U linearnoj algebri determinante igraju ključnu ulogu. Iz tog razloga su jedan od temeljnih matematičkih pojmova s kojim se susreću studenti na prvim godinama ne samo matematičkog, tehničkog, nego i društvenog usmjerenja. Primjena determinanti je zaista široka. Determinante opisuju prirodu rješenja sustava linearnih jednadžbi, ukazuju na linearnu zavisnost/nezavisnost vektora, utjelovljuju određ ena geometrijska svojstva linearnih transformacija te su najvažniji alat kod pronalaženja svojstvenih vrijednosti matrica. U ovom radu pretpostavljamo da je čitatelju poznat pojam determinante, kao i derivacije funkcija jedne i više varijabli. Cilj rada je na jednom mjestu objediniti osnove važnih determinanti koje profesionalni matematičari, a i mnogi studenti, barem u nekom dijelu života, koriste gotovo svakodnevno.


Prije nego opišemo Jakobijan i Hessijan, zgodno je uvesti pojam gradijenta. Gradijent je generalizacija pojma derivacije na skalarne funkcije više varijabla. često umjesto riječi funkcija koristimo riječ polje. Pojam polja je uveo irski matematičar Hamilton, u svezi s promatranjem fizikalnih veličina u električnim, magnetnim i drugim poljima. Skalarna i vektorska polja su u stvari drugi naziv za skalarne i vektorske funkcije.




Diferencijalni operator $\nabla$ istovremeno ima svojstva i vektora i derivacije. Vrijedi $\text{grad} f=\nabla f$. Gradijent možemo smatrati retčanom matricom, $\text{grad} f= \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix}.$

Gradijent označava smjer najbržeg rasta funkcije $f$ u točki $T_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$. Iznos tog rasta je $\vert \text{grad} f(T_{0})\vert.$ Primjerice, ako skalarno polje $f$ opisuje temperaturu u proizvoljnoj točki prostora, onda će gradijent od $f$ u točki $T(x,y,z)$ pokazivati u smjeru u kojem temperatura najbrže raste.


U literaturi, termin Jakobijan1 se koristi naizmjenično za Jacobijevu matricu i determinantu. I matrica i determinanta imaju korisnu i važnu primjenu: matrica sadrži parcijalne derivacije prvog reda, a determinanta je korisna u procesu promjene varijabla u integralnom računu.


Neka je $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ vektorsko polje. Jakobijan možemo smatrati generalizacijom derivacije na vektorska polja. Potrebna nam je brzina promjene svake komponente funkcije $F$ za ulaznu varijablu $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, a upravo to je uhvaćeno u matrici koju nazivamo Jacobijeva matrica $J$.
Dakle,

$$J=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}.$$
Jakobijan je determinanta Jacobijeve (kvadratne) matrice. U slučaju kada je $m=1$ i $n=3$ Jacobijeva matrica je isto što i gradijent (retčana matrica). Jedna od važnih primjena Jacobijeve matrice, odnosno njene determinante je u računanju dvostrukih integrala, kad nam je potrebna zamjena varijabli kojom transformiramo originalnu funkciju u neku mnogo jednostavniju koju ćemo lakše integrirati. Primjerice, često pri računanju koristimo vezu izmeđ u kartezijevih i polarnih koordinata: $x(r,\varphi)=r\cos\varphi$, $y(r,\varphi)=r\sin\varphi$. Općenito, pojam Jakobijana za funkcije $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ definiramo jednakošću $$\det J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.$$ Dakle, Jakobijan za promjenu koordinata u polarne je jednak $$\det J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix}=r.$$
Formula za prijelaz iz kartezijevih u polarne koordinate u dvostrukom integralu glasi $$\iint\limits_{D} f(x,y)\text{d}x\text{d}y=\iint\limits_{D'} f(x(r,\varphi) ,y(r,\varphi)) \vert \det J\vert \text{d}r\text{d}\varphi=\iint\limits_{D'} f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)r\text{d}r\text{d}\varphi.$$




Apsolutna vrijednost Jakobijana $\vert \det J\vert$ u slučaju kada je $\det J\neq 0$ je faktor kojim množimo površinu pravokutnika da bismo dobili površinu krivocrtnog lika. Jakobijan djeluje kao faktor skaliranja izmeđ u dva koordinatna sustava.


