Engleski statističar i filozof Thomas Bayes (1702.–1762.) dokazao je čuveni teorem teorije vjerojatnosti koji po njemu nazivamo Bayesov teorem ili češće Bayesova formula. Kako bi uveli Bayesovu formulu potrebno je napraviti dekompoziciju prostora elementarnih događaja $\mathrm{\Omega }$ na skup nepraznih, disjunktnih događaja $\mathscr{H}=\{H{}_i:i\in I\subseteq \mathbb{N}\}\subseteq ℱ$ (pri čemu je $ℱ$ uobičajena oznaka za $\sigma$–algebru na $\mathrm{\Omega }$, a njezine elemente nazivamo događaji) takvih da je $\mathrm{\Omega }=\cup {}_{i\in I}H{}_i$. Familiju $\mathscr{H}$ tada nazivamo potpun sustav događaja, a događaje $H{}_i$, $i\in I\subseteq \mathbb{N}$ hipoteze. Sada Bayesovu formulu možemo interpretirati kao vjerojatnost hipoteze ako znamo da se dogodio određeni događaj [p. 64]-[9]. Ova formula ima široku primjenu, pogotovo u medicinskoj dijagnostici (vidi npr. [p. 23]-[6], [p. 184]-[8] , [p. 65]-[9] , [str. 43]-[10]) gdje može biti korisna za određivanje uzroka bolesti, o čemu ćemo reći nešto više u zadnjem dijelu.


Prije nego što je dokazao svoj poznati teorem, Bayes se bavio pitanjem uvjetne vjerojatnosti, odnosno vjerojatnosti da se dogodio događaj $A$ ako nam je poznato da se realizirao događaj $B$, čiju je definiciju zapisao u sljedećem obliku [str. 51]-[4] Takvu vjerojatnost još označavamo s $P{}_B\left(A\right)$ i često je nazivamo uvjetna vjerojatnost od A uz uvjet B.

Uz uvjetnu vjerojatnost povezujemo i formulu potpune vjerojatnosti koja tvrdi da vjerojatnost nekog proizvoljnog događaja $A\in ℱ$ možemo računati tako da odaberemo odgovarajuću familiju $\mathscr{H}$ koja čini potpun sustav događaja, a zatim vjerojatnost danog događaja $A$ računamo kao (vidi [str. 36, Teorem 1.1]-[3])
Poznavanjem uvjetne vjerojatnosti (1) i formule potpune vjerojatnosti (2) možemo računati vjerojatnosti realizacije hipoteza iz potpunog sustava događaja uz informaciju o tome koji se događaj dogodio nakon izvođenja pokusa, odnosno pri čemu vjerojatnost događaja $A$ računamo uz pomoć formule (2). Kao što smo već spomenuli u uvodnom poglavlju, prethodnu formulu nazivamo Bayesova formula.

Račun koji uključuje Bayesovu formulu ponekad je dovoljno kompliciran za stvaranje mogućnosti pogreške ili nepravilne zamjene danih vrijednosti vjerojatnosti, stoga ćemo u nastavku opisati te koristiti i algoritamski pristup za određivanje vjerojatnosti koji je često jednostavniji, a pristupačan je i osobama koje ne poznaju zakone vjerojatnosti. U literaturi ga često možemo pronaći pod nazivom intuitivni pristup Bayesovoj formuli. Ovakav je algoritam prikladan jer se ostvaruje uz pomoć tablice, bez direktnog uvrštavanja u formulu. Naime, algoritam se temelji na ideji da na osnovi poznatih (zadanih) vjerojatnosti konstruiramo tablicu s odgovarajućim frekvencijama za svaku pojedinu mogućnost posebno. Ipak, treba uočiti da se ovakav tzv. Bayesovski pristup razlikuje od frekvencionističkog pristupa. Naime, statistička teorija se ponekad dijeli upravo na ta dva pristupa [1, 2, 12] i oni se razlikuju s obzirom na način na koji interpretiraju pojam vjerojatnosti: dok je frekvencionistička statistika poznata i kao klasična te vjerojatnost promatra kao limes relativnih frekvencija, zagovornici Bayesovske statistike smatraju da parametri statističkih modela moraju i sami biti modelirani kao slučajni. Kod Bayesovskog pristupa prije prikupljanja podataka imamo polaznu ideju o razdiobi nepoznatog parametra pri čemu se stupanj uvjerenja mijenja dolaskom novih informacija.

