Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
  Broj 6

O
Rješenja nagradnih zadataka print-verzija   
O

Ovi zadaci postavljeni su u 6. broju math.e. Nažalost do izlaska 8. broja nismo dobili nijedno točno rješenje. Ovdje objavljujemo rješenja postavljenih zadataka.

* Rješenje prvog zadatka

U prvom zadatku trebalo je dokazati da u ravnini kojoj je svaka točka obojana jednom od konačno mnogo boja postoji pravokutnik s jednako obojanim vrhovima. Ovaj zadatak rješava se primjenom Dirichletovog principa.

Neka su točke ravnine obojane s ukupno n boja. Promotrimo točke s koordinatama (ij), za i = 1, 2,...,Mj = 1, 2,...,N. Za čvrst j točke (1, j), (2, j), ..., (Mj) možemo obojati na nM načina. Prema tome, ako je N > nM, postoje indeksi j1 i j2 takvi da su točke (ij1) i (ij2) obojane istom bojom, za i = 1, 2,...,M. Ako je pak M > n + 1 postoje indeksi i1, i2 takvi da su točke (i1j1) i (i2j1) obojane istom bojom. Tom su bojom obojane i točke (i1j2) i (i2j2) pa za dovoljno velike M i N dobivamo pravokutnik s jednako obojanim vrhovima.

* Rješenje drugog zadatka

U drugom zadatku trebalo je dokazati da se svaki dijadski razlomak (broj oblika m/2n) može reprezentirati pomoću igre Hackenbush s jednim stupcem. Trebalo je naći reprezentacije brojeva 151/64 i 1/3.

Reprezentacija dijadskih razlomaka izgleda ovako:

  • Predznak određuje boja segmenta koji dira tlo (plus ako je plavi, a minus ako je crveni).
  • Prvi par različito obojanih segmenata predstavlja decimalnu točku.
  • Broj segmenata ispod "decimalne točke" predstavlja cjeli dio broja.
  • Segmenti iznad "decimalne točke" određuju binarne decimalne znamenke: 1 ako se boja podudara s bojom prvog segmenta, a 0 ako se ne podudara. Na kraju je potrebno još dopisati jednu dodatnu decimalnu znamenku 1.

Na primjer, razlomak 151/64 reprezentiran je lijevim Hackenbush stupcem na slici:

151/64 i 1/3

Za sve brojeve kojima decimalni zapis u bazi 2 nije konačan potreban je Hackenbush stupac beskonačne duljine. Na primjer, 1/3=(0.01010101...)2 pa njegova Hackebush reprezentacija izgleda kao desni stupac na slici. Na tlu je plavi segment, iznad njega dva crvena, a nakon toga alterniraju plavi i crveni segmenti.

O ---O