Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://www.math.hr/~mathe/

Mandelbrotov skup

Šime Šuljić

Sadržaj:

1. Fantastično putovanje
2. Putovanje bez vodiča i itinerara
3. Skup kompleksnih brojeva
4. Iterativni postupak
5. Iterativni rep
6. Ravnalom i šestarom
7. Povijesna crtica
8. Knjige, članci, programi i linkovi

"Vječnost nije dovoljna da ga se cijelog pregleda"
(James Gleick)

1. Fantastično putovanje

Sir Roger Penrose, ugledni teorijski fizičar i matematičar, u svojoj knjizi Carev novi um opisuje fantastično putovanje u udaljeni svijet koji je nazvao Tor'Bled-Nam. Slijedimo to putovanje, citirajući opise iz njegove knjige.

Susret s nepoznatim. "Naši daljinski senzori primili su signale koji se upravo prikazuju na ekranu pred nama. U središtu se pojavljuje slika. Što bi to moglo biti? Je li to neki kukac čudnovatog oblika? Možda je to, u stvari, neko tamno obojeno jezero, s mnogim planinskim potocima koji se ulijevaju u nj? ... Možda je to otok - i tada bismo mogli potražiti obližnji kontinent s kojim je on povezan."

Novi kontinent? "To možemo učiniti 'udaljavajući se', tj. smanjujući povećanje naših senzornih uređaja za linearni faktor od oko petnaest. I gle! Čitav svijet nam se pojavljuje pred očima. Naš nam "otok" sada izgleda tek kao točkica označena strelicom 1. Sve niti (potoci, putovi, mostovi?) koji polaze s prvotnog otoka završavaju, osim jedne koja se spaja s unutrašnjošću njegovog desnog udubljenja i koja ga povezuje s mnogo većim objektom koji vidimo na slici 2. Ovaj veći objekt očigledno je sličan otoku koji smo prije vidjeli - iako ne sasvim isti. Ako se usredotočimo na ono što izgleda da je obala tog objekta, vidimo izrasline - okruglaste, koje i same imaju slične izrasline na sebi. Svaka mala izraslina izgleda kao da je pričvršćena za veću na nekom uskom mjestu, stvarajući mnogo bradavica na bradavicama. Kako slika postaje jasnija, vidimo mirijade (grč. bezbroj) tankih vlakana koja izlaze iz strukture. Sama vlakna račvaju se na različitim mjestima i često divlje vrludaju. Na nekim točkama vlakana vidimo male račvaste čvorove, koje naši senzorski uređaji, sa sadašnjim povećanjem, ne mogu razdvojiti. Jasno je da objekt nije stvaran otok ni kontinent ni kakav krajolik. Možda, na kraju, vidimo nekog monstruoznog kukca, a prvo što smo vidjeli bio je jedan od njegovih potomaka, još pričvršćen za njega nekom vlaknastom pupčanom vrpcom."

Čudna bradavica. "Pokušajmo ispitati prirodu jedne od bradavica našeg stvorenja, prilagođavajući povećanje našeg senzorskog uređaja za linearni faktor od oko deset, mjesto označeno strelicom 3 na prethodnoj slici. Sama bradavica podsjeća na cijelo stvorenje - osim u samoj točki spajanja. Zapazimo da postoje različita mjesta na slici gdje se susreće pet vlakana. Postoji neka 'peterostrukost' u vezi s ovom bradavicom (kao što bi postojala izvjesna 'trostrukost' u slučaju bradavice u gornjem dijelu cijele slike)."

Dolina morskog konjica. "Kako ulazimo u otvor između dvaju najvećih područja na slici 2 na desnoj strani, otkrivamo bradavice koje karakteriziraju neparni brojevi, koji se svaki put uvećaju za dva. Zavirimo duboko unutar tog otvora, prilagođavajući povećanje za faktor od oko deset. Sada vidimo brojne druge bradavice i slična vrtložna gibanja. Na desnoj strani, možemo razabrati spiralne 'repove morskog konjica'."