U literaturi često možemo naići na uputu da prilikom korištenja algoritamskog pristupa krećemo od pretpostavke da je skup jedinki koji promatramo velik, što se uobičajeno odnosi na broj veći ili jednak $10000$ [7, 8, 10, 13]. No, važno je napomenuti da rješenje ne ovisi o odabranom broju, što nije slučaj kod frekvencionističkog pristupa gdje promatrani pokus zaista moramo ponoviti veliki broj puta kako bi dobili što točniju vjerojatnost (sjetimo se najjednostavnijeg pokusa bacanja simetričnog novčića [str. 7, Primjer 1.8]-[3]). Stabilnost ovakvog algoritma ne ovisi o broju jedinki koje promatramo, već taj broj biramo u ovisnosti o tome koliko točnih znamenaka želimo dobiti prilikom aproksimacije rješenja: ako želimo dobiti $n$ točnih znamenaka za polazni skup ćemo uzeti broj $10{}^{n+1}$, što ćemo i ilustrirati na Primjeru 1. Dakle, čitatelj treba uočiti da odabrani broj jedinki nije apsolutan, nego u potpunosti ovisi o podacima s kojima raspolažemo.


Na primjerima koji slijede ilustrirat ćemo primjenu Bayesove formule, a zatim i algoritamskog pristupa Bayesovoj formuli. Kada čitatelj usporedi rješenja dobivena ovim dvama pristupima uočit će da su ona jednaka, pri čemu aproksimacija rješenja algoritamskim pristupom ovisi, kako smo već istaknuli, o izboru broja jedinki skupa kojeg promatramo.


Rješenje Bayesovom formulom. Potpun sustav događaja u ovom primjeru čine skupovi a od interesa su nam i događaji

$\bullet$

[a)] Prema podacima koje je Ana pronašla na stranicama Državnog zavoda za statistiku znamo da $59.9\%$ studenata koji su diplomirali 2014. godine čine žene, dakle pri slučajnom odabiru osobe iz oglasnika vjerojatnost da to bude žena je $P\left(\mathrm{Ž}\right)=0.599$.

$\bullet$

[b)] Kako je $P\left(\mathrm{Ž}\right)=0.599$, lako dobivamo i vjerojatnost suprotnog događaja $P\left({\mathrm{Ž}}^c\right)=1-0.599=0.401$. Nadalje, s obzirom na dodatnu informaciju da od ukupnog broja diplomiranih ženskih studenata u 2014. godini $51.7\%$ spada u dobnu skupinu od najviše $24$ godine možemo zaključiti da je $P\left(G\right|\mathrm{Ž})=0.517$, dok je prema podacima koje imamo za diplomirane studente muškog spola $P\left(G\right|{\mathrm{Ž}}^c)=0.455$. Kako familija $\{\mathrm{Ž},{\mathrm{Ž}}^c\}$ čini potpun sustav događaja, primjenom Bayesove formule (3) dobivamo $$\begin{array}{ccc}\hfill P\left(\mathrm{Ž}\right|G)=\frac{P\left(\mathrm{Ž}\right)\cdot P\left(G\right|\mathrm{Ž})}{P\left(\mathrm{Ž}\right)\cdot P\left(G\right|\mathrm{Ž})+P({\mathrm{Ž}}^c)\cdot P(G\left|{\mathrm{Ž}}^c\right)}& \hfill & \hfill \\ \hfill \\ \hfill =\frac{0.599\cdot 0.517}{0.599\cdot 0.517+0.401\cdot 0.455}& \hfill & \hfill \\ \hfill \\ \hfill =0.62926\approx 0.629.& \hfill & \hfill \end{array}$$

