Vizualni i kratki dokazi - prilog kreativnoj nastavi matematike (1.dio)
Uvod
Odavna se smatra da su najljepši, najelegantniji i najuvjerljiviji dokazi u matematici oni koje možemo prikazati jednom razumljivom slikom (uz možda po koju riječ) ili nekom kratkom rečenicom/formulom. Slikovni ili vizualni dokazi se još kolokvijalno nazivaju dokazi bez riječi. Učenici, studenti, nastavnici, znanstvenici i drugi često mogu s lakoćom razumijeti upečatljive jednostavne slike i/ili kratke pričice i možda ih trajno usvojiti i zapamtiti. Uostalom, kaže se dobra slika vrijedi tisuću riječi, dobra slika pola zadatka ili kratka priča-sve jasno. S takvom slikom ili kratkim opisom dokaza možemo unaprijediti i poboljšati kretivnu nastavu matematike, konkretno pridonijeti njenom kurikularnom unaprijeđenju i učiniti nastavu dinamičnijom, zanimljivijom i zabavnijom. U ovom članku prikazat ćemo neke od takvih dokaza.
Članak posvećujemo našim dragim profesorima, prijateljima, kolegama i koautorima akademiku Sibi Mardešiću (1927.-2016.) i prof.dr.sc. Borisu Pavkoviću (1931.-2006.) ( Slika
1Pitagorin poučak
Pitagorin poučak1 jedan je od najistaknutijih, najcitiranijih i najpoznatijih poučaka u matematici uopće. Poznato je oko 400 različitih dokaza tog jednostavno veličanstvenog poučka.
\underline{\text{Dokaz 1}}. Hrvatski rečeno, u pravokutnom je trokutu četvorina (kvadrat) nad najvećom stranicom jednaka zbroju četvorina nad ostale dvije stranice (vidjeti Sliku
Odnosno formulom
(1)
\left. \begin{array}{c} a^{2}=pc \\ b^{2}=qc \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2} .
\underline{\text{Dokaz 2}}. Četvorina nad zbrojem dviju manjih stranica je četvorina nad najvećom stranicom uvećana za četiri površine tog pravokutnog trokuta (vidjeti Sliku
Odnosno formulom
(2)
P_{a+b}^{(4)}=P_{c}^{(4)}+4P_{\triangle (4)}
tj.
(3)
\left( a+b\right)^{2}=c^{2}+4\cdot \frac{ab}{2} \ \ \ \Longrightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2} .
Neka je \triangle \left(n\right) trokut s kutom \pi - \frac{2\pi}{n} ( ili \frac{2\pi}{n}), za bilo koji cijeli broj n\geq 3. Neka su stranice uz taj kut a i b, te c stranica nasuprot tome kutu. Označimo s P_{x}^{(n)} površinu pravilnog n- terokuta stranice x, a s P_{\triangle (n)} površinu takvog trokuta. Površina pravilnog n-terokuta nad zbrojem a+b stranica trokuta uz kut \pi - \frac{2\pi}{n} (ili \frac{2\pi}{n}) je površina pravilnog n-terokuta nad stranicom c trokuta uvećana za n površina tog trokuta \triangle \left(n\right)
Dakle,
(4)
P_{a+b}^{(n)}=P_{c}^{(n)}+nP_{\triangle (n)} .
Pogledajmo za n=3 i n=6 dokaz bez riječi (vidjeti Sliku
\
2Aritmetičko-geometrijska (A-G) nejednakost
Za pozitivne (realne) brojeve x, y vrijedi \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}. Jednakost vrijedi ako i samo ako je x=y. Algebarski dokaz je doslovce trivijalan
(5)
\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \left( \sqrt{x} -\sqrt{y} \right)^{2} \geq 0.
Pogledajmo naše geometrijske dokaze
Slika 4: ˝Astronomski dokaz˝
Slika 4: ˝Satelitski dokaz˝
Slika 4: Geometrijski dokazi A-G nejednakosti
Dakle, u prvom dokazu (Slika
(6)
\frac{x+y}{2}=a\geq b=\sqrt{xy},
gdje je a velika poluos, a b mala poluos i vrijedi da je a\geq b, jer je x=a-e, a y=a+e (gdje je e linearni ekscentricitet) pa stoga b^{2}=a^{2}-e^{2}=xy.
