Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

Broj 2 














 

Nikola Dmitrović

Iracionalne jednadžbe i nejednadžbe

Sadržaj:

Uvod
Iracionalne jednadžbe
      Grafičko rješavanje
      Svođenje na sustav simetričnih jednadžbi
Iracionalne nejednadžbe
      Grafičko rješavanje
      Jedan malo teži zadatak
Dodatni zadatci za samostalno rješavanje
Graphitude - program (applet) za grafičko prikazivanje funkcija i pomoć pri rješavanju (ne)jednadžbi

Uvod

Ovaj je članak nastao kao projekt vezan uz kolegij Metodika nastave matematike i informatike, koji se sluša na PMF - Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu. Tema Iracionalne (ne)jednadžbe odabrana je zbog činjenice da se pri njihovu rješavanju postupak čini logičnim i razumljivim, ali rješenje često bude pogrešno. Ovdje pokušavamo objasniti ne samo algoritme za njihovo rješavanje već i pozadinu pojedinih koraka. Velik dio članka posvećen je upotrebi računala u rješavanju iracionalnih (ne)jednadžbi. Postojanje programa za crtanje grafa funkcije omogućuje "interaktivno" rješavanje ovih (ne)jednadžbi. Jasno, grafičko rješavanje nema snagu matematičkog dokaza, ali omogućuje bolju vizualizaciju problema i uočavanje određenih putova u njegovom rješavanju.

Napomena: Na slikama koje se pojavljuju u ovom članku crvena boja predstavlja graf lijeve, a plava desne strane (ne)jednadžbe.

Iracionalne jednadžbe

Jednadžba (nejednadžba) u kojoj se nepoznanica x nalazi pod n-tim korijenom zove se iracionalna (ne)jednadžba. Iako je pri rješavanju ovakvih zadataka postupak često odmah vidljiv i jasan, samo rješenje može biti pogrešno. Razlog je nepoštivanje svojstava funkcije n-ti korijen, odnosno najčešće funkcije drugi korijen. Funkcija f(x) = √x definirana je na skupu R+0. To znači da negativni realni brojevi ne mogu biti kandidati za rješenja iracionalne jednadžbe √x = c. Ova priča ekvivalentna je za sve korijene parnog eksponenta, a za korijene neparnog eksponenta nemamo taj problem jer su oni definirani na čitavom R.

Za početak promotrimo slučaje koji se u konačnici mogu svesti na oblik

√f(x) = g(x).     (1.1)

Poštujući svojstva funkcije drugi korijen, moramo prvo postaviti uvjete za rješenja jednadžbe (1.1). Određivanje uvjetâ, između ostalog, predstavlja nalaženje područja definiranosti, kako funkcije drugi korijen, tako i ostalih funkcija koje se javljaju u jednadžbi. Evidentno, prvi uvjet za rješenje jednadžbe (1.1) jest da ono mora zadovoljavati f(x) ≥ 0. Međutim, to nije dovoljno. Naime, htjeli bismo jednadžbu kvadrirati da se riješimo drugog korijena. No, tada moramo paziti na neinjektivnost kvadriranja, odnosno na činjenicu da za c > 0 dva broja x zadovoljavaju x2 = c, ali se samo jedan od njih (onaj pozitivni) ima pravo zvati √c (naravno, za c = 0 jedino je rješenje 0, pa nema tih problema). To znači da prije kvadriranja moramo osigurati da obje strane (konkretno desna, za koju želimo da bude jednaka nekom korijenu) jednadžbe budu nenegativne. Dakle, drugi uvjet za rješenje glasi g(x) ≥ 0.

Nakon kvadriranja dobivamo jednadžbu

f(x) = (g(x))2,     (1.2)

koja je uz dane uvjete ekvivalentna s (1.1). Uočimo da nam je uz (1.2) uvjet f(x) ≥ 0 nepotreban. Naime, sva rješenja koja dobijemo zadovoljavat će (1.2), pa će za njih biti f(x) = (g(x))2 ≥ 0. Dakle:

√f(x) = g(x)   <-->   g(x) ≥ 0   &   f(x) = (g(x))2.

Ovo možemo generalizirati.

2n√f(x) = g(x)   <-->   g(x) ≥ 0   &   f(x) = (g(x))2n.

Naravno,

2n+1√f(x) = g(x)   <-->   f(x) = (g(x))2n+1.

Primjer 1.   Riješimo jednadžbu   √1 - x = 5 + x.

