Hrvatski matematički elektronski časopis math.e
	http://web.math.hr/mathe/

13. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Trogir, 5. - 8. svibnja 2004.

Zadaci za I. razred

1. Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi

   x² - y² = 2(xz + yz + x + y),
   y² - z² = 2(yx + zx + y + z),
   z² - x² = 2(zy + xy + z + x).

2. Dokažite da su težišnice iz vrhova A i B trokuta ABC međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost

   |BC|² + |AC|² = 5|AB|².

3. Dokažite da za svaka tri realna broja x, y, z vrijedi nejednakost

   |x| + |y| + |z| - |x + y| - |y + z| - |z + x| + |x + y + z| 0.

4. Niz znamenaka 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, ... konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke.
   a) Da li se u tom nizu pojavljuju znamenke 2, 0, 0, 4, tim redom?
   b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke 1, 2, 3, 4, tim redom?