U drugom dokazu (Slika
(7)
\frac{x+y}{2}=|\overline{OS}|\geq |\overline{SH}|=\sqrt{xy} .
Opća A-G nejednakost za pozitivne brojeve x_{1},x_{2}, \ldots, x_{n} je
(8)
A=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+ x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2} \cdots x_{n}}=G.
Kombinatorni dokaz provodimo tako da tvrdnju prvo dokažemo za pozitivne cijele brojeve x_{1},x_{2}, \ldots, x_{n}.
Neka su X_{i} i Y konačni disjunktni skupovi, gdje je i=1,2, \ldots, n i vrijedi
(9)
\left| X_{i} \right|=nx_{i}\ \ \ \ \ \text{i}\ \ \ \ \left| Y \right|=nA=\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
Konstruirajmo injekciju f\colon X_{1}\times X_{2}\times \cdots \times X_{n} \to Y\times \cdots \times Y=Y^{n} čime dokazujemo da je
(10)
(nx_{1})\cdot(nx_{2})\cdots(nx_{n})\leq(nA)^{n}.
Prvo, za n=2, promatramo dva skupa S i T, pri čemo je |S|=a\lt b=|T| i neka je t_{0} \in T. Zbog a\leq b-1 postoji injekcija g\colon S\to T\setminus \lbrace t_{0}\rbrace.
Definirajmo injekciju
(11)
f\colon S\times T \to \left( S\cup \lbrace t_{0} \rbrace \right)\times \left( T \setminus \lbrace t_{0} \rbrace \right), \ \ \ f=f_{t_{0},g}
formulom
(12)
f(s,t)=(s,t) \ \ \ \ \text{za}\ \ \ \ t\ne t_{0} \ \ \ \ \text{i}\ \ \ \ f(s,t_{0})=(t_{0},g(s)) .
Ovo je, zapravo, kombinatorni dokaz nejednakosti
(13)
ab\leq (a+1)(b-1).
Ako su svi x_{i} jednaki u
(14)
f_{z_{1},g_{1}}\colon X_{i}\times X_{j} \to \left( X_{i} \cup \lbrace z_{1}\rbrace \right)\times \left( X_{j}\setminus \lbrace z_{1} \rbrace \right)=X_{i}^{(1)}\times X_{j}^{(1)}.
Pomoću nje dobivamo injekciju
(15)
f_{1}\colon \displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}X_{k}\to \prod_{k=1}^{n} X_{k}^{(1)}
gdje je X_{k}^{(1)}=X_{k}, za k\ne i, j,
(16)
X_{i}^{(1)}=X_{i} \cup \lbrace z_{1}\rbrace , \ \ X_{j}^{(1)}=X_{j} \setminus \lbrace z_{1}\rbrace
i s novim produktom nastavimo na isti način s injekcijom
(17)
f_{2}\colon \displaystyle \prod _{k=1}^{n}X_{k}^{(1)} \to \prod _{k=1}^{n}X_{k}^{(2)}
itd. sve dok ne dostignemo m \in \mathbb{N} takav da je \left| X_{k}^{(m)} \right|=\left| Y \right| za sve 1\leq k \leq n, i bijekciju
(18)
h\colon \displaystyle \prod_{k=1}^{n}X_{k}^{(m)} \to Y^{n}.
Kompozicija funkcija
(19)
f: = h\circ f_{m}\circ \ldots \circ f_{1} \colon \displaystyle \prod_{k=1}^{n}X_{k} \to Y^{n}
tražena je injekcija.
Ukoliko su x_{1},x_{2}, \ldots,x_{n}\geq 0 bilo koji realni brojevi, onda se prethodno rezoniranje primijeni na sve 2^{n} A-G nejednakosti primijenjene na sve ˝podove˝ \lfloor \ \ \rfloor i ˝stropove˝ \lceil \ \ \rceil svih brojeva, pa zbog konveksnosti i neprekidnosti tvrdnja vrijedi i za njih.
