Determinante naše svagdašnje
Sažetak
U ovom radu ćemo opisati i objasniti razliku izmeđ u nekoliko važnih i poznatih matrica i determinanti nazvanih po slavnim matematičarima. Definirani su Jakobijan, Wronskijan i Hesijan, Vandermondeova i Cayley-Mengerova determinanta, njihovo značenje i područje primjene. Cilj rada je na jednom mjestu objediniti osnove tako važnih determinanti koje profesionalni matematičari, a i mnogi studenti, barem u nekom dijelu života, koriste gotovo svakodnevno.
1Uvod
U linearnoj algebri determinante igraju ključnu ulogu. Iz tog razloga su jedan od temeljnih matematičkih pojmova s kojim se susreću studenti na prvim godinama ne samo matematičkog, tehničkog, nego i društvenog usmjerenja. Primjena determinanti je zaista široka. Determinante opisuju prirodu rješenja sustava linearnih jednadžbi, ukazuju na linearnu zavisnost/nezavisnost vektora, utjelovljuju određ ena geometrijska svojstva linearnih transformacija te su najvažniji alat kod pronalaženja svojstvenih vrijednosti matrica. U ovom radu pretpostavljamo da je čitatelju poznat pojam determinante, kao i derivacije funkcija jedne i više varijabli. Cilj rada je na jednom mjestu objediniti osnove važnih determinanti koje profesionalni matematičari, a i mnogi studenti, barem u nekom dijelu života, koriste gotovo svakodnevno.
2Gradijent
Prije nego opišemo Jakobijan i Hessijan, zgodno je uvesti pojam gradijenta. Gradijent je generalizacija pojma derivacije na skalarne funkcije više varijabla. često umjesto riječi funkcija koristimo riječ polje. Pojam polja je uveo irski matematičar Hamilton, u svezi s promatranjem fizikalnih veličina u električnim, magnetnim i drugim poljima. Skalarna i vektorska polja su u stvari drugi naziv za skalarne i vektorske funkcije.
Definition 1. Neka je f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{R}, \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^{3} skalarno polje. Gradijent skalarnog polja f, u oznaci \text{grad} f, je vektorsko polje koje definiramo na sljedeći način
\text{grad} f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}.
Definition 2. Hamiltonov diferencijalni operator (nabla) glasi
\nabla =\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}.
Diferencijalni operator \nabla istovremeno ima svojstva i vektora i derivacije. Vrijedi \text{grad} f=\nabla f. Gradijent možemo smatrati retčanom matricom, \text{grad} f= \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix}.
Gradijent označava smjer najbržeg rasta funkcije f u točki T_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}). Iznos tog rasta je \vert \text{grad} f(T_{0})\vert. Primjerice, ako skalarno polje f opisuje temperaturu u proizvoljnoj točki prostora, onda će gradijent od f u točki T(x,y,z) pokazivati u smjeru u kojem temperatura najbrže raste.
3Jakobijan
U literaturi, termin Jakobijan1 se koristi naizmjenično za Jacobijevu matricu i determinantu. I matrica i determinanta imaju korisnu i važnu primjenu: matrica sadrži parcijalne derivacije prvog reda, a determinanta je korisna u procesu promjene varijabla u integralnom računu.
Neka je F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m} vektorsko polje. Jakobijan možemo smatrati generalizacijom derivacije na vektorska polja. Potrebna nam je brzina promjene svake komponente funkcije F za ulaznu varijablu x=(x_{1},x_{2},...,x_{n}), a upravo to je uhvaćeno u matrici koju nazivamo Jacobijeva matrica J.
Dakle,
J=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}.
Jakobijan je determinanta Jacobijeve (kvadratne) matrice. U slučaju kada je m=1 i n=3 Jacobijeva matrica je isto što i gradijent (retčana matrica). Jedna od važnih primjena Jacobijeve matrice, odnosno njene determinante je u računanju dvostrukih integrala, kad nam je potrebna zamjena varijabli kojom transformiramo originalnu funkciju u neku mnogo jednostavniju koju ćemo lakše integrirati. Primjerice, često pri računanju koristimo vezu izmeđ u kartezijevih i polarnih koordinata: x(r,\varphi)=r\cos\varphi, y(r,\varphi)=r\sin\varphi. Općenito, pojam Jakobijana za funkcije x=x(u,v), y=y(u,v) definiramo jednakošću
\det J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Dakle, Jakobijan za promjenu koordinata u polarne je jednak
\det J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix}=r.
