Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

14. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Omišalj, 4. - 7. svibnja 2005.


Zadaci za II. razred


  1. Neka su a, b, c realni brojevi, a <> 0. Ako je x1 jedno rješenje jednadžbe

    ax2 + bx + c = 0

    i x2 jedno rješenje jednadžbe

    -ax2 + bx + c = 0,

    dokažite da je tada jedno rješenje x3 jednadžbe

    a/2 * x2 + bx + c = 0

    između x1 i x2, tj. x1 <= x3 <= x2 ili x2 <= x3 <= x1.

  2. Središte U upisane kružnice trokuta ABC spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su O1, O2 i O3 središta kružnica opisanih trokutima BCU, CAU i ABU. Dokažite da kružnice opisane trokutima ABC i O1O2O3 imaju zajednično središte.

  3. Ako su a, b i c realni brojevi veći od 1, dokažite da za svaki realni broj r vrijedi jednakost

    (loga bc)r + (logb ac)r + (logc ab)r >= 3 * 2r .

  4. Dokažite da u svakom skupu od 11 prirodnih brojeva postoji njih 6, čiji je zbroj djeljiv sa 6.