Ključni pojmovi: vjerojatnost, statistika, Maxima, besplatni računalni program

U prvom semestru Politehničkog diplomskog specijalističkog stručnog studija graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu izvodi se predmet Vjerojatnost i statistika. Cilj tog predmeta je upoznati studente s osnovnim pojmovima vjerojatnosti i metodama za statističku obradu podataka. Fond sati tog predmeta je 15+13+2, od čega je 15 sati predviđeno za predavanja, 13 sati za auditorne vježbe, a 2 sata za laboratorijske vježbe koje se održavaju u računalnom laboratoriju. Teme predviđene nastavnim planom i programom odnose se na: klasičnu definiciju vjerojatnosti, operacije među događajima, uvjetnu i totalnu vjerojatnost, diskretne i kontinuirane slučajne varijable, statističku populaciju i slučajni uzorak, grafičko prikazivanje statističkih podataka, procjenitelje, intervalnu procjenu očekivanja i varijance te testiranje hipoteza. Do ove akademske godine u sklopu laboratorijskih vježbi zadaci su se rješavali pomoću MS Excela. Međutim, kako se od akademske godine 2015./2016. u sklopu predmeta Računarstvo u graditeljstvu, koji se izvodi u prvom semestru preddiplomskog stručnog studija graditeljstva, obrađuje program Maxima, ove akademske godine umjesto MS Excela koristili smo program Maxima. Osim na predmetu Vjerojatnost i statistika Maximu koristimo i u sklopu ostalih matematičkih predmeta koji se izvode na studijima graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, o čemu smo pisali u [1].

Računalni program Maxima, besplatni je program koji se može preuzeti na web adresi http://maxima.sourceforge.net/. Općenito, program je pogodan za različite algebarske operacije sa simboličkim i numeričkim izrazima, kao što su deriviranje, integriranje, razvoj u Taylorov red, Laplaceova transformacija, sustavi linearnih jednadžbi, vektori, matrice, statistika itd.

U ovom članku prikazano je kako se pomoću programa Maxima mogu riješiti neki od zadataka koji se obrađuju u sklopu nastave predmeta Vjerojatnost i statistika.

U ovom dijelu rada dan je pregled i opis onih funkcija programa Maxima, koje koristimo u sklopu nastave predmeta Vjerojatnost i statistika. To su funkcije iz paketa descriptive, distrib i stats.

Paket descriptive sadrži funkcije deskriptivne statistike i funkcije za grafički prikaz podataka. Sljedeće funkcije samo su neke od dostupnih funkcija ovog paketa. Njihov argument x može biti lista ili matrica.

$\bullet$	Funkcija mean(x) računa uzoračku aritmetičku sredinu.
$\bullet$	Funkcija var(x) računa uzoračku varijancu.
$\bullet$	Funkcija var1(x) računa korigiranu uzoračku varijancu.
$\bullet$	Funkcija std(x) računa uzoračku standardnu devijaciju.
$\bullet$	Funkcija std1(x) računa korigiranu standardnu devijaciju.
$\bullet$	Funkcija histogram(x, opcije) koristi se za izradu histograma.

Paket distrib sadrži funkcije za izračun vjerojatnosti diskretnih i kontinuiranih univarijatnih modela. Dalje su opisane one funkcije koje se odnose na slučajne varijable s normalnom odnosno binomnom razdiobom.

$\bullet$

Za slučajnu varijablu s normalnom razdiobom $N\left(m, s\right)$ funkcija: $-$ pdf_normal(x,m,s) za podatak x računa vrijednost funkcije gustoće vjerojatnosti, $-$ cdf_normal(x,m,s) za podatak x računa vrijednost funkcije razdiobe vjerojatnosti, $-$ mean_normal(m,s) računa vrijednost očekivanja, $-$ var_normal(m,s) računa vrijednost varijance, $-$ std_normal(m,s) računa vrijednost standardne devijacije.

