MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://e.math.hr

49. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Krk, 2.-5. svibnja 2007.


Zadaci za 1. razred - A kategorija

  1. Nađite realna rješenja sustava jednadžbi:
    x + y + z = 2
    (x+y)(y+z) + (y+z)(z+x) + (z+x)(x+y) = 1
    x²(y+z) + y²(z+x) + z²(x+y) = −6

  2. Na polupravcima p i q sa zajedničkim početkom O dane su točke A i C (na p) te B i D (na q). Ako je pravac CD paralelan s težišnicom trokuta OAB, dokažite da je pravac AB paralelan s težišnicom trokuta OCD.

  3. a) Dokažite da se ploča dimenzija 4×4 može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.
    b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija 5×5.

  4. Odredite najveći prirodni broj n takav da n² + 2007n bude kvadrat nekog prirodnog broja.