Napomena 1. Kako se u primjenama najčešće pojavljuje Eulerova diferencijalna jednadžba drugog reda,

 

raspisat ćemo detaljnije postupak rješavanja ove jednadžbe. Pretpostavimo da je $x\gt 0$ i uvedimo supstituciju $x=e^{t}$. Tada je

$$\begin{align*} Y(t)&=y(e^{t})=y(x), \\ \frac{d}{dt}Y(t)&=y'(x)e^{t}, \\ \frac{d^2}{dt^2}Y(t)&=y''(x)e^{2t}+y'(x)e^{t}=y''(x)e^{2t}+ \frac{d}{dt}Y(t), \end{align*}$$

i jednadžba (9) postaje

Karakteristični polinom jednadžbe (10) glasi

Neka su $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ nultočke karakterističnog polinoma (11). Ovisno o tipu nultočki, razlikujemo tri slučaja fundamentalnog skupa rješenja jednadžbe (10):

$\bullet$	[1)] Ako su $\lambda_{1}$ i $\lambda_{2}$ dvije različite realne nultočke polinoma (11), tada prema (8) slijedi da funkcije $Y_{1}(t)=e^{\lambda_{1} t}$ i $Y_{2}(t)=e^{\lambda_{2} t}$ čine fundamentalan skup rješenja jednadžbe (10).
$\bullet$	[2)] Ako je $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ jedna dvostruka realna nultočka polinoma (11), tada (8) implicira da funkcije $Y_{1}(t)=e^{\lambda_{1} t}$ i $Y_{2}(t)=te^{\lambda_{1} t}$ čine fundamentalan skup rješenja jednadžbe (10).
$\bullet$	[3)] Ako je $\lambda=\alpha\pm i\beta$, $\beta\neq 0$, kompleksno konjugiran par nultočki polinoma (11), tada je $$Y(t)=e^{\lambda t}=e^{\alpha t+i\beta t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\sin (\beta t))$$ jedno kompleksno rješenje jednadžbe (10) iz čega slijede dva linearno nezavisna realna rješenja $Y_{1}(t)=e^{\alpha t}\cos \left(\beta t\right)$ i $Y_{2}(t)=e^{\alpha t}\sin (\beta t)$ koja čine fundamentalan skup rješenja jednadžbe (10).

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe (10) je linearna kombinacija elemenata fundamentalanog skupa $\lbrace Y_{1}(t),\,Y_{2}(t)\rbrace$, tj. opće rješenje glasi:

$$Y(t)=c_{1} Y_{1}(t)+c_{2}Y_{2}(t),\qquad c_{1},\, c_{2}\in \mathbb{R}.$$

Vraćanjem supstitucije dobivamo opće rješenje Eulerove diferencijalne jednadžbe (9),

$$y(x)=c_{1} Y_{1}(\ln\, x)+c_{2}Y_{2}(\ln\, x),\qquad c_{1},\, c_{2}\in \mathbb{R}.$$

 

Pretpostavimo sada da je $x\in\langle -\infty, 0\rangle$. U tom slučaju $x$ se može zamijeniti sa $-x=|x|$ pa, za $\lambda\in\mathbb{C}$ , dobivamo sljedeći rezultat za rješenje homogene Eulerove diferencijalne jednadžbe [4].

Primijetimo da, ukoliko je $x\in\langle 0,\infty\rangle$, u slučaju Eulerove diferencijalne jednadžbe drugog reda, fundamentalni skup rješenja iz gornjeg teorema podudara se sa fundamentalnim skupom dobivenim u Napomeni 1. Zaista, ukoliko je, primjerice, $\lambda$ nultočka karakterističnog polinoma jednadžbe (10) kratnosti $m=2$, tada prema Napomeni 1 funkcije $y_{1}(x)=Y_{1}(\ln x)=x^{\lambda}$ i $y_{2}(x)=Y_{2}(\ln x)=x^{\lambda}\ln x$ čine fundamentalni skup rješenja jednadžbe (9), a to su upravo funkcije oblika (13) iz Teorema 2.1.

