MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://web.math.hr/mathe/

15. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Kraljevica, 26.-29. travnja 2006.

Zadaci za 2. razred - A kategorija

  1. Odredi sve cijele brojeve m, n za koje vrijedi  m3 + n3 = (m + n)2.

  2. Neka su x, y, z pozitivni realni brojevi takvi da je xyz = 1. Dokaži nejednakost
    x - 1   +   y - 1   +   z - 1   ≥  0
    y + 1 z + 1 x + 1


  3. Kružnice C1 i C2 sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C2 povučena iz točke A siječe kružnicu C1 u točki C, a tangenta kružnice C1 povučena iz točke A siječe kružnicu C2 u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C1 u točki M, kružnicu C2 u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.

  4. U polja kvadrata 3×3 treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude 270. Na koliko je načina to moguće napraviti?