Koraljni greben. "Možda je, na kraju, ovo zaista neka egzotična obala - neki koraljni greben, ispunjen životom svakojake vrste. Ono što izgleda kao cvijet, razotkriva se pri daljem povećanju kao mnoštvo sitnih, ali nevjerojatno složenih struktura, od kojih svaka ima brojne vlaknaste i vrtložne spiralne repove. Ispitajmo jedan od njih."

Plodonosni susret spirala. "Na mnogim mjestima struktura je povezana samo tamo gdje se sastaju dvije spirale. Ispitajmo jedno od ovih mjesta, prilagodivši naše povećanje za odgovarajući faktor. I gle: vidite li čudan, ali sada poznat objekt u sredini?"

Fascinantna sličnost. "Daljnje povećanje otkriva majušno 'dijete' - stvorenje skoro istovjetno čitavoj strukturi koju ispitujemo! Ako pogledamo bolje, vidjet ćemo da se vlakna koja izlaze iz nje malo razlikuju od onih koja izlaze iz glavne strukture, ali ona zavijaju i šire se do mnogo većih udaljenosti. Ipak, mala stvorenja jedva se razlikuju od svojih roditelja."


2. Putovanje bez vodiča i itinerara

Bio je to vrlo zanimljiv objekt, ali naše vam putovanje može izgledati kao dobra namještaljka otkačenog umjetnika, koji vas slatkorječivo vodi od postaje do postaje svojih fikcija. A ne, dragi moji! U pozadini ovih slikarija nije umjetnost, nego matematika koja slike generira uz pomoć računala. Na kraju ćemo se i mi pozabaviti računalnim programima koje možete instalirati na svoje računalo, a sada uz pomoć jednoga skromnijeg proputujmo čudnovatim objektom online.

Mišem jednostavno označite područje na slici i pustite da se to područje poveća. Potrudite se da to područje bude što je moguće više kvadrat da ne dolazi do izobličenja. Želite li što detaljniju sliku, povećajte parametar TMAX na Repaint, a za povratak na početnu sliku kliknite na Resize.


Autor apleta je profesor Takashi Kanamaru.

"Što predstavlja ova neobična, raznolika, tako divno profinjena zemlja na koju smo naišli?" - pita se Roger Penrose i nastavlja: "Mnogi će čitatelji bez sumnje znati odgovor. Ali neki možda i neće. Ovaj svijet nije ništa drugo doli dio apstraktne matematike - struktura poznata kao Mandelbrotov skup. On je nedvojbeno kompliciran, mada je napravljen po začuđujuće jednostavnom pravilu! Da bi se ovo pravilo objasnilo, najprije moramo obrazložiti što je kompleksni broj."


3. Skup kompleksnih brojeva

Potreba proširenja skupa realnih brojeva. Znamo da postoje prirodni, cijeli, racionalni i iracionalni brojevi. Prirodni i cijeli brojevi zapravo se mogu prikazati kao razlomci pa ih smatramo racionalnima. Neki se korijeni ne mogu prikazati kao razlomci pa nisu racionalni. Na primjer, √2 nije racionalan broj. Racionalni i iracionalni brojevi čine skup svih realnih brojeva. Realni se brojevi mogu prikazati na brojevnom pravcu. Svakom realnom broju pridruži se jedna točka pravca i svakoj točki pravca pridružen je jedinstven broj. Slobodnih točaka nema, ali to ne znači da ne postoje brojevi osim realnih.

Imaginarna jedinica. U skupu realnih brojeva možemo kvadratni korijen računati samo iz nenegativnih brojeva. A koliko je, na primjer, √-1 ? Ne postoji takav realan broj koji bi kvadriran dao negativan broj! Stoga pretpostavimo da je riječ o nekom broju i, nazovimo ga imaginarnom jedinicom, za koji vrijedi:

i2 = -1.

Imaginarni brojevi. Koliko je onda √-4 ? √-4 = √4 ∙ √-1 = 2i. Tako možemo tvoriti beskonačno mnogo brojeva yi, gdje je y neki realni broj. Takve brojeve nazivamo imaginarnim brojevima.