Rješenje:

√1 - x = 5 + x   <-->   5 + x ≥ 0   &   1 - x = 25 + 10x + x2   <-->   x ≥ -5   &   x2 + 11x + 24 = 0
  <-->   x ≥ -5   &   (x = -3   ili   x = -8)   <-->   x = -3

Uočimo: kvadriranjem smo dobili jednadžbu koja je imala dva rješenja, od kojih je jedno bilo x = -8. To nije rješenje polazne jednadžbe jer ne zadovoljava uvjet x ≥ -5.

Primjer 2.   Riješimo jednadžbu   √x2 - 3x + 3 + √(x2 - 36) = x - 1.

Rješenje:

√x2 - 3x + 3 + √(x2 - 36) = x - 1   <-->   x - 1 ≥ 0   &   x2 - 3x + 3 + √x2 - 36 = x2 - 2x + 1
  <-->   x ≥ 1   &   √x2 - 36 = x - 2   <-->   x ≥ 1   &   x ≥ 2   &   x2 - 36 = x2 - 4x + 4
  <-->   x ≥ 2   &   4x = 40   <-->   x = 10

Grafičko rješavanje iracionalnih jednadžbi

Pri rješavanju iracionalnih jednadžbi možemo se služiti i grafičkom metodom. Ona ne daje egzaktna rješenja, već nam može pomoći u razlučivanju pravih od "fiktivnih" rješenja.

Primjer 3.   Riješimo jednadžbu

√( √2x + 3 + √4x - 3 ) = √6     (1.3)

Rješenje: Obje strane jednadžbe su nenegativne, pa možemo pristupiti kvadriranju. Stoga je jednadžba (1.3) ekvivalentna jednadžbi

√2x + 3 + √4x - 3 = 6     (1.4)

Situacija prije kvadriranja       Situacija nakon kvadriranja

Kao što vidimo iz gornjih slika, kvadriranjem nismo dobili "fiktivna" rješenja.
Nastavljamo s rješavanjem jednadžbe (1.4). Kvadriranjem dobivamo:

√2x + 3 √4x - 3 = 18 - 3x     (1.5)

Sada nije dovoljno provjeriti uvjet na nenegativnost desne strane i kvadrirati (1.5) jer radikandi mogu biti negativni. Iz uvjeta nenegativnosti radikanada 2x + 3 ≥ 0 i 4x - 3 ≥ 0, dobivamo x ≥ 3/4.

Sada, uzevši u obzir da je 18 - 3x ≥ 0 i kvadrirajući (1.5), dobivamo:

(2x + 3)(4x - 3) = (18 - 3x)2   &   18 - 3x ≥ 0   &   x ≥ 3/4
  <-->   8x2 + 6x - 9 = 324 - 108x + 9x2   &   x ≤ 6   &   x ≥ 3/4
  <-->   x2 - 114x + 333 = 0   &   x iz [3/4,6]
  <-->   (x = 3   ili   x = 111)   &   x iz [3/4,6]   <-->   x = 3.

Rješavajući pripadni sustav dobili smo i fiktivno rješenje. Pogledajmo grafove pripadnih izraza.

Situacija prije kvadriranja

Situacija nakon kvadriranja, mikroperspektiva...       ... i makroperspektiva

Svođenje iracionalnih jednadžbi na sustav simetričnih jednadžbi

Jednadžbe oblika √a - f(x) + √b + f(x) = c svode se supstitucijama u = √a - f(x) i v = √b + f(x) na sustav simetričnih jednadžbi:

u + v = c   &   u2 + v2 = a + b.

Ako je jednadžba oblika √a + f(x) + √b + f(x) = c, (c ≠ 0), ona se supstitucijama u = √a + f(x) i v = √b + f(x) svodi na:

u + v = c   &   u2 - v2 = a - b   <-->   u + v = c   &   (u + v)(u - v) = a - b
  <-->   u = (c2 + a - b)/2c   &   v = (c2 - a + b)/2c.