Kada smo u obzir uzeli uvjet da su sve osobe iz oglasnika mlađe od 27 godina, vjerojatnost da će se Ani na telefon javiti osoba ženskog spola se povećala, jer je veći broj žena nego muškaraca koji su u 2014. godini diplomirali s najviše $24$ godine.
Rješenje algoritamskim pristupom. Kao što smo naglasili u prethodnom poglavlju, najprije je potrebno odabrati određeni broj koji predstavlja broj jedinki promatranog skupa o čemu će ovisiti i točnost aproksimacije. U svrhu ilustracije tog pravila, u nastavku ćemo promotriti slučaj jedne točne znamenke, odnosno dobiveno rješenje će se u jednoj znamenci podudarati s rješenjem dobivenim Bayesovom formulom, te slučaj tri točne znamenke.
Jedna točna znamenka: Pretpostavimo najprije da je broj oglasa u kojima se nalaze informacije o instrukcijama iz matematike za državnu maturu $100$. Zatim, kako je poznato (prema statističkim podacima koje je Ana pronašla te na osnovu kojih donosi svoje zaključke) da se među studentima koji su diplomirali 2014. godine nalazi $59.9\%$ žena, slijedi da njih ima $0.599\times 100=59.9$, odnosno $59$, dok je u istoj populaciji $41$ muškarac.
Kako od ukupnog broja diplomiranih ženskih studenata u 2014. godini u dobnoj skupini od najviše $24$ godine pripada $51.7\%$ žena, onda je takvih žena u našoj populaciji $0.517\times 59=30.5$, odnosno $30$. Dakle, žena koje su 2014. godine diplomirale s više od $24$ godine ima $59-30=29$. Na isti način možemo zaključiti da je broj muškaraca koji su 2014. godine diplomirali s najviše $24$ godine jednak $19$, dok je onih koji su tada imali više od $24$ godine bilo $22$.
Radi preglednijeg zapisa, dobivene podatke možemo zapisati u obliku sljedeće tablice:


Sada iz tablice možemo iščitati odgovor na naše pitanje, odnosno možemo pronaći vjerojatnost da broj telefona koji je Ana na slučajan način odabrala iz oglasnika pripada ženskoj osobi koja je 2014. godine diplomirala s najviše $24$ godine. Naime, među $49$ osoba koje su 2014. godine diplomirale s najviše $24$ godine, nalazi se $30$ žena, pa je vjerojatnost koju tražimo jednaka $30÷49=0.612245\approx 0.612$, što se u prvoj decimali podudara s vjerojatnosti koju smo prethodno izračunali primjenom Bayesove formule.
Tri točne znamenke: Ukoliko pretpostavimo da je broj oglasa u kojima se nalaze informacije o instrukcijama iz matematike za državnu maturu $10000$, na isti način, kao u prethodno opisanom slučaju, dolazimo do sljedeće tablice:


Sada je vjerojatnost da broj telefona koji je Ana na slučajan način odabrala iz oglasnika pripada ženskoj osobi koja je 2014. godine diplomirala s najviše $24$ godine jednaka $3097÷4922=0.629$ što je upravo vjerojatnost $P\left(\mathrm{Ž}\right|G)$ koju smo prethodno izračunali primjenom Bayesove formule. $△$



Rješenje Bayesovom formulom.
Možemo uočiti da potpun sustav događaja čine sljedeća tri skupa: Također, zanimaju nas i događaji

a)

Ana je zbirku naručila slučajnim odabirom (nije gledala tko je izdavač) te je vjerojatnost da je ona izdana od strane prvog izdavača jednaka $0.8$, jer prvi izdavač štampa $80\%$ zbirki iz kojih budući studenti vježbaju.

b)