Vidjeli smo da je gradijent retčana matrica koja sadrži prve derivacije funkcije više varijabli. Hesseova2 matrica je matrica parcijalnih derivacija drugog reda funkcije više varijabli.



Determinantu Hesseove matrice nazivamo Hessijan.

Zbog Schwarzovog teorema, za funkcije s neprekidnim parcijalnim derivacijama drugog reda, Hesseova matrica je simetrična. Takođ er, uočimo vezu Hesseove matrice i Jacobijeve matrice. Vrijedi $$H(f(x)) = J(\nabla f(x)),$$ tj. Hesseova matrica funkcije $f$ je Jacobijeva matrica gradijenta funkcije $f$.


Najčešća primjena Hessijana je pri određ ivanju ekstrema funkcije više varijabli.



Funkcija $f$ u stacionarnoj točki $x_{0}$ ima lokalni minimum ako su sve minore Hesseove matrice $H(f)(x_{0})$ pozitivne, a lokalni maksimum ako predznaci minora Hesseove matrice $H(f)(x_{0})$ alterniraju počevši s negativnim.

Ukoliko su neke od minora nula, ali nema negativnih ili pak alterniraju tako da neparne po redu nisu pozitivne, a parne nisu negativne, potrebne su druge metode provjere. U preostalim slučajevima riječ je o sedlastoj točki, tj. stacionarnoj točki koja nije ekstrem.





Do sada smo upoznali Jacobijevu matricu i vidjeli njenu primjenu u rješavanju zadataka s dvostrukim integralima te Hesseovu matricu primijenjenu u računanju ekstrema funkcija više varijabli. U ovom poglavlju kratko ćemo opisati determinantu matrice Wronskog3 koju nazivamo Wronskijan te pokazati njenu primjenu u rješavanju diferencijalnih jednadžbi drugog reda.
Iz linearne algebre znamo definiciju linearne nezavisnosti vektora.


Slično želimo definirati i linearnu nezavisnost derivabilnih funkcija jedne varijable.


Iz definicije vidimo da kada je $k_{1}\neq 0$ ili $k_{2}\neq 0$ možemo dobiti $$y_{1}=-\frac{k_{2}}{k_{1}}y_{2} \,\text{ ili }\, y_{2}=-\frac{k_{1}}{k_{2}}y_{1} ,$$ odnosno $y_{1}=my_{2}$ ili $y_{2}=ny_{1}$ ($y_{1}$ i $y_{2}$ su proporcionalne funkcije).






Osim ovoga, postoji i sistematičniji način ispitivanja linearne nezavisnosti funkcija. O tome govori sljedeća definicija i teorem.







Vidjeli smo definiciju Wronskijana u slučaju $n=2$. Za općeniti $n$, Wronskijan je determinanta $$W(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\begin{vmatrix} y_{1} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}' & \cdots & y_{n}' \\ \vdots & & \vdots \\ y_{1}^{n-1} & \cdots & y_{n}^{n-1} \end{vmatrix}.$$

Studenti matematičkih i tehničkih fakulteta Wronskijan najčešće susreću pri rješavanju homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi (DJ) drugog (ili višeg) reda. Homogene linearne DJ drugog reda su DJ oblika $y''+p(x)y'+q(x)y=0$. Znamo da ako su $y_{1}$ i $y_{2}$ dva rješenja takve jednadžbe, onda je i svaka njihova linearna kombinacija $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ takođ er rješenje te jednadžbe. No ako su funkcije $y_{1}$ i $y_{2}$ linearno nezavisne funkcije na nekom intervalu $\mathcal{I}$ onda je opće rješenje jednadžbe dano s $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$.




