Fibonacci, Tribonacci, ... i četiri konstante

M. Buzov; P.M. Gojun i N. Jakovčević Stor
 
Sažetak
Fibonaccijevi brojevi popularna su tema, o njima je puno toga napisano ([1],[3]), kako o samom nizu tako i o vezi sa zlatnim rezom, pojavljivanju u prirodi, umjetnosti, arhitekturi, ... Njihovo proširenje u vidu Tribonaccijevih brojeva manje je poznato pa ćemo u ovom radu nakon malog ,,Fibonacci” uvoda predstaviti Tribonaccijeve brojeve, njihovu vezu s Fibonaccijevim brojevima te Tribonaccijevu konstantu. Zlatni rez i Tribonaccijeva konstanta su Pisotovi brojevi. Što su Pisotovi brojevi, koji je najmanji Pisotov broj, poznat još i kao plastična konstanta te kako se u tu priču uklapaju Pellovi brojevi i konstanta zvana srebreni rez, koja je također Pisotov broj pročitajte u nastavku.

1Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez

Fibonaccijevi brojevi F_{n} definirani su rekurzivnom relacijom

(1)
F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \text{ za } n\gt 1,

uz početne uvjete F_{0}=0 \text{ i } F_{1}=1. Prvih nekoliko članova Fibonaccijevog niza je

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, \dots

Niz je dobio ime po Leonardu Pisanu Fibonacciju koji je postavio problem razmnožavanja zečeva i time formirao gornji niz.
Fibonaccijev broj F_{n}, odnosno n-ti član Fibonaccijevog niza može se odrediti Binetovom formulom:

F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right].

Nadalje, Fibonaccijevi brojevi se mogu generirati računanjem potencija matrice Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, tj. vrijedi

Q^{n} = \begin{bmatrix} F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1} \end{bmatrix}, n\geq 1.
 

Ovo su neke od poznatijih relacija koje zadovoljavaju Fibonaccijevi brojevi:

(1) F_{n+m}=F_{m} F_{n+1}+F_{m-1} F_{n} \text{ za sve } m,n\geq 1,
(2) Cassinijev identitet: F_{n+1} F_{n-1}-{F_{n}}^{2}=(-1)^{n}\text{ za } n\geq 2,
(3) Catalanov identitet: F_{n}^{2} - F_{n+r} F_{n-r} = (-1)^{n-r} F_{r}^{2}\text{ za } n\geq r\geq 1,
(4) F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1} za n\geq 0, pa slijedi da niz kvadrata Fibonaccijevih brojeva ima svojstvo da sume dva uzastopna člana redom daju Fibonaccijeve brojeve s neparnim indeksima.

Limes niza kvocijenta dva susjedna Fibonaccijeva broja je

(2)
\lim \limits_{n \to \infty} \frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},

odnosno konstanta naziva zlatni rez. Označavamo ju s

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1.61803398874\ldots.

Karakterizacija zlatnog reza, prikazana na Slici 1, je sljedeća:
Neka su dane dužina \overline{AB} i točka C na dužini takva da je omjer duljine cijele dužine \overline{AB} i duljine duljeg dijela \overline{AC} jednak omjeru duljine dužine \overline{AC} i duljine dužine \overline{BC}. Taj omjer iznosi

\displaystyle \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.


Slika 1: Zlatni rez


Zlatni rez \varphi zadovoljava identitete:

\varphi +1 = \varphi^{2}, \\ \quad \quad \varphi -1 = \varphi^{-1}.

Neki primjeri Fibonaccijevog niza i zlatnog reza u prirodi [6]:

(1) Broj ženskih pčela podijeljen s brojem muških pčela, u bilo kojoj košnici u bilo kojem trenutku jednak je \varphi.
(2) Broj latica u cvijetu dosljedno slijedi Fibonaccijev niz. Primjerice, ljiljan koji ima tri latice, ljutići koji imaju pet, cikorija 21, tratinčica 34, i tako dalje (Slika 2, [5]). Svaka latica postavlja se po zavoju omogućavajući najbolje moguće izlaganje sunčevoj svjetlosti i drugim čimbenicima.

 


Slika 2: Ljiljan, ljutić, uresnica, zvjezdan, krizantema
(3) Pravokutnik u kojem je omjer stranica a:b jednak zlatnom rezu \varphi, može rezultirati postupkom gniježđenja koji se može ponoviti u beskonačnost - i koji poprima oblik spirale. U prirodi takav oblik imaju na primjer ljuske puževa i nautilus (Slika 3, [9]).


