Hrvatski matematički elektronski časopis math.e

http://web.math.hr/mathe/

13. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Trogir, 5. - 8. svibnja 2004.

Zadaci za II. razred


  1. Pojedini dijelovi pravilnog peterokuta ABCDE imaju površine označene sa x, y, z, kao na slici. Ako je zadana površina x, nađite površine y i z, te površinu cijelog peterokuta.

    peterokut

  2. Dokažite da za pozitivne brojeve a, b, c vrijedi nejednakost

    a^2/((a+b)(a+c))+...>=3/4

  3. Brojevi (pn) za n element N definirani su na sljedeći način:
    p1 = 2 i za n >= 2, pn je najveći prosti djelitelj od p1 p2 ... pn -1 + 1. Dokažite da je pn <> 5 za svaki n element N.

  4. Žaba skače to točkama koordinatne mreže počevši od točke (1,1) po sljedećim pravilima:
        (i)   iz točke (a, b) žaba smije skočiti u točku (2a, b), odnosno (a, 2b);
        (ii)   ako je a > b, žaba smije skočiti iz (a, b) u (a - b, b), ako je a < b, žaba smije skočiti iz (a, b) u (a, b - a).
    Može li žaba stići u točku
    (a)   (24,40),
    (b)   (40,60),
    (c)   (24,60),
    (d)   (200,4)?