Vandermondeova5 determinanta je jedna od najpoznatijih eksplicitnih formula za neku determinantu u matematici. Retci Vandermondeove matrice su geometrijski nizovi. Neka su $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ realni brojevi, $x=( x_{0},x_{1},...,x_{n})$. Matricu u oznaci $V_{n}(x)$ definiranu na način $$V_{n}(x)=\begin{bmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \cdots & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n} \end{bmatrix}$$ nazivamo Vandermondeova matrica. Determinanta kvadratne matrice $V_{n}(x)$ je Vandermondeova determinanta. Njena vrijednost je polinom $$\det(V_{n}(x))=\prod_{1\leq i\lt j\leq n} (x_{j}-x_{i}).$$ Jedna od primjena Vandermondeove determinante je u određ ivanju interpolacijskog polinoma $p_{n}(x)$, $n$-tog stupnja koji će dovoljno dobro aproksimirati funkciju $f$ za koju je poznato njeno djelovanje na konačnom skupu točaka, tj. znamo da je $f(x_{i})=y_{i},\, i=0,1,...,n$.





Studentima vjerojatno manje poznata determinanta od prethodno opisanih je Cayley-Mengerova6 determinanta koja se koristi u linearnoj algebri, geometriji i trigonometriji. Predstavlja formulu za sadržaj (duljinu/površinu/volumen) n-dimenzionalnog simpleksa izraženu preko kvadrata udaljenosti svih parova vrhova simpleksa. U geometriji, simpleks je najjednostavniji politop koji se može formirati, odnosno generalizacija pojma trokuta ili tetraedra na proizvoljne dimenzije. Na primjer 0-dimenzionalni simpleks je točka, 1-dimenzionalni simpleks je segment (dio pravca), 2-dimenzionalni simpleks je trokut, a 3-dimenzionalni tetraedar.



Determinanta u gornjoj definiciji je Cayley-Mengerova determinanta $\Delta$. Vezu izmeđ u Cayley-Mengerove determinante i sadržaja n-dimenzionalnog simpleksa lakše uočavamo ako raspišemo determinantu za $n=1$, $n=2$ i $n=3$.
Kako smo već napisali 1-dimenzionalni simpleks je dio pravca izmeđ u dvije točke $A_{1}$ i $A_{2}$. Tada je $$\Delta =\begin{vmatrix} 0 & d_{12}^{2} & 1 \\ d_{12}^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=2d_{12}^{2}=2v^{2}_{1},$$
odnosno Cayley-Mengerova determinanta $\Delta$ je jednaka dvostrukom kvadratu udaljenosti izmeđ u dviju točaka.

Ako za $n=2$ označimo $d_{12}=a$, $d_{13}=b$ i $d_{23}=c$ onda je $$\Delta =\begin{vmatrix} 0 & a^{2} & b^{2} & 1 \\ a^{2} & 0 & c^{2} & 1 \\ b^{2} & c^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+c^{4}.$$
Stavimo li $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ vrijedi $$\Delta=-16s(s-a)(s-b)(s-c).$$
Iz Heronove formule znamo da je površina trokuta sa stranicama $a$, $b$ i $c$ jednaka $\displaystyle\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$. Dakle, za $n=2$ Cayley-Mengerova determinanta je proporcionalna kvadratu poršine trokuta; $\displaystyle\Delta=-16v^{2}_{2}.$ Za $n=3$ sadržaj 3-simpleksa (tj. volumen tetraedra) je dan s

$$v^{2}_{3}=\frac{1}{288}\begin{vmatrix} 0 & d_{12}^{2} & d_{13}^{2} & d_{14}^{2}& 1 \\ d_{12}^{2} & 0 & d_{23}^{2} & d_{24}^{2} & 1 \\ d_{13}^{2} & d_{23}^{2} & 0 & d_{34}^{2} & 1 \\ d_{14}^{2} & d_{24}^{2} & d_{34}^{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.$$
U ovom radu smo opisali matrice i determinante s kojima se najčešće susreću studenti prve i druge godine i predavači matematike na fakultetima. Bez njih je teško i zamisliti bilo koje fakultetsko gradivo. Osim navedenih, brojne su druge zanimljive determinante kao što su Toeplitzova, Sylvesterova, Slaterova, Diudonneova, Hankelova, Pascalova, Cauchyjeva, ali one izlaze iz okvira ovog rada.