 

Nerijetko je u primjenama potrebno promatrati ponašanje rješenja određene diferencijalne jednadžbe u okolini singularnih točaka što može biti vrlo složen zadatak, u ovisnosti o prirodi singularnih točaka. Rješenja diferencijalne jednadžbe u okolini ovih točaka često postanu vrlo velika ili pak jako brzo osciliraju pa u nekim slučajevima jednadžbu nije moguće riješiti u okolini singularne točke. Kao što smo već ranije napomenuli, mnoge jednadžbe koje se pojavljuju u primjenama su jednadžbe drugog reda, tako da ćemo se u ovom poglavlju fokusirati na singularne točke diferencijalnih jednadžbi drugog reda, a posebno na singularne točke Eulerove diferencijalne jednadžbe.


Prisjetimo se da je funkcija $f:I\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ je analitička u $x_{0}\in I$ ukoliko se može prikazati u obliku reda potencija

 

oko točke $x_{0}$ na nekom krugu $K(x_{0},R)$, gdje je $R\gt 0$ polumjer konvergencije reda potencija (15). Prema tome, funkcije $\displaystyle\frac{q(x)}{p(x)}$ i $\displaystyle\frac{r(x)}{p(x)}$ će biti analitičke u svim točkama, osim u onim za koje je $p(x)=0$. Takve točke su upravo singularne točke diferencijalne jednadžbe (14).

U slučaju regularne singularne točke, diferencijalna jednadžba se može transformirati u jednadžbu s regularnim ponašanjem, točnije, rješenje diferencijalne jednadžbe u regularnoj singularnoj točki može se prikazati kao red potencija s konačnim polumjerom konvergencije. S druge strane, ako diferencijalna jednadžba ima iregularnu singularnu točku, rješenje jednadžbe u toj točki ne može se izraziti kao red potencija, nego može uključivati i neke posebne ili neelementarne funkcije. U sljedećem primjeru odredit ćemo singularne točke Eulerove diferencijalne jednadžbe drugog reda.

 

Ukoliko je točka $x_{0}$ regularna singularna točka diferencijalne jednadžbe (14), onda njena rješenja općenito nisu definirana u točki $x_{0}$. Međutim, diferencijalna jednadžba (14) ima dva linearno nezavisna rješenja na kružnom vijencu $K(x_{0};0,R)$, $R\gt 0$ pa je moguće (barem aproksimativno) odrediti rješenje jednadžbe u okolini svake regularne singularne točke. Za pronalazak rješenja koristit ćemo tzv. Frobeniusovu metodu koja kaže da jednadžba (14) uvijek ima barem jedno rješenje oblika

 

$$y(x)= x^{r} \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}|x-x_{0}|^{n},$$

za pogodno odabrani $r$ i $A_{0}\neq 0$, koje konvergira na otvorenom kružnom vijencu $K(x_{0};0,R)$, za neki $R\gt 0$. Ovakvo rješenje nazivamo Frobeniusovim rješenjem.

U nastavku ćemo pretpostaviti da je $p(x)=a_{2}x^{2}$, $q(x)=a_{1}x$, i $r(x)=a_{0}$, tj. rješavat ćemo Eulerovu diferencijalnu jednadžbu

u okolini svoje regularne singularne točke $x_{0}=0$. Bez smanjenja općenitosti, promatrat ćemo rješenja definirana na $\langle 0,\infty \rangle$, tj. pretpostavit ćemo da je $x\gt 0$. Slučaj $x\lt 0$ je analogan, uz male modifikacije, slično kao u prethodnom poglavlju. Neka je

Frobeniuosovo rješenje jednadžbe (17) koje konvergira na kružnom vijencu $K(0;0,R)$. Red (18) možemo derivirati član po član pa uvrštavanjem u jednadžbu (17) dobivamo

