Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

Broj 5 


 

Šime Šuljić

Mandelbrotov skup


6. Ravnalom i šestarom

Postavit ćemo jednu vrlo hrabru tezu. Glavno tijelo Mandelbrotovog skupa s prvim nizom bradavica moguće je konstruirati ravnalom i šestarom! Dobro, ne moramo se baš poslužiti onim fizičkim šestarom. Radije posegnimo za šestarom u nekom programu dinamične geometrije.

Glavno tijelo našeg objekta proučavanja je kardioida. Po definiciji, kardioida je krivulja koju opisuje točka kružnice koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj kružnici istog polumjera, pri čemu se kružnice dodiruju izvana. Pogledajte aplet.

U našem slučaju smjestit ćemo fiksnu kružnicu polumjera 0.25 u središte koordinatnog sustava. Po njoj će se kotrljati kružnica jednakog polumjera. One se dodiruju u točki 'Pomiči', koju možete pomicati pomoću miša ili tipkama + i - na tipkovnici. Kardioidu opisuje točka T kotrljajuće kružnice. Već smo vidjeli da periodičnost iteracije središnje točke bradavice odgovara 'strukosti' njezinih antena. Sada možemo otkriti još jednu zanimljivu koincidenciju. Neka je φ kut što ga zatvara polumjer ST sa spojnicom OS središta kružnica. Kada se točka T nalazi u dodirnoj točki bradavice i glavnog tijela Mandelbrotovog skupa, kut φ u uskoj je vezi s periodom, odnosno 'strukošću' antena. Uz pomoć apleta tu vezu možete otkriti (i riješiti nagradni zadatak)!

Žao nam je, ali aplet se ne može pokrenuti. Jeste li sigurni da na svom računalu imate instaliranu i aktiviranu Javu 1.4.2 ? (click here to install Java now)
GeoGebra

 
◄ 5. Iterativni rep

7. Povijesna crtica ►