}{b}\text{, }0\right), a diralište te parabole s osi y je točka T_{2}\left( 0\text{,}-\frac{e}{c}\right) =T_{2}\left( 0\text{, }\frac{d}{b}\right) .