Matematičko modeliranje i dinamika braka
Sažetak
Može li se dugovječnost braka predvidjeti matematičkim formulama? Ovaj rad istražuje stabilnost bračnih odnosa pomoću nelinearnih dinamičkih sustava i diferencijalnih jednadžbi. Analizirajući interakciju između unutrašnjeg emocionalnog balansa pojedinca i nelinearnih reakcija na partnerovo ponašanje, model uspješno objašnjava zašto neki odnosi ostaju stabilni, dok drugi naglo pucaju. Rezultati pokazuju da stabilnost odnosa ovisi o osjetljivom balansu između unutrašnje otpornosti i reaktivnosti, pri čemu nelinearnost sustava objašnjava nagle prijelaze iz stabilne faze u proces separacije.Ključne riječi: matematičko modeliranje, dinamički sustavi, stabilnost, diferencijalne jednadžbe.
1Uvod
Pitanje što točno čini jedan brak stabilnim, a drugi osuđenim na propast, stoljećima je bilo rezervirano za pjesnike, filozofe i, kasnije, psihologe. Intuicija nam govori da su ljudski odnosi previše kaotični, previše subjektivni i prožeti slobodnom voljom da bi se mogli svesti na hladne matematičke formule. Međutim, suvremena znanost sugerira da, iako su emocije individualne, obrasci interakcije između dvoje ljudi prate predvidljive dinamičke putanje.
Kada promatramo dugovječnost partnerskih odnosa, tradicionalni psihološki pristupi često se fokusiraju na statičke osobine ličnosti ili socioekonomske faktore. Ipak, ono što suštinski definira kvalitetu odnosa jest kontinuirana, vremenski ovisna razmjena afekta. Dinamički sustavi pružaju dobar matematički alat za modeliranje ovih procesa jer omogućuju prelazak s običnog opisa stanja na modeliranje promjene stanja pod utjecajem unutarnjih i vanjskih podražaja.
Ideja da se ljubav može kvantificirati započela je pionirskim istraživanjem Johna Gottmana
Razumijevanje braka kao dinamičkog sustava zahtijeva da na odnos gledamo kao na složeni stroj s povratnom spregom. Tu se oslanjamo na teoriju kooperacije
Napomenimo da ovaj rad svojim najvećim dijelom prati Poglavlje 10 izvrsne monografije K. K. Tunga
2Matematički model
Dinamika afektivne razmjene između partnera opisuje se sljedećim sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda (v.
(1)
\frac{dx}{dt} = f(x,y) = r_{1}(x_{0}-x) + I_{HW}(y)\,,
(2)
\frac{dy}{dt} = g(x,y) = r_{2}(y_{0}-y) + I_{WH}(x)\,.
Izvod ovih diferencijalnih jednadžbi temelji se na praćenju trenutačnih promjena raspoloženja. Da bismo razumjeli njihovo podrijetlo, moramo secirati interpersonalnu interakciju i analizirati promjenu kvanta afekta unutar beskonačno malog vremenskog intervala dt. Time mjerimo brzinu kojom partneri reagiraju jedno na drugo u svakom ključnom trenutku rasprave. Brzina promjene afekta pojedinca (\frac{dx}{dt} za muža i \frac{dy}{dt} za ženu) rezultat je superpozicije dviju bazičnih sila: unutrašnjeg emocionalnog balansa pojedinca (homeostaze) i vanjskog interpersonalnog utjecaja.
| \bullet | Varijable stanja x(t) i y(t): Predstavljaju trenutni kvant afekta muža i žene u trenutku t. Ove vrijednosti mogu biti pozitivne (sreća, privrženost, validacija) ili negativne (bijes, prijezir, defenzivnost). |
| \bullet |
Član homeostaze (emocionalna inercija): Promatrajmo izolirani slučaj u kojem nema utjecaja partnera (I = 0). Jednadžba za muža prelazi u \frac{dx}{dt} = r_{1}(x_{0}-x). Rješavanjem ove separabilne diferencijalne jednadžbe uz početni uvjet x(0) = x_{1} dobivamo:
(3)
x(t) = x_{0} + (x_{1} - x_{0})e^{-r_{1}t}\,.
|
| \bullet | Član interpersonalnog utjecaja: Funkcije I_{HW}(y) (utjecaj žene na muža) i I_{WH}(x) (utjecaj muža na ženu) predstavljaju nelinearni doprinos interakcije. One modeliraju kako trenutno emocionalno stanje jednog partnera trenutačno mijenja derivaciju stanja drugog partnera. |
3Matematički okvir
Da bismo proveli kvalitativnu analizu sustava u okolini ravnotežnog stanja, nužno je uvesti formalne definicije dinamičkih sustava i stabilnosti (v. npr.