Primjer 4.   Riješimo jednadžbu

√x + 5 + √20 - x = 7     (1.6)

Rješenje: Supstitucije glase: u = √x + 5, v = √20 - x i uz njih vrijedi:

u + v = 7   &   u2 + v2 = 25   &   x + 5 ≥ 0   &   20 - x ≥ 0   <-->   u + v = 7   &   u2 + v2 = 25   &   x iz [-5,20]
  <-->   u2 + v2 = 25   &   u = 7 - v   &   x iz [-5,20]   <-->   u2 - 7u + 12 = 0   &   u = 7 - v   &   x iz [-5,20]
  <-->   {u,v} = {3,4}   &   x iz [-5,20]   <-->   ((u,v) = (3,4)   ili   (u,v) = (4,3))   &   x iz [-5,20]
  <-->   (x = 4   ili   x = 11)   &   x iz [-5,20]   <-->   x = 4   ili   x = 11.

Iracionalne nejednadžbe

Rješavajući iracionalne jednadžbe znali smo dobiti i "fantomska rješenja", koja smo mogli eliminirati promatrajući zadane uvjete. Što se može dogoditi pri rješavanju iracionalnih nejednadžbi?

Primjer 5. Riješimo u skupu R nejednadžbu:

√x2 - 4x + 3 ≥ 2 - x.     (2.1)

Rješenje: Ako ovu nejednadžbu kvadriramo, dobit ćemo sljedeću situaciju:

x2 - 4x + 3 ≥ 4 - 4x + x2   -->   3 ≥ 4,     (2.2)

što bi značilo da ova nejednadžba nema rješenja. Istina, ona nema rješenja, ali bilo bi pogrešno iz toga zaključiti da i (2.1) nema rješenja jer nejednadžbe (2.1) i (2.2) nisu ekvivalentne. One su ekvivalentne samo pod određenim uvjetima, odnosno pretpostavkama koje smo koristili pri "rješavanju".
Jedna od njih je i ona vezana uz kvadriranje nejednadžbe (2.1). S tim u vezi treba vidjeti što zapravo koristimo kad na neku (ne)jednadžbu "djelujemo" nekom funkcijom. Pri djelovanju na jednadžbu to je jednostavno svojstvo

a = b   -->   f(a) = f(b),

odnosno jedno od osnovnih svojstava funkcije kao takve. Međutim, pri djelovanju na nejednadžbu to je svojstvo (npr.)

a < b   -->   f(a) < f(b),

odnosno monotonost funkcije f (preciznije, u ovom slučaju činjenica da je f strogo rastuća).
No, je li funkcija kvadriranja, kojom smo djelovali na (2.1) da bismo dobili (2.2), strogo rastuća? Kao što znamo, jest na skupu R+0. Dakle, sve što možemo zaključiti iz gornje diskusije jest da nejednadžba (2.1) nema rješenja među onim x-evima za koje je desna strana, 2 - x, nenegativna (lijeva strana očito je nenegativna, kad god je definirana), dakle za x ≤ 2. Što je s x > 2? Na prvi pogled čini se da su svi oni rješenja jer je za njih lijeva strana pozitivna, a desna negativna, pa je nejednadžba očito zadovoljena. Ali, na drugi pogled, vidimo da treba uzeti u obzir definiranost korijena na lijevoj strani, odnosno nenegativnost izraza pod njim. Rješavajući pripadnu nejednadžbu

x2 - 4x + 3 ≥ 0,

dobivamo x iz ( -oo, 1] U [3, +oo ).

Dakle, konačan skup rješenja je presjek tih dvaju skupova, tj. x iz [3, +oo ).

Imajući u vidu gornji primjer, iracionalne nejednadžbe u kojima se nepoznanica javlja pod korijenom možemo podijeliti u 4 podgrupe.

  1. 2n√f(x) < g(x)   <-->   f(x) ≥ 0   &   g(x) > 0   &   f(x) < (g(x))2n
  2. 2n√f(x) > g(x)   <-->   ( f(x) ≥ 0   &   g(x) < 0 )   ili   ( g(x) ≥ 0   &   f(x) > (g(x))2n )
  3. 2n√f(x) / g(x) > 1   <-->   g(x) > 0   &   f(x) > (g(x))2n
  4. 2n√f(x) / g(x) < 1   <-->   ( g(x) < 0   &   f(x) ≥ 0 )   ili   ( g(x) > 0   &   f(x) ≥ 0   &   f(x) < (g(x))2n )
Možda se čini da su podgrupe 3. i 4. nepotrebne, odnosno ekvivalentne 2. i 1. redom, što je samo djelomično točno. Naime, 3. možemo dobiti iz 2. dijeljenjem s g(x), ali samo ako je g(x) > 0 (također 3. možemo dobiti iz 1. ako je g(x) < 0 - sjetimo se da nejednadžba mijenja znak nejednakosti pri množenju negativnim brojem, što je padajuća funkcija). Za podgrupu 4. vrijedi analogno.

