MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://web.math.hr/mathe/

15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.

Zadaci za 4. razred - A kategorija

  1. Dokaži da sjecište pravaca koji sadrže visine trokuta, kojeg tvore tri tangente parabole, leži na ravnalici te parabole.

  2. Ako su k i n prirodni brojevi, dokaži da je izraz   (n4 - 1) (n3 - n2 + n - 1)k + (n + 1) n4k-1, djeljiv s n5 + 1.

  3. Kružnice C1 i C2 sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C2 povučena iz točke A siječe kružnicu C1 u točki C, a tangenta kružnice C1 povučena iz točke A siječe kružnicu C2 u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C1 u točki M, kružnicu C2 u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.

  4. Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka A, B, C i D i poduzeće čiji brodovi plove na linijama A↔B, B↔C, C↔D, D↔A).