Definicija 3.1. Neka je zadan autonomni sustav diferencijalnih jednadžbi oblika \dot{\textbf{X}} = \textbf{F}(\textbf{X}), gdje je \textbf{X}(t) = (x(t), y(t))^{T} \in \mathbb{R}^{2}, a \textbf{F} = (f, g)^{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} glatko vektorsko polje. Točka \textbf{X}^{*} = (x^{*}, y^{*})^{T} naziva se fiksna (ravnotežna) točka sustava ako vrijedi:
(4)
\textbf{F}(\textbf{X}^{*}) = \textbf{0} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x^{*}, y^{*}) = 0 \quad \text{i} \quad g(x^{*}, y^{*}) = 0\,.
Definicija 3.2. Fiksna točka \textbf{X}^{*} je asimptotski stabilna ako za svaki \varepsilon \gt 0 postoji \delta \gt 0 tako da svako rješenje \textbf{X}(t) s početnim uvjetom \Vert \textbf{X}(0) - \textbf{X}^{*} \Vert \lt \delta zadovoljava \Vert \textbf{X}(t) - \textbf{X}^{*} \Vert \lt \varepsilon za sve t \ge 0, te vrijedi \lim_{t \rightarrow \infty} \textbf{X}(t) = \textbf{X}^{*}.
Neka su u=x-x^{*} i v=y-y^{*} male devijacije (perturbacije) od ravnotežnog stanja. Razvojem funkcija f i g u Taylorov red oko točke (x^{*},y^{*}) i zadržavanjem samo linearnih članova, nelinearni sustav aproksimiramo linearnim sustavom u okolini fiksne točke:
(5)
\begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix}_{(x^{*},y^{*})} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\,.
Za analizu stabilnosti takvih lineariziranih sustava koristimo sljedeći temeljni rezultat:
Teorem 3.1.[Teorem o stabilnosti linearnih sustava] Neka je zadan konstantni linearni sustav \dot{Y} = A Y, te neka su \lambda_{1} i \lambda_{2} svojstvene vrijednosti matrice sustava A. Fiksna točka u ishodištu je:
| (1) | asimptotski stabilna ako i samo ako je Re(\lambda_{i}) \lt 0 za i=1,2. |
| (2) | nestabilna ako postoji barem jedna svojstvena vrijednost takva da je Re(\lambda_{i}) \gt 0. |
Definicija 3.3. U kontekstu gornjeg teorema, fiksna točka X^{*} naziva se nestabilno sedlo ako su njezine svojstvene vrijednosti realne i suprotnih predznaka, tj. \lambda_{1} \gt 0,\,\lambda_{2} \lt 0.
Napomenimo da je u Teoremu 3.1 stabilnost iskazana za fiksnu točku u ishodištu jer uvođenjem perturbacija u i v translatiramo ravnotežnu točku (x^{*}, y^{*}) nelinearnog sustava upravo u ishodište (0,0) lineariziranog prostora stanja. Inače, geometrijska reprezentacija dinamičkog ponašanja bračnog sustava provodi se u dvodimenzionalnom euklidskom prostoru stanja (faznoj ravnini), gdje koordinate u trenutku t jednoznačno definiraju emocionalno stanje obaju partnera. Stanje sustava kroz vrijeme evoluira duž neprekidnih krivulja koje nazivamo trajektorijama sustava. Analizom geometrije trajektorija i smjera njihova kretanja u okolini fiksnih točaka možemo jednoznačno utvrditi hoće li odnos asimptotski konvergirati prema stabilnom stanju ravnoteže ili će divergirati prema područjima separacije.