Da bi gornja jednadžba bila zadovoljena, koeficijent uz svaku potenciju od $x$ mora biti jednak nuli. Kako je po pretpostavci $A_{0}\neq 0$, a koeficijent uz $x^{\lambda}$

$$(a_{2}\lambda(\lambda-1)+a_{1}\lambda+a_{0})A_{0}=0,$$

to slijedi

Primijetimo da je polinom $P(\lambda)$ karakteristični polinom pridružen diferencijalnoj jednadžbi (17). Prema tome, ukoliko sa $\lambda_{1}$ i $\lambda_{2}$ označimo korijene karakterističnog polinoma (20), i dodatno pretpostavimo da je $\text{Re}(\lambda_{1})\geq \text{Re}(\lambda_{2})$, tada je jedno Frobeniusovo rješenje diferencijalne jednadžbe (17) oblika

pri čemu gornji red konvergira na kružnom vijencu $K(0;0,R)$, za neki $R\gt 0$. Za pronalazak fundamentalnog rješenja, potrebno je odrediti još jedno rješenje jednadžbe (17) koje je linearno nezavisno sa rješenjem (21). Njega dobivamo na sljedeći način [3, 5].
1) Ako $\lambda_{1}-\lambda_{2} \notin \mathbb{N}_{0}$, onda je s

$$\begin{align*} y_{2}(x)= x^{\lambda_{2}}\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}x^{n} \end{align*}$$

definirano Frobeniusovo rješenje diferencijalne jednadžbe (17) koje je linearno nezavisno s rješenjem (21).
2) Ako je $\lambda_{1}=\lambda_{2}$, onda je

$$\begin{align*} y_{2}(x)= y_{1}(x)\ln x+x^{\lambda_{2}}\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}x^{n}, \end{align*}$$

za $y_{1}$ oblika (21), drugo Frobeniusovo rješenje diferencijalne jednadžbe (17) i ta dva rješenja su linearno nezavisna.
3) Ako je $\lambda_{1}=\lambda_{2}+m$, $m\in\mathbb{N}$, onda, za rješenje $y_{1}$ oblika (21), slijedi da je

$$\begin{align*} y_{2}(x)= Cy_{1}(x)\ln x+x^{\lambda_{2}}\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}x^{n}, \quad C\in\mathbb{R} \end{align*}$$

još jedno Frobeniusovo rješenje diferencijalne jednadžbe (17) koje je linearno nezavisno s rješenjem $y_{1}$.

Koeficijente $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ te konstantu $C$ iz gornjih rješenja određujemo uvrštavanjem Frobeniusovih rješenja $y_{1}$ i $y_{2}$ u diferencijalnu jednadžbu (17). Time smo pronašli fundamentalan skup Frobeniusovih rješenja $\lbrace y_{1},\,y_{2}\rbrace$ diferencijalne jednadžbe (17).

Napomenimo i da jednadžbe oblika

 

za neki $a\in\mathbb{R}$, pripadaju Eulerovim diferencijalnim jednadžbama, s regularnom singularnom točkom $x_{0}=a$. Ove jednadžbe rješavamo supstitucijom $t=x-a$, čime se jednadžba (23) svodi na (17).

Eulerova diferencijalna jednadžba prirodno se pojavljuje prilikom promatranja mnoštva fizikalnih pojava, a posebice u području elektrostatike i mehaničke otpornosti materijala. U sljedećih nekoliko primjera objasnit ćemo fizikalne probleme u kojima se pojavljuje ova jednadžba, a potom riješiti navedene probleme [2, 6, 7].

 

U mehanici se često promatraju štapovi promjenjivog poprečnog presjeka, a jedan takav štap prikazan je na Slici 1. Promjena poprečnog presjeka ovog štapa duljine $l$ ovisi o udaljenosti središta promatranog presjeka štapa od ishodišta, a dana je formulom

 

pri čemu je $S_{0}$ površina poprečnog presjeka štapa u točki $x=0$, a $d\gt 0$ fiksan.