Formula za prijelaz iz kartezijevih u polarne koordinate u dvostrukom integralu glasi
\iint\limits_{D} f(x,y)\text{d}x\text{d}y=\iint\limits_{D'} f(x(r,\varphi) ,y(r,\varphi)) \vert \det J\vert \text{d}r\text{d}\varphi=\iint\limits_{D'} f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)r\text{d}r\text{d}\varphi.
Example 3. Izračunati površinu lika D u xy ravnini omeđ enog kružnicama x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4 i pravcima y=\frac{\sqrt{3}}{3}x, y=x za x\geq 0.
Kako je područje integracije omeđ eno kružnicama prikladno je prijeći u polarne koordinate. Jakobijan je tada jednak \det J=r.
Rubne krivulje i pravci područja D u polarnim koordinatama imaju jednadžbe r_{1}=1, r_{2}=2, \tan\varphi_{1}=1, \tan\varphi_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}. Tim jednadžbama je određ eno područje D' u r\varphi ravnini. Područje D je slika područja D' u odnosu na zadanu transformaciju. Računamo:
Kako je područje integracije omeđ eno kružnicama prikladno je prijeći u polarne koordinate. Jakobijan je tada jednak \det J=r.
Rubne krivulje i pravci područja D u polarnim koordinatama imaju jednadžbe r_{1}=1, r_{2}=2, \tan\varphi_{1}=1, \tan\varphi_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}. Tim jednadžbama je određ eno područje D' u r\varphi ravnini. Područje D je slika područja D' u odnosu na zadanu transformaciju. Računamo:
\begin{align*} P&=\iint\limits_{D} \text{d}x\text{d}y=\iint\limits_{D'}r\text{d}r\text{d}\varphi=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\text{d}\varphi\int\limits_{1}^{2} r\text{d}r \\ &= \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{r^{2}}{2}\bigg\rvert_{1}^{2}\text{d}\varphi=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left( 2-\frac{1}{2}\right)\text{d}\varphi=\frac{3}{2}\varphi\bigg\rvert_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{8}. \end{align*}
Apsolutna vrijednost Jakobijana \vert \det J\vert u slučaju kada je \det J\neq 0 je faktor kojim množimo površinu pravokutnika da bismo dobili površinu krivocrtnog lika. Jakobijan djeluje kao faktor skaliranja izmeđ u dva koordinatna sustava.
4Hessijan
Vidjeli smo da je gradijent retčana matrica koja sadrži prve derivacije funkcije više varijabli. Hesseova2 matrica je matrica parcijalnih derivacija drugog reda funkcije više varijabli.
Definition 4. Hesseova matrica je kvadratna matrica dimenzija n \times n parcijalnih derivacija drugog reda funkcije f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} tj. funkcije koja n-dimenzionalni vektor preslikava u skalar. Element Hesseove matrice definiran je s H_{i,j}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}, a sama matrica ovako:
H=\nabla\nabla f(x)=\begin{bmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}}\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}\\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} \end{bmatrix}.
Determinantu Hesseove matrice nazivamo Hessijan.
Zbog Schwarzovog teorema, za funkcije s neprekidnim parcijalnim derivacijama drugog reda, Hesseova matrica je simetrična. Takođ er, uočimo vezu Hesseove matrice i Jacobijeve matrice. Vrijedi
H(f(x)) = J(\nabla f(x)),
tj. Hesseova matrica funkcije f je Jacobijeva matrica gradijenta funkcije f.Najčešća primjena Hessijana je pri određ ivanju ekstrema funkcije više varijabli.
Definition 5. Za kvadratnu matricu A \in M_{n} njene glavne minore su determinante kvadratnih matrica A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n-1}, A_{n} = A, gdje je A_{k} matrica koja se iz A dobije tako da uzmemo njenih prvih k redaka i k stupaca, tj. A_{i} = \left[ a_{ij}\right] \in M_{k}.
Funkcija f u stacionarnoj točki x_{0} ima lokalni minimum ako su sve minore Hesseove matrice H(f)(x_{0}) pozitivne, a lokalni maksimum ako predznaci minora Hesseove matrice H(f)(x_{0}) alterniraju počevši s negativnim.
Ukoliko su neke od minora nula, ali nema negativnih ili pak alterniraju tako da neparne po redu nisu pozitivne, a parne nisu negativne, potrebne su druge metode provjere. U preostalim slučajevima riječ je o sedlastoj točki, tj. stacionarnoj točki koja nije ekstrem.