Kompleksni brojevi. Ako postoji korijen iz negativnog broja, onda valjda postoji i korijen broja i? Postoji, to je broj (1 + i)/√2 . Uvjerite se da je rezultat kvadriranja tog broja imaginarna jedinica. Uočimo da je ovaj posljednji broj zapravo zbroj realnog broja i imaginarnog broja. Takve brojeve nazivamo kompleksnim brojevima i ima ih beskonačno mnogo. Obično ih označavamo slovom z. Općenito oni su oblika:

z = x + yi.

Kompleksna ravnina. Ako realne brojeve prikazujemo brojevnim pravcem, gdje ćemo smjestiti kompleksne brojeve? Kako se oni sastoje od dviju komponenti, realnog dijela x i imaginarnog dijela y, najbolje ih je pridružiti točkama ravnine. Tako dobivamo kompleksnu ravninu.

Kliknite na točku z u apletu i 'prošetajte' je ravninom. Promatrajte kako poprima različite vrijednosti kompleksnih brojeva. Njezinu udaljenost od ishodišta koordinatnog sustava zovemo modulom kompleksnog broja, oznaka je |z|. Kako se računa modul komleksnog broja ako je poznat njegov realni i imaginarni dio?

Zbrajanje kompleksnih brojeva. Kompleksne se brojeve zbraja po vrlo jednostavnom pravilu. Zbraja se realni dio jednog broja s realnim dijelom drugog broja. Isto vrijedi za imaginarne dijelove. Tako je:

(3 + 1i) + (-1 + 2i) = 2 + 3i.

Zanimljivo je uočiti geometrijsko svojstvo zbrajanja kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini. Zbroj dvaju kompleksnih brojeva je broj pridružen točki koja je četvrti vrh paralelograma koji određuju točka pridružena prvom pribrojniku, ishodište koordinatnog sustava i točka pridružena drugom pribrojniku. Uvjerite se u to klikom na sličicu! Pomičite točke z1 i z2 i promatrajte zbroj z u apletu.

Kvadriranje kompleksnog broja. Uzmimo broj 1 + 2i. Kvadriramo ga kao binom: 12 + 2∙1∙2i + (2i)2. Rezultat je -3 + 4i. Otvorite aplet kvadriranje klikom na sličicu. U apletu možete pomicati broj z. Opet se uočava geometrijsko svojstvo kvadriranja broja. Modul kvadrata jednak je kvadratu modula broja z, a kut što ga zatvara spojnica točke pridružene broju z2 s pozitivnim dijelom realne osi dva je puta veći od odgovarajućeg kuta točke pridružene broju z.


4. Iterativni postupak

Kada provjeravamo pripada li neka točka ravnine grafu realne funkcije, onda ispitujemo zadovoljavaju li koordinate točke stanovito pravilo zadano formulom, tj. vrijedi li y = f(x). Ovdje nemamo provjeru takve vrste. Da bismo utvrdili pripada li neka točka kompleksne ravnine Mandelbrotovom skupu, podvrgavamo je iterativnom (lat. iterare - ponoviti) postupku.

Pravilo. Uzmemo neki kompleksni broj c. Kvadriramo ga i dodamo sam početni broj c; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj c; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj c, itd. Takav niz iteracija možemo iskazati formulama:

z1 = z02+ c
z2 = z12+ c
z3 = z22+ c
…
zn+1 = zn2 + c,

gdje je početna vrijednost z0 = 0. Ako takav niz iteracija 'odluta' u beskonačnost, onda za točku pridruženu broju c kažemo da ne pripada Mandelbrotovom skupu. Ako i nakon velikog broja niz iteracija ostaje ograničen, vrti se u krug ili poprima 'male' vrijednosti, smatramo da točka pripada Mandelbrotovom skupu. Evo nekoliko primjera:

  1. c = 1, 12 + 1 = 2, 22 + 1 = 5, 52 + 1 = 26 ... Niz raste u beskonačnost, točka 1 + 0i ne pripada skupu.
  2. c = -1, (-1)2 - 1 = 0, 02 - 1 = -1, (-1)2 - 1 = 0 ... Niz ostaje ograničen, što znači da točka -1 + 0i pripada skupu.
  3. c = i, i2 + i = -1 + i, (-1 + i)2 + i = -i, (-i)2 + i = -1 + i ... "Vrti se u krug", što znači da točka 0 + i pripada skupu.
  4. c = -0.278 + 0.499i. Ova točka nije jednostavna za računanje čak ni uz pomoć kalkulatora. Treba posegnuti za računalnim programom. Na raspolaganju vam je jedan mali Javascript 'programčić' kojim možete provjeriti prvih jedanaest iteracija proizvoljnog kompleksnog broja.