Slika 3: Nautilus i zlatni rez

2Tribonaccijevi brojevi i konstanta

Kao što je u Fibonaccijevom nizu svaki član počevši od trećeg po redu suma prethodna dva tako je u Tribonaccijevom nizu ([14],[19]) svaki član počevši od četvrtog suma prethodna tri:

T_{n+1}=T_{n}+T_{n-1}+T_{n-2} \text{ za } n\gt 1,

gdje je T_{0}=T_{1}=1 i T_{2}=2 pa je prvih nekoliko članova niza:

1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,...

Niz je prvi put formalno opisao Agronomof 1914. godine, ali prvu nenamjernu upotrebu u podrijetlu vrsta dao je Charles R. Darwin. U primjeru koji ilustrira rast populacije slonova, oslanjao se na izračune koje je izvršio njegov sin George H. Darwin. Izraz Tribonacci predložio je Feinberg [4], 1963. godine. Analogno Binetovoj formuli za Fibonaccijeve brojeve n-ti Tribonaccijev broj možemo izračunati po formuli

T_{n}=\frac{\alpha ^{n+1}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}+\frac{\beta ^{n+1}}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )}+\frac{\gamma ^{n+1}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )},

gdje su \alpha , \text{ } \beta i \gamma korijeni polnoma x^{3}-x^{2}-x-1. Također vrijedi

(3)
T_{n}=\left[ 3\frac{\left( \frac{1}{3}\left( 19+3\sqrt{33}\right) ^{ \frac{1}{3}}+\frac{1}{3}\left( 19-3\sqrt{33}\right) ^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3 }\right) ^{n}\left( 586+102\sqrt{33}\right) ^{\frac{1}{3}}}{\left( 586+102 \sqrt{33}\right) ^{\frac{2}{3}}+4-2\left( 586+102\sqrt{33}\right) ^{\frac{1}{ 3}}}\right]

gdje je \left\lbrack \quad \right\rbrack oznaka za funkciju “najbliže cijelo”. Niz kvocijenta susjednih članova Tribonaccijevog niza konvergira, analogno kao što vrijedi i za Fibonaccijev niz (1).

\lim \limits_{n \to \infty}\frac{T_{n+1}}{T_{n}}=\psi,

gdje je

\psi=\frac{1}{3}\left(1+(19+3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}}+(19-3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}}\right)=1.83929\ldots

konstanta koja se naziva Tribonaccijeva konstanta. Primijetimo da je Tribonaccijeva konstanta dio brojnika formule (3).

3Pellovi brojevi i srebreni rez

Pellovi brojevi P_{n} i Pell Lucasovi brojevi Q_{n} ([7],[13],[16]) definirani su rekurzivnim relacijama

P_{n} = 2P_{n-1} + P_{n-2} \text{ za } n\gt 1 ,
Q_{n} =2Q_{n-1} + Q_{n-2} \text{ za } n\gt 1,

uz početne uvjete P_{0}=0 i P_{1} =1 za Pellove brojeve, odnosno Q_{0}=Q_{1}=2 za Pell Lucasove brojeve. Prvih nekoliko Pellovih brojeva je

0, 1, 2, 5, 12, 29,70,169,408,985, \dots,

a Pell Lucasovih

2 ,2, 6, 14,34 , 82, 198, 478,1154, \dots

Pellovi i Pell Lucasovi brojevi povezani su relacijom

Q_{n}=\frac{P_{2n}}{P_{n}}.

Nadalje, ovi brojevi dani su eksplicitno formulama
 

\displaystyle P_{n} = \frac{(1+\sqrt{2})^{n} - (1-\sqrt{2})^{n} }{2\sqrt{2}},



Q_{n} = (1-\sqrt{2})^{n} + (1+\sqrt{2})^{n}.

Pellovi brojevi se mogu generirati potenciranjem matrice M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, tj. vrijedi

M^{n} = \begin{bmatrix} P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1} \end{bmatrix}, n\geq 1.

Također, neka je F= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} tada je (prema [2])

FM^{n} = \begin{bmatrix} Q_{n+1}&Q_{n}\\Q_{n}&Q_{n-1} \end{bmatrix}.