Ukoliko je uz zadanu vanjsku toplinu $f(x)$ štap u vezi s regulatorom koji na svakom presjeku odvodi iz štapa količinu topline proporcionalne temperaturi $u(x)$ na tom mjestu, onda je prisutan i linijski fluks s gustoćom $-b(x)u(x)$, za $b(x)\geq0$, i jednadžba stacionarnog provođenja topline glasi

pri čemu je $\kappa \gt 0$ koeficijent provođenja materijala od kojeg je štap napravljen. Ako pretpostavimo da je $f(x)=0$ i $b(x)= b$, jednadžba (25), uz supstituciju $t=1+\dfrac{x}{d},$ postaje

gdje je $U(t)=U\left(1+\frac{x}{d}\right)=u(x)$. Jednadžba (26) je upravo Eulerova diferencijalna jednadžba drugog reda (9) s koeficijentima

$$a_{2}= \kappa S_{0}\dfrac{1}{d^{2}},\, a_{1}=\kappa S_{0}\dfrac{2}{d^{2}},\, a_{0}=-b.$$

Karakteristični polinom jednadžbe (26) glasi

$$\begin{align*} \kappa S_{0}\dfrac{1}{d^{2}}\lambda^{2}+\kappa S_{0}\dfrac{1}{d^{2}}\lambda-b=0, \end{align*}$$

a njegove nultočke su

$$\lambda_{1,2}=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{d}{2\kappa S_{0}}\sqrt{\kappa^{2}S_{0}^{2}\dfrac{1}{d^{2}}+4\kappa S_{0} b}.$$

Radi lakšeg zapisa rješenja, koristimo notaciju

$$\begin{align*} D&=\kappa^{2}S_{0}^{2}\dfrac{1}{d^{2}}+4\kappa S_{0} b, \\ p_{1}&=1- \dfrac{d\sqrt{D}}{\kappa S_{0}}, \\ p_{2}&=1+ \dfrac{d\sqrt{D}}{\kappa S_{0}}. \end{align*}$$

Kako je $D\gt 0$ i $t\gt 0$, prema Teoremu 11, fundamentalni sustav rješenja jednadžbe (26) čine funkcije

$$\begin{align*} U_{1}(t)=t^{\lambda_{1} }&=t^{-\frac{p_{1}}{2}}, \\ U_{2}(t)=t^{\lambda_{2} }&=t^{-\frac{p_{2}}{2}}. \end{align*}$$

Stoga je temperatura u svakoj točki promatranog štapa opisana funkcijom

$$u(x)=C_{1}\left(1+\dfrac{x}{d} \right)^{-\frac{p_{1}}{2}}+C_{2}\left(1+\dfrac{x}{d} \right)^{-\frac{p_{2}}{2}},\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb{R} .$$

Dodatno, ako pretpostavimo da je lijevi kraj štapa toplinski izoliran, a na desnom kraju štapa se održava temperatura od $1$ stupanj, tj. $u'(0)=0$ i $u(l)=1$, onda su konstante $C_{1}$ i $C_{2}$ jednake

$$\begin{align*} C_{1}&=-\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\left(-\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\left( 1+ \dfrac{l}{d}\right)^{-\frac{p_{1}}{2}}+\left( 1+ \dfrac{l}{d}\right)^{-\frac{p_{2}}{2}}\right)^{-1}, \\ C_{2}&=\left(-\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\left( 1+ \dfrac{l}{d}\right)^{-\frac{p_{1}}{2}}+\left( 1+ \dfrac{l}{d}\right)^{-\frac{p_{2}}{2}}\right)^{-1}. \end{align*}$$

 

Električni potencijal $\varPhi$ je skalarna fizikalna veličina koja opisuje potencijalnu energiju električki nabijene čestice u statičkom električnom polju. Možemo ga odrediti koristeći Gaussov zakon, zapisan u obliku Poissonove jednadžbe,

 

gdje je $\rho$ volumna raspodjela naboja, a $\varepsilon_{0}$ dielektrična konstanta vakuuma. Neka je dana vodljiva nabijena sfera polumjera $R$ čiji je električni potencijal potrebno odrediti na udaljenosti $r$ od površine sfere. Pretpostavimo da se sve točke na površini sfere nalaze na istom potencijalu $V_{s}$, tj. naboj je simetrično raspoređen. Dodatno, pretpostavimo da se sfera nalazi u velikom mediju bez naboja (što implicira da je $\rho=0$) te da je električni potencijal u beskonačnosti, $\varPhi(\infty)$, jednak nuli.