Example 6. Odrediti lokalne ekstreme funkcije zadane formulom f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}.
Gradijent funkcije f jednak je
a Hesseova matrica
Stacionarne točke funkcije f su (0, 0), (1, 1) i (-1, -1).
Računamo: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=0, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=4, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0)=0.
Sada je \det H(f)(0,0)=-16 pa je (0,0) sedlasta točka.
Zatim: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(1,1)=-12, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(1,1)=4, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(1,1)=-12.
Vrijedi \det H(f)(1,1)=128 pa je (1,1) lokalni maksimum i vrijednost lokalnog maksimuma u (1,1) iznosi f(1,1)=2.
I konačno: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(-1,-1)=-12, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(-1,-1)=4, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(-1,-1)=-12
te je \det H(f)(-1,-1)=128 pa je i (-1,-1) lokalni maksimum i vrijednost lokalnog maksimuma u (-1,-1) opet iznosi f(-1,-1)=2.
Gradijent funkcije f jednak je
\nabla f(x,y) =(4y-4x^{3})\vec{i}+ (4x-4y^{3})\vec{j},
a Hesseova matrica
H(f)(x,y)=\begin{bmatrix} -12x^{2} & 4 \\ 4 & -12y^{2} \end{bmatrix}.
Stacionarne točke funkcije f su (0, 0), (1, 1) i (-1, -1).
Računamo: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=0, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=4, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0)=0.
Sada je \det H(f)(0,0)=-16 pa je (0,0) sedlasta točka.
Zatim: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(1,1)=-12, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(1,1)=4, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(1,1)=-12.
Vrijedi \det H(f)(1,1)=128 pa je (1,1) lokalni maksimum i vrijednost lokalnog maksimuma u (1,1) iznosi f(1,1)=2.
I konačno: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(-1,-1)=-12, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(-1,-1)=4, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(-1,-1)=-12
te je \det H(f)(-1,-1)=128 pa je i (-1,-1) lokalni maksimum i vrijednost lokalnog maksimuma u (-1,-1) opet iznosi f(-1,-1)=2.
5Wronskijan
Do sada smo upoznali Jacobijevu matricu i vidjeli njenu primjenu u rješavanju zadataka s dvostrukim integralima te Hesseovu matricu primijenjenu u računanju ekstrema funkcija više varijabli. U ovom poglavlju kratko ćemo opisati determinantu matrice Wronskog3 koju nazivamo Wronskijan te pokazati njenu primjenu u rješavanju diferencijalnih jednadžbi drugog reda.
Iz linearne algebre znamo definiciju linearne nezavisnosti vektora.
Definition 7. Vektori \textbf{a}_{1},\textbf{a}_{2},\cdots, \textbf{a}_{k} su linearno nezavisni ako za sve skalare \lambda_{1},\cdots,\lambda_{k}\in \mathbb{R}
U protivnom su vektori \textbf{a}_{1},\cdots, \textbf{a}_{k} linearno zavisni.
\lambda_{1}\textbf{a}_{1}+\lambda_{2}\textbf{a}_{2}+\cdots+\lambda_{k} \textbf{a}_{k}= \textbf{0} \quad \Rightarrow \quad \lambda_{1}= \cdots = \lambda_{k}=0.
U protivnom su vektori \textbf{a}_{1},\cdots, \textbf{a}_{k} linearno zavisni.
Slično želimo definirati i linearnu nezavisnost derivabilnih funkcija jedne varijable.
Definition 8. Dvije funkcije y_{1} i y_{2} su linearno nezavisne na intervalu \mathcal{I}\subseteq\mathbb{R} ako za skalare k_{1}, k_{2}\in\mathbb{R}
k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}=0 \Rightarrow k_{1}=0, \, k_{2}=0.
U protivnom su funkcije y_{1}, y_{2} linearno zavisne.Iz definicije vidimo da kada je k_{1}\neq 0 ili k_{2}\neq 0 možemo dobiti
y_{1}=-\frac{k_{2}}{k_{1}}y_{2} \,\text{ ili }\, y_{2}=-\frac{k_{1}}{k_{2}}y_{1} ,
odnosno y_{1}=my_{2} ili y_{2}=ny_{1} (y_{1} i y_{2} su proporcionalne funkcije).
Example 9. Funkcije f(x)=2\sin^{2}x i g(x)=1-\cos^{2}x su linearno zavisne jer
(1)(2\sin^{2}x)+(-2)(1-\cos^{2}x)=0 .