Kada je Ana saznala da je zbirka došla bez rješenja, koristeći tu dodatnu informaciju krenula je opet izračunati vjerojatnost da ona dolazi od prvog izdavača, odnosno vjerojatnost $P\left(H{}_1\right|N)$, za što su joj trebali i sljedeći podaci koje je najprije zapisala iz podataka koje zna: $$\begin{array}{cc}\hfill P\left(H{}_1\right)& =0.80 \mathrm{(jer\; prvi\; izdavač\; štampa} 80\% \mathrm{zbirki)},\hfill \\ \hfill P\left(H{}_2\right)& =0.15 \mathrm{(jer\; drugi\; izdavač\; štampa} 15\% \mathrm{zbirki)},\hfill \\ \hfill P\left(H{}_3\right)& =0.05 \mathrm{(jer\; treći\; izdavač\; štampa} 5\% \mathrm{zbirki)},\hfill \\ \hfill \end{array}$$ $$\begin{array}{cc}\hfill P\left(N\right|H{}_1)& =0.04 \mathrm{(jer} 4\% \mathrm{zbirki\; bez\; rješenja\; dolazi\; od\; prvog\; izdavača)},\hfill \\ \hfill P\left(N\right|H{}_2)& =0.06 \mathrm{(jer} 6\% \mathrm{zbirki\; bez\; rješenja\; dolazi\; od\; drugog\; izdavača)},\hfill \\ \hfill P\left(N\right|H{}_3)& =0.09 \mathrm{(jer} 9\% \mathrm{zbirki\; bez\; rješenja\; dolazi\; od\; trećeg\; izdavača)}.\hfill \end{array}$$ Uvrštavanjem navedenih vrijednosti u Bayesovu formulu (3) dobivamo $$P\left(H{}_1\right|N)=\frac{0.80\cdot 0.04}{0.80\cdot 0.04+0.15\cdot 0.06+0.05\cdot 0.09}=0.703.$$

Dakle, uz dani uvjet da je zbirka došla bez rješenja, vjerojatnost da ona dolazi od prvog izdavača se smanjila jer prvi izdavač štampa najmanji postotak nepotpunih zbirki, odnosno onih koje ne sadrže rješenja.
Rješenje algoritamskim pristupom. Kao u prethodnom primjeru, koristeći ovaj pristup, pronaći ćemo vjerojatnost $P\left(H{}_1\right|N)$ uz pomoć tablice. Pretpostavimo da imamo uzorak od $10000$ zbirki koje su puštene u prodaju. Prema danim podacima imamo $8000$ zbirki koje su izdane od strane prvog izdavača među kojima je $320$ nepotpunih, odnosno štampanih bez rješenja. Dakle, imamo $7680$ potpunih zbirki od prvog izdavača. Analognim postupkom dobivamo i preostale vrijednosti koje su zapisane u sljedećoj tablici:


Zanima nas vjerojatnost da je zbirku izdao prvi izdavač pri čemu znamo da je ona Ani stigla nepotpuna, odnosno ne sadrži potrebna rješenja. S obzirom da znamo da je zbirka nepotpuna, zanima nas prvi stupac prethodne tablice gdje možemo vidjeti da od ukupno $455$ nepotpunih zbirki njih $320$ dolazi od prvog izdavača, pa je tražena vjerojatnost jednaka $320÷455\approx 0.703$. Možemo uočiti da smo isti rezultat dobili rješavanjem zadatka uz pomoć Bayesove formule. $△$



