Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

Rješenje 1. zadatka u 5. broju

Ako generaliziramo rezultat naveden u članku Benfordov zakon, da je vjerojatnost da prva znamenka Fibonnacijevog broja bude n upravo log(n+1) - log(n), odnosno dužina traženog segmenta na logaritamskoj skali, tada će vjerojatnost da prvih k znamenaka Fibonaccijevog broja sačinjavaju k-znamenkasti broj A biti log(A+1) - log(A) = log(1+1/A) – ponovo dužina segmenta na logaritamskoj skali. Naprimjer, vjerojatnost da su prve tri znamenke Fibonaccijevog broja redom 7, 0, 6 je log(7.07) - log(7.06) = log(707/706).

Sada je jasno da je tražena vjerojatnost (zapravo vjerojatnost da Fibonaccijev broj počinje sa 14 ili sa 28): log(15/14) + log(29/28) = log(435/392), što približno iznosi 0.0452032.


Sljedeća sekvenca naredbi u programskom paketu Mathematica 5 daje relativnu frekvenciju pojavljivanja događaja da druga znamenka Fibonaccijevog broja bude 4 puta veća od prve za prvih 10000 Fibonaccijevih brojeva. Frekvencija dobivena na ovaj način iznosi 0.0452.

    frekvencija=0;
    For[i=7,i<=10000,i++,
        broj=Fibonacci[i];
        If[(IntegerDigits[broj][[1]]==1 && IntegerDigits[broj][[2]]==4) ||
            (IntegerDigits[broj][[1]]==2 && IntegerDigits[broj][[2]]==8),
            frekvencija++]]

    frekvencija/10000.


Dino Sejdinović, student 2. godine, Odsjek za matematiku, Prirodno-matematički fakultet, Sarajevo