Kochova pahuljica

Matematički paradoksi

Kochova pahuljica

Kochova krivulja i Kochova pahuljica jedne su od prvih opisanih fraktalnih krivulja. Predstavio ju je švedski matematičar Niels Fabian Helge von Koch (1870. - 1924.) 1904. godine u radu “On a continuous curve without tangents, constructible from elementary geometry" (originalni francuski naslov: Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire).

To je jedan od najpoznatijih fraktala koji se često koristi kao reprezentativni primjer. Razlika između krivulje i pahuljice je u tome što se kod krivulje počinje s dužinom, a kod pahuljice s jednakostraničnim trokutom.

Možemo je nacrtati tako da počnemo od jednakostraničnog trokuta i rekurzivno mijenjamo svaku stranicu na sljedeći način:

  1. Podijelimo dužinu na tri dužine jednake duljine.
  2. Nacrtamo jednakostraničan trokut, tako da mu je osnovica srednja dužina dobivena u 1. koraku, a vrh gleda prema van
  3. Uklonimo dužinu koja je osnovica trokuta iz 2. koraka

U Lindenmayerovu sustavu konstrukcija izgleda ovako:

  • Početak: F + + F + + F
  • Pravilo: F → F - F + + F - F
  • Značenje:
    • F = "crtaj naprijed"
    • + = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 60°"
    • - = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 60°"

Dakle,

  • nulta iteracija: F + + F + + F
  • prva iteracija: F - F + + F - F + + F - F + + F - F + + F - F + + F - F
  • druga iteracija: F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F – F …
pahuljica

Duljina

Recimo da je duljina početne dužine 1 m. Nakon prve iteracije, duljina krivulje je 4/3 m jer imamo četiri dužine duljine 1/3 m. Nakon druge iteracije, duljina je 16/9 m. Matematičkom indukcijom lako dolazimo do opće formule L = (4/3)n, n je broj iteracija. Vidimo da duljina raste eksponencijalno te zaključujemo da duljina teži u beskonačno, ako broj iteracija teži u beskonačno.

Površina

Budući da je duljina Kochove krivulje beskonačna (odnosno, teži u beskonačno), i duljina Kochove pahuljice je beskonačna. No, njena je površina konačna.

Uzmimo da je površina osnovnog trokuta 1. Jednostavnom podjelom trokuta vidimo da će manji trokuti u sljedećoj iteraciji imati devet puta manju površinu. Površina svih triju trokuta u prvoj iteraciji tada je 1/3 površine početnog trokuta. U sljedećoj iteraciji imamo 12 trokuta ukupne površine 4/27, a površina svih trokuta u sljedećoj iteraciji jest 16/243. Uočavamo da svi navedeni članovi osim prvog tvore geometrijski niz kvocijenta 4/9, čiji je zbroj:

\frac{1}{3} + \frac{4}{27} + \frac{16}{243} + \cdots = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{9}} = \frac{3}{5}

Dodamo li još površinu početnog trokuta (koja nije dio geometrijskog niza), dobivamo ukupnu površinu \frac{8}{5} površine početnog trokuta.
 

Share this