Kao što smo naveli u uvodnom dijelu, Bayesova formula se često primjenjuje u medicinskoj dijagnostici. Na primjer [str. 65]-[9], pretpostavimo da se na nekoj klinici liječe bolesnici od kojih svaki može imati jednu od bolesti $H{}_1,\dots ,H{}_n$ te da je kod slučajno odabranog bolesnika nakon pregleda ustanovljen skup od $A$ simptoma. Uz pretpostavku da se na klinici bilježe statistički podaci o broju bolesnika koji su imali bolest $H{}_i$, $i=1,\dots ,n$ možemo izračunati pripadne vjerojatnosti $P\left(H{}_i\right)$ i $P\left(A\right|H{}_i)$, $i=1,\dots ,n$ što su, redom, relativna frekvencija bolesti $H{}_i$ i relativna frekvencija utvrđivanja skupa simptoma $A$ među svim bolesnicima koji su bolovali od bolesti $H{}_i$ (relativna frekvencija je približno jednaka odgovarajućoj vjerojatnosti te k njoj teži s povećanjem uzorka koji promatramo). Ovakvi podaci nam omogućavaju primjenu Bayesove formule (ili algoritamskog pristupa) koja će nam dati odgovor na pitanje kolika je vjerojatnost da osoba ima bolest $H{}_i$ ako je kod nje ustanovljen skup simptoma $A$. Primjenu ovih pristupa u medicinskoj dijagnostici ilustrirat ćemo sljedećim primjerom [11].


Rješenje Bayesovom formulom. Ako s $A$ označimo događaj da osoba ima navedeni rijedak oblik alergije, a s $B$ događaj da je rezultat testa pozitivan, možemo zaključiti da je $P\left(B\right|A)=0.99$ i $P\left(A\right)=0.0001$. Sada, primjenom formule (2), uz dani potpun sustav događaja $\{A,A{}^c\}$ dobivamo Primjenom Bayesove formule imamo da je odnosno vjerojatnost da osoba ima alergiju, uz uvjet da će test biti pozitivan je manja od $1\%$, a razlog ovakvog zaključka je činjenica da je navedeni oblik alergije jako rijedak.

Rješenje algoritamskim pristupom. Vodeći se algoritamskim pristupom, s obzirom da nam je već poznato da u populaciji od $10000$ ljudi jedna (slučajna) osoba ima spomenutu rijetku alergiju, pretpostavimo da promatramo populaciju od $100000$ osoba. Jasno je da će tada $10$ ljudi imati navedenu alergiju od čega će u $9$ slučajeva test biti pozitivan, dok će u $999$ slučajeva test biti lažno pozitivan. Zapisivanjem svih podataka u tablicu dobivamo


Zanima nas vjerojatnost da u slučaju pozitivnog testa (što se dešava u $1008$ slučajeva) osoba zaista ima alergiju (takvih je osoba $9$) te je tražena vjerojatnost jednaka $9÷1008\approx 0.0089$, što je ponovno manje od $1\%$ kao što smo već zaključili primjenom prethodnog pristupa.
Ukoliko čitatelj pretpostavi da promatrana populacija broji $1000000$ osoba, tražena vjerojatnost će iznositi približno $0.0098$ što nas vodi do istog zaključka, no s rješenjem dobivenim Bayesovom formulom podudara se samo u prve tri znamenke. $△$


Kao što smo vidjeli u danim primjerima, Bayesova formula i algoritamski pristup Bayesovoj formuli se mogu primijeniti u raznim situacijama iz svakodnevnog života i dati nam odgovore na pitanja vezana uz vjerojatnosti neke od hipoteza koja nam je od interesa, a uz poznavanje dodatne informacije koja predstavlja vjerojatnost događaja koji se realizirao nakon izvođenja pokusa. Ipak, prilikom primjene ovih metoda u praksi moramo biti pažljivi [p. 65]-[9] jer su ponekad pored zadanih podataka koji su nam potrebni kako bi došli do određenih zaključaka, kao u Primjeru 3 kada ispitujemo vjerojatnost u medicinske svrhe, potrebne i neke dodatne netrivijalne pretpostavke. U spomenute pretpostavke ubrajamo, primjerice, veću vjerojatnost obolijevanja od određene bolesti temeljenu na nasljednom faktoru te razne čimbenike okruženja osoba koje promatramo, kao što su zagađenje zraka ili vode, i slično.