$\bullet$

Za slučajnu varijablu s binomnom razdiobom $B\left(n, p\right)$ funkcija: $-$ pdf_binomial(x,n,p) za podatak x računa vrijednost funkcije vjerojatnosti, $-$ cdf_binomial(x,n,p) za podatak x računa vrijednost funkcije razdiobe, $-$ mean_binomial(n,p) računa vrijednost očekivanja, $-$ var_binomial(n,p) računa vrijednost varijance, $-$ std_binomial(n,p) računa vrijednost standardne devijacije.

Paket stats sadrži funkcije za izvođenje zaključaka o populaciji na temelju svojstava uzorka.

$\bullet$

Funkcija test_mean(x,opcije) koristi se za testiranje hipoteza i određivanje intervala povjerenja za očekivanje s poznatom ili nepoznatom varijancom. Argument x može biti lista ili stupac matrice, a odnosi se na jednodimenzionalni slučajni uzorak normalno distribuirane slučajne varijable, dok se pod opcijama mogu unijeti sljedeći podaci: $-$ 'mean poprima vrijednost očekivanja koju se želi provjeriti. $-$ 'alternative odnosi se na alternativnu hipotezu $H_{1}$ i mogu se pridodati vrijednosti 'twosided, 'greater i 'less. $-$ 'dev poprima vrijednost 'unknown ili pozitivan realan broj, ovisno je li varijanca (standardna devijacija) uzorka poznata ili nepoznata. $-$ 'conflevel je razina pouzdanosti za interval povjerenja. Poprima vrijednosti iz intervala $\left[0,1\right]$. Ako se vrijednost razine pouzdanosti ne unese podrazumijeva se da iznosi 0.95. Izlaz funkcije test_mean je objekt koji prikazuje sljedeće rezultate: $-$ 'mean_estimate prikazuje vrijednost uzoračke aritmetičke sredine, $-$ 'conf_level prikazuje razinu pouzdanosti definiranu od korisnika, $-$ 'conf_interval daje interval povjerenja za očekivanje normalne razdiobe, $-$ 'method prikazuje osnovne podatke o korištenoj razdiobi, $-$ 'hypotheses prikazuje vrijednosti hipoteza $H_{0}$ i $H_{1}$, $-$ 'statistic daje vrijednost test-statistike, $-$ 'distribution prikazuje podatke o razdiobi statističkog uzorka, $-$ 'p_value daje p-vrijednost testa.

$\bullet$

Funkcija test_variance(x, opcije) koristi se za testiranje hipoteza te određivanje intervala povjerenja za varijancu. Argument i opcije definiraju se isto kao i kod funkcije test_mean.

Prije zadavanja bilo koje funkcije iz navedenih paketa potrebno je učitati odgovarajući paket i to jednom od naredbi: load("descriptive")$, load("distrib")$ ili load("stats")$. Unutar jednog radnog lista paket je dovoljno učitati jednom bez obzira koliko se funkcija iz njega poziva. Više o ovim i ostalim funkcijama dostupnim u navedenim paketima može se pronaći u [2].

U ovom poglavlju dani su primjeri zadataka i njihova rješenja koji se rješavaju u sklopu auditornih ("ručnim" putem) i laboratorijskih vježbi (upotrebom računalnog programa) na predmetu Vjerojatnost i statistika. Budući da se zbog ograničena vremena na laboratorijskim vježbama ne stigne u sklopu zadataka ponavljati teorijska podloga, rješavamo iste zadatke kao i na auditornim vježbama. Na taj način ne "trošimo" vrijeme na razumijevanje teksta zadatka i postavljanje problema, već su studenti usmjereni na razumijevanje naredbi programa Maxima i interpretaciju dobivenih rezultata. Najčešći problem s kojim se susrećemo na laboratorijskim vježbama vezan je uz poznavanje sintakse programa odnosno uz ispravan unos početnih podataka i interpretaciju dobivenih rezultata.

