11. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Zadar, 2. - 5. svibnja 2002.

Zadaci za II. razred

1. Nađite sva rješenja jednadžbe

   (x² + 3x - 4)³ + (2x² - 5x + 3)³ = (3x² - 2x - 1)³.

2. Neka su a, b, c realni brojevi veći od 1. Dokažite sljedeću nejednakost

   log_a (b²/ac - b + ac) log_b (c²/ab - c + ab) log_c (a²/bc - a + bc) 1.

3. Ako za trokute s duljinama stranica a, b, c i a', b', c', te nasuprotnim kutovima , , i ', ', ', vrijede jednakosti + ' = i = ', dokažite da vrijedi i jednakost

   aa' = bb' + cc'.

4. Odredite sve prirodne brojeve n za koje jednadžba

   

   ima točno pet rješenja (x,y) u skupu prirodnih brojeva.