Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

12. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Pula, 7. - 10. svibnja 2003.

Zadaci za IV. razred


  1. Neka je I točka na simetrali kuta kut BAC trokuta ABC, a M i N redom točke na stranicama AB i AC, takve da je kut ABI = kut NIC i kut ACI = kut MIB.
    Dokažite da je I središte upisane kružnice trokuta ABC ako i samo ako su točke M, N i I kolinearne.

  2. Niz realnih brojeva (an)n >= 0 ima svojstvo da za sve m >= n >= 0 vrijedi

    am+n + am-n = (a2m + a2n) / 2.

    Odredite a2003 ako je a1 = 1.

  3. Prirodni brojevi od 1 do 2003 poredani su u niz. Na nizu vršimo ovu operaciju: ako je prvi broj u nizu jednak k, okrenemo poredak prvih k brojeva. Dokazati da se nakon konačno uzastopnih primjena ove operacije broj 1 pojavi na prvom mjestu, nezavisno od početnog rasporeda.

  4. Dokažite da je

    (n povrh p) - [n/p]

    djeljivo s p, za svaki prost broj p i svaki prirodan broj n >= p.