Za slučajnu varijablu $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, slučajna varijabla sa standardnom normalnom razdiobom je $X^{*} =\frac{X-\mu}{\sigma}$, a vjerojatnost da normalno distribuirana slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednosti unutar segmenta $\left[a, b\right]$ je

Podintegralna funkcija $f^{*}(x)$ je funkciju gustoće vjerojatnosti standardne normalne razdiobe ([3]). Vrijednosti funkcija $F^{*}$ i $f^{*}(x)$ čitaju se iz odgovarajućih tablica (vidjeti tablice u [4]).
Stoga, primjenom formule 1 vjerojatnost da godišnja količina oborina bude između $235$ i $260$ je:

$$\begin{aligned} P\left(235 \leq X \leq 260 \right)&=P\left(\frac{235-250}{\sqrt{40}} \leq X^{*} \leq \frac{260-250}{\sqrt{40}} \right)=P\left(-2.37 \leq X^{*} \leq 1.58 \right)\\ &=F^{*}(1.58)-F^{*}(-2.37)=0.942947-0.008894=0.9341\,. \end{aligned}$$

U programu Maxima vrijednosti funkcije $F^{*}(x)$ mogu se izračunati, i to nešto preciznije, na sljedeći način. Najprije izračunamo vrijednosti $\frac{a-\mu}{\sigma}$ i $\frac{b-\mu}{\sigma}$ unošenjem naredbi:

$$\begin{aligned} & (235-250)/\texttt{sqrt(40)},\texttt{numer;}\\ & (260-250)/\texttt{sqrt(40)},\texttt{numer;} \end{aligned}$$

Nakon što stisnemo zajedno tipke SHIFT+ENTER Maxima će ispisati:

$$\begin{aligned} & -2.371708245126\\ & 1.58113883008\,.\\ \end{aligned}$$

Za izračun vrijednosti funkcije $F^{*}$ koristimo funkciju cdf_normal(x,m,s), gdje x odgovara vrijednosti $\frac{X-\mu}{\sigma}$, $\texttt{m}=0$ i s=1. U novi red unesemo naredbu za učitanje paketa distrib, a potom zadamo odgovarajuću naredbu.

$$\begin{aligned} & \texttt{load(distrib)}\$ \\ &\texttt{cdf_normal}(1.58113883008,0,1)-\texttt{cdf_normal}(-2.371708245126,0,1); \end{aligned}$$

Kao izlaz zadane naredbe Maxima će ispisati:

$$0.9342238180929876\,.$$

Za binomno distribuiranu slučajnu varijablu $X \sim B\left(n, p\right)$ funkcija vjerojatnosti dana je izrazom

gdje je $n$ proizvoljan prirodan broj, $k\leq n$ prirodan broj i $p$$(0\lt p\lt 1)$ realan broj ([3]).
Vjerojatnost da se pogodi cilj barem 2 puta, uključuje događaje da se cilj pogodi dva ili tri ili četiri,..., ili deset puta. U ovom slučaju jednostavnije je izračunati vjerojatnost suprotnog događaja, koji uključuje događaje da se cilj nije pogodio te da se pogodio jednom. Stoga, primjenom formule 2 tražena vjerojatnost iznosi:

$$\begin{aligned} &P\left(X\geq 2\right)=1-P\left(X=0\right)-P\left(X=1\right)=\\ &=1-{10 \choose 0}\left(\frac{57}{100}\right)^{0}\left(1-\frac{57}{100}\right)^{10}-{10 \choose 1}\left(\frac{57}{100}\right)^{1}\left(1-\frac{57}{100}\right)^{9}=0.9969\,. \end{aligned}$$

U programu Maxima ovo možemo izračunati unošenjem sljedećih naredbi:

$$\begin{aligned} & \texttt{load(distrib)}\$ \\ &1-\texttt{pdf_binomial}(0,10,57/100)-\texttt{pdf_binomial}(1,10,57/100),\texttt{numer}; \end{aligned}$$

Izlaz ove naredbe je:

$$0.9969191072888272\,.$$

Test-statistika

$$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S}\sqrt{n} \sim t(n-1)$$

ima Studentovu $t$-razdiobu s $n-1$ stupnjeva slobode. Za određivanje vrijednosti test-statistike potrebno je odrediti aritmetičku sredinu i korigiranu standardnu devijaciju:

$$\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{m}{x_{i} \cdot f_{i}}=9.9825\\ s^{2}&=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\cdot f_{i}=0.7744 \quad \Rightarrow \quad s=0.87999. \end{aligned}$$