Vrijedi:

(1) P_{n+1} P_{n-1} - P_{n}^{2} = (-1)^{n}, analogon Cassinijevog identiteta za Fibonaccijeve brojeve,
(2) P_{m+n} = P_{m} P_{n+1} + P_{m-1} P_{n},
(3) P_{m+n} = 2 P_{m} Q_{n} - (-1)^{n} P_{m-n},
(4) Q_{n}^{2} = 4 \big( 2 P_{n}^{2} + (-1)^{n} \big),
(5) Q_{2n} = Q_{n}^{2} - 2 (-1)^{n}.
(6) Uređena trojka
(2P_{n} P_{n + 1},\, P_{n + 1} ^{2} -P_{n} ^{2}, \,P_{2n + 1})
čini Pitagorinu trojku. Prvih nekoliko takvih trojki je
(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

Slično kao što je zlatni rez limes kvocijenta susjednih Fibonaccijevih brojeva, srebreni rez S je limes kvocijenta susjednih Pellovih brojeva, tj. vrijedi

\lim \limits_{n \to \infty} \frac{P_{n}}{P_{n-1}}= 1 + \sqrt{2}=S.

Kažemo da su dvije veličine a i b, a\geq b, u omjeru srebrenog reza (Slika 4) ako je omjer veće od te dvije veličine i manje veličine jednak omjeru zbroja manje i dvostruke veće veličine i veće veličine, tj. srebreni rez S se definira s

S = \frac{a}{b} = \frac{2a + b}{a}.

Uvođenjem supstitucije \displaystyle x=\frac{a}{b} dobiva se kvadratna jednadžba x^{2} - 2x -1=0, a jedno od njenih rješenja je S= 1 + \sqrt{2}.



Slika 4: Stranice pravokutnika su u omjeru srebrenog reza. Nadalje, ovaj prvokutnik se može podijeliti na dva kvadrata i pravokutnik čije stranice su također u omjeru srebrenog reza, [11].

4Padovanovi brojevi i plastična konstanta

Padovanovi brojevi D_{n} ([8],[15]) definirani su rekurzivnom relacijom

D_{n} = D_{n-2} + D_{n-3} \text{ za } n\gt 2 ,

uz početne uvjete D_{0}=D_{1}=D_{2}=1. Prvih nekoliko brojeva Padovanovog niza je

1, 1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12,16, \dots

Na Slici 5 prikazana je spirala jednakostraničnih trokuta čije stranice su Padovanovi brojevi.



Slika 5: Padovanova trokutasta spirala


Padovanovi brojevi mogu se generirati pomoću matrice

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

računanjem njenih pozitivnih potencija, tj. vrijedi

A^{n} = \begin{bmatrix} D_{n-5}&D_{n-3}&D_{n-4}\\D_{n-4}&D_{n-2}&D_{n-3}\\D_{n-3}&D_{n-1}&D_{n-2} \end{bmatrix}.

Analogno zlatnom rezu kod Fibonaccijevih brojeva, plastična konstanta P je limes kvocijenta susjednih Padovanovih brojeva, tj. vrijedi

\lim \limits_{n \to \infty} \frac{D_{n}}{D_{n-1}}=P,

gdje je

P=\sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}} =1.32471795 \ldots

Plastična kontanta P [18] zadovoljava identitete:

P -1 = P^{-4}, \\ \quad \quad P +1 = P^{3}.

Plastična konstanta P i zlatni rez \varphi su jedini brojevi x za koje postoje prirodni brojevi k i l takvi da vrijedi x+ 1 = x^{k} i x - 1=x^{-l}, tj. oni su takozvani morfni brojevi.

5Pisotovi brojevi

Pisotov broj [17] je pozitivni algebarski cijeli broj veći od 1 čiji svi konjugati imaju normu (strogo) manju od 1. Zovu se još i Pisot–Vijayaraghavan brojevi ili kraće PV brojevi.

Primjer 1. Zlatni rez \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\ldots je PV broj. Korijen je minimalnog polinoma x^{2} - x -1, a norma njegovog konjugata, \overline{\varphi} =\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618\ldots, je manja od 1.

Primjer 2. Tribonaccijeva konstanta \psi=1.83929... korijen je kubne jednadžbe x^{3}-x^{2}-x-1=0, a norma njenih konjuganata je približno jednaka 0.737\ldots.

Primjer 3. Srebreni rez S= 1 + \sqrt{2} je PV broj. Korijen je kvadratne jednadžbe x^{2} - 2x -1=0, a norma njegovog konjugata, \overline{\psi} =1-\sqrt{2} \approx -0.414\ldots, je manja od 1.