I računalo bi moglo stenjati! Primijetit ćete da deset iteracija nije dovoljno da bi se utvrdilo hoće li neki niz ostati ograničen. Programeri obično postavljaju broj iteracija na nekoliko stotina, a korisniku daju mogućnost daljnjeg povećanja njihovog broja. Time se dobivaju precizniji obrisi Mandelbrotovog skupa, ali slika nastaje mnogo sporije. Inače, dovoljno je ispitivati samo dio ravnine između -2.5 i 1 po realnoj osi, odnosno od -1.5 do 1.5 po imaginarnoj osi. Utvrđeno je da čim modul nekog broja u iterativnom postupku prijeđe po vrijednosti broj 2, niz postaje neograničen. Obično se Mandelbrotov skup crta crnom bojom. Odakle ona 'šarolikost' u okolini skupa? Ako računalo utvrdi da niz iteracija postaje neograničen u k-tom koraku, dodjeljuje mu k-tu boju.


5. Iterativni rep

Dok računalo izračunava silne iteracije za svaku zadanu točku, mi taj postupak ne vidimo. Vidimo samo krajnji rezultat tog izračuna. A kako bi bilo da promatramo kako iteracije skakuću po kompleksnoj ravnini od točke do točke? U ovom apletu možemo činiti baš to. 'Prošetajmo' početnu točku citeracije po kompleksnoj ravnini. Nju 'prate' točke dobivene iterativnim pravilom i spojene dužinama, kao svojevrsni 'iterativni rep'.

Mandelbrotov skup opet nas zadivljuje čarobnim oblicima. Dok se nalazimo u glavnom tijelu Mandelbrotovog skupa, iterativni rep savija se u vrlo pravilne i zanimljive oblike:

No, najzanimljivije nastupa kada krenemo u središta okolnih bradavica. Sjećate li se da smo govorili o peterostrukosti, trostrukosti, četverostrukosti tih bradavica, već prema broju 'antenskih krakova' koje ih rese? Pogledajte posebnu sliku:

Kada dođemo u središte najviše bradavice kojoj se sve 'antenice' račvaju u tri kraka, i naš se 'iterativni rep' klupča u trokut, poprimajući samo tri različite vrijednosti, od kojih je jedna kompleksni broj 0. Kada dođemo u bradavicu s peterokrakim antenama, i 'rep' se mota u peterokraku zvijezdu! Provjerite da takva veza postoji i u drugim bradavicama. Možete otvoriti aplet za zumiranje Mandelbrotovog skupa u posebnom prozoru. Kako je zapravo u iterativnom postupku riječ o broju različitih vrijednosti nakon kojih nastupa ponavljanje istim redoslijedom, možemo govoriti o periodičnosti mjehurića.


6. Ravnalom i šestarom

Postavit ćemo jednu vrlo hrabru tezu. Glavno tijelo Mandelbrotovog skupa s prvim nizom bradavica moguće je konstruirati ravnalom i šestarom! Dobro, ne moramo se baš poslužiti onim fizičkim šestarom. Radije posegnimo za šestarom u nekom programu dinamične geometrije.