Kako je naboj simetrično raspoređen, potencijal ovisi isključivo o udaljenosti od površine sfere pa zapisom Laplaceovog diferencijalnog operatora u sfernim koordinatama jednadžba (27) se svodi na jednadžbu

$$\begin{align*} \left[\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{d r}\left( r^{2} \dfrac{d}{d r} \right)\right] \varPhi(r)=0. \end{align*}$$

Sređivanjem gornje jednadžbe dobivamo Eulerovu diferencijalnu jednadžbu drugog reda,

Karakteristični polinom gornje jednadžbe je

$$\begin{align*} P(\lambda)=\lambda^{2}+\lambda, \end{align*}$$

a njegove nultočke su $\lambda_{1}=0$ i $\lambda_{2}=-1.$ Kako je $r\gt 0$, to je, prema Teorema 11, fundamentalni skup rješenja jednadžbe (28) jednak $\left\lbrace 1,\dfrac{1}{r}\right\rbrace$, dok je opće rješenje jednadžbe dano s

$$\begin{align*} \varPhi(r)=C_{1}+C_{2}\dfrac{1}{r},\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb{R}. \end{align*}$$

Iz pretpostavke da je potencijal u beskonačnosti jednak nuli slijedi

$$\varPhi(\infty)=\lim_{r \to \infty}\left(C_{1}+C_{2}\dfrac{1}{r}\right)=C_{1}=0,$$

a kako je površina sfere potencijala $V_{s}$, to je

$$\varPhi(R)=C_{2}\dfrac{1}{R}=V_{s}.$$

Dakle, $C_{1}=0$ i $C_{2}=V_{s}R$, pa je električni potencijal nabijene vodljive sfere dan formulom

$$\varPhi(r)=V_{s}R\dfrac{1}{r}.$$

 

Promotrimo problem određivanja radijalnog pomaka $u$ homogenog diska konstantnog poprečnog presjeka u obliku kružnog vijenca. Pretpostavimo da na disk djelujemo kontinuiranim i radijalno jednoliko raspoređenim opterećenjem $p$ tako da za radijalno naprezanje $\sigma_{r}$ vrijedi $\sigma_{r}(a)=-p$ i $\sigma_{r}(b)=0$, gdje su $a$ i $b=2a$ polumjeri kružnog vijenca. Dodatno, pretpostavimo da je kutna brzina diska jednaka nuli.

 

Jednadžba ravnoteže dana je sa

$$\dfrac{d}{dr}[h(r)r\sigma_{r}]-h(r)\sigma_{\varphi}+h(r)\rho(r)\omega^{2}r^{2}=0,$$

pri čemu su $\sigma_{r}$ i $\sigma_{\varphi}$ radijalno i kružno naprezanje, $h$ debljina diska, $\rho$ gustoća materijala diska, a $\omega$ kutna brzina diska oko uzdužne osi diska. Kako je disk homogen, konstantnog poprečnog presjeka, te je kutna brzina $\omega$ jednaka nuli, gornja jednadžba postaje

Nadalje, za radijalno i kružno naprezanje vrijede sljedeći zakoni ponašanja:

gdje je $E$ Youngeov modul elastičnosti materijala, a $\nu$ Poissonov koeficijent koji ovisi o vrsti materijala. Uvrštavanjem zakona ponašanja u jednadžbu (29) dobivamo

što je upravo homogena Eulerova diferencijalna jednadžba drugog reda. Pripadni karakteristični polinom glasi $P(\lambda)=\lambda^{2}-1$, a nultočke su mu $\lambda_{1}=1,$ i $\lambda_{2}=-1.$ Prema Teoremu 11, rješenje jednadžbe (31) dano je s

$$\begin{align*} u(r)=C_{1}u_{1}(r)+C_{2}u_{2}(r)&=C_{1}r+C_{2}\dfrac{1}{r},\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb{R}. \end{align*}$$

Konstante $C_{1}$ i $C_{2}$ lako dobivamo iz zakona ponašanja (30) i uvjeta $\sigma_{r}(a)=-p$ i $\sigma_{r}(b)=0$, i vrijedi

$$C_{1}=\dfrac{(1-\nu)pa^{2}}{(b^{2}-a^{2})E},\,\, C_{2}=\dfrac{(1+\nu)pa^{2}b^{2}}{(b^{2}-a^{2})E}.$$