Matrica parcijalnih derivacija iz sustava (
(6)
J = \begin{pmatrix} -r_{1} & a_{1} \\ a_{2} & -r_{2} \end{pmatrix}\,,
(7)
\det(J-\lambda I)=0\,.
(8)
\lambda^{2} - \text{tr}(J)\lambda + \det(J) = 0\,,
(9)
\lambda_{1,2} = \frac{\text{tr}(J) \pm \sqrt{\text{tr}(J)^{2} - 4 \det(J)}}{2}\,.
Propozicija 3.1. Neka je J Jacobijeva matrica sustava (1 )-(2 ) u fiksnoj točki (x^{*}, y^{*}), uz fizikalni uvjet da su parametri emocionalne inercije strogo pozitivni tj. r_{1}, r_{2} \gt 0. Fiksna točka je asimptotski stabilna ako i samo ako vrijedi \det(J) \gt 0. Ako je \det(J) \lt 0, fiksna točka je nestabilno sedlo.
Dokaz. 1. Pretpostavimo da je \det(J) \gt 0. Iz uvjeta \det(J) = r_{1} r_{2} - a_{1}a_{2} \gt 0 slijedi r_{1} r_{2} \gt a_{1}a_{2}. Promotrimo diskriminantu D = \text{tr}(J)^{2} - 4\det(J). Ako je D \geq 0, \sqrt{D}\in\mathbb{R} te \sqrt{D}=\sqrt{\text{tr}(J)^{2} - 4\det(J)} \lt |\text{tr}(J)|. S druge strane, kako su r_{1}, r_{2} \gt 0, slijedi \text{tr}(J) = -(r_{1} + r_{2}) \lt 0. Iz (9 ) onda zaključujemo da su oba rješenja jednadžbe (8 ) nužno strogo negativni realni brojevi, tj. \lambda_{1,2} \lt 0. Ako je D \lt 0, svojstvene vrijednosti postaju konjugirano kompleksni brojevi oblika \lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i. Njihov realni dio iznosi \alpha = \frac{\text{tr}(J)}{2}, što je ponovno strogo negativno zbog \text{tr}(J) \lt 0. U oba podslučaja, realni dijelovi svojstvenih vrijednosti su strogo negativni, što dokazuje da je fiksna točka asimptotski stabilna. Budući da nijedan realni dio nije jednak nuli, točka je hiperbolična, čime je primjena Hartman-Grobmanovog teorema potpuno opravdana, a stabilnost nelinearnog sustava osigurana.
2. Pretpostavimo da je \det(J) \lt 0, tj. a_{1}a_{2} \gt r_{1} r_{2}. Kako je determinanta negativna, imamo \text{tr}(J)^{2} - 4\det(J) \gt \text{tr}(J)^{2}. Uzimanjem korijena dobivamo \sqrt{\text{tr}(J)^{2} - 4\det(J)} \gt |\text{tr}(J)| \gt 0. Prema (9 ), zaključujemo \lambda_{1} \gt 0, \lambda_{2} \lt 0. S obzirom na to da imamo realne svojstvene vrijednosti suprotnih predznaka, fiksna točka geometrijski i dinamički predstavlja nestabilno sedlo. Točka je i u ovom slučaju hiperbolična jer su realni dijelovi različiti od nule. Hartman-Grobmanov teorem nam jamči da će se u neposrednoj okolini te točke i stvarni nelinearni sustav ponašati kao sedlo, što znači da će većina putanja (odnosno bračnih interakcija) biti skrenuta na nestabilne staze koje partnere neizbježno vode prema separaciji.
2. Pretpostavimo da je \det(J) \lt 0, tj. a_{1}a_{2} \gt r_{1} r_{2}. Kako je determinanta negativna, imamo \text{tr}(J)^{2} - 4\det(J) \gt \text{tr}(J)^{2}. Uzimanjem korijena dobivamo \sqrt{\text{tr}(J)^{2} - 4\det(J)} \gt |\text{tr}(J)| \gt 0. Prema (
\ \blacksquare
4Funkcija utjecaja
Ključni element dinamike sustava je funkcija utjecaja I(z), koja modelira kako se ulazni signal afekta partnera preslikava u efektivni utjecaj na jednadžbu stanja pojedinca. Dok linearni modeli pretpostavljaju konstantnu reaktivnost, interpersonalni sustavi pokazuju izrazitu nelinearnost. Zaista, partneri ne reagiraju isto na poljubac i na uvredu.