Glavno tijelo našeg objekta proučavanja je kardioida. Po definiciji, kardioida je krivulja koju opisuje točka kružnice koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj kružnici istog polumjera, pri čemu se kružnice dodiruju izvana. Pogledajte aplet:

       

U našem slučaju smjestit ćemo fiksnu kružnicu polumjera 0.25 u središte koordinatnog sustava. Po njoj će se kotrljati kružnica jednakog polumjera. One se dodiruju u točki 'Pomiči', koju možete pomicati pomoću miša ili tipkama + i - na tipkovnici. Kardioidu opisuje točka T kotrljajuće kružnice. Već smo vidjeli da periodičnost iteracije središnje točke bradavice odgovara 'strukosti' njezinih antena. Sada možemo otkriti još jednu zanimljivu koincidenciju. Neka je φ kut što ga zatvara polumjer ST sa spojnicom OS središta kružnica. Kada se točka T nalazi u dodirnoj točki bradavice i glavnog tijela Mandelbrotovog skupa, kut φ u uskoj je vezi s periodom, odnosno 'strukošću' antena. Uz pomoć apleta tu vezu možete otkriti (i riješiti nagradni zadatak)!


7. Povijesna crtica

Benoit Mandelbrot rođen je u Varšavi 1924. godine. Njegova je obitelj zbog straha od nacizma emigrirala 1936. godine u Pariz, gdje je na École Normale i École Polytechnique stekao matematičko obrazovanje. Poslije se zaposlio u IBM-ovom istraživačkom centru Thomas J. Watson. Baveći se fraktalnim oblicima skovao je naziv fraktal od pridjeva fractus, što bi značilo slomljen, razlomljen. Mandelbrot je postao svojevrsni guru nove znanstvene discipline teorije kaosa, a skup koji je otkrio postao je amblem te teorije.

Kada je Mandelbrotu bilo dvadeset godina došao mu je u ruke već zaboravljeni rad "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles", što ga je za vrijeme prvog svjetskog rata napisao francuski matematičar Gaston Julia. Julia je shvatio da se iterativnim postupcima u kompleksnoj ravnini mogu stvarati mnogi skupovi. U to doba bez računala, skromni crteži koje su on i Pierre Fatou napravili bili su zapravo više nego fascinantni.

1979. godine Mandelbrot je pokušao stvoriti svojevrstan katalog Julijinih skupova na zaslonu računala. Ne treba zaboraviti da su monokromatski monitori u to doba bili jako niske rezolucije. A i za čudne oblike koji su nastajali, trebalo je ustanoviti jesu li možda kakav hir računala ili proizvod pravilnog proračuna iterativnog postupka. Pokazalo se da na zaslonu nastaje upravo ona slika koja se od računala tražila. No, Mandelbrot je dobio i nešto posvema novo, što se nije nalazilo u kolekciji Julijih skupova, kada je u iterativnom postupku

z1 = z02+ c
z2 = z12+ c
z3 = z22+ c
…
zn+1 = zn2 + c

za z0 uzeo vrijednost 0. Bio je to skup koji smo upoznali i koji se njemu u čast zove Mandelbrotov skup. Ako se za z0 uzme neki drugi kompleksni broj z0 = x + yi, dobiva se tzv. Julijine skupove. I Julijini skupovi fasciniraju nas svojom ljepotom. Zahvaljujući online programu profesora Takashi Kanamaru, možete "prošetati" kompleksnom ravninom i otkriti čaroban svijet Julijinih skupova:

Julijini skupovi - aplet


8. Knjige, članci, programi i linkovi

Tiskana izdanja

J. Gleick: Kaos - rađanje nove znanosti, Izvori, Zagreb, 2000.

Z. Sardar, I. Abrams: Kaos za početnike, Naklada Jesenski i Turk, Zagreb, 2001.

Ivica Vuković: Mandelbrotov skup, Matematičko-fizički list, 94./95. br. 2.

Sadržaji na Internetu. Toga ima toliko da pretraživač Google daje preko pola milijuna dokumenata s pojmom Mandelbrot. Ovdje je tek nekoliko linkova iz tog "kaosa":

Neki računalni programi. Svi su besplatni.

1. Fantastično putovanje
2. Putovanje bez vodiča i itinerara
3. Skup kompleksnih brojeva
4. Iterativni postupak
5. Iterativni rep
6. Ravnalom i šestarom
7. Povijesna crtica
8. Knjige, članci, programi i linkovi