Osim ovoga, postoji i sistematičniji način ispitivanja linearne nezavisnosti funkcija. O tome govori sljedeća definicija i teorem.
Definition 10. Neka su y_{1}, y_{2}:\mathcal{I}\to \mathbb{R} derivabilne funkcije. Funkcija
je determinanta Wronskog ili Wronskijan funkcija y_{1} i y_{2} .
W(x)= \begin{vmatrix}y_{1}(x) & y_{2}(x)\\ y'_{1}(x) & y'_{2}(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x) y'_{2}(x)-y'_{1}(x) y_{2}(x)
je determinanta Wronskog ili Wronskijan funkcija y_{1} i y_{2} .
Theorem 11. Ako su funkcije y_{1} i y_{2} linearno zavisne na intervalu \mathcal{I} , onda je njihov Wronskijan identično jednak nula.4
Example 12. Pokazati da su funkcije f(x)=e^{x} i g(x)=xe^{x} linearno nezavisne.
Izračunajmo Wronskijan
Izračunajmo Wronskijan
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & xe^{x} \\ e^{x} & (x+1)e^{x} \end{vmatrix}=(x+1)e^{2x}-xe^{2x}=e^{2x}\neq 0.
Kako Wronskijan nije nula, zaključujemo da su e^{x} i xe^{x} linearno nezavisne funkcije na svakom intervalu.Vidjeli smo definiciju Wronskijana u slučaju n=2. Za općeniti n, Wronskijan je determinanta
W(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\begin{vmatrix} y_{1} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}' & \cdots & y_{n}' \\ \vdots & & \vdots \\ y_{1}^{n-1} & \cdots & y_{n}^{n-1} \end{vmatrix}.
Studenti matematičkih i tehničkih fakulteta Wronskijan najčešće susreću pri rješavanju homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi (DJ) drugog (ili višeg) reda. Homogene linearne DJ drugog reda su DJ oblika y''+p(x)y'+q(x)y=0. Znamo da ako su y_{1} i y_{2} dva rješenja takve jednadžbe, onda je i svaka njihova linearna kombinacija c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} takođ er rješenje te jednadžbe. No ako su funkcije y_{1} i y_{2} linearno nezavisne funkcije na nekom intervalu \mathcal{I} onda je opće rješenje jednadžbe dano s c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}.
Example 13. Riješiti DJ y''-y=0, y(0)=4, y'(0)=-2.
Funkcije y_{1}=e^{x} i y_{2}=e^{-x} su rješenja ove homogene linearne DJ drugog reda za sve x\in\mathbb{R}. Naime, direktnom provjerom za y_{1}=e^{x} dobijemo (e^{x})''-e^{x}=e^{x}-e^{x}=0, a slično i za y_{2}=e^{-x}. Njihova linearna kombinacija y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} je takođ er rješenje DJ. Iz početnih uvjeta dobijemo:
Funkcije y_{1}=e^{x} i y_{2}=e^{-x} su rješenja ove homogene linearne DJ drugog reda za sve x\in\mathbb{R}. Naime, direktnom provjerom za y_{1}=e^{x} dobijemo (e^{x})''-e^{x}=e^{x}-e^{x}=0, a slično i za y_{2}=e^{-x}. Njihova linearna kombinacija y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} je takođ er rješenje DJ. Iz početnih uvjeta dobijemo:
y(0)=c_{1}+c_{2}=4 \quad y'(0)=c_{1}-c_{2}=-2 .
Rješenje ovog sustava je c_{1}=1, c_{2}=3. Time smo dobili rješenje DJ koje glasi
y=e^{x}+3e^{-x}
koje je ujedno i opće rješenje jer je
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & 3e^{-x} \\ e^{x} & -3e^{-x} \end{vmatrix}=-3-3=-6\neq 0.
Primjedba. Da smo umjesto e^{x} i e^{-x} uzeli funkcije y_{1}=e^{x} i y_{2}=ke^{x}, \,k\in\mathbb{R}, te stavili y=c_{1}e^{x}+kc_{2}e^{x} naše rješenje ne bi bilo opće jer su ovakvi y_{1} i y_{2} linearno zavisne funkcije (proporcionalne su).