Stoga je radijalni pomak diska dan formulom

$$\begin{align*} u(r)&=\dfrac{(1-\nu)pa^{2}}{(b^{2}-a^{2})E}r+\dfrac{(1+\nu)pa^{2}b^{2}}{(b^{2}-a^{2})E}\dfrac{1}{r}. \end{align*}$$

 

Za kraj, pronađimo kritičnu silu prilikom izvijanja konzole (štap rešetkaste strukture, eng. cantilever) promjenjivog momenta tromosti $I_{x}=I_{0}x^{2}a^{-2}$ opterećene silom $P$ kao na Slici 4.

 

Kritična sila je granična vrijednost tlačne sile kod koje dolazi do gubitka stabilnosti ravnoteže, a za konzolu vrijedi

$$P_{kr}=\dfrac{\pi^{2}EI_{0}}{l_{b}^{2}},$$

pri čemu je $E$ Youngeov modul elastičnosti materijala konzole, a $l_{b}$ dužina izvijanja štapa. Prilikom promatranja izvijanja, zamišljenu krivulju koja uzdužno prolazi kroz štap i prati deformaciju štapa uzrokovanu tlačnom silom nazivat ćemo elastična krivulja. U slučaju konzole, diferencijalna jednadžba elastične krivulje dana je sa

$$\begin{align*} EI_{x}\dfrac{d^{2}w}{d x^{2}}+Pw=0, \end{align*}$$

gdje je $w$ progib konzole. Jedan kraj konzole je učvršen, a drugi slobodan pa su početni uvjeti $w(a)=0$ i $\dfrac{dw}{dx}(a+l)=0$. Uzimajući u obzir izraz za $I_{x}$, diferencijalna jednadžba glasi

što je Eulerova diferencijalna jednadžba drugog reda. Nultočke karakterističnog polinoma $P(\lambda)=\lambda^{2}-\lambda+\dfrac{Pa^{2}}{EI_{0}}$ jednadžbe (32) su

$$\lambda_{1,2}=\dfrac{1}{2}\pm i\sqrt{\dfrac{Pa^{2}}{EI_{0}}-\dfrac{1}{4}}.$$

Radi lakšeg zapisa rješenja, koristimo notaciju $B=\sqrt{\dfrac{Pa^{2}}{EI_{0}}-\dfrac{1}{4}}.$ Primjenom Teorema 11, opće rješenje jednadžbe (32) glasi

$$\begin{align*} w(x)=C_{1}\sqrt{x}\cos(B\ln x)+C_{2}\sqrt{x}\sin(B \ln x),\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb{R}. \end{align*}$$

Može se pokazati da prethodno rješenje ima ekvivalentni zapis oblika

$$\begin{align*} w(x)&=C_{1}\sqrt{\dfrac{x}{a}}\cos\left(B\ln \dfrac{x}{a}\right)+C_{2}\sqrt{\dfrac{x}{a}}\sin\left(B \ln \dfrac{x}{a}\right),\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb{R}, \end{align*}$$

koji ćemo iskoristiti kako bismo odredili kritičnu silu. Iz uvjeta $w(a)=0$ slijedi $C_{1}=0$, dok iz uvjeta $w'(a+l)=0$ dobivamo

$$\tan\left(B\ln\left(\dfrac{a+l}{a}\right)\right)C_{2}+2BC_{2}=0.$$

Kako ne želimo trivijalno rješenje $w=0$, smatramo da je $C_{2}\neq0$ pa je

$$\tan\left(B\ln\left(\dfrac{a+l}{a}\right)\right)+2B=0.$$

Ukoliko poznajemo vrijednosti $l$ i $a$, numeričkim metodama možemo odrediti minimalni $B$ što ćemo označiti sa $B_{kr}$. Tada je

$$\dfrac{EI_{0}}{a^{2}}\left(B_{kr}^{2}+\dfrac{1}{4}\right)= \dfrac{EI_{0}}{a^{2}}\left(\dfrac{P_{kr}a^{2}}{EI_{0}}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)=P_{kr},$$

čime smo odredili kritičnu silu prilikom izvijanja promatrane konzole.
{8}