Broj 5 

Rješenja zadataka i nagrađeni rješavatelji

Rješenje prvog zadatka

U prvom zadatku trebalo je naći "vjerojatnost" (tj. relativnu frekvenciju pojavljivanja) da je u Fibonaccijevom broju druga znamenka 4 puta veća od prve znamenke.

Odgovor je log₁₀435/392, što približno iznosi 0.0452.

Ovdje možete vidjeti kako je do rješenja došao Dino Sejdinović.

Nagrađeni rješavatelji prvog zadatka:

Ana Anušić (učenica 2. razreda, 1. gimnazija, Zagreb)
Slaven Kožić (student 1. godine, PMF-Matematički odjel, Zagreb)
Dino Sejdinović (student 2. godine, Odsjek za matematiku, Prirodno-matematički fakultet, Sarajevo)

Rješenje drugog zadatka

U drugom zadatku trebalo je odrediti vrijednost kuta φ za bradavice na Mandelbrotovom skupu čiji su periodi na slici označeni strelicama.

Rješenja su:

  2   ---   180°
  3   ---   120°
  4   ---   90°
  5   ---   72°
  6   ---   60°
  5   ---   144°
  7   ---   (720/7)°
  7   ---   (1080/7)°
  8   ---   135°
  9   ---   160°
11   ---   (1440/11)°
11   ---   (1800/11)°.

Pravilo za bradavice označene plavim strelicama je vrlo jednostavno: φ = (360/n)°. Što se tiče bradavica označenih crvenim strelicama, uočimo najprije da lijevo i desno od svake takve bradavice imamo dva niza sve manjih i manjih bradavica. Npr. za bradavicu perioda 5, lijevi niz čine bradavice perioda 5,7,9,11,..., a desni niz bradavice perioda 5,8,11,... . No, ti se nizovi mogu nastaviti u "unatrag" sve dok se ne dodje do najvećih bradavica u nizovima ("lokalnih maksimuma"). Uzmačimo sa φ_l i φ_d kutove koji odgovaraju lokalnim maksimumima koji se nalaze lijevo, odnosno desno, od promatrane bradavice. Sada je pravilo

φ = φ_l - φ_l/n = φ_d + φ_d/n.

Npr. za bradavicu perioda 5, lijevi lokalni maksimum je bradavica perioda 2, a desni bradavica perioda 3. Stoga je pripadni kut jednak 180 - 180/5 = 120 + 120/5 = 144. Pogledajmo jos "desniju" od dvije bradavice perioda 11. Njezin lijevi lokalni maksimum je bradavica perioda 5, a desni bradavica perioda 3. Stoga je pripadni kut jednak 144 - 144/11 = 120 + 120/11 = 1440/11.

Nagrađena rješavateljica drugog zadatka:

Ana Anušić (učenica 2. razreda, 1. gimnazija, Zagreb)


Rješavatelji su za nagrade izabrali sljedeće knjige u izdanju Hrvatskog matematičkog društva:
T. Pejković: Iracionalni brojevi (2); P. Papić: Teorija skupova; G. Polya: Matematičko otkriće.