Topološki dokaz.
(20)
\max \left\lbrace \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}\ \ \colon x_{i} \geq 0 , \ \ \sum x_{i}=S\right\rbrace
se dostiže u točki x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}=S/n. To je zbog kompaktnosti simpleksa i neprekidnosti produkta.
Stoga je
(21)
S/n\geq \sqrt[n]{x_{1}x_{2} \ldots x_{n}}\ .
Geometrijska interpretacija A-G nejednakosti je
(22)
2^{n-1} \left( x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \right) \geq n\cdot 2^{n-1} \sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2} \cdots x_{n}}.
Slika 7: Kvadar B
Slika 7: Kocka C
Slika 7: Geometrijski dokaz A-G nejednakosti
Lijeva strana ukupan je zbroj duljina bridova kvadra (kutije) tj. to je opseg (perimetar) per(B) kutije B, čiji su bridovi u jednom vrhu x_{1}, x_{2}, \ldots ,x_{n}. Desna strana je također opseg per(C) kocke C brida \sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2} \cdots x_{n}}\ (=y) istog volumena x_{1}\cdot x_{2} \cdots x_{n} kao B. Dakle, A-G nejednakost je
vol(B)=vol(C) \Longrightarrow per(B)\geq per(C)
i izriče izoperimetrijski poučak: Kocka ima među svim kvadrima istog volumena najmanji opseg (najmanje žice treba za kocku istog volumena). Promotrimo opću izoperimetrijsku nejednakost
(23)
\left( S/n \right)^{n}\geq \omega_{n} V^{n-1},
pri čemu je V=vol_{n}(K), S= vol_{n-1}(\partial K), tj. V je n-dimenzionalni volumen n-dimenzionalnog konveksnog tijela K \subset \mathbb{R}^{n} (kompaktni, konveksni skup s nepraznom nutrinom), a S je volumen (n-1)-dimenzionalnog ruba \partial K (˝površine˝ tijela K).
\omega_{n} je volumen jedinične kugle B^{n}=\lbrace x \in \mathbb{R}^{n} \colon ||x||\leq 1 \rbrace. Poznato je da \omega_{n}=\pi^{n/2} / \Gamma (n/2+1), gdje je
(24)
\Gamma (x)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} \ dt
gama funkcija; \omega_{1}=2, \omega_{2}=\pi, \omega_{3}=\frac{4}{3}\pi, \omega_{4}=\frac{1}{2}\pi^{2}, \ldots . Jednakost se u izoperimetrijskoj nejednakosti dostiže ako i samo ako je K kugla. Od svih tijela jednake površine kugla ima najveći obujam. Standardni dokaz izoperimetrijske nejednakosti se (aproksimacijama) svodi na Brunn-Minkowskijevu nejednakost za neprazne kompaktne skupove X, Y \subseteq \mathbb{R}^{n}:
(25)
\left[vol\left(X+Y\right) \right]^{\frac{1}{n}}\geq \left[ vol\left( X\right)\right]^{\frac{1}{n}}+\left[ vol\left( Y\right)\right]^{\frac{1}{n}},
pri čemu je X+Y=\lbrace x+y \colon x\in X, y\in Y \rbrace vektorski zbroj skupova. Ovo se pak (ponovno aproksimacijama) svodi na kvadre (kutije) s bridovima x_{1},x_{2}, \ldots,x_{n} i y_{1},y_{2}, \ldots,y_{n} u jednom od vrhova na nejednakost
(26)
\prod _{i=1}^{n} \left( x_{i}+y_{i} \right)^{\frac{1}{n}} \geq \prod _{i=1}^{n} \left( x_{i} \right)^{\frac{1}{n}}+\prod _{i=1}^{n} \left(y_{i} \right)^{\frac{1}{n}} .
Zbog A-G nejednakosti to je ekvivalentno s
(27)
\prod _{i=1}^{n} \left(\frac{ x_{i}}{x_{i}+y_{i} }\right)^{\frac{1}{n}} +\prod _{i=1}^{n} \left(\frac{y_{i}}{x_{i}+y_{i} }\right)^{\frac{1}{n}} \leq\frac{1}{n }\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{ x_{i}}{x_{i}+y_{i} }\right)+\frac{1}{n }\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{ y_{i}}{x_{i}+y_{i} }\right)=1 .