6Vandermondeova determinanta
Vandermondeova5 determinanta je jedna od najpoznatijih eksplicitnih formula za neku determinantu u matematici. Retci Vandermondeove matrice su geometrijski nizovi. Neka su x_{0},x_{1},...,x_{n} realni brojevi, x=( x_{0},x_{1},...,x_{n}). Matricu u oznaci V_{n}(x) definiranu na način
V_{n}(x)=\begin{bmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \cdots & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{bmatrix}
nazivamo Vandermondeova matrica. Determinanta kvadratne matrice V_{n}(x) je Vandermondeova determinanta. Njena vrijednost je polinom
\det(V_{n}(x))=\prod_{1\leq i\lt j\leq n} (x_{j}-x_{i}).
Jedna od primjena Vandermondeove determinante je u određ ivanju interpolacijskog polinoma p_{n}(x), n-tog stupnja koji će dovoljno dobro aproksimirati funkciju f za koju je poznato njeno djelovanje na konačnom skupu točaka, tj. znamo da je f(x_{i})=y_{i},\, i=0,1,...,n.
Example 14. Odrediti interpolacijski polinom čiji graf prolazi točkama (1,2), (5,3), (-2,0), (7,-1).
Ako p_{3}(x) prikažemo u kanonskom obliku
U matričnom obliku sustav možemo zapisati:
Cramerovim pravilom riješimo sustav,
gdje je \det V Vandermondeova determinanta, a D_{i} determinanta matrice koju dobijemo tako da se u matrici V(i+1)-vi stupac zamijeni vektorom \vec{y}. Odredimo Vandermondeovu determinantu
Odredimo vrijednosti determinanti D_{i}, te zapišemo rješenje sustava
Sada možemo zapisati interpolacijski polinom
Ako p_{3}(x) prikažemo u kanonskom obliku
p_{3}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},
tada treba odrediti koeficijente a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} tako da vrijede uvjeti interpolacije
p_{3}(x_{i})=y_{i}, \, i=0,1,2,3,
tj.
\begin{align*} a_{0}+a_{1}\cdot 1+a_{2}\cdot 1^{2}+a_{3}\cdot 1^{3} &= 2 \\ a_{0}+a_{1}\cdot 5+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3} &= 3 \\ a_{0}+a_{1}\cdot (-2)+a_{2}\cdot (-2)^{2}+a_{3}\cdot (-2)^{3} &= 0 \\ a_{0}+a_{1}\cdot 7+a_{2}\cdot 7^{2}+a_{3}\cdot 7^{3} &= -1 . \end{align*}
U matričnom obliku sustav možemo zapisati:
\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 5^{2} & 5^{3} \\ 1 & -2 & (-2)^{2} & (-2)^{3} \\ 1 & 7 & 7^{2} & 7^{3} \end{bmatrix}}_{V} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \\a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix}}_{\vec{a}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.}_{\vec{y}}
Cramerovim pravilom riješimo sustav,
a_{i}=\frac{D_{i}}{\det V}, \, i=0,1,2,3,
gdje je \det V Vandermondeova determinanta, a D_{i} determinanta matrice koju dobijemo tako da se u matrici V(i+1)-vi stupac zamijeni vektorom \vec{y}. Odredimo Vandermondeovu determinantu
\det V= \prod_{1\leq i\lt j\leq 3} (x_{j}-x_{i}) = (7-1)(7-5)(7-(-2))(-2-1)(-2-5)(5-1)=9072.
Odredimo vrijednosti determinanti D_{i}, te zapišemo rješenje sustava
a_{0}=\frac{D_{0}}{\det V}=\frac{9996}{9072}, \,a_{1}=\frac{D_{1}}{\det V}=\frac{7734}{9072}, \, a_{2}=\frac{D_{2}}{\det V}=\frac{732}{9072}, \, a_{3}=\frac{D_{3}}{\det V}=-\frac{318}{9072}.
Sada možemo zapisati interpolacijski polinom
p_{3}(x)=\frac{1}{9072}\left(9996+7734x+732x^{2}-318x^{3}\right).
7Cayley-Mengerova determinanta
Studentima vjerojatno manje poznata determinanta od prethodno opisanih je Cayley-Mengerova6 determinanta koja se koristi u linearnoj algebri, geometriji i trigonometriji. Predstavlja formulu za sadržaj (duljinu/površinu/volumen) n-dimenzionalnog simpleksa izraženu preko kvadrata udaljenosti svih parova vrhova simpleksa. U geometriji, simpleks je najjednostavniji politop koji se može formirati, odnosno generalizacija pojma trokuta ili tetraedra na proizvoljne dimenzije. Na primjer 0-dimenzionalni simpleks je točka, 1-dimenzionalni simpleks je segment (dio pravca), 2-dimenzionalni simpleks je trokut, a 3-dimenzionalni tetraedar.
