Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
		http://e.math.hr/

49. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Krk, 2.-5. svibnja 2007.

Zadaci za 1. razred - B kategorija

1. Koja relacija povezuje brojeve a, b i c ako za neke x i y vrijede jednakosti a = x − y, b = x² − y², c = x³ − y³ ?
   
   
2. Zadan je pravokutan trokut ∆ABC, s pravim kutom pri vrhu C. Na kateti BC odaberimo točku A_₁, a na kateti AC točku B_₁.
   Dokažite da je |AA_₁|² + |BB_₁|² = |AB|² + |A_₁B_₁|².
   
   
3. Dokažite da je broj 111...1 − 222...2 kvadrat prirodnog broja. (Prvi broj ima 2n znamenaka 1, a drugi n znamenaka 2.)
   
   
4. Kvadratu stranice duljine 1 upisana je kružnica, a nad njegovim stranicama kao promjerima konstruirane su četiri kružnice. Izračunajte opseg ''propelera'' na slici.
   
   

   

   
   
   
5. Nađite sve prirodne brojeve m, n ∈ N takve da vrijedi 1/m + 1/n − 1/(mn) = 2/5.