Tada test-statistika iznosi:

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s}\sqrt{n}=\frac{9.9825-9.5}{0.87999}\sqrt{12}=1.8994\,.$$

Digresija: Vrijednosti aritmetičke sredine i standardne devijacije u programu Maxima mogu se izračunati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} & \texttt{load(descriptive)}\$ \\ & \texttt{x:}\left[ 8.65, 9.90, 9.71, 9.60, 9.61, 10.21, 11.29, 9.70, 11.24, 9.10, 11.35, 9.43\right];\\ & \texttt{mean (x);}\\ & \texttt{std1 (x);} \end{aligned}$$

Izlazi ovih naredbi su:

$$\begin{aligned} &9.9825\\ &0.8799909606973759\,.\\ \end{aligned}$$

Postavljamo hipoteze

$$\begin{cases} H_{0}:&\mu=9.5\\ H_{1}:&\mu\lt 9.5 \end{cases}$$

Za ovako postavljene hipoteze kritično područje ili područje odbacivanja hipoteze $H_{0}$ je $\left[-\infty,t_{\alpha}\right\rangle$. Vrijednost $t_{\alpha}$ odredimo iz tablice Studentove $t$-razdiobe za $n-1=11$ stupnjeva slobode (vidjeti tablicu u [4] na stranici 231.):

$$t_{\alpha}=t_{0.05}=-t_{1-0.05}=-t_{0.95}=-1.85955\,,$$

odnosno kritično područje je $\left\langle -\infty, -1.85955 \right\rangle\,.$ Kako vrijednost test-statistike $t$ ne upada u kritično područje prihvaćamo hipotezu $H_{0}$, te odbacujemo hipotezu $H_{1}$, na razini značajnosti od $5\%$. Prema tome, možemo reći da stroj ne proizvodi ploče debljine manje od propisanih 9.5 mm.

Zadatak ćemo u programu Maxima riješiti tako da ćemo prvo učitati paket stats, definirat ćemo skup podataka te potom zadati naredbu za lijevi jednostrani test. To činimo na sljedeći način:

$$\begin{aligned} &\texttt{load("stats")}\$ \\ &\texttt{x:}\left[ 8.65, 9.90, 9.71, 9.60, 9.61, 10.21, 11.29, 9.70, 11.24, 9.10, 11.35, 9.43\right];\\ &\texttt{test_{m}ean(x,'mean=9.5,'alternative='less,'conflevel=0.95);} \end{aligned}$$

Napomena: 'conflevel=0.95 je razina pouzdanosti i njegova vrijednost jednaka je $1-\alpha$.

Maxima će rezultat zadane naredbe ispisati u obliku:

$$\begin{aligned} & \texttt{MEAN TEST}\\ &\texttt{mean_estimate=9.9825}\\ &\texttt{conf_level=0.95}\\ &\texttt{conf_interval=[-inf,10.43871131438427]}\\ &\texttt{method="Exact t-test. Unknown variance."}\\ &\texttt{hypotheses="H0: mean = 9.5 , H1: mean \lt 9.5"}\\ &\texttt{statistic}=1.899370679875383\\ &\texttt{distribution}=\texttt{[student_t,11]}\\ &\texttt{p_value}=0.9579800520853199 \end{aligned}$$

Na temelju dobivenih rezultata odgovor o odbacivanju ili prihvaćanju hipoteze $H_{0}$ dajemo na temelju $p-$vrijednosti testa. Kako na auditornim vježbama, kao što je prethodno prikazano, odgovor o prihvaćanju hipoteze $H_{0}$ dajemo na temelju vrijednosti test-statistike i kritičnog područja te se pojam $p-$vrijednosti ne spominje, ovdje je potrebno studentima dodatno pojasniti što ona predstavlja.
U slučaju lijevog jednostranog $t$-testa $p$-vrijednost jednaka je $p=\mathbb{P}\left(T\leq \left.t \right|H_{0}\right)$, desnog jednostranog testa jednaka je $p=\mathbb{P}\left(T \geq \left.t \right|H_{0}\right)$, dok je kod dvostranog testa $p$-vrijednost manja od brojeva $2\cdot \mathbb{P}\left(T\leq \left.t \right|H_{0}\right)$ i $2\cdot \mathbb{P}\left(T \geq \left.t \right|H_{0}\right)$. Na temelju $p$-vrijednosti možemo dati sljedeće zaključke:

