Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.

Zadaci za III. razred


  1. Nađite sva rješenja k, l, m element N jednadžbe:

    k! l! = k! + l! + m! .

    (n! označava umnožak prirodnih brojeva od 1 do n.)

  2. Upisana kružnica trokuta ABC dodiruje stranice AC, BC i AB redom u točkama M, N i R. Neka je S točka na manjem od dva luka MN i t tangenta na taj luk s diralištem S. Tangenta t siječe NC i MC redom u točkama P i Q. Dokažite da se pravci AP, BQ, SR i MN sijeku u jednoj točki.

  3. Odredite skup svih točaka triedra takvih da je zbroj njihovih udaljenosti od strana triedra jednak zadanom pozitivnom broju a.

  4. Pravilni poligon s 2005 stranica ima vrhove obojane crvenom, bijelom i plavom bojom. "Dozvoljenim bojanjem" zovemo bojanje u kojem dva susjedna vrha, koja su obojana različitim bojama, obojimo trećom bojom.
        (a)   Dokažite da postoji konačan niz "dozvoljenih bojanja" nakon kojeg su svi vrhovi poligona iste boje.
        (b)   Je li ta boja jednoznačno određena početnim rasporedom boja vrhova?