Primjer 6.

√x2 + 3x + 2 < 1 + √x2 - x + 1     (2.3)

Rješenje: Odredimo uvjete za definiranost funkcija koje se pojavljuju u zadatku. Primijetimo da je drugi radikand uvijek pozitivan jer mu je vodeći koeficijent pozitivan, dok mu je diskriminanta ((-1)2 - 4 = -3) negativna. Za prvi radikand uvjet je:

x2 + 3x + 2 ≥ 0   <-->   x iz ( -oo, -2] U [-1, +oo ).

Kvadriranjem dobivamo:

√x2 - x + 1 > 2x   &   x iz ( -oo, -2] U [-1, +oo )   <-->  
( 2x < 0   ili   ( 2x ≥ 0   &   x2 - x + 1 > 4x2 ))   &   x iz ( -oo, -2] U [-1, +oo )   <-->  
( x < 0   ili   ( x ≥ 0   &   x iz ( (-1 - √13) / 6, (-1 + √13) / 6 ) ))   &   x iz ( -oo, -2] U [-1, +oo )   <-->  
x iz ( -oo, -2] U [-1, (√13 - 1) / 6 ) .

Primjer 7.

√4 - √(1 - x) - √2 - x > 0     (2.4)

Rješenje: Prvo provjerimo uvjete za definiranost korijenâ koji se pojavljuju u nejednadžbi.

2 - x ≥ 0   <-->   x ≤ 2
4 - √1 - x ≥ 0   <-->   √1 - x ≤ 4   <-->   0 ≤ 1 - x ≤ 16   <-->  
-15 ≤ x ≤ 1     (2.5)

Primijetimo da je uvjet x ≤ 2 sadržan u uvjetu (2.5). Dakle, niz ekvivalencijâ je:

(2.4)   <-->   √4 - √(1 - x) > √2 - x   <-->   4 - √1 - x > 2 - x   &   (2.5)   <-->  
√1 - x < x + 2   &   (2.5)   <-->   1 - x < x2 + 4x + 4   &   x + 2 ≥ 0   &   (2.5)   <-->  
x2 + 5x + 3 > 0   &   x ≥ -2   &   (2.5)   <-->  
x iz ( -oo, (-5 - √13) / 2 ) U ( (-5 + √13) / 2, +oo )   &   x ≥ -2   &   (2.5)   <-->  
x iz ( (-5 + √13) / 2, 1 ) .

Grafičko rješavanje iracionalnih nejednadžbi

Kao i u rješavanju iracionalnih jednadžbi, tako se i pri rješavanju iracionalnih nejednadžbi možemo služiti grafičkom metodom. Pokazat ćemo na dva prethodna primjera kako se to radi, kao i na što sve treba paziti.

Primjer 6.

√x2 + 3x + 2 < 1 + √x2 - x + 1

Slika 1:Slika 1       Slika 2:Slika 2

Sa slike 1 možemo odrediti (jasno, otprilike) konačno rješenje nejednadžbe (kao skup svih x nad kojima je crveni graf ispod plavog).
Slika 2 prikazuje grafičko rješavanje uvjeta definiranosti lijeve strane (kao što znamo, radikand desne strane uvijek je pozitivan - kako bi izgledao taj graf?)

Slika 3:Slika 3       Slika 4:Slika 4

Slika 3 pokazuje što se dogodilo nakon prvog kvadriranja. Uočimo da su se pojavila i "fiktivna rješenja" na području od x = -2 do x = -1.
Na slici 4 vidimo rješenje završne nejednadžbe (nakon 2 kvadriranja). Naravno, egzaktna rješenja ne možemo očitati sa slike, već samo provjeriti jesmo li dobro računali.

Primjer 7.

√4 - √(1 - x) - √2 - x > 0

Slika 5:Slika 5       Slika 6:Slika 6

Slika 5 prikazuje originalnu nejednadžbu (nakon sređivanja) i s nje možemo očitati konačno rješenje. Uočimo da crveni graf postoji samo do x = 1.
Na slici 6 je grafički prikaz nejednadžbe nakon prvog kvadriranja. Vidimo da se tim kvadriranjem skup rješenja nije "povećao".