Osim standardnih dokaza indukcijom, ili rabeći konveksnost postoje i manje standardni: algebarski, topološki, fizikalni (termodinamički) i drugi dokazi A-G nejednakosti kao i mnogobrojne primjene i uz to vezani problemi s eliptičkim integralima.
Za dane realne brojeve x, y \gt 0, definirat ćemo aritmetičko-geometrijsku sredinu AGM(x,y). Promatramo dva niza (x_{n})_{n\geq 0} i (y_{n})_{n\geq 0}, x_{0}=x, y_{0}=y, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+y_{n} \right), y_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}. Pri tom je (x_{n}) padajući, a (y_{n}) rastući niz, dakle, omeđeni i monotoni, pa zaključujemo da su konvergentni. Neka je x_{n} \to X, y_{n} \to Y. Tada iz X=\frac{1}{2}\left( X+Y \right) slijedi X=Y. Zajednički limes L je L=AGM(x,y). Označimo
(28)
I(x,y)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{(x \cdot \cos \varphi)^{2}+(y\cdot \sin \varphi)^{2}}}
potpuni eliptički integral 1. vrste. Zamjenom varijabli
(29)
\sin \varphi = \frac{2\sin \theta}{(x+y)+(x-y)\sin^{2} \theta}
dobivamo
(30)
I(x,y)=I\left( \frac{x+y}{2},\sqrt{xy} \right).
Stoga je
(31)
I(x,y)=I(x_{0},y_{0})=I(x_{1},y_{1})=I(x_{2},y_{2})=\ldots = I(L,L)=\frac{\pi}{2L}
jer je I(x,x)=\frac{\pi}{2x}.
Dakle,
(32)
AGM(x,y)=\frac{\pi}{2I(x,y)} .
Vrijedi AGM profinjenje aritmetičko-geometrijske nejednakosti:
(33)
\sqrt{x}y =G(x,y)\leq AGM(x,y) \leq A(x,y)=\frac{x+y}{2}.
Znači AGM na prirodni način profinjuje aritmetičko-geometrijsku nejednakost.
3Newtonov binomni poučak
Važan poučak s mnoštvom inačica glasi
(34)
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k }x^{k}y^{n-k} .
Iznijet ćemo geometrijsko-kombinatorni dokaz. Prisjetimo se, ako su X, N konačni skupovi, onda X^{N} označava skup svih funkcija N \to X i ako je broj elemenata |X|=x i |N|=n, onda je |X^{N}|=x^{n}. Promatramo sva preslikavanja N \to X\cup Y iz N u disjunktnu uniju od X i Y pri čemu je |X|=x i |Y|=y. Neka se k elemenata preslika u X, a n-k u Y. Broj k-članih podskupova u N je { n \choose k }.
Slika 10: Konceptualni prikaz
Binomni poučak neposredno slijedi primjenom načela umnoška i zbroja. Na isti se način dokazuju i multinomne formule:
(35)
( x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k} )^{n}=\sum_{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}=n}{ n \choose {n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}} }x_{1} ^{n_{1}}\cdot x_{2}^{n_{2}} \cdots x_{k}^{n_{k}}.
Isti dokaz koristimo za injekcije. Prisjetimo se, za skup X^{\underline{N}} injekcija N \to X imamo:
(36)
|X^{\underline{N}}|=:x^{\underline{n}}=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdots (x-n+1).
Prema tome, s istim dokazom zaključujemo
(37)
(x+y)^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k }x^{\underline{k}}\ \cdot y^{\underline{n-k}} .
Na isti način dobivamo i Vandermondevu konvoluciju
(38)
(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k})^{\underline{n}}=\sum_{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}=n}{ n \choose {n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}} }x_{1}^{\underline{n_{1}}}\ \cdots x_{k}^{\underline{n_{k}}} .