4.1Bilinearna aproksimacija i asimetrija
Najjednostavniji način modeliranja asimetrije reaktivnosti je uvođenje bilinearne funkcije koja se lomi u ishodištu:
(10)
I(z) = \begin{cases} az, & z \gt 0 \\ bz, & z \le 0 \end{cases}\,\,\,.
4.2Saturacija i emocionalno plavljenje
Iako bilinearni model dobro opisuje asimetriju oko stacionarnog stanja, isti nije dobar za velike vrijednosti jer divergira prema beskonačnosti (I(z) \to \pm\infty kad z \to \pm\infty). U realnim sustavima kapacitet prihvaćanja informacija je ograničen, što zahtijeva uvođenje saturacije (zasićenja). U tom smislu, kada ulazni signal z poprimi ekstremne vrijednosti, funkcija I(z) asimptotski konvergira prema gornjoj i donjoj granici zasićenja:
(11)
\lim_{z \to +\infty} I(z) = I_{max}^{+} \quad \text{(maksimalna pozitiva)}\,,
(12)
\lim_{z \to -\infty} I(z) = I_{max}^{-} \quad \text{(maksimalna negativa)}\,.
U stanju ekstremne negative (z \ll 0), sustav ulazi u zonu plavljenja gdje funkcija prelazi u horizontalnu asimptotu. U tom režimu rada, daljnje povećanje negativnog inputa više nema efekta na promjenu stanja jer je dosegnut maksimalni kapacitet odgovora. Također, saturacija u pozitivnom smjeru (I_{max}^{+}) pokazuje da sustav ima prirodni limit za pozitivu: nakon određenog gornjeg platoa, daljnje pohvale više nemaju efekta i ne mogu beskonačno dizati raspoloženje.
Matematički se ovaj prijelaz modelira glatkom sigmoidnom funkcijom (v. Sliku 2). Zbog očuvanja principa asimetrije, asimptote su asimetrične u odnosu na z-os, pri čemu je |I_{max}^{-}| \gt |I_{max}^{+}|, što znači da je kapacitet negativnog utjecaja i zasićenja sustava znatno veći od pozitivnog.
5Analiza parametarskih slučajeva
Nakon uvođenja teorijskog okvira i nelinearnih funkcija utjecaja, u nastavku provodimo analizu specifičnih parametarskih režima, u rasponu od idealiziranih stabilnih i kritičnih, pa sve do duboko asimetričnih i nestabilnih odnosa.
5.1Slučaj 1: Stabilni brakovi
U sustavima gdje unutrašnja homeostatska snaga nadvladava vanjske utjecaje, parametri zadovoljavaju nejednakost r_{1}r_{2} \gt a_{1}a_{2}, što implicira \det(J)=r_{1}r_{2} - a_{1}a_{2} \gt 0. Budući da je \text{tr}(J) = -(r_{1}+r_{2}) \lt 0, fiksna točka je lokalno asimptotski stabilna. Ovisno o vrijednosti diskriminante D =\text{tr}(J)^{2} - 4\det(J)= (r_{1}-r_{2})^{2} + 4a_{1}a_{2} (v. (
| (1) |
Stabilni čvor (D \ge 0): Svojstvene vrijednosti \lambda_{1,2} su realne i strogo negativne (v. dokaz Propozicije 3.1). Opće rješenje lineariziranog sustava u okolini fiksne točke dano je linearnom kombinacijom svojstvenih vektora \textbf{v}_{1} i \textbf{v}_{2}:
(13)
\begin{pmatrix} u(t) \\ v(t) \end{pmatrix} = C_{1}e^{\lambda_{1}t}\textbf{v}_{1} + C_{2}e^{\lambda_{2}t}\textbf{v}_{2}\,.
