Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

Nagradni zadatci



Kroz nagradne zadatke u četvrtom broju pokušali smo povezati dvoje znamenitih matematičara: Pitagoru i Marie Sophie Germain, o kojima više možete pročitati u člancima Matematički dvoboji i Žene u matematici.

Rješenja zadataka pošaljite elektronskom poštom na našu e-mail adresu

mathe@math.hr.

Najbrže i najuspješnije rješavatelje nagradit ćemo knjigama u izdanju Hrvatskog matematičkog društva. Popis izdanja HMD-a možete pogledati na ovoj stranici. Uz rješenje (obrazloženo), napišite ime škole ili fakulteta koji pohađate, razred ili godinu studija, te adresu na koju želite da vam se pošalje nagrada. Također, možete napisati i koju biste knjigu s navedenog popisa željeli dobiti kao nagradu.


1. Za prirodan broj p kažemo da je prost broj Sophie Germain ako su brojevi p i 2p + 1 prosti.
Odredite sve pravokutne trokute u kojima su duljina hipotenuze i duljina jedne katete prosti brojevi Sophie Germain, a duljina druge katete je prirodan broj. Odgovor obrazložite.


2. Nađite barem jedan pravokutan trokut u kome je: duljina hipotenuze prost broj Sophie Germain, duljina jedne katete 4 puta veća od nekog prostog broja Sophie Germain, a duljina druge katete za 4 veća od nekog prostog broja Sophie Germain.
Drugim riječima, nađite prirodne brojeve x, y, z koji zadovoljavaju jednadžbu x2 + y2 = z2, te za koje vrijedi da su z, y/4 i x-4 prosti brojevi Sophie Germain. (Prirodni brojevi x, y, z koji zadovoljavaju jednadžbu x2 + y2 = z2 nazivaju se Pitagorine trojke.)


Rješenja zadataka i nagrađeni rješavatelji