13. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE

Trogir, 5. - 8. svibnja 2004.

Zadaci za VIII. razred

1. Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva n za koje je (2004 - n)/9 prirodni broj?

2. Za tri realna broja a, b, c vrijede ove jednakosti:

   a + b + c = 1,
   b² + c² + 2bc + 6a + 3 = 0.

   Koliki je zbroj ab + ac?

3. Učitelj i njegovi učenici krenuli su autobusom u mjesto gdje se održavalo Državno natjecanje iz matematike. Sjedili su na sjedalima čiji su brojevi bili uzastopni prirodni brojevi i njihov je zbroj iznosio 54. Koliko je učenika učitelj vodio ako je samo jedan od brojeva sjedala na kojima su sjedili bio prost broj?

4. Dan je jednakokračan trokut ABC. Na osnovici AB odabrane su dvije točke D i E tako da je |AD| = |DE| = |EB|. Polupravci CD i CE dijele kut ACB na tri dijela. Dokaži da je kut DCE najveći od ta tri kuta.

5. Duljine stranica trokuta ABC su prirodni brojevi, a najmanja je 2 cm. Kolika je površina trokuta P ako je v_c = v_a + v_b, pri čemu su v_a, v_b, v_c duljine visina redom na stranice a, b, c?