Primjer 4. Najmanji Pisotov broj dan je pozitivnim korijenom jednadžbe x^{3}-x-1=0, i poznat je kao plastična konstanta P, a norma njenih konjuganata je približno jednaka 0.868\ldots.

Dakle, sve četiri konstante su Pisotovi brojevi, a za njih vrijedi još:

(1) Potencije Pisotovih brojeva se približavaju cijelim brojevima. U Tablici 1 dane su vrijednosti prvih 11 potencija zlatnog reza, a na Slici 6, [10], grafički je prikazana zavisnost razlike potencija zlatnog reza i potencija plastične konstante i najbližeg cijelog broja.




n \varphi ^{n}
0 1
1 1.6180\ldots
2 2.6180\ldots
3 4.2360\ldots
4 6.8541\ldots
5 11.0901\ldots
6 17.9442\ldots
7 29.0344\ldots
8 46.9787\ldots
9 76.0131\ldots
10 122.9918\ldots
11 199.0050\ldots
Tablica 1: Potencije zlatnog reza


Slika 6: Razlika potencija zlatnog reza i najbližeg cijelog broja i razlika potencija plastične konstante i najbližeg cijelog broja.
(2) Ako je \alpha PV broj, onda su \alpha^{n}, n\in \mathbb{N} PV brojevi.


6Što još zajedničko imaju ove četiri konstante?
(1) Sve se mogu prikazati kao beskonačna ugnježđenja [12]:
\bullet \varphi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}
\bullet \frac{1}{\psi-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\ldots}}}}
\bullet \frac{S}{2} =\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\ldots}}}}
\bullet P=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\ldots}}}}
(2) Zadovoljavaju slične algebarske izraze [12], npr.:
\varphi+\frac{1}{\varphi^{2}}=2

\psi+\frac{1}{\psi^{3}}=2.

\frac{1}{\varphi}+1=\varphi

\frac{1}{P}+1=P^{2}

(1-u)^{3}=(2u)^{2} \text{ gdje je } u=\frac{\psi-1}{\psi+1}

(1-v)^{3}=(v)^{2} \text{ gdje je } u=\frac{1}{P+1}
(3) Sve četiri konstante se mogu izraziti u terminima Dedekind eta funkcije (više o tome u [12]).


 
Bibliografija
[1] http://www.britannica.com/eb/article-9034168/Fibonacci-numbers (pristupljeno lipanj, 2021.)
[2] A. Dasdemir, On the Pell, Pell-Lucas and Modified Pell Numbers By Matrix Method, Appl. Math. Sci., 5(64), 3173 - 3181, (2011)
[3] A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, Zagreb, (1999)
[4] M. Feinberg, Fibonacci-Tribonacci, Fibonacci Quarterly 1, 71–74, (1963)
[5] https://www.nationalgeographic.org/media/golden-ratio/(pristupljeno prosinac, 2021.)
[6] https://gizmodo.com/15-uncanny-examples-of-the-golden-ratio-in-nature-59... (pristupljeno lipanj, 2021.)
[7] A. F. Horadam and J. M. Mahon, Pell and Pell-Lucas Polynomials Fi- bonacci Quart., 23(1), 7-20, (1985).
[8] B. Kovačić, L. Marohnić and R. Opačić, O Padovanovu nizu, Osječki matematički list 13, 1-19, (2013).
[9] https://http://www.fibonaccilifechart.com/blog/truth-and-myth-in-the-gol... (pristupljeno prosinac, 2021.)
[10] https://www.johndcook.com/blog/2017/03/26/plastic-powers/(pristupljeno prosinac, 2021.)
[11] https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/meet-the-metallic-me... (pristupljeno prosinac, 2021.)
[12] https://sites.google.com/site/tpiezas/0012 (pristupljeno lipanj, 2021.)
[13] https://en.wikipedia.org/wiki/Pell-number (pristupljeno rujan, 2021.)
[14] https://en.wikipedia.org/wiki/Generalizations-of-Fibonacci-numbers (pristupljeno lipanj, 2021.)
[15] https://mathworld.wolfram.com/PadovanSequence.html (pristupljeno rujan, 2021.)
[16] https://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html (pristupljeno rujan, 2021.)
[17] https://mathworld.wolfram.com/PisotNumber.html (pristupljeno listopad, 2021.)
[18] https://mathworld.wolfram.com/PlasticConstant.html (pristupljeno rujan, 2021.)
[19] https://mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html (pristupljeno lipanj, 2021.)
 

 

Share this