Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

Broj 5 


 

Šime Šuljić

Mandelbrotov skup


4. Iterativni postupak

Kada provjeravamo pripada li neka točka ravnine grafu realne funkcije, onda ispitujemo zadovoljavaju li koordinate točke stanovito pravilo zadano formulom, tj. vrijedi li y = f(x). Ovdje nemamo provjeru takve vrste. Da bismo utvrdili pripada li neka točka kompleksne ravnine Mandelbrotovom skupu, podvrgavamo je iterativnom (lat. iterare - ponoviti) postupku.

Pravilo. Uzmemo neki kompleksni broj c. Kvadriramo ga i dodamo sam početni broj c; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj c; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj c, itd. Takav niz iteracija možemo iskazati formulama:

z1 = z02+ c
z2 = z12+ c
z3 = z22+ c
…
zn+1 = zn2 + c,

gdje je početna vrijednost z0 = 0. Ako takav niz iteracija 'odluta' u beskonačnost, onda za točku pridruženu broju c kažemo da ne pripada Mandelbrotovom skupu. Ako i nakon velikog broja niz iteracija ostaje ograničen, vrti se u krug ili poprima 'male' vrijednosti, smatramo da točka pripada Mandelbrotovom skupu. Evo nekoliko primjera:

  1. c = 1, 12 + 1 = 2, 22 + 1 = 5, 52 + 1 = 26 ... Niz raste u beskonačnost, točka 1 + 0i ne pripada skupu.
  2. c = -1, (-1)2 - 1 = 0, 02 - 1 = -1, (-1)2 - 1 = 0 ... Niz ostaje ograničen, što znači da točka -1 + 0i pripada skupu.
  3. c = i, i2 + i = -1 + i, (-1 + i)2 + i = -i, (-i)2 + i = -1 + i ... "Vrti se u krug", što znači da točka 0 + i pripada skupu.
  4. c = -0.278 + 0.499i. Ova točka nije jednostavna za računanje čak ni uz pomoć kalkulatora. Treba posegnuti za računalnim programom. Na raspolaganju vam je jedan mali Javascript 'programčić' kojim možete provjeriti prvih jedanaest iteracija proizvoljnog kompleksnog broja.

Upišite realni dio broja: x = , upišite imaginarni dio broja: y = .


 
R.br.

Re z

Im z

|z|

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

I računalo bi moglo stenjati! Primijetit ćete da deset iteracija nije dovoljno da bi se utvrdilo hoće li neki niz ostati ograničen. Programeri obično postavljaju broj iteracija na nekoliko stotina, a korisniku daju mogućnost daljnjeg povećanja njihovog broja. Time se dobivaju precizniji obrisi Mandelbrotovog skupa, ali slika nastaje mnogo sporije. Inače, dovoljno je ispitivati samo dio ravnine između -2.5 i 1 po realnoj osi, odnosno od -1.5 do 1.5 po imaginarnoj osi. Utvrđeno je da čim modul nekog broja u iterativnom postupku prijeđe po vrijednosti broj 2, niz postaje neograničen. Obično se Mandelbrotov skup crta crnom bojom. Odakle ona 'šarolikost' u okolini skupa? Ako računalo utvrdi da niz iteracija postaje neograničen u k-tom koraku, dodjeljuje mu k-tu boju.

 
◄ 3. Skup kompleksnih brojeva

5. Iterativni rep ►