$\bullet$	ako je $p \leq \alpha$, onda se $t$ nalazi u kritičnom području, pa odbacujemo $H_{0}$ na razini značajnosti $\alpha$,
$\bullet$	ako je $p \gt \alpha$, onda se $t$ ne nalazi u kritičnom području, pa prihvaćamo $H_{0}$ na razini značajnosti $\alpha$.

U našem slučaju je $p=0.96\gt 0.05$, pa stoga hipotezu $H_{0}$ prihvaćamo na razini značajnosti od 0.05.

Interval povjerenja za očekivanje s nepoznatom varijancom i pouzdanošću $\gamma$ je

gdje je $t_{\frac{1+\gamma}{2}}$ kvantil Studentove $t$-razdiobe s $n-1$ stupnjeva slobode.
Vrijednost kvantila $t_{\frac{1+\gamma}{2}}$ odredimo iz tablice Studentove $t$-razdiobe za $n-1=11$ stupnjeva slobode (vidjeti tablicu u [4] na stranici 231.):

$$t_{\frac{1+\gamma}{2}}= t_{\frac{1+0.95}{2}}= t_{0.975}= 2.201\,.$$

Tada je interval povjerenja na temelju formule 3 jednak:

$$\left\langle 9.9825-2.201 \cdot \frac{0.87999}{\sqrt{12}}, \,\, 9.9825+2.201 \cdot \frac{0.87999}{\sqrt{12}} \right\rangle =\left\langle 9.4234,\, 10.5416\right\rangle \,.$$

U programu Maxima interval povjerenja određuje se pomoću naredbe za određivanje dvostranog $t$-testa. U novi red unesemo naredbu:

$$\texttt{test_ {m}ean(x,'mean=9.5,'alternative='twosided,'conflevel=0.95);}$$

Maxima će rezultat zadane naredbe ispisati u obliku:

$$\begin{aligned} & \texttt{MEAN TEST}\\ &\texttt{mean_estimate=9.9825}\\ &\texttt{conf_level=0.95}\\ &\texttt{conf_interval=[9.423380425654932,10.54161957434507]}\\ &\texttt{method="Exact t-test. Unknown variance."}\\ &\texttt{hypotheses="H0: mean = 9.5 , H1: mean} \neq 9.5"\\ &\texttt{statistic}=1.899370679875383\\ &\texttt{distribution}=\texttt{[student_t,11]}\\ &\texttt{p_value}=0.08403989582936022 \end{aligned}$$

Sada je u četvrtom redu ispisan interval povjerenja za očekivanje s nepoznatom varijancom s pouzdanošću od $95\%$.

Od akademske godine 2015./2016. na stručnom studiju graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu računalni program Maxima obrađuje se u sklopu predmeta Računarstvo u graditeljstvu. U posljednje tri godine pokazalo se da ga studenti s lakoćom savladavaju te da ga uspješno primjenjuju u rješavanju zadataka u sklopu ostalih matematičkih predmeta (bilo na nastavi ili samostalno u sklopu seminarskih radova). Iz tog razloga, ali i zato što imamo mali broj sati predviđen za rad na računalu iz predmeta Vjerojatnost i statistika, odlučili smo se koristiti program Maxima, a ne neki, možda, prikladniji program za statističku obradu podataka (R, SPS i sl.).

U ovom trenutku postoje prijedlozi da se broj laboratorijskih vježbi poveća. Na taj način imali bi mogućnost raditi s oba programa, Excelom (kojeg smo do ove godine koristili) i Maximom. Iako se pokazalo da program Maxima u potpunosti zadovoljava sve nastavne potrebe matematičkih predmeta, koji se izvode na studijima graditeljstva, Excel je program koji će studenti u svom budećem poslu koristiti na svakodnevnoj razini i stoga je dobro u što većoj mjeri i u što različitije svrhe koristiti ga u sklopu nastave.