|
| (2) | Stabilni fokus (D \lt 0): Svojstvene vrijednosti su konjugirano kompleksne, \lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta, gdje je realni dio \alpha = \frac{\text{tr}(J)}{2} \lt 0. Rješenje sadrži trigonometrijske članove \cos(\beta t) i \sin(\beta t) pomnožene s prigušujućim faktorom e^{\alpha t}. U faznoj ravnini trajektorije više ne teže izravno prema ishodištu, već formiraju konvergentnu spiralu (fokus) oko fiksne točke. Ovaj slučaj modelira znatno reaktivnije bračne odnose. Negativna diskriminanta (D \lt 0) indicira da su koeficijenti interpersonalnog utjecaja a_{i} dovoljno izraženi da privremeno nadvladaju čisto prigušenje inercije, uzrokujući fazni pomak u reakcijama. Nakon pretrpljenog stresa, partneri prolaze kroz sukcesivne, ali prigušene valove emocionalnih uspona i padova (izmjena faza relativne ugode i ponovnog laganog rasta napetosti). Ipak, budući da je amplituda oscilacija vremenski ograničena faktorom e^{\alpha t}, sustav se nakon nekoliko ciklusa nužno smiruje i stabilizira u ravnotežnom stanju. |
5.2Slučaj 2: Kritični brakovi
Kada interpersonalna reaktivnost nadvlada unutrašnje emocionalno balansiranje, tj. imamo a_{1}a_{2} \gt r_{1}r_{2}, za determinantu vrijedi \det(J) \lt 0. Karakteristična jednadžba (
(14)
\lambda_{1} = \frac{\text{tr}(J) + \sqrt{D}}{2} \gt 0, \quad \lambda_{2} = \frac{\text{tr}(J) - \sqrt{D}}{2} \lt 0
pa fiksna točka dinamički predstavlja nestabilno sedlo.
Geometrijski gledano, u faznom prostoru postoji samo jedan specifičan, iznimno uzak smjer duž kojeg trajektorije prividno putuju prema ravnotežnoj točki (pod utjecajem negativne vrijednosti \lambda_{2}). Međutim, bilo kakvo odstupanje od tog smjera, čak i najmanja vanjska smetnja, odmah aktivira pozitivnu svojstvenu vrijednost \lambda_{1}. To uzrokuje da se trajektorije naglo lome i počinju eksponencijalno ubrzavati dalje od ravnoteže.
Psihološki, ovo opisuje brakove koji se nalaze na rubu opstanka. Sustav je na pragu pucanja; dovoljna je jedna kriva riječ ili minimalna perturbacija da izbaci par s osjetljivog smjera prividne stabilnosti, nakon čega sustav neumoljivo eskalira prema separaciji.
5.3Slučaj 3: Toksični brakovi
Za razliku od prethodna dva slučaja koje su se bavile lokalnom dinamikom u okolini fiksne točke, ovaj slučaj analitički proučava kako same unutrašnje (bazne) karakteristike pojedinca x_{0} i y_{0} utječu na globalni položaj ravnotežnog stanja.
Promatramo par u stacionarnom stanju, tj. \dot{x} = 0, \dot{y} = 0. Pretpostavimo da se par nalazi u zoni negativne interakcije, pa funkcije utjecaja aproksimiramo s I_{HW}(y) = b_{1}y i I_{WH}(x) = b_{2}x, pri čemu b_{1},\,b_{2}\gt 0. Iz (
\begin{align} -r_{1}x^{*} + b_{1}y^{*} &= -r_{1}x_{0}\,, \\ b_{2}x^{*} - r_{2}y^{*} &= -r_{2}y_{0}\,. \end{align}
Primjenom Cramerovog pravila, koordinate fiksne točke eksplicitno iznose:
(15)
x^{*} = \frac{r_{1}r_{2}x_{0} + r_{2}b_{1}y_{0}}{r_{1}r_{2} - b_{1}b_{2}}\,,
(16)
y^{*} = \frac{r_{1}r_{2}y_{0} + r_{1}b_{2}x_{0}}{r_{1}r_{2} - b_{1}b_{2}}\,.
Pretpostavimo da je sustav linearno stabilan (\det(J) = r_{1}r_{2} - b_{1}b_{2} \gt 0), ali da su oba partnera opterećena bazičnom negativnošću (x_{0} \lt 0, y_{0} \lt 0). Budući da su svi parametri r_{i}, b_{i} pozitivni, brojnik u oba izraza postaje negativan. Ključni matematički efekt proizlazi iz nazivnika \det(J)=r_{1}r_{2} - b_{1}b_{2}. Budući da je 0 \lt \det(J) \lt r_{1}r_{2}, dijeljenje s brojem manjim od r_{1}r_{2} djeluje kao multiplikator.
