Zadaci za 4. razred - A kategorija

1. Dokaži da sjecište pravaca koji sadrže visine trokuta, kojeg tvore tri tangente parabole, leži na ravnalici te parabole.
   
   
2. Ako su k i n prirodni brojevi, dokaži da je izraz   (n⁴ - 1) (n³ - n² + n - 1)^k + (n + 1) n^4k-1, djeljiv s n⁵ + 1.
   
   
3. Kružnice C₁ i C₂ sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C₂ povučena iz točke A siječe kružnicu C₁ u točki C, a tangenta kružnice C₁ povučena iz točke A siječe kružnicu C₂ u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C₁ u točki M, kružnicu C₂ u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.
   
   
4. Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka A, B, C i D i poduzeće čiji brodovi plove na linijama A↔B, B↔C, C↔D, D↔A).