Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
		http://e.math.hr

49. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Krk, 2.-5. svibnja 2007.

Zadaci za 2. razred - A kategorija

1. U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu (x² − a²)² − 4ax − 1 = 0 , gdje je a realan broj.
   
   
2. Dana je polukružnica nad promjerom AB i na njemu točke C i D tako da vrijedi:
   a) točka C pripada luku AD;
   b) ∠CSD je pravi, pri čemu je S središte dužine AB.
   Neka je E sjecište pravaca AC i BD, a F sjecište AD i BC. Dokažite da je |EF| = |AB|.
   
   
3. Nađite sve prirodne brojeve koji su najveća zajednička mjera brojeva oblika 5n+6 i 8n+7 za neko n∈N.
   
   
4. Unutar trokuta ABC nalazi se točka S. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke S od stranica trokuta ABC najveći kada je točka S njegovo težište.