To dokazuje da interakcija gura stabilnu fiksnu točku (x^{*}, y^{*}) znatno dublje u negativni kvadrant nego što bi iznosila sama suma njihovih izoliranih bazičnih stanja (jer x^{*} \ll x_{0} i y^{*} \ll y_{0}). Sustav asimptotski konvergira prema stabilnom, ali nesretnom i toksičnom stanju u kojem partneri kroz povratne sprege konstantno pojačavaju međusobnu anksioznost.
5.4Slučaj 4: Strategija izbjegavanja
Ovaj slučaj analizira granično ponašanje sustava kod kojeg je prisutna ekstremna asimetrija među partnerima. Promatramo situaciju u kojoj je jedan partner izrazito reaktivan na negativnost (visok koeficijent b_{2}), dok je drugi partner potpuno imun na emocionalne podražaje ili ih aktivno izbjegava, što modeliramo limesom b_{1} \to 0.
Supstitucijom b_{1} = 0 u (
(17)
J_{0} = \begin{pmatrix} -r_{1} & 0 \\ b_{2} & -r_{2} \end{pmatrix}\,.
Računanjem karakterističnog polinoma dobivamo
(18)
\det(J_{0} - \lambda I) = (-r_{1} - \lambda)(-r_{2} - \lambda) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_{1} = -r_{1}, \quad \lambda_{2} = -r_{2}\,.
Budući da su koeficijenti emocionalne inercije po definiciji pozitivni (r_{1}, r_{2} \gt 0), obje svojstvene vrijednosti su realne i negativne, neovisno o tome koliko je iznos koeficijenta reaktivnosti b_{2} drugog partnera. Sustav se ponaša kao stabilni čvor, a asimptotska stabilnost je očuvana jer je \det(J_{0}) = r_{1}r_{2} \gt 0.
Gornja analiza objašnjava opstanak parova u kojima je jedna osoba sklona dramatičnim izljevima negativnosti, dok druga strana prakticira stil izbjegavanja konflikta. Isključivanjem povratne informacije (b_{1} = 0), izbjegavanje konflikta jednog partnera onemogućuje nastanak destruktivne povratne petlje koja bi inače dovela do negativne determinante i sedlaste nestabilnosti (iz Slučaja 2). Sustav ostaje kruto stabilan u vremenu, ali uz cijenu emocionalne distance i asimetrije u odnosu.
6Zaključak
Matematičko modeliranje braka pokazuje da ljudski odnosi, iako vođeni emocijama, prate jasna i predvidljiva pravila. Formule nam otkrivaju da stabilnost nije neka statična sreća koju par ima ili nema, već dinamički proces. Sve se svodi na stalni ples između naše unutrašnje emocionalne ravnoteže i načina na koji reagiramo na partnerove poteze.
Glavni adut ovog modela je to što točno objašnjava zašto veze odjednom pucaju. Kada reaktivnost nadvlada unutrašnji balans, sustav ulazi u zonu tzv. sedla tj. nestabilne točke u kojoj i najmanja kriva riječ može pokrenuti lavinu negativnosti. Matematika nas ovdje ozbiljno upozorava: u nelinearnom svijetu, dvoje nesretnih ljudi u braku stvara atmosferu koja je daleko toksičnija od samog zbroja njihovih pojedinačnih nezadovoljstava.
Ipak, krajnja poruka je optimistična. Budući da svi po prirodi burnije reagiramo na loše nego na dobre stvari, stabilan brak traži svjestan trud. Poznati omjer 5:1 zapravo je čista fizikalna nužnost: moramo uložiti pet puta više pozitive (humora, podrške i nježnosti) da bismo neutralizirali loše trenutke. Razumijevanje gore iznesenih matematičkih parametara daje parovima alat za prepoznavanje loših komunikacijskih petlji i dugoročno upravljanje stabilnošću odnosa. O tome iz prve ruke mogu posvjedočiti i supružnici, autori ovog rada.
Bibliografija