Slika 7:Slika 7       Slika 8:Slika 8

Na slici 7 vidi se stanje nakon drugog kvadriranja. Vidimo da su se opet pojavila "fiktivna" rješenja. (Zbog sređivanja su lijeva i desna strana zamijenile uloge - gledamo gdje je crveni graf ispod plavog.)
Slika 8 je ilustracija rješenja završne nejednadžbe nakon trećeg kvadriranja.

Jedan malo teži zadatak

Pogledajmo primjer zadatka na kojem ćemo vidjeti kako možemo iskoristiti mogućnosti crtanja grafova pomoću računala, povezanog s nekoliko trikova, za rješavanje zadataka koji se na prvi pogled čine vrlo teškima.

Primjer 8.

√2x + x + lg(x) - 7 > √2x + 3x2 + lg(x) - 66     (2.6)

(lg(x) je oznaka za logaritam od x po bazi 2, tj. lg(x) = log2 x = log(x)/log(2))

Rješenje: Kad bismo slijedili postupak iz prethodnih primjera, to bi zahtijevalo (pri određivanju uvjeta za definiranost korijena) rješavanje nejednadžbi poput

2x + x + lg(x) ≥ 7,     (2.7)

što baš i nije lako - osim ako se sjetimo nečega u čemu nam Graphitude može pomoći. Naime, ako nacrtamo graf lijeve strane od (2.7) (recimo s parametrima xmin=0, xmax=5, ymin=-10, ymax=30), vidimo da se on uspinje. Ako u tom svjetlu gledamo (2.7), odmah vidimo da je funkcija na lijevoj strani strogo rastuća, kao zbroj tri strogo rastuće funkcije, pa je injekcija. To ima za posljedicu da je rješenje odgovarajuće jednadžbe jedinstveno, pa ga je dovoljno pogoditi. Tu opet možemo upotrijebiti Graphitude. Na grafu vidimo da prolazi kroz točku (2,7), dakle (jedino) rješenje jednadžbe je x = 2. Budući da je funkcija na lijevoj strani strogo rastuća, slijedi da je rješenje nejednadžbe (2.7) dano s x ≥ 2. Da bi lg(x) bio definiran, mora biti x > 0, pa je i radikand desne strane u (2.6) rastuća funkcija od x. Analogno (crtajući graf s parametrima xmin=0, xmax=5, ymin=-60, ymax=60) dobivamo za uvjet na desnoj strani x ≥ 4. Dakle, ukupni uvjet je x ≥ 4, i uz taj uvjet smijemo kvadrirati (2.6) (obje strane su nenegativne). Kvadriranjem se "neugodni" članovi ponište, te ostaje kvadratna nejednadžba

3x2 - x - 59 < 0,

kojoj je rješenje x iz ( (1 - √709)/6, (1 + √709)/6 ). Presjek tog rješenja s uvjetom definiranosti (lako je vidjeti da je 4 < (1 + √709)/6) konačno je rješenje: x iz [ 4, (1 + √709)/6 ).

Dodatni zadatci

Jednadžbe

  1. √(x+2)(x+3) - √(x+3)(x+4) = 0

  2. 3√9 - √(x-1) + 3√7 + √(x+1) = 4

  3. 2 √5 4√(x+1) + 4 - √2 4√(x+1) - 1 = √20 4√(x+1) + 5

  4. 6 3√x-3 + 3√x-2 = 5 6√(x-2)(x-3)

  5. 5√(x-2)(x-32) - 5√(x-1)(x-33) = 1

  6. √x - 2√(x-1) + √x + 3 - 4√(x-1) = 1

  7. √(log√x (x2(1+x2)) + 4) = logx(1+x2)

Nejednadžbe

  1. √x2-5x+6 < √x2-7x+10

  2. 3√1-x2 ≥ 3√6+x-x2

  3. √x2-3x-10 < 8 - x

  4. √x2-16 / √x-3 + √x-3 > 5 / √x-3

  5. √x + 2√(x-1) + √x - 2√(x-1) > 3/2

  6. √2(5x + 27) - √5x - 7 ≥ √5x + 7

  7. √(3 - 9√2-x + 2 . 3√2-x ) + 2 . 3√2-x > 4
Uvod
Iracionalne jednadžbe
      Grafičko rješavanje
      Svođenje na sustav simetričnih jednadžbi
Iracionalne nejednadžbe
      Grafičko rješavanje
      Jedan malo teži zadatak
Dodatni zadatci za samostalno rješavanje
Graphitude - program (applet) za grafičko prikazivanje funkcija i pomoć pri rješavanju (ne)jednadžbi