MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://e.math.hr/

10. MEDITERANSKO MATEMATIČKO NATJECANJE

Zagreb, 21. travnja 2007.

Zadaci

  1. Neka su x ≤ y ≤ z realni brojevi, koji zadovoljavaju uvjet xy + yz + zx = 1. Dokaži da je xz < 1/2. Može li se ocjena uz xz smanjiti?

  2. Dijagonale AC i BD tetivnog četverokuta ABCD sijeku se u točki E. Poznate su duljine |AB| = 39, |AE| = 45, |AD| = 60 i |BC| = 56. Odredi duljinu |CD|.

  3. U trokutu ABC zadani su kut α = ∠ A i duljina stranice a = |BC|. Nadalje vrijedi a = √ rR , gdje je r polumjer trokutu upisane i R polumjer opisane mu kružnice. Odredi sve takve trokute, tj. nađi sve duljine stranica b i c tih trokuta.

  4. Broj x > 1 nije cijeli broj. Dokaži nejednakost

    nejednakost sa x, [x] i {x}

    gdje je [x] najveći cijeli broj koji nije veći od x i {x} decimalni dio broja x.