Ona broji sve injekcije N \to X_{1}\cup \cdots \cup X_{k}, |X_{i}|=x_{i}, i=1,2, \ldots, k iz N u disjunktnu uniju X_{1},\ldots,X_{k}.
Prisjetimo se
(39)
{n \choose {n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}}}=\frac{n!}{n_{1}! \cdots n_{k}!}.
Spomenimo još i Chu-Vandermondeov identitet
(40)
{ {x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}}\choose n}=\sum_{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}=n}\ \ \ \prod_{i=1}^{k} {x_{i} \choose n_{i}}.
Postoji mnogo formula i identiteta koji su posljedica ili su ekvivalentni binomnom poučku.
4Sinusov i kosinusov poučak te Heronova formula
Sinusov i kosinusov poučak jedni su od temeljnih poučaka iz geometrije trokuta. Sinusi kutova u trokutu odnose se kao duljine tim kutovima nasuprotnih stranica tog trokuta. Ekvivalentan mu je kosinusov poučak\footnote {Kosinusov je poučak u današnjem obliku prvi iznio perzijski matematičar al Kashi 1427. godine, a kasnije 1565. godine, neovisno francuski matematičar F. Vi\`ete.}(a ekvivalentan Pitagorinom poučku) trokuta ABC i glasi
(41)
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma.
Prikažimo dva dokaza. Dokaz 1.
Površina trokuta ABC je (vidjeti Sliku
(42)
2P=cv=cb\sin\alpha.
Analogno,
(43)
2P=ab\sin\gamma = bc \sin \alpha =ca \sin \beta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ / : abc
(44)
\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c} \left( =\frac{2P}{abc} \right).
\underline{\text{Dokaz 2.}}
Iz trokuta ABC (vidjeti Sliku
(45)
\sin \alpha = \frac{\frac{a}{2}}{R}=\frac{a}{2R}.
Dakle,
(46)
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}\left(=2R\right).
Iz sinusovog i kosinusovog (a zapravo Pitagorinog) poučka imamo
(47)
\sin^{2} \gamma +\cos^{2}\gamma =1 \ \ \Longrightarrow \ \ \left( \frac{2P}{ab}\right)^{2}+\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right)^{2}=1 \ \ \Longrightarrow \ \ \left( 4P \right)^{2}=\left( 2ab \right) ^{2}-\left( a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}.
To je Heronova formula. Možemo je zapisati i ovako:
(48)
P=\frac{1}{4}\displaystyle \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2}-2\left( a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \ \ \ s=\frac{1}{2}(a+b+c).
Odnosno
(49)
P=\frac{1}{4}\sqrt{-\begin{vmatrix} 0 & a^{2} &b^{2} &1 \\ a^{2} & 0&c^{2}& 1\\ b^{2}& c^{2} &0& 1 \\ 1& 1&1&0 \end{vmatrix}};
(50)
P=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left( -a+b+c\right)\left( a-b+c \right) \left(a+b-c \right)}=\frac{1}{4}\sqrt{2s\left( 2s-a \right)(2s-2b)(2s-2c)}.
Neka su e_{1}=a+b+c, e_{2}=ab+bc+ca, e_{3}=abc elementarne simetrične funkcije, tada imamo
(51)
P=\frac{1}{4}\sqrt{e_{1}(e_{1}-2a)(e_{1}-2b)(e_{1}-2b)(e_{1}-2c)}=\frac{1}{4}\sqrt{e_{1}(4e_{1}e_{2}-e_{1}^{3}-8e_{3})}\ .
Također,
(52)
P=\frac{4}{3}\sqrt{t(t-t_{a})(t-t_{b})(t-t_{c})} ,
gdje su t_{a},t_{b},t_{c} težišnice, t=\frac{1}{2}\left( t_{a}+t_{b}+t_{c} \right). Odnosno
(53)
P^{-1}=4\sqrt{v^{-1}(v^{-1}-v_{a}^{-1})(v^{-1}-v_{b}^{-1})(v^{-1}-v_{c}^{-1})} ,
gdje su v_{a},v_{b},v_{c} visine, v^{-1}=\frac{1}{2}\left(v_{a}^{-1}+v_{b}^{-1}+v_{c}^{-1} \right).
