MATH.E     Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
 
http://web.math.hr/mathe/

9. MEDITERANSKO MATEMATIČKO NATJECANJE

Zagreb, 8. travnja 2006.


Zadaci

  1. Svaka točka ravnine obojena je crvenom ili plavom bojom, pri čemu postoji barem jedna crvena i barem jedna plava točka. Da li je moguće da svaka kružnica polumjera 1 sadrži točno:
    a) jednu plavu točku;
    b) dvije plave točke?

  2. Neka je P unutrašnja točka trokuta ABC. Neka su A1B2, B1C2, C1A2 pravci kroz točku P, redom paralelni s AB, BC, CA, pri čemu točke A1, A2 leže na stranici BC, točke B1, B2 na CA i točke C1, C2 na AB. Dokaži da vrijedi P(A1A2B1B2C1C2)≥ ⅔P(ABC), gdje je P površina odgovarajućeg lika.

  3. Promatrajmo trokut ABC kod kojeg su duljine stranica a, b, c prirodni brojevi takvi da je M(a,b,c)=1. Simetrala kuta ∠BAC siječe BC u točki D.
    a) Dokaži da ako je trokut DBA sličan trokutu ABC, tada je c potpun kvadrat.
    b) Za svaki potpun kvadrat c=n2, n≥2, nađi trokut ABC koji je sličan odgovarajućem trokutu DBA.

  4. Neka su m,n prirodni brojevi i neka su xi,j∈[0,1] za i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Dokaži nejednakost

    nejednakost s produktima