Definition 15. Neka su A_{1},A_{2},...,A_{n+1} vrhovi n-dimenzionalnog simpleksa u n-dimenzionalnom Euklidskom prostoru. Neka je d_{ij} euklidska udaljenost izmeđ u vrhova A_{i} i A_{j}, d_{ij}=\Vert A_{i}-A_{j}\Vert _{2}. Tada se n-dimenzionalni sadržaj simpleksa v_{n} može izračunati iz sljedeće formule:
v^{2}_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{(n!)^{2} 2^{n}} \begin{vmatrix} 0 & d_{12}^{2} & \cdots & d_{1(n+1)}^{2} & 1 \\ d_{12}^{2} & 0 & \cdots & d_{2(n+1)}^{2} & 1 \\ d_{13}^{2} & d_{23}^{2} & \cdots & d_{3(n+1)}^{2} & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ d_{1(n+1)}^{2} & d_{2(n+1)}^{2} & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Determinanta u gornjoj definiciji je Cayley-Mengerova determinanta \Delta. Vezu izmeđ u Cayley-Mengerove determinante i sadržaja n-dimenzionalnog simpleksa lakše uočavamo ako raspišemo determinantu za n=1, n=2 i n=3.
Kako smo već napisali 1-dimenzionalni simpleks je dio pravca izmeđ u dvije točke A_{1} i A_{2}. Tada je
\Delta =\begin{vmatrix} 0 & d_{12}^{2} & 1 \\ d_{12}^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=2d_{12}^{2}=2v^{2}_{1},
odnosno Cayley-Mengerova determinanta \Delta je jednaka dvostrukom kvadratu udaljenosti izmeđ u dviju točaka.
Ako za n=2 označimo d_{12}=a, d_{13}=b i d_{23}=c onda je
\Delta =\begin{vmatrix} 0 & a^{2} & b^{2} & 1 \\ a^{2} & 0 & c^{2} & 1 \\ b^{2} & c^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+c^{4}.
Stavimo li s=\frac{1}{2}(a+b+c) vrijedi
\Delta=-16s(s-a)(s-b)(s-c).
Iz Heronove formule znamo da je površina trokuta sa stranicama a, b i c jednaka \displaystyle\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. Dakle, za n=2 Cayley-Mengerova determinanta je proporcionalna kvadratu poršine trokuta; \displaystyle\Delta=-16v^{2}_{2}. Za n=3 sadržaj 3-simpleksa (tj. volumen tetraedra) je dan s
v^{2}_{3}=\frac{1}{288}\begin{vmatrix} 0 & d_{12}^{2} & d_{13}^{2} & d_{14}^{2}& 1 \\ d_{12}^{2} & 0 & d_{23}^{2} & d_{24}^{2} & 1 \\ d_{13}^{2} & d_{23}^{2} & 0 & d_{34}^{2} & 1 \\ d_{14}^{2} & d_{24}^{2} & d_{34}^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
U ovom radu smo opisali matrice i determinante s kojima se najčešće susreću studenti prve i druge godine i predavači matematike na fakultetima. Bez njih je teško i zamisliti bilo koje fakultetsko gradivo. Osim navedenih, brojne su druge zanimljive determinante kao što su Toeplitzova, Sylvesterova, Slaterova, Diudonneova, Hankelova, Pascalova, Cauchyjeva, ali one izlaze iz okvira ovog rada.
Bibliografija
| [1] | E. Kreyszig: Advanced engineering mathematics, 8th edition, 1999. |
| [2] | T. Burić, L. Korkut, J.P. Milišić, M. Pašić, I. Velčić: Vektorska analiza, Element, Zagreb, 2014. |
| [3] | I. Brnetić, V. županović: Višestruki integrali, Element, Zagreb, 2014. |
| [4] | https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Supplemental |
| [5] | http://www.mathematics.digital/matematika1/index.html |
| [6] | http://lavica.fesb.unist.hr/matematika2/ |
| [7] | https://najeebkhan.github.io/blog/VecCal.html |
| [8] | S. Kurepa: Matematička analiza III, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975. |
| [9] | https://www.pmf.unizg.hr/_download/repository/mat2-pred9-novo.pdf |
| [10] |
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley-Menger_determinant |