Ako je R radijus opisane kružnice k trokutu ABC (vidjeti Sliku
(54)
P=(2R)^{2}\sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)} ,
gdje je S=\frac{1}{2}(\sin \alpha+\sin \beta + \sin \gamma).
Jeste li uočili: Pitagora \Longleftrightarrow Heron? Čak što više, sinusov poučak \Longleftrightarrow kosinusov poučak \Longleftrightarrow Pitagorin poučak \Longleftrightarrow Heronova formula.
5Sinus zbroja (adicijska formula za sinus)
Površina romba na slici
(55)
\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+ \cos \alpha \cdot \sin \beta .
Ekvivalentno (jer je \cos x=\sin (\frac{\pi}{2}-x))
(56)
\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta .
Dijeljenjem se dobiva formula za \operatorname{tg}(\alpha+\beta) i \operatorname{ctg}(\alpha+\beta).
Zaključak
Pokazali smo kako možemo kombinirati različite tehnike, vizualne i formalne, kako bi došli do željenih rezultata, a ponekad će nam jedna skica dati i više različitih zaključaka ili otkriti i nešto novo.
Bibliografija
| [1] | B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska knjiga, Zagreb, 2004. |
| [2] | B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 2, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995. |
| [3] | I. N. Bronštejn, suradnici: Matematički priručnik, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004. |
| [4] | S. Mardešić: Sjećanje na profesora Borisa Pavkovića (1931.-2006.), Glasnik Matematički, 41 (61) (P) (2006.), 441-415. |
| [5] | V. Volenec: Popis i opis znanstvenih radova prof. dr. sc. Borisa Pavkovića, Glasnik Matematički, 41 (61) (P) (2006.), 411-413. |
| [6] | D. Veljan: The 2500-year -old-pythagorean theorem, Mathematics Magazine, 73 No. 4 (2000.), 259-272. |
| [7] | D. Veljan: The AM-GM inequality from different viewpoints, Elem. Math. 72 (2017), 24-34. |
| [8] | D. Svrtan, D. Veljan: Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, Forum Geometricorum, 12 (2012.), 197-209. |
| [9] | G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities, 2nd. ed. , Cambridge University Press, Cambridge, 1952. |
| [10] |
J. M. Steele: The Cauchy-Schwarz Master Class, MAA, Cambridge University Press, Cambridge, 2004. |
| [11] | D. Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001. |
| [12] | D. Veljan: Čarobne četvorine (iliti magični kvadrati), Poučak,15 (57) (2014.), 12-23. |
| [13] | C. A. Pickover: Wonders of Numbers, Oxford University Press, New York, 2002. |
| [14] | C. A. Pickover: The Math Book, Sterling, New York, 2009. |
| [15] | M. Fiedler: Matrices and graphs in geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2011. |
| [16] | D. Veljan: The sine theorem and inequalities for volumes of simplices and determinants, Linear algebra and its applications, 219 (1995.), 79-91. |
| [17] | A. Dujella: Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000. |
| [18] | T. Koshy: Pell and Pell–Lucas Numbers with Applications, Springer, New York, 2014. |
| [19] | D. Veljan, J. Nash i L. Nirenberg: Abelovci za 2015. godinu, Matematičko fizički list, 66 (2015.), 31-36. |
| [20] | M. Raussen, C. Skau : Interview with Abel Laureate John F. Nash Jr., Notices of the AMS, 63 (5),(2016.), 486-491. |
| [21] | D. Veljan : Matematičar i teorijski fizičar, akademik Vladimir Varićak, Prirodoslovlje 16(2016.), 125-152. |
| [22] | D. Klobučar : Matematika naša svagdašnja I, II, Element , Zagreb, 2014. |
| [23] | B. J. McCartin: Mysteries of the Equilateral Triangle, (javno dostupno na: http://www.m-hikari.com/mccartin-2.pdf, 7.2.2017.) |
| [24] | J. Milnor : Topology through the centuries: Low dimensional manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (4) (2015.), 545-584. |
| [25] |
S. Mardešić : Kako sam postao i ostao matematičar, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 2016. |
